Kondensator laden und entladen

Ein Kondensator speichert Ladung, aber nicht schlagartig: Über einen Widerstand geladen, nähert sich seine Spannung dem Endwert in einer charakteristischen e-Funktions-Kurve mit der Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$. Dieses Experiment vermisst Laden und Entladen, gewinnt daraus Kapazität und gespeicherte Energie, und stellt dann die Systemfrage des Wechselstroms: Warum sperrt der Kondensator Gleichstrom, lässt Wechselstrom aber dauerhaft passieren, und zwar umso besser, je höher die Frequenz?

RC-Glieder takten Blinker, entprellen Schalter, glätten Netzteile und bilden mit dem Verhalten am Wechselstrom die Grundlage aller Frequenzfilter, vom Lautsprecher-Weichenzweig bis zum Radioempfänger. Physikalisch ist der Versuch doppelt wertvoll: Die e-Funktion wird als reales Messergebnis erlebt, und am DC/AC-Kontrast wird der Unterschied zwischen Widerstand und Reaktanz greifbar, sauber getrennt statt verwechselt.

RC-Zeitglieder gehören seit den Anfängen der Elektronik zu den meistgebauten Schaltungen überhaupt; die mathematische Beschreibung der Lade-e-Funktion geht auf die Telegrafenkabel-Analysen des 19. Jahrhunderts zurück (Thomsons Kabeltheorie von 1854), wo die RC-Trägheit der Seekabel die Signalgeschwindigkeit begrenzte.

Lade den Kondensator ($C = 1000\ \mathrm{µF}$) über $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ an $U_0 = 9\ \mathrm{V}$. Nimm $u_C$ und $i$ im Sekundenabstand auf, zeichne beide Kurven und bestimme $\tau$ aus der Messung. Vergleiche mit $R \cdot C$.

Warum lädt der Kondensator nicht schlagartig? Im Einschaltmoment ist er leer ($u_C = 0$): Die volle Quellenspannung liegt am Widerstand, es fließt der Maximalstrom $U_0/R = 9\ \mathrm{mA}$. Jede zufließende Ladung erhöht aber $u_C$, und am Widerstand bleibt nur noch die Differenz $U_0 - u_C$ übrig: Der Nachschub drosselt sich selbst. Ein Vorgang, dessen Änderungsrate proportional zum verbleibenden Rest ist, folgt einer e-Funktion, daher die charakteristische Kurvenform.

Was $\tau$ bedeutet: $\tau = RC$ hat tatsächlich die Einheit einer Zeit ($\Omega \cdot \mathrm{F} = \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} \cdot \tfrac{\mathrm{As}}{\mathrm{V}} = \mathrm{s}$). Nach $t = \tau$ sind $1 - e^{-1} \approx 63\ \%$ des Endwerts erreicht, nach $5\tau$ über $99\ \%$. Für unsere Werte: $\tau = 1000\ \Omega \cdot 0{,}001\ \mathrm{F} = 1{,}0\ \mathrm{s}$: bequem von Hand messbar.

Der RC-Aufbau mit Umschalter; Voltmeter am Kondensator, Amperemeter im Ladezweig. Mit Messinterface entstehen die Kurven automatisch; von Hand genügt der Sekundentakt einer Stoppuhr.

Schaltplan: Quelle, Umschalter, R und C in Reihe; Voltmeter parallel zu C, Amperemeter zwischen R und C. Die Entladestellung des Schalters ist für Zielsetzung B eingezeichnet.

Aufbau: Gleichspannungsquelle (9 V), Umschalter (Stellung „laden“ verbindet Quelle über den Widerstand mit dem Kondensator, Stellung „entladen“ schließt den Kondensator über denselben Widerstand kurz), Elko 1000 µF, Widerstand 1 kΩ, Messwerterfassung oder Voltmeter/Amperemeter mit Stoppuhr. Für den Wechselstromteil: Funktionsgenerator bzw. AC-Ausgang, Kondensator 10 µF, Messgeräte im AC-Bereich.

Schritt 1: Kondensator vollständig entladen (Schalter kurz auf „entladen“), $u_C = 0$ prüfen.

Schritt 2: Auf „laden“ schalten und gleichzeitig die Stoppuhr starten; $u_C$ und $i$ jede Sekunde notieren, bis sich die Werte nicht mehr ändern (ca. 5 s).

Schritt 3: Beide Kurven zeichnen; aus der $u_C$-Kurve die Zeit ablesen, bei der $63\ \%$ von $9\ \mathrm{V}$ (also $5{,}7\ \mathrm{V}$) erreicht sind.

Kurvenform: $u_C$ steigt zunächst steil und flacht gegen $9\ \mathrm{V}$ ab; $i$ startet bei $9\ \mathrm{mA}$ und klingt spiegelbildlich ab. Zu jedem Zeitpunkt gilt die Kontrolle $u_R + u_C = U_0$: Was der Kondensator schon hat, fehlt dem Widerstand (z. B. bei $t = 1\ \mathrm{s}$: $3{,}3\ \mathrm{mA} \cdot 1\ \mathrm{k\Omega} = 3{,}3\ \mathrm{V}$ und $5{,}7\ \mathrm{V}$ ergeben $9{,}0\ \mathrm{V}$).

Zeitkonstante: Die $5{,}7$-V-Marke ($63\ \%$) wird bei $t \approx 1{,}0\ \mathrm{s}$ durchlaufen: $\tau_\mathrm{gemessen} = 1{,}0\ \mathrm{s}$, in Übereinstimmung mit $\tau = RC = 1\ \mathrm{k\Omega} \cdot 1000\ \mathrm{µF} = 1{,}0\ \mathrm{s}$.

Weitere Kontrolle der e-Funktion: In jeder weiteren Sekunde schrumpft der Rest zum Endwert auf etwa $37\ \%$ des vorherigen Rests ($9 \to 3{,}3 \to 1{,}2 \to 0{,}45\ \mathrm{mA}$ beim Strom): das Kennzeichen exponentiellen Abklingens, gleiches Verhältnis in gleichen Zeitschritten.

Der Kondensator lädt sich mit der e-Funktions-Kurve $u_C = U_0(1 - e^{-t/\tau})$: Nach $\tau = RC = 1{,}0\ \mathrm{s}$ sind $63\ \%$ erreicht, nach $5\tau$ ist er praktisch voll, und der Ladestrom ist auf null abgeklungen. Für Gleichspannung ist der volle Kondensator eine Unterbrechung.

Die Handmessung im Sekundentakt bringt eigene Grenzen mit: