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Analysis

Steckbriefaufgaben: Funktionen rekonstruieren

Vom Eigenschaften-Steckbrief zur Funktionsgleichung: Analysis rückwärts.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Bisher: Funktion gegeben, Eigenschaften gesucht. Jetzt drehen wir um! Bei Steckbriefaufgaben kennst du die Eigenschaften, „geht durch den Punkt (2|5), hat dort einen ", und suchst die Funktion. Diese Rückwärts-Analysis ist der Schlüssel zum Modellieren: Wenn du weißt, wie sich etwas verhalten soll, findest du die passende Funktion.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • einen allgemeinen Ansatz passend zum Funktionsgrad aufstellen.

  • gegebene Eigenschaften in Bedingungen () übersetzen.

  • das entstehende lösen.

  • Symmetrie ausnutzen, um den Ansatz zu vereinfachen.

Das Prinzip: aus Eigenschaften eine Funktion bauen

Bisher war die Funktion gegeben, und du hast ihre Eigenschaften untersucht. Steckbriefaufgaben drehen das um: Du bekommst die Eigenschaften und sollst die Funktion finden.

„Gesucht ist eine Funktion dritten Grades mit einem bei (0∣4)(0 \mid 4) und einem bei (1∣2)(1 \mid 2)."

Das ist wie bei einer Personensuche über einen Steckbrief, daher der Name.

Wie viele Angaben man braucht

Der Schlüssel ist eine einfache Abzählung. Eine ganzrationale Funktion vom Grad nn hat n+1n+1 unbekannte Koeffizienten:

f(x)=a⏟1x3+b⏟2x2+c⏟3x+d⏟4f(x) = \underbrace{a}_{1}x^3 + \underbrace{b}_{2}x^2 + \underbrace{c}_{3}x + \underbrace{d}_{4}

Vier Unbekannte bedeuten: Du brauchst vier , um sie eindeutig zu bestimmen. Das kennst du von den linearen aus Klasse 8, dort brauchte man für zwei Unbekannte zwei Gleichungen.

GradAnsatzUnbekanntenötige Bedingungen
2ax2+bx+cax^2+bx+c33
3ax3+bx2+cx+dax^3+bx^2+cx+d44
4ax4+…+eax^4+\ldots+e55

Diese Abzählung ist deine erste Kontrolle: Zähle im Aufgabentext die Angaben. Passen sie nicht zur Anzahl der Unbekannten, hast du entweder eine Bedingung übersehen, oder eine steckt versteckt im Text (dazu gleich mehr).

Das Bild unten zeigt, wie aus den Eigenschaften Bedingungen werden.

Bedingungen → Funktion

xy-3-2-112-2-112345fHP(0|4)

Umgekehrt gedacht: Aus „ bei (0∣4)(0\mid4)" werden zwei Bedingungen, f(0)=4f(0)=4 (Punkt) und f′(0)=0f'(0)=0 (waagerechte ). Jede Eigenschaft liefert eine ; ein Grad-nn-Polynom braucht n+1n+1 davon.

Eigenschaften in Bedingungen übersetzen

EigenschaftBedingung
Graph geht durch (x0∣y0)(x_0 \mid y_0)f(x0)=y0f(x_0) = y_0
bei x0x_0f′(x0)=0f'(x_0) = 0
Hoch-/Tiefpunkt (x0∣y0)(x_0 \mid y_0)f′(x0)=0f'(x_0) = 0 und f(x0)=y0f(x_0) = y_0
bei x0x_0f′′(x0)=0f''(x_0) = 0
Sattelpunkt bei x0x_0f′(x0)=0f'(x_0) = 0 und f′′(x0)=0f''(x_0) = 0

Symmetrie als Abkürzung: achsensymmetrisch → nur gerade Exponenten; punktsymmetrisch → nur ungerade. Das reduziert die Unbekannten.

Der Ablauf, und die versteckten Bedingungen

Die vier Schritte

  1. Ansatz aufstellen und gleich f′f' und f′′f'' mitbilden, du brauchst sie für fast jede Bedingung.
  2. Jede Eigenschaft in eine übersetzen (siehe Tabelle im vorigen Abschnitt).
  3. lösen, meist durch Einsetzen, weil viele Gleichungen sehr einfach sind.
  4. Probe: Erfüllt die gefundene Funktion wirklich alle genannten Bedingungen?

Der Trick: eine Punktangabe liefert oft zwei Bedingungen

Hier liegt der häufigste Grund, warum Bedingungen zu fehlen scheinen. Lies genau:

„ bei (2∣5)(2 \mid 5)" enthält zwei Informationen:

  • Der Punkt liegt auf dem Graphen → f(2)=5f(2) = 5
  • Es ist ein Hochpunkt, die ist dort waagerecht → f′(2)=0f'(2) = 0

Genauso bei „ bei (1∣3)(1 \mid 3)": f(1)=3f(1) = 3 und f′′(1)=0f''(1) = 0.

Steht dagegen nur „der Graph verläuft durch (2∣5)(2 \mid 5)", ist es wirklich nur eine Bedingung.

Deshalb die Faustregel: Ein genannter besonderer Punkt liefert meist zwei Gleichungen, eine über den Punkt selbst, eine über seine Eigenschaft.

Weitere versteckte Angaben

  • „symmetrisch zur yy-Achse" → alle ungeraden Exponenten fallen weg, der Ansatz wird kürzer (z. B. f(x)=ax4+bx2+cf(x) = ax^4 + bx^2 + c). Das spart Unbekannte und damit Bedingungen.
  • „ bei x=3x = 3" → f(3)=0f(3) = 0.
  • „berührt die xx-Achse bei x=3x = 3" → gleich zwei Bedingungen: f(3)=0f(3) = 0 und f′(3)=0f'(3) = 0 (Berühren heißt waagerechte Tangente).
  • „Wendetangente hat die −2-2 bei x=1x=1" → f′′(1)=0f''(1) = 0 und f′(1)=−2f'(1) = -2.

Warum die Probe unverzichtbar ist

Beim Lösen eines Gleichungssystems mit vier Unbekannten passieren leicht Vorzeichenfehler. Die Probe kostet zwei Minuten und ist eindeutig: Setze deine Koeffizienten ein und prüfe jede Bedingung einzeln nach. Stimmt eine nicht, weißt du sofort, dass du nachrechnen musst, und oft auch, wo.

Und ein inhaltlicher Zusatz-Check: War ein Hoch-, Tief- oder Wendepunkt gefordert, prüfe am Ende auch, ob wirklich einer geworden ist, die Bedingungen f′=0f' = 0 bzw. f′′=0f'' = 0 sind ja nur die notwendigen (Extrempunkte-Kapitel!). Die Musterlösungen zeigen, wie das geht: kurz f′′f'' an der Stelle ansehen.

Prüfe dich: Der Graph soll die x-Achse bei x gleich 3 berühren, nicht schneiden. Welche zwei Bedingungen stecken in dieser einen Angabe?

Berühren heißt zweierlei: Der Punkt liegt auf der Achse und die ist dort waagerecht, sonst würde der Graph die Achse durchstoßen statt sie zu berühren.

f(3)=0undf′(3)=0f(3) = 0 \qquad\text{und}\qquad f'(3) = 0

Eine einzige Angabe, zwei , dieselbe Doppel-Ausbeute wie beim .

Nebenbei ist das die doppelte aus der , von der anderen Seite gesehen: Dort hieß es „bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die Achse", im Steckbrief drehst du den Satz um und machst aus dem Berühren zwei Bedingungen. An der Berührstelle liegt dann zugleich ein Extrempunkt auf der xx-Achse (sofern nicht auch noch f′′f'' dort null ist, der x3x^3-Sonderfall).

Parabel aus drei Bedingungen

Eine f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch den Punkt (0∣3)(0 \mid 3) und hat bei x=2x = 2 einen mit dem yy-Wert −1-1. Bestimme die Funktion.

  1. 1

    Zuerst abzählen: Wie viele Bedingungen brauchen wir? Der Ansatz f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c hat drei Unbekannte (aa, bb, cc), also brauchen wir drei .

    Jetzt die Angaben zählen, und dabei auf versteckte Bedingungen achten:

    1. „geht durch (0∣3)(0 \mid 3)" → eine Bedingung
    2. „bei x=2x = 2 ein Tiefpunkt mit y=−1y = -1" → zwei Bedingungen (der Punkt liegt auf dem Graphen und die ist dort waagerecht)

    Zusammen genau drei ✓ Die Aufgabe ist also eindeutig lösbar.

  2. 2

    Die mitbilden. Für die Tiefpunkt-Bedingung brauchst du f′f':

    f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b
  3. 3

    Die drei Bedingungen aufschreiben. Übersetze jede Angabe in eine Gleichung:

    (I) Der Graph geht durch (0∣3)(0 \mid 3), also f(0)=3f(0) = 3:

    a⋅0+b⋅0+c=3⇒c=3a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 3 \qquad\Rightarrow\qquad c = 3

    Ein Glücksfall: Bei x=0x = 0 fallen aa und bb weg: cc ist sofort bestimmt. Deshalb sollte man Bedingungen mit x=0x = 0 immer zuerst auswerten.

  4. 4

    (II) Der Tiefpunkt liegt bei (2∣−1)(2 \mid -1), also f(2)=−1f(2) = -1:

    4a+2b+c=−14a + 2b + c = -1

    Mit c=3c = 3 aus (I):

    4a+2b+3=−1⇒4a+2b=−44a + 2b + 3 = -1 \qquad\Rightarrow\qquad 4a + 2b = -4

    (III) Im Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht, also f′(2)=0f'(2) = 0:

    2a⋅2+b=0⇒4a+b=02a \cdot 2 + b = 0 \qquad\Rightarrow\qquad 4a + b = 0
  5. 5

    Das lösen. Aus (III) lässt sich bb direkt ausdrücken:

    b=−4ab = -4a

    Eingesetzt in (II):

    4a+2⋅(−4a)=−4⇒4a−8a=−4⇒−4a=−4⇒a=14a + 2 \cdot (-4a) = -4 \qquad\Rightarrow\qquad 4a - 8a = -4 \qquad\Rightarrow\qquad -4a = -4 \qquad\Rightarrow\qquad a = 1

    Zurück in b=−4ab = -4a:

    b=−4b = -4
  6. 6

    Die Funktion aufschreiben.

    f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3
  7. 7

    Die Probe, bei Steckbriefaufgaben unverzichtbar. Prüfe jede Bedingung einzeln nach:

    • f(0)=3f(0) = 3 ✓
    • f(2)=4−8+3=−1f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 ✓
    • f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4, also f′(2)=0f'(2) = 0 ✓

    Und noch eine inhaltliche Kontrolle: War es wirklich ein Tiefpunkt? f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0, ja, nach oben geöffnete Parabel ✓ Hätte sich ein Hochpunkt ergeben, wäre irgendwo ein Vorzeichenfehler.

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3

Das Vorgehen: Unbekannte zählen → Bedingungen zählen (Punktangaben liefern oft zwei!) → Gleichungen aufstellen → lösen → jede Bedingung in der Probe nachprüfen.

Symmetrie ausnutzen

Eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion dritten Grades hat bei x=1x = 1 einen mit dem yy-Wert −2-2. Bestimme sie.

  1. 1

    Der entscheidende erste Schritt: die Symmetrie in den Ansatz einbauen. Ein allgemeines Polynom dritten Grades hätte vier Unbekannte:

    f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

    Aber „punktsymmetrisch zum Ursprung" bedeutet f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), und das ist nur möglich, wenn alle Exponenten ungerade sind. Die geraden Anteile müssen also verschwinden:

    b=0d=0b = 0 \qquad\qquad d = 0

    (Die Konstante dd ist d⋅x0d \cdot x^0, also ein gerader Exponent.)

  2. 2

    Der reduzierte Ansatz.

    f(x)=ax3+cxf(x) = ax^3 + cx

    Was wir damit gewonnen haben: Statt vier gibt es nur noch zwei Unbekannte. Wir brauchen also nur zwei Bedingungen statt vier. Und genau zwei liefert die Aufgabe („Tiefpunkt bei x=1x=1" mit dem yy-Wert).

    Deshalb steht die Symmetrieprüfung am Anfang: Sie halbiert hier den Aufwand. Wer mit vier Unbekannten startet, braucht zwei Bedingungen, die es nicht gibt.

  3. 3

    bilden.

    f′(x)=3ax2+cf'(x) = 3ax^2 + c
  4. 4

    Die beiden Bedingungen aufstellen.

    (I) Im Tiefpunkt ist die waagerecht, also f′(1)=0f'(1) = 0:

    3a⋅12+c=0⇒3a+c=03a \cdot 1^2 + c = 0 \qquad\Rightarrow\qquad 3a + c = 0

    (II) Der Punkt (1∣−2)(1 \mid -2) liegt auf dem Graphen, also f(1)=−2f(1) = -2:

    a⋅13+c⋅1=−2⇒a+c=−2a \cdot 1^3 + c \cdot 1 = -2 \qquad\Rightarrow\qquad a + c = -2
  5. 5

    Das System lösen. Subtrahiere (II) von (I). Dann fällt cc weg:

    (3a+c)−(a+c)=0−(−2)(3a + c) - (a + c) = 0 - (-2) 2a=2⇒a=12a = 2 \qquad\Rightarrow\qquad a = 1

    Einsetzen in (II):

    1+c=−2⇒c=−31 + c = -2 \qquad\Rightarrow\qquad c = -3
  6. 6

    Die Funktion und die Probe.

    f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x

    Prüfen:

    • f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2 ✓
    • f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3, also f′(1)=0f'(1) = 0 ✓
    • Tiefpunkt? f′′(x)=6xf''(x) = 6x, also f′′(1)=6>0f''(1) = 6 > 0 ✓
    • Punktsymmetrisch? f(−x)=−x3+3x=−(x3−3x)=−f(x)f(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x) ✓

    Nebenbei liefert die Symmetrie eine Zusatzinformation gratis: Wenn bei x=1x = 1 ein Tiefpunkt mit y=−2y = -2 liegt, dann muss bei x=−1x = -1 ein Hochpunkt mit y=+2y = +2 liegen. Punktsymmetrie dreht beides um.

f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x

Die Symmetrie hat die Aufgabe von vier auf zwei Unbekannte verkürzt. Merke: punktsymmetrisch → nur ungerade Exponenten · achsensymmetrisch → nur gerade Exponenten (samt konstantem Glied).

Typischer Fehler

„ bei (2∣5)(2 \mid 5). Das ist eine Bedingung: f(2)=5f(2) = 5."

Ein Hoch- oder Tiefpunkt liefert zwei Bedingungen! Erstens die Lage: f(2)=5f(2) = 5. Zweitens die waagerechte : f′(2)=0f'(2) = 0. Wer nur eine Bedingung notiert, hat zu wenige und kann das System nicht eindeutig lösen. Faustregel: Jedes Wort „punkt" mit Lage-Angabe (Hoch-, Tief-, Wende-, Sattelpunkt) verbirgt mehrere Bedingungen.

Übung 1

leicht

Bestimme die , die durch (1∣5)(1 \mid 5) und (3∣11)(3 \mid 11) geht.

Tipp anzeigen

Ansatz f(x)=ax+bf(x) = ax + b, zwei Punkte = zwei .

Lösung anzeigen

a+b=5a + b = 5 und 3a+b=113a + b = 11. Subtrahieren: 2a=6⇒a=32a = 6 \Rightarrow a = 3, b=2b = 2.

f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Ansatz und Bedingungen übersetzen

    Ansatz f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Jeder Punkt liefert eine Gleichung: (1∣5)(1 \mid 5): a+b=5a + b = 5; (3∣11)(3 \mid 11): 3a+b=113a + b = 11.

  2. 2

    LGS lösen

    Subtrahieren (II − I): 2a=6⇒a=32a = 6 \Rightarrow a = 3; dann b=5−3=2b = 5 - 3 = 2.

    2a=6⇒a=3,b=22a = 6 \Rightarrow a = 3, \quad b = 2

    Zwischenergebnis

    f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2

  3. 3

    Probe mit beiden Punkten

    f(1)=3+2=5f(1) = 3 + 2 = 5 ✓ und f(3)=9+2=11f(3) = 9 + 2 = 11 ✓.

Übung 2

mittel

Eine hat den Scheitel (3∣−4)(3 \mid -4) und geht durch (1∣0)(1 \mid 0). Bestimme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c.

Tipp anzeigen

Scheitel = : f′(3)=0f'(3) = 0 und f(3)=−4f(3) = -4; dazu f(1)=0f(1) = 0.

Lösung anzeigen

Am einfachsten über : f(x)=a(x−3)2−4f(x) = a(x-3)^2 - 4. Punkt (1∣0)(1|0): 0=a⋅4−4⇒a=10 = a \cdot 4 - 4 \Rightarrow a = 1.

f(x)=(x−3)2−4=x2−6x+5f(x) = (x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 5

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die kluge Ansatzwahl: Scheitelform

    Weil der SCHEITEL gegeben ist, lohnt die Scheitelform: f(x)=a(x−3)2−4f(x) = a(x - 3)^2 - 4, zwei der drei Informationen stecken damit schon im Ansatz.

  2. 2

    a aus dem Zusatzpunkt bestimmen

    Punkt (1∣0)(1 \mid 0) einsetzen: 0=a(1−3)2−4=4a−4⇒a=10 = a(1-3)^2 - 4 = 4a - 4 \Rightarrow a = 1.

    a⋅(−2)2−4=0⇒a=1a \cdot (-2)^2 - 4 = 0 \Rightarrow a = 1

    Zwischenergebnis

    a=1a = 1

  3. 3

    In die Normalform umrechnen

    f(x)=(x−3)2−4=x2−6x+9−4=x2−6x+5f(x) = (x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5.

    (x−3)2−4=x2−6x+5(x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 5

Übung 3

schwer

Eine Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung, hat bei x=2x = 2 einen und dort die −3-3; außerdem ist f(4)=0f(4) = 0. Bestimme f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

Tipp anzeigen

Vier Bedingungen: f(0)=0f(0)=0, f′′(2)=0f''(2)=0, f′(2)=−3f'(2)=-3, f(4)=0f(4)=0.

Lösung anzeigen

f(0)=0⇒d=0f(0) = 0 \Rightarrow d = 0.

f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b: f′′(2)=12a+2b=0⇒b=−6af''(2) = 12a + 2b = 0 \Rightarrow b = -6a.

f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c: f′(2)=12a+4b+c=−3f'(2) = 12a + 4b + c = -3. Mit b=−6ab = -6a: 12a−24a+c=−3⇒c=12a−312a - 24a + c = -3 \Rightarrow c = 12a - 3.

f(4)=64a+16b+4c=0f(4) = 64a + 16b + 4c = 0. Einsetzen: 64a−96a+4(12a−3)=0⇒64a−96a+48a−12=0⇒16a=12⇒a=3464a - 96a + 4(12a-3) = 0 \Rightarrow 64a - 96a + 48a - 12 = 0 \Rightarrow 16a = 12 \Rightarrow a = \frac{3}{4}.

Dann b=−92b = -\frac{9}{2}, c=6c = 6. f(x)=34x3−92x2+6xf(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Vier Bedingungen sammeln und sofort ernten

    Ansatz f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (4 Parameter → 4 Bedingungen nötig). Ursprung: f(0)=0⇒d=0f(0) = 0 \Rightarrow d = 0, die erste Bedingung löst sich von selbst.

  2. 2

    Wendepunkt- und Steigungsbedingung einarbeiten

    f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b: f′′(2)=12a+2b=0⇒b=−6af''(2) = 12a + 2b = 0 \Rightarrow b = -6a. f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c: f′(2)=12a+4b+c=−3f'(2) = 12a + 4b + c = -3; mit b=−6ab = -6a: 12a−24a+c=−3⇒c=12a−312a - 24a + c = -3 \Rightarrow c = 12a - 3.

    12a+2b=0,12a+4b+c=−312a + 2b = 0, \quad 12a + 4b + c = -3

  3. 3

    Letzte Bedingung: a bestimmen, alles auflösen

    f(4)=64a+16b+4c=0f(4) = 64a + 16b + 4c = 0; mit b=−6ab = -6a, c=12a−3c = 12a - 3: 64a−96a+48a−12=0⇒16a=12⇒a=3464a - 96a + 48a - 12 = 0 \Rightarrow 16a = 12 \Rightarrow a = \frac{3}{4}. Dann b=−92b = -\frac{9}{2}, c=6c = 6: f(x)=34x3−92x2+6xf(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x.

    64a−96a+48a=12⇒a=3464a - 96a + 48a = 12 \Rightarrow a = \tfrac{3}{4}

    Zwischenergebnis

    f(x)=34x3−92x2+6xf(x) = \tfrac{3}{4}x^3 - \tfrac{9}{2}x^2 + 6x

Zusammenfassung

Steckbriefaufgaben rekonstruieren Funktionen aus Eigenschaften: Jede Eigenschaft wird zur , ein Grad-nn-Polynom braucht n+1n+1 davon. Achtung: Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkte liefern je mehrere Bedingungen. Symmetrie vereinfacht den Ansatz, und die Probe sichert das Ergebnis. Das ist Modellieren in Reinform: von der Wunsch-Eigenschaft zur Formel.