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Analysis

Krümmung, Wende- und Sattelpunkte

Wo ein Graph die Krümmung wechselt, die zweite Ableitung im Einsatz.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine Achterbahn wechselt von der Talfahrt in die Bergfahrt, und mittendrin gibt es einen Punkt, an dem sich die Kurve „umbiegt": den Wendepunkt. Dort ist die Bahn am steilsten und die Krümmung wechselt ihre Richtung. Mathematisch beschreibt das die zweite . Wendepunkte machen jede vollständig.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Links- und Rechtskrümmung über das Vorzeichen von f′′f'' bestimmen.

  • Wendepunkte mit der notwendigen Bedingung f′′(x)=0f''(x) = 0 finden.

  • die Art über f′′′f''' oder das VZW-Kriterium von f′′f'' nachweisen.

  • Sattelpunkte als Wendepunkte mit waagerechter erkennen.

Krümmung: was die zweite Ableitung über die Form verrät

Zwei Graphen können beide steigen und trotzdem völlig verschieden aussehen: Der eine wölbt sich nach oben, der andere nach unten. Diesen Unterschied nennt man Krümmung, und er lässt sich mit f′′f'' berechnen.

Der Gedanke

f′′f'' misst, wie sich die ändert. Genau daraus folgt die Krümmung:

Wird die Steigung immer größer (f′′>0f'' > 0), dann geht es erst flach, dann steiler bergauf. Der Graph dreht sich nach links, er wölbt sich wie eine Mulde (∪\cup). Das nennt man Linkskrümmung.

Wird die Steigung immer kleiner (f′′<0f'' < 0), verläuft der Graph erst steil, dann flacher, und irgendwann bergab. Er dreht sich nach rechts und wölbt sich wie ein Hügel (∩\cap): Rechtskrümmung.

f′′(x)>0  ⇒  Linkskru¨mmung (∪)f′′(x)<0  ⇒  Rechtskru¨mmung (∩)f''(x) > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{Linkskrümmung } (\cup) \qquad\qquad f''(x) < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{Rechtskrümmung } (\cap)

Eine Eselsbrücke, die auch die Vorzeichen erklärt

Denk an die Normalparabel f(x)=x2f(x) = x^2. Sie ist nach oben geöffnet, also eine Mulde. Und tatsächlich: f′(x)=2xf'(x) = 2x, f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0 ✓ Positiv gehört zur Mulde.

Bei f(x)=−x2f(x) = -x^2 (nach unten geöffnet) ist f′′=−2<0f'' = -2 < 0 ✓ Negativ gehört zum Hügel.

Merke: Das Vorzeichen von f′′f'' verhält sich wie das aa in der , positiv öffnet nach oben, negativ nach unten. Wenn du dir das Vorzeichen nicht merken kannst, leite einfach kurz x2x^2 ab.

Der Unterschied zu f′f', und warum du beides brauchst

f′f' und f′′f'' beantworten verschiedene Fragen, die unabhängig voneinander sind:

f′>0f' > 0f′<0f' < 0
f′′>0f'' > 0steigt, wird immer steilerfällt, wird immer flacher
f′′<0f'' < 0steigt, wird immer flacherfällt, wird immer steiler

Ein Graph kann also steigen und trotzdem rechtsgekrümmt sein. Das ist der typische Verlauf kurz vor einem . Deshalb reicht f′f' allein nicht, um eine Kurve zu beschreiben.

Ein Beispiel, das den Unterschied greifbar macht: Bei einer Epidemie bedeutet f′>0f' > 0, dass die Fallzahlen steigen. Wechselt f′′f'' von positiv zu negativ, steigen sie zwar weiter, aber immer langsamer, der Wendepunkt ist erreicht, der Höhepunkt liegt noch bevor. Genau diese Unterscheidung sorgte in öffentlichen Debatten oft für Verwirrung.

Wendepunkte: wo die Kurve die Richtung ihrer Krümmung wechselt

Fahre gedanklich mit dem Auto eine S-Kurve. Erst lenkst du nach links, dann nach rechts. Genau in dem Moment, in dem du das Lenkrad durch die Mittelstellung drehst, liegt der Wendepunkt.

Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Krümmung von links nach rechts wechselt (oder umgekehrt).

Die Bedingung ergibt sich von selbst

Links vom Wendepunkt gilt zum Beispiel f′′>0f'' > 0, rechts davon f′′<0f'' < 0. Beim Übergang muss f′′f'' also durch null gehen:

f′′(x)=0f''(x) = 0

Das ist die notwendige Bedingung, sie liefert wieder nur Kandidaten.

Warum es auch hier einen zweiten Schritt braucht

Dieselbe Logik wie bei den : f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 bedeutet nicht automatisch, dass die Krümmung wirklich wechselt. Sie könnte auch nur kurz null werden und danach dasselbe Vorzeichen behalten. Dann liegt kein Wendepunkt vor.

Bei f(x)=x4f(x) = x^4 ist f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2, also f′′(0)=0f''(0) = 0. Aber 12x212x^2 ist links und rechts von null positiv, kein Vorzeichenwechsel, kein Wendepunkt. Der Graph bleibt durchgehend eine Mulde.

Der Fahrplan

Schritt 1 (notwendig): f′′(x)=0f''(x) = 0 lösen → Kandidaten.

Schritt 2 (hinreichend): Nachweisen, dass die Krümmung wirklich wechselt. Zwei Wege:

  • f′′′f'''-Kriterium: Ist f′′′(x0)≠0f'''(x_0) \neq 0, liegt ein Wendepunkt vor. (Denn dann ändert sich f′′f'' an dieser Stelle tatsächlich. Es ist derselbe Gedanke wie beim f′′f''-Kriterium eine Ebene höher.)
  • Vorzeichenwechsel von f′′f'': links und rechts einen Testwert einsetzen und die Vorzeichen vergleichen.

Schritt 3: yy-Koordinate mit der Ausgangsfunktion berechnen: y0=f(x0)y_0 = f(x_0).

Was der Wendepunkt inhaltlich bedeutet

Am Wendepunkt ist die Kurve am steilsten (bzw. am flachsten). Dort hat f′f' selbst ein Extremum. Deshalb gilt der Merksatz:

Der Wendepunkt von ff ist ein Extrempunkt von f′f'.

In Anwendungen ist das oft die interessanteste Stelle überhaupt: der Zeitpunkt des stärksten Wachstums, die Stelle der größten Geschwindigkeitszunahme, der Moment, ab dem sich ein Trend abschwächt.

Wendepunkt: Krümmung wechselt

xy-3-2-112-4-224fWP(0|0)

Am Wendepunkt (0∣0)(0\mid0) wechselt die Krümmung: links ist der Graph rechtsgekrümmt (∩\cap, f′′<0f''<0), rechts linksgekrümmt (∪\cup, f′′>0f''>0). Dort ist f′′=0f''=0, und der Graph an dieser Stelle am steilsten.

Der Sattelpunkt: waagerecht, aber kein Extrempunkt

Es gibt einen Sonderfall, der in Klassenarbeiten gern als Stolperfalle auftaucht, und der zeigt, warum die hinreichende Bedingung so wichtig ist.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, an dem die zusätzlich waagerecht ist.

f′(x0)=0undf′′(x0)=0und Kru¨mmungswechself'(x_0) = 0 \qquad\text{und}\qquad f''(x_0) = 0 \qquad\text{und Krümmungswechsel}

Das Standardbeispiel

f(x)=x3f(x) = x^3 an der Stelle x=0x = 0:

f′(x)=3x2  ⇒  f′(0)=0f′′(x)=6x  ⇒  f′′(0)=0f'(x) = 3x^2 \;\Rightarrow\; f'(0) = 0 \qquad\qquad f''(x) = 6x \;\Rightarrow\; f''(0) = 0

Beide Bedingungen sind erfüllt. Was passiert dort? Der Graph steigt an, legt bei x=0x = 0 eine „Pause" ein (Tangente waagerecht), und steigt dann weiter. Er kippt dabei von Rechts- auf Linkskrümmung.

Warum es kein ist: f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 ist links und rechts von null positiv. Kein Vorzeichenwechsel, also kein Hoch- oder Tiefpunkt. Die Funktion steigt durchgehend.

Woher der Name kommt

Denk an einen Reitsattel: In Längsrichtung geht es nach vorn und hinten hoch, in Querrichtung nach beiden Seiten runter. Genau in der Mitte ist es flach, ohne dass dort der höchste oder tiefste Punkt liegt.

So unterscheidest du die drei Fälle bei f′(x0)=0f'(x_0) = 0

f′′(x0)f''(x_0)was vorliegt
<0< 0Hochpunkt
>0> 0Tiefpunkt
=0= 0noch unklar, weiter prüfen!

Im letzten Fall musst du den Vorzeichenwechsel von f′f' untersuchen (oder f′′′f''' heranziehen): Wechselt es, ist es doch ein Extrempunkt; wechselt es nicht, ist es ein Sattelpunkt.

Merke dir vor allem: f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 heißt nicht automatisch „Sattelpunkt". Es heißt nur „das f′′f''-Kriterium hilft hier nicht". Bei f(x)=x4f(x) = x^4 ist ebenfalls f′(0)=f′′(0)=0f'(0) = f''(0) = 0. Dort liegt aber ein Tiefpunkt, wie man am Vorzeichenwechsel von f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3 sieht (von −- nach ++).

Sattelpunkt (x³)

xy-2-112-6-4-224x³Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit zusätzlich waagerechter (f′=0f'=0 und f′′=0f''=0). Bei f(x)=x3f(x)=x^3 ist das der Ursprung: Der Graph wendet sich und hat dort die 00, ist aber kein .

Die Ableitungshierarchie: ein System statt vieler Regeln

Du hast jetzt drei kennengelernt, und jede beantwortet eine andere Frage über ff. Auf den ersten Blick sind das viele Regeln: tatsächlich steckt dahinter ein einziges Muster, das sich Stufe für Stufe wiederholt.

Ableitungbeschreibt an ffwird null bei …Nachweis durch …
f′f'Extremkandidatf′′f'' oder Vorzeichenwechsel von f′f'
f′′f''KrümmungWendekandidatf′′′f''' oder Vorzeichenwechsel von f′′f''
f′′′f'''Änderung der Krümmung,,

Das Muster dahinter

Lies die Tabelle spaltenweise, dann fällt die Systematik auf:

Die einer Ableitung sind die Kandidaten für die besonderen Punkte der Stufe darüber, und die nächsthöhere Ableitung bestätigt sie.

Bei den Extrempunkten prüfst du f′(x)=0f'(x) = 0 und bestätigst mit f′′f''. Bei den Wendepunkten prüfst du f′′(x)=0f''(x) = 0 und bestätigst mit f′′′f'''. Es ist zweimal derselbe Gedanke, nur eine Ebene versetzt.

Wenn du das erkannt hast, musst du dir die beiden Verfahren nicht getrennt merken.

Der Zusammenhang zwischen den Ebenen

Wendepunkt von f  =  Extrempunkt von f′\text{Wendepunkt von } f \;=\; \text{Extrempunkt von } f'

Das ist kein Merksatz zum Auswendiglernen, sondern folgt direkt: Ein Wendepunkt ist die Stelle mit der größten (oder kleinsten) Steigung. Und die Steigungen sind genau die Werte von f′f', ihr Größtwert ist also ein von f′f'.

Genauso gilt: Ein Extrempunkt von ff ist eine Nullstelle von f′f'.

Warum das nützlich ist: In Aufgaben wird oft der Graph von f′f' gezeigt und nach den Eigenschaften von ff gefragt. Mit diesen beiden kannst du direkt übersetzen, ohne irgendetwas zu rechnen.

Wendepunkt bestimmen

Bestimme den Wendepunkt von f(x)=x3−6x2+5f(x) = x^3 - 6x^2 + 5.

  1. 1

    Was ist ein Wendepunkt? Die Stelle, an der die Kurve die Richtung ihrer Krümmung wechselt, von der Rechts- in die Linkskurve oder umgekehrt.

    Das Verfahren hat dieselbe Struktur wie bei den Extrempunkten, nur eine Ableitungsstufe höher: notwendige Bedingung mit f′′f'', hinreichende mit f′′′f'''.

  2. 2

    Vorbereitung: drei bilden. Du brauchst f′′f'' für die Kandidaten, f′′′f''' für den Nachweis und ff selbst für die yy-Koordinate.

    f′(x)=3x2−12xf′′(x)=6x−12f′′′(x)=6f'(x) = 3x^2 - 12x \qquad f''(x) = 6x - 12 \qquad f'''(x) = 6

    Kontrolle über den Grad: 3→2→1→03 \to 2 \to 1 \to 0, jedes Ableiten senkt den Grad um 11 ✓

  3. 3

    Schritt 1: notwendige Bedingung f′′(x)=0f''(x) = 0.

    6x−12=0∣  +126x=12∣  :6x=2\begin{aligned} 6x - 12 &= 0 &&|\; +12 \\ 6x &= 12 &&|\; : 6 \\ x &= 2 \end{aligned}

    Das ist der Kandidat für die Wendestelle.

  4. 4

    Schritt 2: hinreichende Bedingung mit f′′′f'''.

    f′′′(2)=6≠0f'''(2) = 6 \neq 0

    Weil f′′′f''' an dieser Stelle nicht null ist, ändert sich f′′f'' dort tatsächlich, die Krümmung wechselt also wirklich. Der Wendepunkt ist bestätigt.

    Hier ist es besonders bequem: f′′′(x)=6f'''(x) = 6 ist konstant und nie null, der Nachweis gilt also automatisch.

  5. 5

    Schritt 3: yy-Koordinate mit der Ausgangsfunktion.

    f(2)=23−6⋅22+5=8−24+5=−11f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 5 = 8 - 24 + 5 = -11

    Nicht in f′′f'' einsetzen! Das ist der häufigste Fehler bei diesem Aufgabentyp, f′′(2)f''(2) ist ja gerade null und wäre als yy-Wert unsinnig.

  6. 6

    Ergebnis und Deutung.

    W(2∣−11)W(2 \mid -11)

    Was dort passiert: Für x<2x < 2 ist f′′f'' negativ (etwa f′′(0)=−12f''(0) = -12), die Kurve ist rechtsgekrümmt. Für x>2x > 2 ist f′′f'' positiv (etwa f′′(3)=6f''(3) = 6), sie ist linksgekrümmt. Genau bei x=2x = 2 findet der Wechsel statt.

    Zusatzbedeutung: Am Wendepunkt ist die Kurve am steilsten (hier am steilsten fallend): f′f' hat dort ein Extremum.

Der Wendepunkt liegt bei W(2∣−11)W(2 \mid -11).

Der Fahrplan: f′′(x)=0f''(x) = 0 liefert Kandidaten → f′′′(x0)≠0f'''(x_0) \neq 0 bestätigt → yy-Koordinate aus ff. Dieselbe Struktur wie bei Extrempunkten, nur eine Stufe höher.

Krümmungsverhalten beschreiben

Untersuche das Krümmungsverhalten von f(x)=x3−6x2+5f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 (dieselbe Funktion wie im letzten Beispiel).

  1. 1

    Was ist hier gesucht? Nicht ein einzelner Punkt, sondern die Bereiche: Wo ist der Graph links-, wo rechtsgekrümmt?

    Das ist zur Wendepunktaufgabe genau das, was die zur Extrempunktaufgabe ist, statt einer Stelle interessieren die Abschnitte dazwischen.

  2. 2

    Schritt 1: Wo kann die Krümmung wechseln? Nur an den von f′′f'', denn nur dort kann das Vorzeichen umschlagen. Die kennen wir schon:

    f′′(x)=6x−12=0⇒x=2f''(x) = 6x - 12 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 2

    Diese Stelle teilt die Zahlengerade in zwei Abschnitte.

  3. 3

    Schritt 2: Testwerte einsetzen.

    f′′(0)=6⋅0−12=−12<0f''(0) = 6 \cdot 0 - 12 = -12 < 0 f′′(3)=6⋅3−12=+6>0f''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = +6 > 0
  4. 4

    Schritt 3: Vorzeichen in Krümmung übersetzen.

    Abschnittf′′f''Krümmung
    x<2x < 2negativrechtsgekrümmt (∩\cap)
    x>2x > 2positivlinksgekrümmt (∪\cup)

    Zur Erinnerung, warum es so herum ist: Positives f′′f'' heißt „die wird immer größer", die Kurve dreht nach links und wölbt sich wie eine Mulde. Wenn du das Vorzeichen vergisst, leite kurz x2x^2 ab: f′′=2>0f'' = 2 > 0, und die Normalparabel ist eine Mulde.

  5. 5

    Schritt 4: Zusammenhang zum Wendepunkt herstellen. Der Krümmungswechsel findet genau an der Stelle x=2x = 2 statt, und das ist die Wendestelle aus dem letzten Beispiel.

    rechtsgekru¨mmt fu¨r x<2  ⟶  W(2∣−11)  ⟶  linksgekru¨mmt fu¨r x>2\text{rechtsgekrümmt für } x < 2 \;\longrightarrow\; W(2 \mid -11) \;\longrightarrow\; \text{linksgekrümmt für } x > 2

    Beide Aufgaben beschreiben dasselbe, einmal als Punkt, einmal als Bereichsangabe. Wenn deine Ergebnisse nicht zusammenpassen, steckt in einem ein Fehler.

ff ist rechtsgekrümmt für x<2x < 2 und linksgekrümmt für x>2x > 2; der Wechsel erfolgt im Wendepunkt W(2∣−11)W(2 \mid -11).

Das Vorgehen: Nullstellen von f′′f'' als Grenzen → Testwerte einsetzen → Vorzeichen in Links-/Rechtskrümmung übersetzen.

Sattelpunkt nachweisen

Zeige, dass f(x)=x3f(x) = x^3 bei x=0x = 0 einen Sattelpunkt hat.

  1. 1

    Was muss für einen Sattelpunkt gezeigt werden? Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter . Es sind also drei Dinge nachzuweisen:

    1. f′(x0)=0f'(x_0) = 0 → die Tangente ist waagerecht
    2. f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 → Kandidat für einen Wendepunkt
    3. die Krümmung wechselt dort wirklich

    Alle drei Punkte gehören in die Lösung, der dritte wird am häufigsten vergessen.

  2. 2

    Vorbereitung: die .

    f′(x)=3x2f′′(x)=6xf′′′(x)=6f'(x) = 3x^2 \qquad f''(x) = 6x \qquad f'''(x) = 6
  3. 3

    Nachweis 1: waagerechte Tangente.

    f′(0)=3⋅02=0  ✓f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 \;\checkmark

    Die Tangente im Punkt (0∣0)(0 \mid 0) ist also waagerecht. Sie ist die xx-Achse selbst.

  4. 4

    Nachweis 2: Wendepunkt-Kandidat.

    f′′(0)=6⋅0=0  ✓f''(0) = 6 \cdot 0 = 0 \;\checkmark

    Damit ist x=0x = 0 Kandidat für einen Wendepunkt. Aber noch nicht bewiesen, das leistet erst der nächste Schritt.

  5. 5

    Nachweis 3: Die Krümmung wechselt wirklich. Zwei Wege stehen zur Verfügung:

    Über f′′′f''':

    f′′′(0)=6≠0  ✓f'''(0) = 6 \neq 0 \;\checkmark

    Oder über das Vorzeichen von f′′(x)=6xf''(x) = 6x:

    f′′(−1)=−6<0 (rechtsgekru¨mmt)f′′(1)=+6>0 (linksgekru¨mmt)f''(-1) = -6 < 0 \text{ (rechtsgekrümmt)} \qquad f''(1) = +6 > 0 \text{ (linksgekrümmt)}

    Die Krümmung wechselt also tatsächlich, von rechts nach links.

  6. 6

    Zusammenfassen und den Unterschied zum Extrempunkt betonen. Alle drei Bedingungen sind erfüllt: Bei (0∣0)(0 \mid 0) liegt ein Sattelpunkt.

    Warum es kein Extrempunkt ist: f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 ist links und rechts von null positiv, kein Vorzeichenwechsel, also kein Hoch- oder Tiefpunkt. Die Funktion steigt durchgehend und macht bei x=0x = 0 nur eine waagerechte Pause.

    Der Sattelpunkt ist damit der Grenzfall: waagerechte Tangente wie bei einem Extrempunkt, aber Krümmungswechsel wie bei einem Wendepunkt.

Bei (0∣0)(0 \mid 0) liegt ein Sattelpunkt: f′(0)=0f'(0) = 0, f′′(0)=0f''(0) = 0 und f′′′(0)=6≠0f'''(0) = 6 \neq 0 (Krümmungswechsel von rechts nach links).

Merke: Für einen Sattelpunkt brauchst du alle drei Nachweise. f′(x0)=f′′(x0)=0f'(x_0) = f''(x_0) = 0 allein genügt nicht, bei f(x)=x4f(x) = x^4 gilt das ebenfalls, dort liegt aber ein .

Typischer Fehler

„f′′(x0)=0f''(x_0) = 0, also ist bei x0x_0 ein Wendepunkt."

Wie bei Extrempunkten ist f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 nur notwendig! Gegenbeispiel f(x)=x4f(x) = x^4: f′′(0)=0f''(0) = 0, aber der Graph ist überall linksgekrümmt, kein Krümmungswechsel, also kein Wendepunkt (es ist ein ). Der Nachweis über f′′′(x0)≠0f'''(x_0) \neq 0 oder den Vorzeichenwechsel von f′′f'' ist Pflicht.

Übung 1

leicht

Bestimme den Wendepunkt von f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

Tipp anzeigen

f′′(x)=6xf''(x) = 6x.

Lösung anzeigen

f′′(x)=6x=0⇒x=0f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0; f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \neq 0 → Wendepunkt.

f(0)=0f(0) = 0 → W(0∣0)W(0 \mid 0).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Kandidaten: f'' nullsetzen

    f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x: f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3, f′′(x)=6xf''(x) = 6x. Kandidat: 6x=0⇒x=06x = 0 \Rightarrow x = 0.

  2. 2

    Nachweis über f'''

    f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \ne 0 → bei x=0x = 0 liegt tatsächlich ein Wendepunkt.

  3. 3

    y-Koordinate und Punkt angeben

    f(0)=0−0=0f(0) = 0 - 0 = 0 → Wendepunkt W(0∣0)W(0 \mid 0).

Übung 2

mittel

Untersuche f(x)=14x4−3x2f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 auf Wendepunkte und Krümmung.

Tipp anzeigen

f′′(x)=3x2−6f''(x) = 3x^2 - 6.

Lösung anzeigen

f′′(x)=3x2−6=0⇒x2=2⇒x=±2f''(x) = 3x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}

f′′′(x)=6xf'''(x) = 6x: f′′′(2)=62≠0f'''(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \neq 0, f′′′(−2)≠0f'''(-\sqrt{2}) \neq 0 → zwei Wendestellen.

yy-Koordinaten mit ff: f(±2)=14⋅4−3⋅2=1−6=−5f(\pm\sqrt{2}) = \frac{1}{4} \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 1 - 6 = -5 → W1(−2∣−5)W_1(-\sqrt{2} \mid -5) und W2(2∣−5)W_2(\sqrt{2} \mid -5).

Krümmung: linksgekrümmt für ∣x∣>2|x| > \sqrt{2}, rechtsgekrümmt für ∣x∣<2|x| < \sqrt{2}.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    f'' bilden und nullsetzen

    f′(x)=x3−6xf'(x) = x^3 - 6x, f′′(x)=3x2−6=0⇒x2=2⇒x=±2f''(x) = 3x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}.

    x2=2⇒x=±2x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}

  2. 2

    Beide Kandidaten nachweisen

    f′′′(x)=6xf'''(x) = 6x: f′′′(2)=62≠0f'''(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \ne 0 und f′′′(−2)=−62≠0f'''(-\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} \ne 0 → beide sind Wendestellen.

    f(±2)=1−6=−5f(\pm\sqrt{2}) = 1 - 6 = -5

    Zwischenergebnis

    W1,2(±2∣−5)W_{1,2}(\pm\sqrt{2} \mid -5)

  3. 3

    Krümmungsbereiche angeben

    f′′(x)=3x2−6f''(x) = 3x^2 - 6: positiv für ∣x∣>2|x| > \sqrt{2} (linksgekrümmt), negativ für ∣x∣<2|x| < \sqrt{2} (rechtsgekrümmt).

Übung 3

schwer

Die Zahl der Neuinfektionen einer Krankheit wird durch N(t)N(t) modelliert. Der Graph steigt, hat bei t=12t = 12 (Tage) einen Wendepunkt und steigt danach flacher weiter. a) Was bedeutet der Wendepunkt für die Infektionsdynamik? b) Was gilt bei t=12t = 12 für N′N' (die Zahl neuer Fälle pro Tag)?

Tipp anzeigen

Wendepunkt von N = von N′.

Lösung anzeigen

a) Bei t=12t = 12 wechselt die Krümmung von links (beschleunigtes Wachstum) nach rechts (gebremstes Wachstum). Das ist der Wendepunkt der Pandemie: Die Fälle steigen weiter, aber die tägliche Zuwachsrate beginnt zu sinken, der „Peak der Neuinfektionen pro Tag".

b) N′N' (tägliche Neu-Fälle) hat bei t=12t = 12 ihr Maximum, der Wendepunkt von NN ist der Hochpunkt von N′N'.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Krümmungswechsel im Sachkontext

    Bis t=12t = 12 ist NN linksgekrümmt: Das Wachstum BESCHLEUNIGT sich (jeden Tag mehr neue Fälle als am Vortag). Ab t=12t = 12 rechtsgekrümmt: Es wächst weiter, aber GEBREMST.

  2. 2

    b) N' hat bei t = 12 ihr Maximum

    N′N' ist die Zahl neuer Fälle PRO TAG. Der Wendepunkt von NN ist der Hochpunkt von N′N': Bei t=12t = 12 ist die tägliche Neuinfektionszahl am größten, der „Peak".

  3. 3

    Das übertragbare Muster

    Merksatz: Wendepunkt des BESTANDS = Hochpunkt der ZUWACHSRATE. Er markiert den Moment, ab dem sich ein Wachstumsprozess zu entspannen beginnt.

Zusammenfassung

Die zweite misst die Krümmung: f′′>0f'' > 0 linksgekrümmt (∪), f′′<0f'' < 0 rechtsgekrümmt (∩). Ein Wendepunkt (Krümmungswechsel) erfüllt f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 (notwendig) und f′′′(x0)≠0f'''(x_0) \neq 0 (hinreichend). Kommt eine waagerechte hinzu, ist es ein Sattelpunkt. So wird die Ableitungshierarchie f→f′→f′′→f′′′f \to f' \to f'' \to f''' zum kompletten Analysewerkzeug.