Terme, Zahlenfolgen und einfache Gleichungen

„Denke dir eine Zahl, verdopple sie und zähle 3 dazu…": Zaubertricks mit Zahlen funktionieren, weil man mit Platzhaltern rechnen kann, ohne die Zahl zu kennen. Solche Platzhalter heißen Variablen, die Rechenausdrücke damit Terme. In diesem Kapitel machst du deine ersten Schritte in die Welt der Algebra, und lernst, Gleichungen durch cleveres Überlegen zu knacken.

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, meistens ein kleiner Buchstabe wie $x$, $n$ oder $a$. Du benutzt sie, wenn du mit einer Zahl rechnen willst, ohne sie schon zu kennen (genau wie beim Zaubertrick aus der Einführung).

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen:

Wozu überhaupt Buchstaben?

Buchstaben in der Mathematik wirken beim ersten Mal befremdlich. Sie lösen aber ein echtes Problem.

Stell dir vor, du sollst die Regel für den Umfang eines Rechtecks aufschreiben, und zwar für jedes Rechteck. Ohne Variablen müsstest du unendlich viele Fälle notieren:

„Bei den Seiten $3$ und $5$ rechne $2 \cdot (3+5)$. Bei $7$ und $2$ rechne $2 \cdot (7+2)$. Bei …"

Mit Platzhaltern schrumpft das auf eine einzige Zeile:

Das ist der ganze Zweck: Eine Variable erlaubt es, eine Regel ein einziges Mal aufzuschreiben, obwohl sie für alle Zahlen gilt. Genau deshalb sehen alle Formeln, die du bisher kennengelernt hast, so aus.

Der zweite Zweck ist der aus dem Zaubertrick: Du kannst mit einer Zahl rechnen, die du (noch) nicht kennst.

Kurzschreibweise: das Malzeichen darf weg

Zwischen einer Zahl und einer Variablen lässt man das Malzeichen weg: $3 \cdot x$ schreibst du kurz $3x$. Gemeint ist trotzdem „mal".

Warum geht das nur bei Buchstaben? Weil bei zwei Zahlen ein Missverständnis entstünde: Schriebe man $3 \cdot 4$ als „$34$", wäre daraus die Zahl Vierunddreißig geworden, etwas ganz anderes als $12$. Ein Buchstabe kann dagegen nicht mit einer Ziffer verschmelzen, deshalb bleibt $3x$ eindeutig.

Setzt du für die Variable eine Zahl ein, bekommt der Term einen Wert. Für $x = 5$ hat $3x + 2$ den Wert $3 \cdot 5 + 2 = 17$ (Punkt vor Strich!).

Tipp fürs Einsetzen: Schreibe das Malzeichen wieder hin und setze die Zahl in Klammern, $3x$ wird zu $3 \cdot (5)$. Dann passiert dir der häufigste Fehler nicht, aus $3x$ mit $x=5$ die Zahl „$35$" zu machen.

Vom Text zum Term

Viele Sachsituationen lassen sich in einen Term übersetzen. Achte auf die Signalwörter:

Zahlenfolgen: das Muster finden

Eine Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen, die nach einem festen Bildungsgesetz gebaut ist. Um es zu finden, schaust du dir die Sprünge zwischen den Nachbarn an:

• $4, 7, 10, 13, \ldots$ → immer $+3$
• $2, 6, 18, 54, \ldots$ → immer $\cdot\, 3$
• $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ → die Quadratzahlen $n^2$

Die Leitfrage ist immer dieselbe: Wird von Zahl zu Zahl addiert oder multipliziert?

So gehst du sicher vor

1. Sprünge notieren. Schreibe unter die Folge, wie du von einer Zahl zur nächsten kommst.
2. Sind alle Sprünge gleich? Dann hast du das Gesetz: immer $+$ derselben Zahl.
3. Wenn nicht: Multiplikation testen. Teile jede Zahl durch ihren Vorgänger. Kommt immer dasselbe heraus, wird multipliziert.
4. Wenn auch das nicht passt: Schau, ob die Sprünge selbst ein Muster bilden (bei $1, 4, 9, 16$ wachsen sie um $+3, +5, +7$. Es sind die Quadratzahlen).

Der wichtigste Punkt: an allen Nachbarn prüfen

Ein vermutetes Gesetz musst du an jedem gegebenen Paar nachprüfen, nicht nur am ersten.

Bei $1, 4, 9, 16$ verführt der erste Sprung $+3$ dazu, mit $19$ weiterzumachen. Der zweite Sprung ist aber $+5$, die Vermutung war falsch.

Ein Muster gilt erst dann, wenn es überall passt. Diese eine Gewohnheit rettet dich vor den meisten Fehlern bei Zahlenfolgen.

Eine Gleichung behauptet, dass zwei Terme gleich sind, zum Beispiel $x + 17 = 42$. Das Gleichheitszeichen ist dabei wie der Zeiger einer Waage: Was links steht, ist genau so viel wert wie das, was rechts steht.

Schau dir das Bild unten an: Auf der linken Waagschale liegt $x + 17$, auf der rechten $42$, und die Waage ist im Gleichgewicht. Genau diese Gleichheit musst du beim Lösen erhalten.

Eine Lösung der Gleichung ist jede Zahl, die für $x$ eingesetzt eine wahre Aussage ergibt, also die Waage im Gleichgewicht hält.

In Klasse 5 knackst du Gleichungen mit zwei Strategien.

1. Umkehraufgabe, rückwärts denken

Frag dich: „Welche Zahl plus 17 ergibt 42?" Das Gegenteil von „plus 17" ist „minus 17":

Warum darf man das?

Stell dir vor, du gehst einen Weg: Du startest bei $x$ und gehst $17$ Schritte vorwärts, dann stehst du bei $42$.

Um zurück zum Start zu kommen, gehst du dieselben $17$ Schritte rückwärts. Und das heißt: von $42$ aus $17$ abziehen.

Genau das ist die Umkehraufgabe. Jede Rechenart hat so einen Rückweg:

Deshalb löst du $7x = 91$ mit einer Division: Der Hinweg war „mal $7$", der Rückweg ist „geteilt durch $7$".

2. Systematisch probieren

Setze Werte ein und grenze ein, besonders praktisch bei Ungleichungen wie $4x < 30$: Für $x = 7$ ist $28 < 30$ ✓, für $x = 8$ ist $32 < 30$ ✗. Die Lösungen (in den natürlichen Zahlen) sind also $x \in \{0, 1, \ldots, 7\}$.

Probiere dabei nicht wahllos. Fang mit einer groben Schätzung an und schau, in welche Richtung du danebenliegst, zu klein oder zu groß? Dann korrigierst du gezielt, statt alle Zahlen durchzugehen.

Die Probe gehört immer dazu

Setze deine Lösung ein und prüfe, ob die Waage wirklich im Gleichgewicht bleibt:

Warum ist das keine Fleißaufgabe? Weil die Probe direkt die Frage der Aufgabe beantwortet: Eine Lösung ist ja definiert als eine Zahl, die eingesetzt eine wahre Aussage ergibt. Ohne Probe hast du eine Zahl ausgerechnet, mit Probe weißt du, dass sie stimmt.

Und sie kostet fast nichts: Einsetzen und einmal nachrechnen dauert zehn Sekunden.