Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Funktionen

Funktionen untersuchen: Eigenschaften und Transformationen

Der Funktionen-Steckbrief: Definitionsbereich, Symmetrie, Monotonie, Asymptoten.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Lineare, quadratische, -, Exponential- und Sinusfunktionen, dein Funktionen-Zoo ist ordentlich gewachsen! Zeit für den Rundgang mit System: Jede Funktion bekommt einen Steckbrief mit Definitionsbereich, Symmetrie, Monotonie und Grenzverhalten. Genau dieses Untersuchen wird in der Oberstufe zum täglichen Handwerk, hier legst du das Fundament.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion angeben.

  • Symmetrie rechnerisch prüfen (f(−x)f(-x)-Test).

  • Monotonie und Verhalten an den Rändern (Asymptoten) beschreiben.

  • Transformationen (verschieben, strecken, spiegeln) auf alle Funktionstypen anwenden.

  • die Idee der Umkehrfunktion an einfachen Beispielen nutzen.

Der Funktionen-Steckbrief: immer dieselben sechs Fragen

Du hast inzwischen viele Funktionstypen kennengelernt, lineare, quadratische, -, Exponential- und trigonometrische Funktionen. Auf den ersten Blick hat jede ihre eigenen Regeln.

Tatsächlich untersucht man sie aber alle mit denselben Fragen. Dieser Abschnitt sammelt sie zu einem festen Fahrplan. Wenn dir in einer Klassenarbeit eine unbekannte Funktion begegnet, arbeitest du ihn einfach ab.

Frage 1: Welche xx darf ich einsetzen? (Definitionsbereich DD)

Die meisten Funktionen erlauben alle Zahlen. Es gibt aber zwei Verbote, die du aus den letzten Jahren kennst:

  • Division durch null ist nicht definiert → bei f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} muss x≠0x \neq 0 sein.
  • aus negativen Zahlen gibt es nicht → bei f(x)=xf(x) = \sqrt{x} muss x≥0x \geq 0 sein.

Suche also gezielt nach mit xx im und nach Wurzeln, sonst ist D=RD = \mathbb{R}.

Frage 2: Welche yy kommen heraus? (Wertebereich WW)

Hier hilft die Bauart der Funktion: x2x^2 kann nie negativ werden, also W=[0;∞)W = [0; \infty). Der bleibt auf dem Einheitskreis gefangen, also W=[−1;1]W = [-1; 1]. Bei einer entscheidet der Scheitel, ab wo die Werte liegen.

Frage 3: Wo schneidet der Graph die Achsen?

Zwei Punkte, die du längst berechnen kannst. Sie gehören trotzdem in jeden Steckbrief:

  • Nullstellen: Setze f(x)=0f(x) = 0 und löse, je nach Funktionstyp mit dem passenden Werkzeug aus den letzten Kapiteln (, p-q-Formel, ).
  • yy-Achsenabschnitt: Rechne einfach f(0)f(0) aus. Dort schneidet der Graph die yy-Achse.

Neu ist hier nichts; neu ist nur, dass beides jetzt eine feste Station des Fahrplans ist. Und denk daran: Eine Funktion kann auch keine Nullstelle haben, 1x\frac{1}{x} etwa wird nie null, weil der fest 11 ist.

Frage 4: Ist der Graph symmetrisch? (der f(−x)f(-x)-Test)

Statt zu zeichnen, setzt du einfach −x-x ein und vergleichst mit f(x)f(x):

f(−x)=f(x)  ⇒  achsensymmetrisch zur y-Achsef(-x) = f(x) \;\Rightarrow\; \textbf{achsensymmetrisch zur } y\textbf{-Achse} f(−x)=−f(x)  ⇒  punktsymmetrisch zum Ursprungf(-x) = -f(x) \;\Rightarrow\; \textbf{punktsymmetrisch zum Ursprung}

Warum funktioniert das? f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) bedeutet wörtlich: Links und rechts von der yy-Achse liegen dieselben Werte, der Graph ist gespiegelt. Bei f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ist der Wert links genau das Negative des Werts rechts, der Graph ist am Ursprung gedreht.

Das kennst du von den : gerade Exponenten waren achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch. Jetzt hast du den Test dafür.

Frage 5: Wo steigt und wo fällt er? (Monotonie)

Steigt der Graph auf einem Abschnitt durchgehend an, heißt er dort streng monoton steigend; fällt er, streng monoton fallend. Die Stellen, an denen er die Richtung wechselt, sind besonders interessant, bei der Parabel ist das der Scheitel. Ab Klasse 11 wirst du diese Stellen mit der Ableitung berechnen; hier liest du sie noch am Graphen ab.

Frage 6: Was passiert ganz außen? (Randverhalten)

Wohin läuft die Kurve für sehr große und sehr kleine xx? Nähert sie sich dabei einer Geraden an, ohne sie zu erreichen, heißt diese Gerade Asymptote, bei 1x\frac{1}{x} sind das beide Achsen, bei der die xx-Achse.

Das Bild unten zeigt die beiden Symmetriearten im Vergleich.

Symmetrie

xy-2-112-6-4-224x²x³

Der f(−x)f(-x)-Test wird sichtbar: x2x^2 (grün) ist achsensymmetrisch zur y-Achse (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)), x3x^3 (blau) punktsymmetrisch zum Ursprung (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)).

Der Transformations-Baukasten, eine Regel für alle Funktionen

Bei der hast du gelernt, wie dd, ee und aa den Graphen verschieben und strecken. Jetzt kommt die gute Nachricht: Diese Regeln gelten für jede Funktion, für sin⁡x\sin x genauso wie für 2x2^x oder 1x\frac{1}{x}. Du musst sie also nur einmal verstehen.

Der Grund dafür ist einfach: Die Regeln hängen nicht davon ab, welche Funktion in der Mitte steht. Sie beschreiben nur, was vor oder nach ihr passiert.

Die entscheidende Unterscheidung: außen oder innen

Änderungen außen (nach der Funktion) wirken auf das Ergebnis, also in yy-Richtung, und zwar genau so, wie man es erwartet:

  • f(x)+ef(x) + e → verschiebt um ee nach oben (bei e>0e > 0).
  • a⋅f(x)a \cdot f(x) → streckt in yy-Richtung; bei a<0a < 0 wird an der xx-Achse gespiegelt.

Änderungen innen (am xx, bevor die Funktion rechnet) wirken in xx-Richtung, und dort umgekehrt zur Erwartung:

  • f(x−d)f(x - d) → verschiebt um dd nach rechts (obwohl da ein Minus steht).
  • f(b⋅x)f(b \cdot x) → staucht in xx-Richtung bei b>1b > 1 (obwohl man Streckung erwartet).

Warum innen alles umgekehrt wirkt

Das ist derselbe Gedanke wie bei der Parabel, und er lohnt sich, weil er die Verwirrung ein für alle Mal auflöst.

Damit f(x−3)f(x-3) denselben Wert liefert wie ff an der Stelle 00, muss der Klammerinhalt null sein, also x=3x = 3. Der Punkt, der vorher bei 00 lag, liegt jetzt bei 33. Er ist nach rechts gewandert. Jedes xx muss um 33 größer sein, um dasselbe zu bewirken.

Genauso bei f(2x)f(2x): Der Klammerinhalt erreicht den Wert 2π2\pi schon bei x=πx = \pi. Alles passiert früher, die Kurve wird zusammengedrückt.

Der Baukasten auf einen Blick

Neue FunktionwirktWirkung
f(x)+ef(x) + eaußennach oben/unten schieben
a⋅f(x)a \cdot f(x)außenstrecken (∣a∣>1\lvert a\rvert>1) / stauchen; a<0a<0 spiegeln
f(x−d)f(x - d)innennach rechts schieben (d>0d>0)
f(b⋅x)f(b \cdot x)innenstauchen (b>1b>1) / strecken

Die Merkregel in einem Satz: Außen wirkt normal, innen wirkt umgekehrt.

Die Umkehrfunktion: den Pfeil umdrehen

Eine Funktion ordnet jedem xx ein yy zu. Die Umkehrfunktion f−1f^{-1} dreht diesen Pfeil um: Sie ordnet dem yy das zugehörige xx zu.

Das brauchst du ständig, immer dann, wenn das Ergebnis bekannt ist und der Ausgangswert gesucht wird. Genau das war schon in den letzten Kapiteln der Fall:

FunktionUmkehrfunktionRückfrage
Quadrieren x2x^2 x\sqrt{x}„Welche Zahl war es?"
10x10^xlog⁡(x)\log(x)„Welcher Exponent war es?"
sin⁡(x)\sin(x)sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x)„Welcher war es?"

Wie man sie berechnet

Zwei Schritte, immer gleich, am Beispiel y=2x+3y = 2x + 3:

1. Nach xx auflösen (das ist Gleichungsumstellen wie in Klasse 7):

y=2x+3∣  −3y−3=2x∣  :2x=y−32\begin{aligned} y &= 2x + 3 &&|\; -3 \\ y - 3 &= 2x &&|\; : 2 \\ x &= \frac{y-3}{2} \end{aligned}

2. xx und yy vertauschen, weil man die unabhängige üblicherweise xx nennt:

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}

Probe: Setze ein Ergebnis der ersten Funktion in die zweite ein. f(4)=11f(4) = 11, und f−1(11)=11−32=4f^{-1}(11) = \frac{11-3}{2} = 4 ✓ Die Umkehrfunktion führt zurück zum Ausgangswert.

Warum die Spiegelung an y=xy = x funktioniert

Im Bild unten siehst du: Der Graph von f−1f^{-1} entsteht durch Spiegelung an der y=xy = x.

Das ist kein Zufall, sondern genau der zweite Schritt oben: xx und yy vertauschen bedeutet geometrisch, dass aus dem Punkt (4∣11)(4 \mid 11) der Punkt (11∣4)(11 \mid 4) wird, und das ist die Spiegelung an dieser Geraden.

Wann eine Funktion umkehrbar ist

Nicht jede Funktion lässt sich umkehren. Bei f(x)=x2f(x) = x^2 liefern +3+3 und −3-3 beide den Wert 99, die Rückfrage „welche Zahl war es?" hat zwei Antworten, und eine Funktion darf nur eine liefern.

Umkehrbar ist eine Funktion deshalb nur dort, wo sie streng monoton ist, also durchgehend steigt oder durchgehend fällt. Bei x2x^2 schränkt man deswegen auf x≥0x \geq 0 ein, und genau deshalb ist x\sqrt{x} nur für nichtnegative Zahlen definiert und liefert nur nichtnegative Werte. Diese Einschränkung aus Klasse 9 hat hier ihren tieferen Grund.

Umkehrfunktion

xy-1123456-2246f⁻¹y = x

Die Umkehrfunktion f−1f^{-1} macht die rückgängig (hier f:2x+3→f−1:x−32f: 2x+3 \to f^{-1}: \tfrac{x-3}{2}). Ihr Graph ist die Spiegelung an der y=xy = x.

Prüfe dich: Warum hat f(x) = x hoch 2 auf ganz R keine Umkehrfunktion, f(x) = x hoch 3 aber schon, und was hat die Wurzel-Einschränkung aus Klasse 9 damit zu tun?

Versuch es erst aus dem Kopf, das Kriterium steht am Ende des Umkehrfunktions-Abschnitts.

Bei x2x^2 scheitert die Rückfrage. (+3)2(+3)^2 und (−3)2(-3)^2 ergeben beide 99, die Frage „welche Zahl war es?" hat zwei Antworten, und eine Funktion darf nur eine liefern. Am Graphen sieht man den Grund: Die fällt erst und steigt dann, sie ist nicht durchgehend monoton, und deshalb kommt fast jeder Wert zweimal vor.

Bei x3x^3 klappt es. Die Funktion ist auf ganz R\mathbb{R} streng monoton steigend, auch links der Null: (−2)3=−8(-2)^3 = -8 liegt unter (−1)3=−1(-1)^3 = -1. Jeder Wert kommt genau einmal vor, die Rückfrage hat immer genau eine Antwort. Die Umkehrfunktion ist die dritte , und sie funktioniert sogar für negative Zahlen: −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2.

Und hier schließt sich der zu Klasse 9: Damit x2x^2 doch umkehrbar wird, schränkt man auf x≥0x \geq 0 ein, den steigenden Ast der Parabel. Genau deshalb ist x\sqrt{x} nur für nichtnegative Zahlen definiert und liefert nur nichtnegative Ergebnisse: Die Wurzel ist die Umkehrung des halben, monoton gemachten . Die Regel „25=5\sqrt{25} = 5, nicht ±5\pm 5" ist also keine Willkür der Lehrbücher, sondern der Preis dafür, dass die Wurzel eine Funktion sein darf.

Der Merksatz: Umkehrbar ist eine Funktion genau dort, wo sie streng monoton ist. Dann trifft jede Rückfrage genau eine Antwort.

Steckbrief der Hyperbel

Erstelle den vollständigen Steckbrief von f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.

  1. 1

    Was ein Steckbrief verlangt. Wir gehen die Standardfragen des Fahrplans der Reihe nach durch: Definitionsbereich, Wertebereich, Achsenschnittpunkte, Symmetrie, Monotonie und Randverhalten. Bei jeder Frage lohnt sich ein Blick auf die Bauart der Funktion, hier ein mit xx im .

    (Die Achsenschnittpunkte sind bei dieser Funktion schnell erledigt: Der Bruch 1x\frac{1}{x} wird nie null, der ist fest 11, es gibt also keine Nullstelle. Und f(0)f(0) existiert nicht, weil 00 gar nicht eingesetzt werden darf: auch kein yy-Achsenabschnitt. Warum beides so ist, zeigt sich gleich noch einmal bei Wertebereich und Definitionsbereich.)

  2. 2

    1. Definitionsbereich: Welche xx sind erlaubt?

    Ein Bruch mit xx im Nenner ist das Warnsignal: Durch null darf man nicht teilen. Also ist x=0x = 0 verboten:

    D=R∖{0}D = \mathbb{R} \setminus \{0\}

    Gelesen: „alle außer null". Das ist der einzige verbotene Wert, jede andere Zahl, auch negative, darf eingesetzt werden.

  3. 3

    2. Wertebereich: Welche yy kommen heraus?

    Kann der Bruch 1x\frac{1}{x} jemals null werden? Dafür müsste der Zähler null sein. Der ist aber fest 11. Also wird y=0y = 0 nie erreicht:

    W=R∖{0}W = \mathbb{R} \setminus \{0\}

    Alle anderen Werte kommen vor: Für große xx wird yy winzig klein, für xx nahe null wird yy riesig.

  4. 4

    3. Symmetrie: der f(−x)f(-x)-Test.

    Setze −x-x ein und vergleiche mit f(x)f(x):

    f(−x)=1−x=−1x=−f(x)f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)

    Es kommt das Negative der Funktion heraus. Das ist die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung.

    Was das anschaulich heißt: Dreht man den Graphen um 180°180° um den Ursprung, liegt er wieder auf sich selbst. Der Ast links unten ist das gedrehte Gegenstück zum Ast rechts oben.

  5. 5

    4. Monotonie: Wo steigt, wo fällt der Graph?

    Setze ein paar Werte ein: f(1)=1f(1) = 1, f(2)=0,5f(2) = 0{,}5, f(4)=0,25f(4) = 0{,}25. Je größer xx, desto kleiner yy, die Funktion fällt auf der rechten Seite.

    Links dasselbe: f(−4)=−0,25f(-4) = -0{,}25, f(−2)=−0,5f(-2) = -0{,}5, f(−1)=−1f(-1) = -1. Auch hier werden die Werte kleiner.

    Aber Achtung, eine typische Fehlaussage: Die Funktion fällt nicht auf ganz R\mathbb{R}! Zwischen den beiden Ästen springt sie von −∞-\infty nach +∞+\infty. Richtig formuliert: Sie fällt auf (−∞;0)(-\infty; 0) und auf (0;∞)(0; \infty), jeweils getrennt.

  6. 6

    5. Randverhalten: Was passiert außen und an der Lücke?

    • Für x→±∞x \to \pm\infty wird der Bruch immer kleiner und nähert sich der xx-Achse an, ohne sie zu erreichen.
    • Für xx nahe null wird der Bruch betragsmäßig riesig, der Graph schmiegt sich an die yy-Achse.

    Beide Achsen sind also Asymptoten. Die Kurve heißt Hyperbel.

D=W=R∖{0}D = W = \mathbb{R}\setminus\{0\} · punktsymmetrisch zum Ursprung · auf beiden Ästen fallend · beide Achsen als Asymptoten, der Graph ist eine Hyperbel.

Das Vorgehen ist bei jeder Funktion gleich: fünf Fragen abarbeiten und dabei immer zuerst auf die Bauart schauen (Bruch? ? ?), denn sie verrät die Besonderheiten.

Transformationskette

Beschreibe, wie der Graph von g(x)=−2x+3g(x) = -2^{x} + 3 aus f(x)=2xf(x) = 2^x entsteht, und gib seine Asymptote an.

  1. 1

    Zuerst: was ist die Ausgangsfunktion? f(x)=2xf(x) = 2^x ist eine . Ihr Graph steigt, verläuft komplett oberhalb der xx-Achse und nähert sich ihr für kleine xx an, die xx-Achse (y=0y = 0) ist ihre Asymptote.

    Diese Eigenschaften sind der Ausgangspunkt; die beiden Änderungen wenden wir nacheinander darauf an.

  2. 2

    Die beiden Änderungen erkennen. Vergleiche −2x+3-2^x + 3 mit 2x2^x:

    • ein Minuszeichen vor der ,
    • ein +3+3 dahinter.

    Beide stehen außen (nicht im Exponenten), wirken also in yy-Richtung, und dort wie erwartet, ohne Umkehrung.

    Wichtig zur Schreibweise: −2x-2^x bedeutet −(2x)-(2^x), also „erst potenzieren, dann Vorzeichen umdrehen". Es bedeutet nicht (−2)x(-2)^x, das wäre eine ganz andere (und für viele xx gar nicht definierte) Funktion.

  3. 3

    Schritt 1: Das Minus spiegelt an der xx-Achse.

    Jeder Funktionswert wechselt das Vorzeichen. Aus 21=22^1 = 2 wird −2-2, aus 20=12^0 = 1 wird −1-1.

    Damit klappt der gesamte Graph nach unten: Er verläuft jetzt unterhalb der xx-Achse und fällt, statt zu steigen.

  4. 4

    Schritt 2: Das +3+3 verschiebt nach oben.

    Zu jedem Wert kommen 33 dazu, der ganze Graph wandert um 33 nach oben.

    Und das Entscheidende: Die Asymptote wandert mit. Nach der Spiegelung lag sie noch bei y=0y = 0; jetzt liegt sie bei

    y=3y = 3
  5. 5

    Das Ergebnis beschreiben. Setze ein paar Werte ein, um es zu prüfen:

    g(0)=−1+3=2g(1)=−2+3=1g(3)=−8+3=−5g(0) = -1 + 3 = 2 \qquad g(1) = -2 + 3 = 1 \qquad g(3) = -8 + 3 = -5

    Der Graph kommt für kleine xx von knapp unter y=3y = 3 herunter und stürzt für große xx immer schneller ab. Er ist streng monoton fallend.

    Wertebereich: Weil 2x2^x immer positiv ist, ist −2x-2^x immer negativ. Es wird also immer etwas von der 33 abgezogen. Der Wert 33 wird nie erreicht:

    W=(−∞; 3)W = (-\infty;\, 3)

Der Graph entsteht durch Spiegelung an der xx-Achse und anschließendes Verschieben um 33 nach oben. Asymptote: y=3y = 3, streng fallend, W=(−∞; 3)W = (-\infty;\,3).

Merke: Eine waagerechte Asymptote macht jede senkrechte Verschiebung mit. Sie liegt am Ende genau dort, wohin der konstante Summand sie schiebt.

Umkehrfunktion bestimmen

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 und prüfe dein Ergebnis an einem Beispiel.

  1. 1

    Was soll herauskommen? Die Umkehrfunktion dreht die um: ff macht aus 55 die Zahl 1313, also muss f−1f^{-1} aus 1313 wieder 55 machen.

    Das Verfahren dafür hat zwei Schritte: nach xx auflösen, dann xx und yy vertauschen.

  2. 2

    Schritt 1: nach xx auflösen. Schreibe die Funktion als Gleichung und stelle sie um, genau wie beim Formelumstellen in Klasse 7:

    y=2x+3∣  −3y−3=2x∣  :2y−32=x\begin{aligned} y &= 2x + 3 &&|\; -3 \\ y - 3 &= 2x &&|\; : 2 \\ \frac{y-3}{2} &= x \end{aligned}

    Beachte die Reihenfolge: Erst wird die 33 entfernt (Strichrechnung rückgängig), dann durch 22 geteilt, die Rechenschritte werden rückwärts und in umgekehrter Reihenfolge aufgehoben.

  3. 3

    Schritt 2: vertauschen. Jetzt steht xx allein, aber die unabhängige Variable heißt üblicherweise xx und nicht yy. Also benennen wir um:

    f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}

    Warum darf man einfach umbenennen? Weil der Name der Variablen keine mathematische Bedeutung hat. Wichtig ist nur die Zuordnungsvorschrift, und die bleibt dieselbe.

  4. 4

    Schritt 3: Die Probe. Nimm einen beliebigen Wert, schicke ihn durch ff und das Ergebnis durch f−1f^{-1}:

    f(5)=2⋅5+3=13f(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13 f−1(13)=13−32=102=5  ✓f^{-1}(13) = \frac{13-3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \;\checkmark

    Wir sind wieder bei der Ausgangszahl. Die Umkehrfunktion ist richtig.

    Diese Probe solltest du immer machen, sie dauert zehn Sekunden und deckt jeden Vorzeichen- oder Reihenfolgefehler auf.

  5. 5

    Der Blick auf die Struktur. Vergleiche beide Vorschriften:

    • ff: erst mal 22, dann plus 33
    • f−1f^{-1}: erst minus 33, dann geteilt durch 22

    Jeder Rechenschritt ist durch seine Gegenoperation ersetzt, und die Reihenfolge ist umgedreht. Das ist wie beim Ausziehen von Kleidung: Zuerst kommt weg, was zuletzt angezogen wurde.

    Geometrisch entspricht die Umkehrfunktion der Spiegelung an der Geraden y=xy = x (siehe Bild oben).

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}

Das Rezept: nach xx auflösen → xx und yy vertauschen → mit einem Zahlenbeispiel prüfen. Merkhilfe für die Kontrolle: Die Rechenschritte werden rückwärts und in umgekehrter Reihenfolge aufgehoben.

Typischer Fehler

„f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2}: Definitionsbereich ist ganz R\mathbb{R}, da steht doch nirgendwo ein Problem."

Der wird bei x=2x = 2 null: Division durch 0! D=R∖{2}D = \mathbb{R} \setminus \{2\}, und bei x=2x = 2 steht eine senkrechte Asymptote. Bei jedem Bruch-Term gehört der Nenner-Check an den Anfang: „Für welches xx wird der Nenner 0?", genau diese Werte fliegen aus dem Definitionsbereich.

Übung 1

leicht

Gib den maximalen Definitionsbereich an: a) f(x)=3x+5f(x) = \frac{3}{x+5} b) g(x)=x−2g(x) = \sqrt{x - 2} c) h(x)=x3−4xh(x) = x^3 - 4x

Tipp anzeigen

≠ 0; Radikand ≥ 0.

Lösung anzeigen

a) D=R∖{−5}D = \mathbb{R} \setminus \{-5\}

b) D=[2;∞)D = [2; \infty)

c) D=RD = \mathbb{R} (Polynome sind immer überall definiert)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Bruch: Nenner darf nicht null werden

    f(x)=3x+5f(x) = \frac{3}{x+5}: verboten ist x+5=0x + 5 = 0, also x=−5x = -5. D=R∖{−5}D = \mathbb{R} \setminus \{-5\}.

  2. 2

    b) Wurzel: Radikand nicht negativ

    g(x)=x−2g(x) = \sqrt{x-2}: nötig ist x−2≥0x - 2 \ge 0, also x≥2x \ge 2. D=[2;∞)D = [2; \infty).

  3. 3

    c) Polynom: keine Einschränkung

    h(x)=x3−4xh(x) = x^3 - 4x enthält nur , Produkte und Summen, alles für jedes xx berechenbar: D=RD = \mathbb{R}.

Übung 2

mittel

Prüfe rechnerisch auf Symmetrie: a) f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2 b) g(x)=x3+xg(x) = x^3 + x c) h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x

Tipp anzeigen

f(−x)f(-x) bilden und vergleichen.

Lösung anzeigen

a) f(−x)=x4−3x2=f(x)f(-x) = x^4 - 3x^2 = f(x) → achsensymmetrisch

b) g(−x)=−x3−x=−g(x)g(-x) = -x^3 - x = -g(x) → punktsymmetrisch

c) h(−x)=x2−xh(-x) = x^2 - x, weder h(x)h(x) noch −h(x)-h(x) → keine dieser Symmetrien

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Der Test: f(−x) berechnen und vergleichen

    Man ersetzt xx durch −x-x und vergleicht: Kommt f(x)f(x) heraus → achsensymmetrisch zur y-Achse; kommt −f(x)-f(x) heraus → punktsymmetrisch zum Ursprung.

  2. 2

    a) und b) durchrechnen

    a) f(−x)=(−x)4−3(−x)2=x4−3x2=f(x)f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x) → achsensymmetrisch. b) g(−x)=(−x)3+(−x)=−x3−x=−g(x)g(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -g(x) → punktsymmetrisch.

    (−x)4=x4,(−x)3=−x3(-x)^4 = x^4, \quad (-x)^3 = -x^3

  3. 3

    c) Gemischte Exponenten: keine der beiden

    h(−x)=(−x)2+(−x)=x2−xh(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x: Das ist weder h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x noch −h(x)=−x2−x-h(x) = -x^2 - x → keine der beiden Symmetrien.

Übung 3

schwer

Gegeben ist g(x)=3⋅2x−6g(x) = 3 \cdot 2^{x} - 6. a) Beschreibe die Entstehung aus f(x)=2xf(x) = 2^x. b) Asymptote und Wertebereich? c) Berechne die Nullstelle.

Tipp anzeigen

c) 3⋅2x=63 \cdot 2^x = 6.

Lösung anzeigen

a) In y-Richtung mit Faktor 3 strecken, dann um 6 nach unten schieben.

b) Asymptote: y=−6y = -6; Wertebereich (−6;∞)(-6; \infty).

c) 3⋅2x−6=0⇒2x=2⇒x=13 \cdot 2^x - 6 = 0 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Entstehung aus 2^x ablesen

    g(x)=3⋅2x−6g(x) = 3 \cdot 2^x - 6: Der Faktor 33 streckt den Graphen von f(x)=2xf(x) = 2^x in y-Richtung, das −6-6 schiebt ihn um 6 nach unten.

  2. 2

    b) Asymptote und Wertebereich

    2x2^x ist immer positiv, also 3⋅2x>03 \cdot 2^x > 0 und g(x)>−6g(x) > -6: Asymptote y=−6y = -6, Wertebereich (−6;∞)(-6; \infty).

  3. 3

    c) Nullstelle berechnen

    3⋅2x−6=0⇒2x=2⇒x=13 \cdot 2^x - 6 = 0 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow x = 1.

    2x=2⇒x=12^x = 2 \Rightarrow x = 1

Zusammenfassung

Der Funktionen-Steckbrief systematisiert alles Gelernte: Definitionsbereich (! !), Symmetrie per f(−x)f(-x)-Test, Monotonie und Asymptoten an den Rändern. Der Transformations-Baukasten (schieben, strecken, spiegeln) funktioniert bei jeder Funktionsklasse gleich, und Umkehrfunktionen laufen das Rechenrezept rückwärts. Damit bist du bereit für die Analysis der Oberstufe!