Kondensator laden und entladen

Ein Kondensator speichert Ladung, aber nicht schlagartig: Über einen Widerstand geladen, nähert sich seine Spannung dem Endwert in einer charakteristischen e-Funktions-Kurve mit der Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$. Dieses Experiment vermisst Laden und Entladen, gewinnt daraus Kapazität und gespeicherte Energie, und stellt dann die Systemfrage des Wechselstroms: Warum sperrt der Kondensator Gleichstrom, lässt Wechselstrom aber dauerhaft passieren, und zwar umso besser, je höher die Frequenz?

RC-Glieder takten Blinker, entprellen Schalter, glätten Netzteile und bilden mit dem Verhalten am Wechselstrom die Grundlage aller Frequenzfilter, vom Lautsprecher-Weichenzweig bis zum Radioempfänger. Physikalisch ist der Versuch doppelt wertvoll: Die e-Funktion wird als reales Messergebnis erlebt, und am DC/AC-Kontrast wird der Unterschied zwischen Widerstand und Reaktanz greifbar, sauber getrennt statt verwechselt.

RC-Zeitglieder gehören seit den Anfängen der Elektronik zu den meistgebauten Schaltungen überhaupt; die mathematische Beschreibung der Lade-e-Funktion geht auf die Telegrafenkabel-Analysen des 19. Jahrhunderts zurück (Thomsons Kabeltheorie von 1854), wo die RC-Trägheit der Seekabel die Signalgeschwindigkeit begrenzte.

Bestimme $\tau$ aus drei unabhängigen Entladevorgängen (Zeit bis $37\ \%$ des Startwerts) und berechne daraus die Kapazität. Vergleiche mit dem Aufdruck (1000 µF) und mit dessen Toleranzangabe.

Die Messidee umgedreht: In den Zielsetzungen A und B war $C$ bekannt und $\tau$ die Vorhersage. Jetzt wird der Spieß umgedreht, denn eine Zeit lässt sich viel genauer messen als eine Kapazität direkt: $\tau$ aus der Kurve, $R$ vom Präzisionswiderstand, dann ist $C = \tau/R$. Diese Umkehrung ist dasselbe Prinzip wie beim Fadenpendel (aus $T$ und $l$ die Fallbeschleunigung): Eine gut messbare Größe trägt eine schlecht messbare.

Alternative Ablesemarke: Statt der 37-%-Marke eignet sich auch die Halbwertszeit $t_{1/2}$ (Zeit bis zur halben Spannung); es gilt $t_{1/2} = \tau \cdot \ln 2 \approx 0{,}69\,\tau$. Beide Marken müssen konsistente $\tau$-Werte liefern: eine eingebaute Selbstkontrolle.

Aufbau der Entlade-Zielsetzung; der Widerstand sollte ein enger tolerierter Typ sein (1 %), denn seine Genauigkeit begrenzt die C-Bestimmung.

Entladekurve mit eingezeichneten Ablesemarken: 37-%-Linie und 50-%-Linie mit den zugehörigen Zeiten.

Aufbau: Gleichspannungsquelle (9 V), Umschalter (Stellung „laden“ verbindet Quelle über den Widerstand mit dem Kondensator, Stellung „entladen“ schließt den Kondensator über denselben Widerstand kurz), Elko 1000 µF, Widerstand 1 kΩ, Messwerterfassung oder Voltmeter/Amperemeter mit Stoppuhr. Für den Wechselstromteil: Funktionsgenerator bzw. AC-Ausgang, Kondensator 10 µF, Messgeräte im AC-Bereich.

Schritt 1: Drei Entladevorgänge durchführen; je Durchlauf die Zeit bis $3{,}3\ \mathrm{V}$ (37 % von 9 V) stoppen.

Schritt 2: Zusätzlich in einem Durchlauf die Zeit bis $4{,}5\ \mathrm{V}$ (50 %) stoppen.

Schritt 3: Mittelwert von $\tau$ bilden, $C$ berechnen, Konsistenz der 50-%-Marke prüfen.

Die 50-%-Marke wurde bei $0{,}70\ \mathrm{s}$ durchlaufen.

Schritt 1: Zeitkonstante. Mittelwert der drei Messungen:

Schritt 2: Konsistenzprüfung. Die Halbwertszeit-Marke liegt bei $t_{1/2} = 0{,}70\ \mathrm{s}$, und $0{,}70 / \ln 2 = 1{,}01\ \mathrm{s}$. Beide Marken liefern dasselbe $\tau$, die Kurve ist wirklich exponentiell.

Schritt 3: Kapazität.

Schritt 4: Vergleich. Aufdruck: $1000\ \mathrm{µF}$ mit typischer Elko-Toleranz von $\pm 20\ \%$. Der Messwert liegt mitten im Toleranzband und ist deutlich genauer als der Aufdruck: Die Zeitmessung (wenige Prozent Unsicherheit) schlägt die Herstellerangabe.

Aus $\tau = 1{,}01\ \mathrm{s}$ und $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ folgt $C = 1010\ \mathrm{µF}$, konsistent über zwei Ablesemarken und genauer als der Bauteilaufdruck. Die Zeitkonstante macht die Kapazität einer einfachen Zeitmessung zugänglich.

Da $C = \tau/R$ ein Quotient ist, addieren sich die relativen Fehler von Zeitmessung und Widerstand: