Lineare Funktionen

Ein Handytarif kostet 5 € Grundgebühr plus 2 € pro Gigabyte. Wie teuer wird der Monat? Solche Zusammenhänge mit einem festen Startwert und einer konstanten Änderung beschreibt man mit linearen Funktionen, ihre Graphen sind Geraden.

Eine lineare Funktion hat die Form

• $m$ ist der Anstieg (auch Steigung): Er gibt an, um wie viel $y$ wächst, wenn $x$ um $1$ größer wird.
• $n$ ist der y-Achsenabschnitt: Dort schneidet die Gerade die $y$-Achse, im Punkt $(0 \mid n)$.

Andere Bücher, andere Buchstaben: Für den y-Achsenabschnitt findest du auch $b$ oder $t$, die Gleichung steht dann als $y = mx + b$ da. Gemeint ist immer dasselbe, die Zahl ohne $x$. Lass dich davon nicht verwirren; entscheidend ist die Rolle, nicht der Buchstabe.

Der Anstieg $m$ sagt, wie steil die Gerade ist: Gehst du einen Schritt nach rechts, geht es um $m$ nach oben. So weit die Idee, nur lässt sich dieser eine Schritt in einer Zeichnung selten sauber ablesen.

Deshalb nimmst du zwei beliebige Punkte der Geraden, $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$, und schaust dir an, was sich zwischen ihnen ändert:

• waagerecht: $\;\Delta x = x_2 - x_1$ (Schritte nach rechts)
• senkrecht: $\;\Delta y = y_2 - y_1$ (Anstieg nach oben)

Diese beiden Strecken bilden das Steigungsdreieck im Bild unten.

Wie kommt man daraus an $m$? Bei jedem einzelnen Schritt nach rechts geht es um $m$ nach oben. Bei $\Delta x$ Schritten geht es also $\Delta x$-mal so viel nach oben:

Und das ist bereits eine Gleichung, die du nach $m$ umstellen kannst, teile beide Seiten durch $\Delta x$:

Oben und unten steht jeweils eine Differenz, und das Ganze ist ein Quotient. Genau deshalb heißt dieser Bruch Differenzenquotient. Er misst, wie stark sich $y$ im Vergleich zu $x$ ändert.

Das Vorzeichen verrät die Richtung: $m > 0$ → die Gerade steigt · $m < 0$ → sie fällt · $m = 0$ → sie verläuft waagerecht.

Zwei Kontrollen, die dich vor Fehlern schützen:

1. Es ist egal, welche zwei Punkte du wählst, bei einer Geraden kommt immer dasselbe $m$ heraus. Genau das macht sie zu einer Geraden.
2. Die Reihenfolge muss oben und unten dieselbe sein: Beginnst du im Zähler mit $y_2$, musst du im Nenner mit $x_2$ beginnen. Vertauschst du es nur an einer Stelle, bekommst du das falsche Vorzeichen.

Ein Ausblick: Der Differenzenquotient begleitet dich bis in die Oberstufe. Dort beschreibt er als mittlere Änderungsrate zum Beispiel die Durchschnittsgeschwindigkeit, und aus ihm entsteht später die Ableitung.

Die Nullstelle ist der $x$-Wert, bei dem der Graph die $x$-Achse schneidet, also $f(x) = 0$:

Bisher war die Gleichung gegeben und du hast den Graphen gezeichnet. In der Praxis ist es meistens andersherum: Du hast ein paar Messwerte und suchst die Funktion dahinter.

Ein Handytarif kostet bei $1\,\text{GB}$ Datenvolumen $7$ € und bei $4\,\text{GB}$ genau $13$ €. Wie lautet die Tarifformel?

Als Punkte geschrieben: $P(1 \mid 7)$ und $Q(4 \mid 13)$. Gesucht sind die beiden Zahlen $m$ und $n$ in $f(x) = m \cdot x + n$.

Schritt 1: Den Anstieg berechnen

Für $m$ hast du bereits ein Werkzeug, den Differenzenquotienten:

Jedes zusätzliche Gigabyte kostet also $2$ €. Damit steht schon die halbe Gleichung: $f(x) = 2x + n$.

Schritt 2: Den y-Achsenabschnitt bestimmen

Jetzt fehlt noch $n$. Hier kommt der Gedanke, auf den es ankommt:

Ein Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Das ist keine neue Regel, sondern die Bedeutung des Funktionsgraphen: Er besteht aus allen Punkten $(x \mid f(x))$. Wenn $P(1 \mid 7)$ auf der Geraden liegt, muss also $f(1) = 7$ gelten. Und das darfst du einsetzen:

Die Grundgebühr beträgt $5$ €, die Funktionsgleichung lautet:

Probe mit dem zweiten Punkt: $f(4) = 2 \cdot 4 + 5 = 13$ ✓, der Punkt $Q$ passt ebenfalls. Diese Probe solltest du immer machen, denn sie prüft beide Schritte auf einmal.

Der kürzere Fall: Punkt und Anstieg gegeben

Ist der Anstieg schon bekannt (z. B. „pro Kilometer $1{,}50$ €") und nur ein Punkt gegeben, entfällt Schritt 1: du setzt den Punkt sofort ein und rechnest $n$ aus.

Warum reichen genau zwei Angaben? Weil eine Gerade durch genau zwei Zahlen festgelegt ist: $m$ und $n$. Für zwei Unbekannte brauchst du zwei Informationen, zwei Punkte, oder einen Punkt und den Anstieg. Mit nur einem Punkt gäbe es unendlich viele Geraden hindurch.

Zeichne zwei Geraden in dasselbe Koordinatensystem. Wie viele Punkte können sie gemeinsam haben? Denk kurz selbst darüber nach. Es gibt nur drei Möglichkeiten: keinen, genau einen oder alle.

Das Schöne ist: Du musst nichts zeichnen, um zu wissen, welcher Fall vorliegt. Es genügt, $m$ und $n$ der beiden Geraden zu vergleichen.

Gleicher Anstieg → parallel

Zwei Geraden mit demselben $m$ sind gleich steil. Sie steigen überall gleich stark an, kommen sich also nie näher und entfernen sich nie, sie treffen sich nie. Man nennt sie parallel und schreibt $g \parallel h$.

Im Bild unten sind $g$ und $h$ parallel: beide haben $m = \tfrac{1}{2}$, aber verschiedene $n$. Deshalb liegt die eine überall um denselben Betrag unter der anderen.

Gleicher Anstieg und gleiches $n$ → identisch

Stimmen beide Zahlen überein, sind es gar nicht zwei Geraden, sondern zweimal dieselbe. Dann haben sie alle Punkte gemeinsam.

Verschiedener Anstieg → genau ein Schnittpunkt

Sind die Anstiege verschieden, ist eine Gerade steiler als die andere. Dann muss sie die andere irgendwo einholen und überholen, und zwar genau einmal.

Den Schnittpunkt findest du, indem du fragst: Wo haben beide denselben $y$-Wert? Das heißt, du setzt die Funktionsterme gleich:

Daraus wird eine lineare Gleichung, wie du sie längst lösen kannst. Der gefundene $x$-Wert in eine der beiden Gleichungen eingesetzt liefert den $y$-Wert.

Der Sonderfall: senkrecht zueinander

Zwei Geraden können sich auch im rechten Winkel schneiden, sie heißen dann orthogonal, $g \perp k$. Dafür gibt es eine überraschend kurze Bedingung:

Woher kommt diese $-1$? Schau dir das Steigungsdreieck von $g$ an: $\Delta x$ nach rechts, $\Delta y$ nach oben, also $m_1 = \frac{\Delta y}{\Delta x}$. Drehst du dieses Dreieck um $90°$, steht es senkrecht auf dem alten, und dabei tauschen die beiden Katheten ihre Rollen: Der Weg nach rechts ist jetzt $\Delta y$ lang, und statt nach oben geht es um $\Delta x$ nach unten. Der Anstieg der gedrehten Geraden ist deshalb

Multiplizierst du beide Anstiege, kürzt sich alles weg:

Praktisch heißt das: Kehrwert bilden und Vorzeichen umdrehen. Zu $m_1 = \tfrac{1}{2}$ gehört $m_2 = -2$, genau die Gerade $k$ im Bild.