Lineare Gleichungssysteme

Drei Kugeln Eis und zwei Waffeln kosten 7 €, fünf Kugeln und zwei Waffeln 9,60 €. Was kostet eine Kugel? Eine Gleichung allein verrät es nicht, aber zwei Gleichungen zusammen schon! Lineare Gleichungssysteme sind das Werkzeug für alle Aufgaben mit zwei Unbekannten, und du bekommst gleich drei Lösungsverfahren zur Auswahl.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Eine Lösung ist ein Zahlenpaar $(x \mid y)$, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Grafisch ist das der Schnittpunkt der beiden Geraden (siehe Bild).

Warum man zwei Gleichungen braucht

Eine einzelne Gleichung wie $y = 2x + 1$ hat unendlich viele Lösungen: $(0 \mid 1)$, $(1 \mid 3)$, $(2 \mid 5)$ und so weiter. Alle Punkte der Geraden erfüllen sie.

Um aus dieser Fülle ein Paar herauszufiltern, brauchst du eine zweite Bedingung. Erst beide zusammen legen die Lösung fest.

Die Faustregel lautet: Für zwei Unbekannte brauchst du zwei Gleichungen, für drei Unbekannte drei. Jede Unbekannte will eine eigene Information.

Warum alle drei Verfahren dasselbe leisten

Gleichsetzen, Einsetzen und Addieren sehen verschieden aus, verfolgen aber dasselbe Ziel: eine Variable loswerden.

Denn eine Gleichung mit einer Unbekannten kannst du längst lösen. Das ist Klasse 7. Zwei Unbekannte auf einmal kannst du nicht handhaben.

Deshalb besteht jedes Verfahren aus denselben drei Phasen:

1. eine Variable eliminieren,
2. die entstandene Gleichung mit einer Unbekannten lösen,
3. den gefundenen Wert einsetzen und die zweite Unbekannte bestimmen.

Welches Verfahren du nimmst, ist reine Bequemlichkeit, das Ergebnis ist immer dasselbe. Ist eine Gleichung schon nach $y$ aufgelöst, nimmst du Gleichsetzen oder Einsetzen; stehen beide in der Form $ax + by = c$, ist Addieren am schnellsten.

Warum die Probe in beide Gleichungen gehört

Ein häufiger Fehler ist, das Ergebnis nur in eine Gleichung einzusetzen.

Das reicht nicht: Die Lösung muss ja beide Bedingungen erfüllen. Setzt du nur in die Gleichung ein, mit der du zuletzt gerechnet hast, findest du einen Fehler aus dem ersten Schritt nicht.

Sind beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst → rechte Seiten gleichsetzen:

Lösung: $(2 \mid 5)$: Probe in beiden Gleichungen!

Ist eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst, setzt man den Term in die andere ein:

Stehen beide Gleichungen in der Form $ax + by = c$, addiert man sie so, dass eine Variable wegfällt, notfalls vorher eine Gleichung passend multiplizieren:

$\text{I} + \text{II}$: $\;8x = 16 \Rightarrow x = 2$; einsetzen in $\text{I}$: $6 + 2y = 7 \Rightarrow y = 0{,}5$.

Der parallele Fall unten hat keine Lösung, die Geraden treffen sich nie.

Warum es genau diese drei Fälle gibt, und keinen vierten

Denk an die grafische Bedeutung: Jede lineare Gleichung ist eine Gerade, die Lösung des Systems ist ihr Schnittpunkt.

Zwei Geraden in einer Ebene können nur auf drei Arten zueinander liegen:

1. Sie kreuzen sich → genau ein gemeinsamer Punkt
2. Sie sind parallel und verschieden → kein gemeinsamer Punkt
3. Sie sind identisch → alle Punkte gemeinsam

Etwas anderes ist geometrisch nicht möglich, zwei verschiedene Geraden können sich nicht in zwei Punkten schneiden. Deshalb kann ein lineares Gleichungssystem niemals genau zwei oder drei Lösungen haben.

Was die seltsamen Endergebnisse bedeuten

Beim Rechnen merkst du die Sonderfälle daran, dass die Variable verschwindet:

• Bleibt eine falsche Aussage übrig ($0 = 5$), gibt es keine Lösung, die Gleichungen widersprechen sich.
• Bleibt eine wahre Aussage übrig ($0 = 0$), gibt es unendlich viele, die zweite Gleichung sagt nichts Neues.

Das ist kein Rechenfehler, sondern das Ergebnis. Schreibe dann $L = \{\}$ bzw. gib die Lösungsmenge als Geradengleichung an.