Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Funktionen

Quadratische Funktionen und Parabeln

Normalparabel, Scheitelpunktform und Nullstellen, die Kurve hinter jedem Wurf.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Springbrunnen, Basketballwurf, Brückenbogen, überall dieselbe elegante Kurve: die Parabel. Sie ist der Graph der quadratischen Funktion, und ihr wichtigster Punkt ist der Scheitel: der höchste (oder tiefste) Punkt. Mit der Scheitelpunktform liest du ihn direkt aus der ab, und steuerst Parabeln durch das wie mit einer Fernbedienung.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Normalparabel y=x2y = x^2 und ihre Eigenschaften beschreiben.

  • aus der Scheitelpunktform y=a(x−d)2+ey = a(x - d)^2 + e Scheitel, Öffnung und Streckung ablesen.

  • Parabeln skizzieren und Transformationen (verschieben, strecken, spiegeln) beschreiben.

  • grafisch deuten und rechnerisch bestimmen.

  • zwischen Scheitelpunktform und Normalform wechseln.

Warum die Parabel so aussieht, wie sie aussieht

Die einfachste quadratische Funktion ist

y=x2y = x^2

Ihr Graph heißt Normalparabel. Bevor wir Eigenschaften aufzählen, verschaffen wir uns die Form selbst, indem wir Werte einsetzen. Genau so hättest du sie auch ohne Vorwissen gefunden:

xx−3-3−2-2−1-100112233
y=x2y = x^299441100114499

In dieser Tabelle stecken alle drei wichtigen Eigenschaften der Kurve. Lies sie der Reihe nach ab.

1. Nichts liegt unter der x-Achse

Alle yy-Werte sind positiv oder null, nie negativ. Der Grund: yy entsteht durch Quadrieren, und ein kann nicht negativ sein (dieselbe Erkenntnis wie beim Wurzelziehen). Deshalb liegt die ganze Kurve oberhalb der xx-Achse oder berührt sie.

2. Der tiefste Punkt liegt im Ursprung

Der kleinste mögliche yy-Wert ist 00, und er tritt genau bei x=0x = 0 auf. Dieser tiefste Punkt heißt Scheitel (oder Scheitelpunkt), bei der Normalparabel also S(0∣0)S(0 \mid 0). Der Scheitel ist der wichtigste Punkt jeder Parabel: Bei einer nach oben geöffneten Kurve ist er das Minimum, bei einer nach unten geöffneten das Maximum. Genau deshalb interessiert er in Anwendungen: höchster Punkt des Basketballwurfs, größter , geringste Kosten.

3. Links und rechts sieht es gleich aus

Schau in der Tabelle auf x=−3x = -3 und x=3x = 3: beide ergeben 99. Das gilt immer, denn beim Quadrieren fällt das Vorzeichen weg:

(−x)2=x2(-x)^2 = x^2

Deshalb ist die Parabel achsensymmetrisch zur yy-Achse, die linke Hälfte ist das Spiegelbild der rechten. Diese Symmetrie ist praktisch: Kennst du einen Punkt, kennst du auch seinen Partner auf der anderen Seite.

Und warum ist die Kurve gebogen und nicht gerade?

Weil die yy-Werte immer schneller wachsen. Von x=0x=0 auf x=1x=1 steigt yy um 11, von x=1x=1 auf x=2x=2 schon um 33, von x=2x=2 auf x=3x=3 um 55. Bei einer Geraden wäre der Zuwachs immer gleich (das war die mm in Klasse 8). Hier wird er größer und größer. Genau dieses zunehmende Wachstum biegt die Linie nach oben.

Ein Punkt, der oft schiefgeht: Bei y=x2y = x^2 liegen die Merkpunkte (1∣1)(1 \mid 1), (2∣4)(2 \mid 4) und (3∣9)(3 \mid 9). Wer die Parabel durch (2∣2)(2 \mid 2) zeichnet, hat Quadrieren mit Verdoppeln verwechselt.

Normalparabel

xy-3-2-112-112345678y = x²

Die Normalparabel y=x2y = x^2: nach oben geöffnet, Scheitel im Ursprung, achsensymmetrisch zur y-Achse. Merk-Wertepaare (1∣1)(1\mid1), (2∣4)(2\mid4), (3∣9)(3\mid9).

Die Parabel bewegen, und warum das Minus nach rechts schiebt

Alle quadratischen Funktionen haben dieselbe Grundform. Sie unterscheiden sich nur darin, wo die Parabel liegt und wie weit sie geöffnet ist. Diese Informationen kann man einer besonders praktischen Schreibweise direkt ansehen, der Scheitelpunktform:

y=a(x−d)2+ey = a(x - d)^2 + e

Wir bauen sie in drei Schritten auf, einen Parameter nach dem anderen. Danach kannst du jede Parabel steuern wie mit einer Fernbedienung.

Schritt 1: ee verschiebt nach oben und unten

Nimm y=x2+3y = x^2 + 3. Jeder yy-Wert der Normalparabel wird um 33 größer, also liegt jeder Punkt der Kurve 33 Einheiten höher. Die ganze Parabel wandert nach oben, der Scheitel von (0∣0)(0\mid 0) nach (0∣3)(0 \mid 3). Bei −3-3 entsprechend nach unten. Das ist unmittelbar einleuchtend.

Schritt 2: dd verschiebt nach links und rechts, hier musst du aufpassen

Nimm y=(x−3)2y = (x - 3)^2. Fast alle tippen zuerst auf „nach links, weil da ein Minus steht". Es geht aber nach rechts. Warum?

Frag dich, wo diese Parabel ihren tiefsten Punkt hat. Das ist am kleinsten, wenn der Klammerinhalt null ist:

x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 3

Der Scheitel liegt also bei x=3x = 3, und das ist 33 Einheiten rechts vom Ursprung. Du kannst es auch so sehen: Damit die Klammer denselben Wert annimmt wie vorher xx allein, muss xx jetzt um 33 größer sein, jeder Punkt braucht ein größeres xx, wandert also nach rechts.

Deshalb steht in der Formel ein Minus: y=a(x−d)2+ey = a(x - d)^2 + e hat den Scheitel bei x=dx = d. Das Minus ist schon eingebaut, damit du dd direkt ablesen kannst.

y=(x−3)2+1  ⇒  S(3∣1)y=(x+2)2−5  ⇒  S(−2∣−5)y = (x - 3)^2 + 1 \;\Rightarrow\; S(3 \mid 1) \qquad\qquad y = (x + 2)^2 - 5 \;\Rightarrow\; S(-2 \mid -5)

Beim zweiten Beispiel steht ein Plus in der Klammer. Schreibe es dir notfalls um: x+2=x−(−2)x + 2 = x - (-2), also d=−2d = -2. Faustregel: Das Vorzeichen in der Klammer dreht sich beim Ablesen um, das von ee nicht.

Der Scheitel ist damit S(d∣e)S(d \mid e), genau deshalb heißt die Form so. Und die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x=dx = d durch den Scheitel (siehe Bild). Dass die verschobene Parabel wirklich spiegelsymmetrisch zu dieser Geraden ist, prüfst du mit demselben Argument wie bei der Normalparabel: Gehe von dd aus um ein Stück tt nach rechts oder nach links. In der Klammer steht dann tt beziehungsweise −t-t, und beim Quadrieren ist (−t)2=t2(-t)^2 = t^2. Beide Stellen bekommen also denselben yy-Wert.

Schritt 3: aa verändert Öffnung und Breite

Der Faktor aa wirkt auf jeden yy-Wert:

  • a>0a > 0: alle yy-Werte bleiben positiv → die Parabel öffnet nach oben, der Scheitel ist der tiefste Punkt.
  • a<0a < 0: jeder yy-Wert wechselt das Vorzeichen, die Kurve wird an der Waagerechten umgeklappt → sie öffnet nach unten, der Scheitel ist der höchste Punkt.
  • ∣a∣>1|a| > 1: die yy-Werte werden vervielfacht, die Kurve steigt schneller → sie wirkt schmaler (gestreckt).
  • ∣a∣<1|a| < 1: die yy-Werte werden verkleinert, die Kurve steigt langsamer → sie wirkt breiter (gestaucht).

Wichtig: aa verschiebt den Scheitel nicht, und das kannst du sehen: Am Scheitel ist die Klammer null, und a⋅0=0a \cdot 0 = 0, egal welches aa davorsteht. Dort bleibt also immer y=ey = e übrig, der Scheitel liegt für jedes aa bei S(d∣e)S(d \mid e). Streckung und Verschiebung sind deshalb unabhängig voneinander, du kannst beide getrennt ablesen.

Alles auf einen Blick

ParameterWas er tutBeispiel
ddverschiebt waagerecht (Vorzeichen umdrehen!)(x−3)2(x-3)^2 → 33 nach rechts
eeverschiebt senkrecht+1+1 → 11 nach oben
Vorzeichen von aaöffnet nach oben (++) oder unten (−-)a=−2a = -2 → nach unten
Betrag von aaschmaler (>1>1) oder breiter (<1<1)a=12a = \tfrac12 → breiter

Die beiden Bilder unten zeigen zuerst eine verschobene Parabel mit Scheitel und Symmetrieachse, dann drei Parabeln mit verschiedenen aa-Werten. (Die nach unten geöffnete rote ist zusätzlich nach oben geschoben, damit sie ganz im Bild bleibt, vergleiche an ihr trotzdem nur die Form.)

Scheitelpunktform y = (x−3)² + 1

xy-112345-1123456S(3 | 1)

In der Scheitelpunktform y=a(x−d)2+ey = a(x-d)^2 + e liest du den Scheitel direkt ab: S(d∣e)S(d\mid e). Hier S(3∣1)S(3\mid 1): Achtung, das Minus in der Klammer bedeutet Verschiebung nach rechts. Die gestrichelte Linie ist die Symmetrieachse x=3x = 3.

Wirkung des Parameters a

xy-3-2-112-2-11234567a=2a=½a=−1

Der Parameter aa steuert die Form: ∣a∣>1|a| > 1 streckt (schmaler, grün), ∣a∣<1|a| < 1 staucht (breiter, blau), a<0a < 0 spiegelt, die Parabel öffnet nach unten (rot).

Nullstellen: derselbe Rechenweg wie im letzten Kapitel

Die einer Funktion sind die Stellen, an denen ihr Graph die xx-Achse trifft. Auf der xx-Achse ist der yy-Wert null, deshalb der Name, und deshalb lautet die Bedingung einfach

y=0y = 0

Damit wird aus der Funktionsgleichung eine , und genau die hast du im vorigen Kapitel gelöst. Hier kommt also nichts Neues hinzu; du erkennst nur wieder, wozu es gut war.

Welchen Weg du wählst, hängt von der Schreibweise ab

Liegt die Scheitelpunktform vor, brauchst du keine Formel. Das xx kommt nur einmal vor (in der Klammer), also isolierst du das und ziehst die , mit ±\pm:

(x−3)2−4=0∣  +4(x−3)2=4x−3=±2∣  +3x=3±2\begin{aligned} (x-3)^2 - 4 &= 0 &&|\; +4 \\ (x-3)^2 &= 4 \\ x - 3 &= \pm 2 &&|\; +3 \\ x &= 3 \pm 2 \end{aligned}

Also x1=5x_1 = 5 und x2=1x_2 = 1.

Liegt die Normalform vor (y=x2+px+qy = x^2 + px + q), nimmst du die p-q-Formel.

Zwei Kontrollen, die du dir merken solltest

Die Symmetrie: Die beiden Nullstellen liegen immer symmetrisch um die Scheitelachse, im Beispiel liegt der Scheitel bei x=3x = 3, und 11 und 55 haben beide den Abstand 22 davon. Passt das bei dir nicht, hast du dich verrechnet. Umgekehrt kannst du aus zwei Nullstellen sofort die Scheitelstelle bestimmen: Sie liegt genau in der Mitte, also bei x1+x22\frac{x_1 + x_2}{2}.

Die Anzahl kannst du vorher sehen: Du brauchst nur Scheitel und Öffnungsrichtung.

Scheitel liegt …Öffnung nach obenÖffnung nach unten
unter der x-Achsezwei Nullstellenkeine
auf der x-Achsegenau einegenau eine
über der x-Achsekeinezwei

Das ist dieselbe Dreiteilung wie bei der , nur von der Bildseite aus betrachtet. Eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel weit oben muss die Achse zweimal treffen. Sie kommt ja irgendwann wieder herunter.

Nicht verwechseln: Der Scheitel ist ein Punkt mit zwei Koordinaten und immer vorhanden. Nullstellen sind xx-Werte, und es kann sie zweimal, einmal oder gar nicht geben.

Erkläre es selbst: Warum liegen die beiden Nullstellen einer Parabel immer gleich weit von der Scheitelstelle entfernt, und was bringt dir das beim Kontrollieren?

Versuch es erst selbst, der Baustein steht im Abschnitt über die Scheitelpunktform.

Dort haben wir begründet: Gehst du von der Scheitelstelle dd um dasselbe Stück tt nach links und nach rechts, bekommst du denselben yy-Wert, in der Klammer steht tt beziehungsweise −t-t, und beim Quadrieren ist (−t)2=t2(-t)^2 = t^2. Die Parabel ist also spiegelsymmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitel.

Jetzt der Schluss auf die . Eine Nullstelle ist eine Stelle mit dem yy-Wert 00. Ist d+td + t eine Nullstelle, dann hat die Spiegelstelle d−td - t denselben yy-Wert, also ebenfalls 00, und damit ist auch sie eine Nullstelle. Nullstellen treten deshalb immer als Spiegelpaar auf, beide im selben Abstand tt von der Scheitelstelle. (Steht der Scheitel selbst auf der xx-Achse, ist t=0t = 0: Das „Paar" fällt in einem Punkt zusammen, die doppelte Lösung aus dem letzten Kapitel.)

Was dir das bringt, zwei Werkzeuge:

  1. Kontrolle: Rechne nach dem Bestimmen der Nullstellen ihre Mitte aus. x1+x22\frac{x_1 + x_2}{2} muss die Scheitelstelle ergeben, in der Musterlösung unten: 1+52=3\frac{1 + 5}{2} = 3 ✓. Kommt etwas anderes heraus, steckt ein Rechenfehler in mindestens einer Nullstelle.
  2. Abkürzung: Kennst du umgekehrt die beiden Nullstellen, bekommst du die Scheitelstelle geschenkt. Sie liegt genau in der Mitte. Den yy-Wert des Scheitels liefert dann Einsetzen.

Zwei Schreibweisen für dieselbe Parabel

Dieselbe Parabel kann man auf zwei Arten aufschreiben, und beide haben eine eigene Stärke:

  • Scheitelpunktform y=a(x−d)2+ey = a(x-d)^2 + e, hier siehst du sofort den Scheitel.
  • Normalform y=x2+px+qy = x^2 + px + q, hier siehst du sofort den yy-Achsenschnittpunkt (das ist qq, denn für x=0x = 0 bleibt nur qq übrig).

Weil beide dieselbe Funktion beschreiben, muss man zwischen ihnen wechseln können, je nachdem, was gefragt ist.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform: ausmultiplizieren

Das ist der einfache Weg. Du löst die Klammer mit der ersten auf und fasst zusammen:

y=(x−3)2+1=x2−6x+9⏟binomische Formel+1=x2−6x+10y = (x-3)^2 + 1 = \underbrace{x^2 - 6x + 9}_{\text{binomische Formel}} + 1 = x^2 - 6x + 10

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung

Das ist die Rückrichtung, und dafür brauchst du genau die Technik aus dem Kapitel über . Die Idee war: Nimm die Hälfte der Zahl vor dem xx, quadriere sie, ergänze sie und zieh sie sofort wieder ab.

y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1

Halbe 44 ist 22, quadriert 44. Also:

y=x2+4x+4⏟= (x+2)2−4+1=(x+2)2−3y = \underbrace{x^2 + 4x + 4}_{=\,(x+2)^2} - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3

Jetzt kannst du ablesen: S(−2∣−3)S(-2 \mid -3).

Warum ist das nützlich? Weil die Normalform den Scheitel versteckt. In y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1 steht nirgends eine −2-2 oder eine −3-3, erst die Umformung macht den tiefsten Punkt sichtbar. Genau das brauchst du bei Anwendungsaufgaben: „Wie hoch fliegt der Ball maximal?" ist die Frage nach dem Scheitel.

Kontrolle: Multipliziere dein Ergebnis wieder aus. Kommt die Ausgangsgleichung heraus, war die Ergänzung richtig: (x+2)2−3=x2+4x+4−3=x2+4x+1(x+2)^2 - 3 = x^2 + 4x + 4 - 3 = x^2 + 4x + 1 ✓

Parabel-Steckbrief aus der Gleichung

Beschreibe die Parabel y=−2(x+1)2+8y = -2(x + 1)^2 + 8: Scheitel, Öffnungsrichtung, Form und Anzahl der .

  1. 1

    Zuerst: welche Schreibweise liegt vor? Es steht eine Klammer im da, danach ein Zahlenglied. Das ist die Scheitelpunktform y=a(x−d)2+ey = a(x-d)^2 + e. Das ist die gute Nachricht: Alle gefragten Eigenschaften lassen sich ablesen, wir müssen nichts .

    Wir vergleichen Stück für Stück: a=−2a = -2, die Klammer ist (x+1)(x+1), das Zahlenglied ist +8+8.

  2. 2

    Den Scheitel bestimmen, und dabei auf das Vorzeichen achten. In der Formel steht (x−d)(x - d), in unserer aber (x+1)(x + 1). Damit beides zusammenpasst, schreiben wir um:

    x+1=x−(−1)⇒d=−1x + 1 = x - (-1) \qquad\Rightarrow\qquad d = -1

    Das ee übernehmen wir dagegen direkt: e=8e = 8.

    S(−1∣8)S(-1 \mid 8)

    Die Kontrolle dazu: Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer null wird. Setze x=−1x = -1 ein: (−1+1)=0(-1 + 1) = 0 ✓ Und y=−2⋅0+8=8y = -2 \cdot 0 + 8 = 8 ✓

  3. 3

    Öffnungsrichtung aus dem Vorzeichen von aa. Es ist a=−2a = -2, also negativ. Jeder yy-Wert wird dadurch nach unten geklappt, die Parabel öffnet sich nach unten.

    Das bedeutet auch: Der Scheitel ist hier der höchste Punkt der Kurve, nicht der tiefste.

  4. 4

    Form aus dem Betrag von aa. Es ist ∣a∣=2|a| = 2, und das ist größer als 11. Alle yy-Werte werden also verdoppelt, die Kurve steigt (bzw. fällt) doppelt so schnell wie die Normalparabel. Sie ist gestreckt, wirkt also schmaler.

    Bei ∣a∣<1|a| < 1 (etwa a=12a = \tfrac{1}{2}) wäre es umgekehrt: breiter.

  5. 5

    Anzahl der Nullstellen, ohne zu rechnen. Dafür brauchst du nur zwei Informationen, die wir schon haben:

    • Der Scheitel liegt bei y=8y = 8, also über der xx-Achse.
    • Die Parabel öffnet nach unten.

    Sie startet also oberhalb der Achse und läuft nach unten weg: nach links und nach rechts. Damit muss sie die Achse zweimal überqueren.

    ⇒  zwei Nullstellen\Rightarrow\; \textbf{zwei Nullstellen}

    (Wer möchte, rechnet nach: −2(x+1)2+8=0⇒(x+1)2=4⇒x+1=±2⇒x1=1,  x2=−3-2(x+1)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 4 \Rightarrow x+1 = \pm 2 \Rightarrow x_1 = 1,\; x_2 = -3.)

Es ist eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel mit dem Scheitel S(−1∣8)S(-1 \mid 8) und zwei Nullstellen.

Merke die Ablese-Reihenfolge: Vorzeichen von aa → Öffnung · Betrag von aa → Breite · Klammer → dd (Vorzeichen umdrehen!) · Zahlenglied → ee.

Nullstellen aus der Scheitelpunktform

Berechne die von y=(x−3)2−4y = (x - 3)^2 - 4.

  1. 1

    Was bedeutet „Nullstelle"? Es sind die Stellen, an denen der Graph die xx-Achse trifft. Auf der xx-Achse ist der yy-Wert null, deshalb lautet die Bedingung:

    y=0y = 0

    Wir setzen also den Funktionsterm gleich null:

    (x−3)2−4=0(x - 3)^2 - 4 = 0
  2. 2

    Welcher Weg ist hier der beste? Das xx kommt nur einmal vor, nämlich in der Klammer. Deshalb brauchen wir keine p-q-Formel. Wir können das isolieren und die ziehen. Das ist kürzer und weniger fehleranfällig.

    Zuerst also die −4-4 wegschaffen:

    (x−3)2−4=0∣  +4(x−3)2=4\begin{aligned} (x-3)^2 - 4 &= 0 &&|\; +4 \\ (x-3)^2 &= 4 \end{aligned}
  3. 3

    Jetzt die Wurzel ziehen, mit beiden Vorzeichen. Gefragt ist: Was steht in der Klammer, wenn ihr Quadrat 44 ergibt? Darauf gibt es zwei Antworten, +2+2 und −2-2:

    x−3=±2x - 3 = \pm 2

    Das ±\pm ist hier der entscheidende Schritt. Wer nur +2+2 schreibt, verliert eine Nullstelle und damit Punkte.

  4. 4

    Beide Fälle getrennt auflösen. Auf beiden Seiten +3+3 rechnen:

    x=3±2x = 3 \pm 2 x1=3+2=5x2=3−2=1x_1 = 3 + 2 = 5 \qquad\qquad x_2 = 3 - 2 = 1
  5. 5

    Kontrolle über die Symmetrie. Der Scheitel liegt bei x=3x = 3 (aus der Klammer (x−3)(x-3)). Die beiden Nullstellen müssen symmetrisch darum liegen:

    5−3=23−1=2  ✓5 - 3 = 2 \qquad\qquad 3 - 1 = 2 \;\checkmark

    Beide haben den Abstand 22 zur Scheitelachse. Wäre das nicht so, hätten wir einen Rechenfehler gemacht. Zusätzlich kannst du einsetzen: (5−3)2−4=4−4=0(5-3)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 ✓

Die Nullstellen liegen bei x1=1x_1 = 1 und x2=5x_2 = 5.

Wichtig zur Schreibweise: Nullstellen sind xx-Werte. Wer die Punkte angeben soll, schreibt (1∣0)(1 \mid 0) und (5∣0)(5 \mid 0), der yy-Wert ist dort immer null.

Quadratische Ergänzung

Bestimme den Scheitelpunkt von y=x2−6x+7y = x^2 - 6x + 7.

  1. 1

    Warum können wir den Scheitel nicht einfach ablesen? Weil hier die Normalform vorliegt. In ihr steht der Scheitel nicht sichtbar drin. Man sieht nur den yy-Achsenschnittpunkt (+7+7).

    Unser Ziel ist also die Scheitelpunktform y=(x−d)2+ey = (x-d)^2 + e, denn dort lässt sich S(d∣e)S(d \mid e) direkt ablesen. Den Weg dorthin liefert die quadratische Ergänzung.

  2. 2

    Die Idee dahinter. Wir wollen aus x2−6xx^2 - 6x ein vollständiges machen. Die erste sagt:

    (x−m)2=x2−2mx+m2(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2

    Vergleiche das mittlere Glied: Bei uns steht −6x-6x, in der Formel −2mx-2mx. Also muss 2m=62m = 6 sein, das heißt m=3m = 3, die Hälfte der Zahl vor dem xx.

  3. 3

    Die passende Ergänzungszahl bestimmen. Zu (x−3)2(x-3)^2 gehört das Glied m2=32=9m^2 = 3^2 = 9. Diese 99 fehlt uns. Also holen wir sie uns, und ziehen sie sofort wieder ab, damit sich der Wert des nicht ändert:

    y=x2−6x+9⏟jetzt ein Quadrat−9+7y = \underbrace{x^2 - 6x + 9}_{\text{jetzt ein Quadrat}} - 9 + 7

    Warum darf man das? Weil +9−9=0+9 - 9 = 0 ist. Wir addieren also nichts anderes als null, der Term bleibt derselbe, sieht aber anders aus.

  4. 4

    Das Quadrat zusammenfassen. Die ersten drei Glieder sind genau (x−3)2(x-3)^2:

    y=(x−3)2−9+7y = (x - 3)^2 - 9 + 7
  5. 5

    Die Zahlen hinter dem Quadrat zusammenrechnen.

    −9+7=−2⇒y=(x−3)2−2-9 + 7 = -2 \qquad\Rightarrow\qquad y = (x-3)^2 - 2

    Jetzt liegt die Scheitelpunktform vor.

  6. 6

    Ablesen, und auf das Vorzeichen achten. Aus (x−3)(x - 3) folgt d=+3d = +3 (in der Formel steht ja (x−d)(x - d)), und das Zahlenglied liefert e=−2e = -2:

    S(3∣−2)S(3 \mid -2)
  7. 7

    Kontrolle durch Ausmultiplizieren. Wenn unsere Umformung stimmt, muss rückwärts die Ausgangsgleichung entstehen:

    (x−3)2−2=x2−6x+9−2=x2−6x+7  ✓(x-3)^2 - 2 = x^2 - 6x + 9 - 2 = x^2 - 6x + 7 \;\checkmark

    Diese Probe kostet zehn Sekunden und deckt jeden Vorzeichenfehler auf.

Der Scheitelpunkt ist S(3∣−2)S(3 \mid -2), und weil a=1>0a = 1 > 0 ist, öffnet die Parabel nach oben; −2-2 ist damit der kleinste Funktionswert.

Das Rezept in einem Satz: Halbiere die Zahl vor dem xx, quadriere sie, ergänze sie und zieh sie sofort wieder ab.

Typischer Fehler

„y=(x−4)2+2y = (x - 4)^2 + 2, der Scheitel liegt bei (−4∣2)(-4 \mid 2), das Minus steht ja da."

Die Form heißt (x−d)2(x - d)^2, bei (x−4)2(x - 4)^2 ist d=+4d = \mathbf{+4}, Scheitel (4∣2)(4 \mid 2)! Kontrolle durch Einsetzen: Bei x=4x = 4 wird die Klammer null (kleinstmöglich) → dort liegt der Tiefpunkt. Frag dich immer: „Welches xx macht die Klammer zu null?". Das ist die Scheitel-x-Koordinate.

Übung 1

leicht

Gib Scheitel und Öffnungsrichtung an: a) y=(x−2)2+3y = (x - 2)^2 + 3 b) y=−(x+5)2y = -(x + 5)^2 c) y=x2−7y = x^2 - 7

Tipp anzeigen

Klammer-Null-Trick!

Lösung anzeigen

a) S(2∣3)S(2 \mid 3), nach oben

b) S(−5∣0)S(-5 \mid 0), nach unten

c) S(0∣−7)S(0 \mid -7), nach oben

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Scheitelpunktform ablesen

    y=(x−2)2+3y = (x-2)^2 + 3 hat die Form y=a(x−d)2+ey = a(x-d)^2 + e mit d=2d = 2, e=3e = 3: Scheitel S(2∣3)S(2 \mid 3); a=1>0a = 1 > 0 → nach oben geöffnet.

  2. 2

    b) Minus vor der Klammer

    y=−(x+5)2y = -(x+5)^2: Klammer null bei x=−5x = -5, kein +e+e → S(−5∣0)S(-5 \mid 0); das Minus vor der Klammer öffnet die Parabel nach unten.

  3. 3

    c) Verschobene Normalparabel ohne Klammer

    y=x2−7y = x^2 - 7 ist y=(x−0)2+(−7)y = (x-0)^2 + (-7): Scheitel S(0∣−7)S(0 \mid -7), nach oben geöffnet.

Übung 2

mittel

Die Parabel y=(x+1)2−9y = (x + 1)^2 - 9 schneidet die x-Achse. Berechne die und gib die Symmetrieachse an.

Tipp anzeigen

(x+1)2=9(x+1)^2 = 9, dann ±.

Lösung anzeigen

(x+1)2=9⇒x+1=±3(x + 1)^2 = 9 \Rightarrow x + 1 = \pm 3

x1=2x_1 = 2, x2=−4x_2 = -4

Symmetrieachse: x=−1x = -1 (Mitte der Nullstellen: 2+(−4)2=−1\frac{2 + (-4)}{2} = -1 ✓)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Nullstellen: Gleichung aufstellen und isolieren

    Nullstellen heißt y=0y = 0: (x+1)2−9=0⇒(x+1)2=9(x+1)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 9.

  2. 2

    Wurzelziehen mit beiden Vorzeichen

    (x+1)2=9⇒x+1=3(x+1)^2 = 9 \Rightarrow x + 1 = 3 oder x+1=−3x + 1 = -3 → x1=2x_1 = 2, x2=−4x_2 = -4.

    x+1=±3⇒x1=2,  x2=−4x + 1 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 2, \; x_2 = -4

  3. 3

    Symmetrieachse angeben

    Die Achse läuft durch den Scheitel: x=−1x = -1. Kontrolle: Mitte der Nullstellen 2+(−4)2=−1\frac{2 + (-4)}{2} = -1 ✓.

Übung 3

schwer

Ein Ball wird geworfen; seine Flugbahn ist h(x)=−0,5(x−4)2+8h(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 8 (xx = Weite, hh = Höhe in Metern). a) In welcher Entfernung erreicht der Ball die maximale Höhe, und wie hoch? b) Aus welcher Höhe startet der Ball (x=0x = 0)? c) Wo landet er (h=0h = 0)?

Tipp anzeigen

a) Scheitel! c) (x−4)2=16(x-4)^2 = 16.

Lösung anzeigen

a) Scheitel S(4∣8)S(4 \mid 8): nach 4 m Weite die Maximalhöhe 8 m.

b) h(0)=−0,5⋅16+8=0h(0) = -0{,}5 \cdot 16 + 8 = 0, der Ball startet am Boden.

c) −0,5(x−4)2+8=0⇒(x−4)2=16⇒x=8-0{,}5(x-4)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 = 16 \Rightarrow x = 8 (oder x=0x = 0, der Start). Er landet nach 8 m.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Scheitel = höchster Punkt der Flugbahn

    h(x)=−0,5(x−4)2+8h(x) = -0{,}5(x-4)^2 + 8 hat den Scheitel S(4∣8)S(4 \mid 8); wegen a=−0,5<0a = -0{,}5 < 0 ist er das MAXIMUM: nach 44 m Weite die größte Höhe 88 m.

  2. 2

    b) Starthöhe: x = 0 einsetzen

    h(0)=−0,5⋅(0−4)2+8=−0,5⋅16+8=−8+8=0h(0) = -0{,}5 \cdot (0-4)^2 + 8 = -0{,}5 \cdot 16 + 8 = -8 + 8 = 0: Der Ball startet am Boden.

    h(0)=−0,5⋅16+8=0h(0) = -0{,}5 \cdot 16 + 8 = 0

  3. 3

    c) Landepunkt: h(x) = 0 lösen

    −0,5(x−4)2+8=0⇒(x−4)2=16⇒x−4=±4-0{,}5(x-4)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 = 16 \Rightarrow x - 4 = \pm 4 → x=8x = 8 oder x=0x = 0. Der Start ist x=0x = 0, gelandet wird bei x=8x = 8 m.

    (x−4)2=16⇒x−4=±4(x-4)^2 = 16 \Rightarrow x - 4 = \pm 4

Alternative Lösungswege

Zusammenfassung

Quadratische Funktionen zeichnen Parabeln: Die Scheitelpunktform y=a(x−d)2+ey = a(x-d)^2 + e verrät Scheitel (d∣e)(d \mid e), Öffnung und Breite auf einen Blick, der Klammer-Null-Trick schützt vor der Vorzeichenfalle. findest du durch Nullsetzen (0, 1 oder 2 Stück, symmetrisch um den Scheitel), und die quadratische Ergänzung übersetzt jede Normalform zurück in die Scheitelpunktform.