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Kondensator laden und entladen

SchulversuchElektrizitätslehreKlasse 11Fortgeschritten

Worum geht es?

Ein speichert , aber nicht schlagartig: Über einen Widerstand geladen, nähert sich seine dem Endwert in einer charakteristischen e-Funktions-Kurve mit der Zeitkonstante τ=R⋅C\tau = R \cdot C. Dieses vermisst Laden und Entladen, gewinnt daraus Kapazität und gespeicherte , und stellt dann die Systemfrage des Wechselstroms: Warum sperrt der Kondensator Gleichstrom, lässt Wechselstrom aber dauerhaft passieren, und zwar umso besser, je höher die ?

Warum macht man dieses Experiment?

RC-Glieder takten Blinker, entprellen Schalter, glätten Netzteile und bilden mit dem Verhalten am Wechselstrom die Grundlage aller Frequenzfilter, vom Lautsprecher-Weichenzweig bis zum Radioempfänger. Physikalisch ist der Versuch doppelt wertvoll: Die e-Funktion wird als reales Messergebnis erlebt, und am DC/AC-Kontrast wird der Unterschied zwischen Widerstand und Reaktanz greifbar, sauber getrennt statt verwechselt.

Die physikalische Idee

Beim Laden über einen Widerstand ist der Strom anfangs groß (leerer wirkt wie ein Kurzschluss) und versiegt, je voller der Kondensator wird: Die wachsende Gegenspannung drosselt den Nachschub. Zeitmaß dieses Vorgangs ist τ=RC\tau = RC. Am Wechselstrom kommt der Kondensator nie zum „Vollwerden“: Er wird fortlaufend umgeladen, und dieser Umladestrom fließt dauerhaft im Kreis, ohne dass je eine das Dielektrikum durchquert.

Benötigtes Vorwissen

Für dieses Experiment hilft dir dieses Vorwissen. Du kannst es jederzeit nachschlagen — das Experiment bleibt auch so verständlich.

Wissenschaftliche Einordnung

RC-Zeitglieder gehören seit den Anfängen der Elektronik zu den meistgebauten Schaltungen überhaupt; die mathematische Beschreibung der Lade-e-Funktion geht auf die Telegrafenkabel-Analysen des 19. Jahrhunderts zurück (Thomsons Kabeltheorie von 1854), wo die RC-Trägheit der Seekabel die Signalgeschwindigkeit begrenzte.

Versuchsziel

Was möchtest du untersuchen?

Aktuelles Versuchsziel

Energie des geladenen Kondensators

Bestimme die im geladenen gespeicherte E=12CU2E = \tfrac{1}{2} C U^2, mache sie im als Arbeitsvermögen sichtbar und kläre, woher der Faktor 12\tfrac{1}{2} kommt.

Gesucht

  • — Gespeicherte Feldenergie (in )

    Die Energiemenge, die beim Entladen als Arbeit oder Wärme frei wird.

Bekannt

  • — Kapazität (in )

    Aus Zielsetzung C: 1000 µF (gemessen 1010 µF, gerechnet wird mit dem Nennwert).

  • — Ladespannung (in )

    9,0 V, am Voltmeter kontrolliert.

Der Weg von der Messung zum Ergebnis:

Für diese Zielsetzung brauchst du:

  • Berechnet die Feldenergie aus den beiden bekannten Größen; der Faktor ½ wird in der Vorbetrachtung begründet.Zur Formelsammlung

Versuchsprotokoll

So ist ein physikalisches Versuchsprotokoll aufgebaut. Die Reihenfolge ist immer dieselbe — die Inhalte gehören zu deinem gewählten Versuchsziel.

1Aufgabenstellung

Berechne die des auf 9 V9\ \mathrm{V} geladenen 1000-µF-Kondensators. Lass ihn dann einen kleinen Motor speisen, der ein Gewichtsstück hebt, und vergleiche die beobachtete Hubhöhe mit der theoretisch maximal möglichen.

2Vorbetrachtung

Warum ½·C·U² und nicht C·U²?

  1. ist mal , aber welche Spannung? Beim Laden wächst die Kondensatorspannung von 00 auf UU: Die erste Ladungsportion wird fast ohne Gegenspannung aufgebracht, die letzte gegen die volle Spannung.

  2. Trägt man die Spannung über der transportierten Ladung auf, entsteht eine Gerade von (0,0)(0,0) bis (Q,U)(Q, U), denn u=q/Cu = q/C wächst linear mit qq. Die Energie ist die Fläche unter dieser Geraden, ein Dreieck:

  3. Mit Q=C⋅UQ = C \cdot U folgt die gebräuchliche Form:

  4. Der Faktor 12\tfrac{1}{2} ist also die Dreiecksfläche: der Mittelwert zwischen „erste Ladung umsonst“ und „letzte Ladung voll bezahlt“. (Die andere Hälfte der von der Quelle gelieferten Energie Q⋅UQ \cdot U wird beim Laden über einen Widerstand dort zu , unabhängig von dessen Größe.)

Woher der Faktor ½ kommtUQE = ½ · Q · UQ = C · UE = ½ · C · U² ist dasselbe, nur mit Q = C · U eingesetzt

Die Dreiecksfläche unter der QQ-UU-Geraden ist die gespeicherte Energie: der geometrische Grund für den Faktor 12\tfrac{1}{2}.

3Geräte / Stoffe

mit Ladeschaltung, dazu Motor mit Fadenrolle und Gewichtsstück an einem Maßstab. Der Motor wird direkt vom Kondensator gespeist (kein Widerstand dazwischen, damit möglichst viel ankommt).

  • Elektrolytkondensator 1000 µF

    Der Speicher: groß genug, dass Laden und Entladen im Sekundenmaßstab beobachtbar sind.

  • Widerstand 1 kΩ

    Begrenzt den Strom und bestimmt zusammen mit C das Zeitmaß τ=RC=1 s\tau = RC = 1\ \mathrm{s}.

  • Gleichspannungsquelle 9 V und Umschalter

    Erlauben definierten Wechsel zwischen Laden und Entladen.

  • Voltmeter, Amperemeter, Stoppuhr (oder Messinterface)

    Erfassen die Zeitverläufe von und Strom.

  • Funktionsgenerator oder AC-Ausgang, Kondensator 10 µF

    Für den Wechselstromteil mit einstellbarer .

  • Kleiner Elektromotor mit Fadenrolle und Gewichtsstück (50 bis 100 g)

    Wandelt die Kondensatorenergie sichtbar in um.

  • LED mit Vorwiderstand

    Alternative Anzeige: Leuchtdauer als grobes Energiemaß.

4Skizze des Versuchsaufbaus

mit Umschalter: Stellung 1 lädt an der Quelle, Stellung 2 verbindet mit dem Motor, dessen Fadenrolle das Gewichtsstück hebt; Maßstab für die Hubhöhe daneben.

Laden und Entladen brauchen ZeitLadenτtU63 %EntladenτtU37 %Der Endwert wird theoretisch nie ganz erreicht

Die beiden Zeitverläufe im Überblick: Beim Laden steigt uCu_C mit abflachender Kurve gegen den Endwert, beim Entladen fällt sie spiegelbildlich. Nach der Zeit τ=RC\tau = RC sind jeweils rund 63 %63\ \% des Weges geschafft.

Aufbau: Gleichspannungsquelle (9 V), Umschalter (Stellung „laden“ verbindet Quelle über den Widerstand mit dem , Stellung „entladen“ schließt den Kondensator über denselben Widerstand kurz), Elko 1000 µF, Widerstand 1 kΩ, Messwerterfassung oder Voltmeter/Amperemeter mit Stoppuhr. Für den Wechselstromteil: Funktionsgenerator bzw. AC-Ausgang, Kondensator 10 µF, Messgeräte im AC-Bereich.

5Durchführung

Schritt 1: auf 9,0 V9{,}0\ \mathrm{V} laden.

Schritt 2: Auf den Motor umschalten; Hubhöhe des Gewichtsstücks messen, bis der Motor stehen bleibt.

Schritt 3: Wiederholen mit halber Ladespannung (4,5 V4{,}5\ \mathrm{V}): Wie ändert sich die Hubhöhe?

6Beobachtung

Hubversuch (Gewichtsstück 100 g100\ \mathrm{g})
Ladespannungbeobachtete Hubhöhe
9,0 V9{,}0\ \mathrm{V}≈1,5 cm\approx 1{,}5\ \mathrm{cm}
4,5 V4{,}5\ \mathrm{V}≈0,4 cm\approx 0{,}4\ \mathrm{cm}

Beispieldaten zur Veranschaulichung — keine echten Messwerte.

7Auswertung

Schritt 1: berechnen.

E=12⋅0,001 F⋅(9,0 V)2=0,0405 J≈40 mJE = \frac{1}{2} \cdot 0{,}001\ \mathrm{F} \cdot (9{,}0\ \mathrm{V})^2 = 0{,}0405\ \mathrm{J} \approx 40\ \mathrm{mJ}

Schritt 2: Was wäre damit maximal möglich? E=mghE = m g h nach hh aufgelöst:

hmax=Em⋅g=0,0405 J0,100 kg⋅9,81 m/s2≈4 cmh_\mathrm{max} = \frac{E}{m \cdot g} = \frac{0{,}0405\ \mathrm{J}}{0{,}100\ \mathrm{kg} \cdot 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}} \approx 4\ \mathrm{cm}

Beobachtet wurden 1,5 cm1{,}5\ \mathrm{cm}. Der Motor nutzt also rund 40 %40\ \% der Energie als Hubarbeit, der Rest wird in Motor und Zuleitung zu (plausibel für einen kleinen Gleichstrommotor bei rasch fallender ).

Schritt 3: Der U2U^2-Test. Halbe Spannung sollte ein Viertel der Energie bedeuten, nicht die Hälfte. Die Hubhöhe fällt tatsächlich auf gut ein Viertel (0,40{,}4 statt 1,5 cm1{,}5\ \mathrm{cm}): Die quadratische Spannungsabhängigkeit ist experimentell sichtbar, das Herzstück der Formel.

8Fazit

Der geladene speichert E=12CU2≈40 mJE = \tfrac{1}{2} C U^2 \approx 40\ \mathrm{mJ}: genug, um ein 100-g-Stück sichtbar zu heben. Der Faktor 12\tfrac{1}{2} ist die Dreiecksfläche der Q-U-Kennlinie, und die quadratische Spannungsabhängigkeit zeigt sich direkt im Hubversuch.

9Fehlerbetrachtung

Der Hubvergleich ist bewusst grob; seine Verluste sind Teil des Lehrstücks:

Motor- und Getriebeverlusteeher systematisch

Ursache

, Ankerwiderstand und die schnell einbrechende Kondensatorspannung senken den .

Auswirkung

Die beobachtete Hubhöhe bleibt deutlich unter dem Maximalwert; der Vergleich taugt für Größenordnung und U²-Test, nicht für Prozentgenauigkeit.

Verbesserung

ausweisen statt verschweigen; für genauere Bilanzen die Wärmemethode (Entladen in Widerstand im Kalorimeter) verwenden.

Motor läuft unter Mindestspannung nicht mehreher systematisch

Ursache

Unterhalb einiger Volt bleibt der Motor stehen, obwohl noch im steckt.

Auswirkung

Ein fester Energierest wird nie in Hub umgesetzt; besonders die Messung mit 4,5 V unterschätzt die überproportional.

Verbesserung

Restspannung nach Stillstand messen und die Restenergie herausrechnen.

Das Wichtigste

Laden

uC(t)=U0(1−e−t/τ)u_C(t) = U_0 (1 - e^{-t/\tau}) mit τ=RC\tau = RC: nach τ\tau sind 63 %63\ \% erreicht, nach 5τ5\tau praktisch 100 %100\ \%. Der Ladestrom startet bei U0/RU_0/R und klingt auf null ab.

Entladen

uC(t)=U0⋅e−t/τu_C(t) = U_0 \cdot e^{-t/\tau}; der Strom fließt in Gegenrichtung (negatives Vorzeichen) und klingt ebenso ab.

Stationär bei DC

Am geladenen idealen fließt kein Gleichstrom mehr: Für Gleichspannung ist er eine Unterbrechung.

AC-Verhalten

Wechselspannung lädt ihn fortlaufend um: Es fließt dauerhaft Strom mit der Reaktanz XC=12πfCX_C = \tfrac{1}{2\pi f C}; höhere oder bedeutet kleineres XCX_C, also mehr Strom. Der Strom eilt der um 90∘90^\circ voraus.

Energie

Der geladene speichert E=12CU2E = \tfrac{1}{2} C U^2 im , abrufbar als Stromstoß.

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