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Vektoren / Analytische Geometrie

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Ein Vektor, der auf zwei anderen senkrecht steht, der Normalenvektor per Kreuzprodukt.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie findet man einen , der auf zwei gegebenen Vektoren gleichzeitig senkrecht steht? Genau das leistet das Vektorprodukt (Kreuzprodukt): Aus zwei Vektoren macht es einen dritten, den Normalenvektor einer Ebene. Es ist der Schlüssel zu und zur Berechnung von im Raum.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das Vektorprodukt zweier berechnen.

  • es als Normalenvektor einer Ebene deuten (senkrecht auf beiden).

  • den Betrag als des aufgespannten nutzen.

  • Vektor- und sicher unterscheiden.

Die Aufgabe: ein Vektor senkrecht auf zwei anderen

Mit dem kannst du prüfen, ob zwei senkrecht stehen. Jetzt drehen wir die Frage um:

Gegeben sind zwei Vektoren a⃗\vec a und b⃗\vec b. Gesucht ist ein Vektor n⃗\vec n, der auf beiden senkrecht steht.

Diese Frage ist alles andere als konstruiert. Sie ist der Schlüssel zum Ebenen-Kapitel. Zwei Vektoren spannen eine Ebene auf; ein Vektor senkrecht zu beiden steht dann senkrecht auf der ganzen Ebene und beschreibt damit ihre Lage im Raum.

Die Bedingungen aufschreiben

„Senkrecht" heißt nach dem vorigen Kapitel: Skalarprodukt gleich null. Für beide Vektoren zusammen sind das zwei Bedingungen:

n⃗⋅a⃗=0undn⃗⋅b⃗=0\vec n \cdot \vec a = 0 \qquad\text{und}\qquad \vec n \cdot \vec b = 0

Ausgeschrieben in Koordinaten:

n1a1+n2a2+n3a3=0n1b1+n2b2+n3b3=0\begin{aligned} n_1a_1 + n_2a_2 + n_3a_3 &= 0\\ n_1b_1 + n_2b_2 + n_3b_3 &= 0 \end{aligned}

Was uns dieses Gleichungssystem verrät

Es sind zwei mit drei Unbekannten n1n_1, n2n_2, n3n_3, also unterbestimmt. Ein solches System hat unendlich viele Lösungen.

Das ist kein Mangel, sondern inhaltlich richtig: Ist n⃗\vec n eine Lösung, so steht auch jedes rn⃗r\vec n senkrecht auf beiden Vektoren, die Richtung ändert sich ja nicht. Alle Lösungen liegen auf einer Geraden. Gesucht ist also nicht der eine Vektor, sondern ein beliebiger Vertreter dieser Richtung.

Die Lösung, die man sich merkt

Löst man das System allgemein, erhält man einen Vertreter, der sich in einer Formel festhalten lässt, das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt):

a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Statt bei jeder Aufgabe ein zu lösen, setzt man die Koordinaten in diese Vorschrift ein. Dass sie wirklich leistet, was wir wollten, rechnen wir im nächsten Abschnitt nach, geglaubt werden muss hier nichts.

Wie man sich die Formel merkt

Jede Zeile des Ergebnisses benutzt die beiden anderen Zeilen der Ausgangsvektoren, über Kreuz multipliziert und subtrahiert:

Ergebniszeilebenutzte ZeilenRechnung
12 und 3a2b3−a3b2a_2b_3 - a_3b_2
23 und 1a3b1−a1b3a_3b_1 - a_1b_3
31 und 2a1b2−a2b1a_1b_2 - a_2b_1

Die Indizes laufen zyklisch 1→2→3→11 \to 2 \to 3 \to 1: Nach der 33 kommt wieder die 11. Deshalb steht in der mittleren Zeile 3 13\,1 und nicht 1 31\,3, die häufigste Fehlerquelle bei dieser Formel. Wer dort die Reihenfolge vertauscht, erhält in der zweiten Koordinate das falsche Vorzeichen.

Das Zeichen ×\times unterscheidet das Vektorprodukt vom Skalarprodukt, das mit einem Punkt ⋅\cdot geschrieben wird. Die beiden dürfen nie verwechselt werden, sie liefern nicht einmal denselben Typ von Ergebnis.

Der Nachweis: warum das Ergebnis senkrecht steht

Die Formel wurde im vorigen Abschnitt angekündigt, aber noch nicht überprüft. Das holen wir jetzt nach, und zwar vollständig, denn der Nachweis besteht nur aus Einsetzen und Sortieren.

Skalarprodukt mit a⃗\vec a bilden

Zu zeigen ist (a⃗×b⃗)⋅a⃗=0(\vec a \times \vec b) \cdot \vec a = 0. Wir setzen die drei Koordinaten des Kreuzprodukts ein und multiplizieren sie paarweise mit denen von a⃗\vec a:

(a⃗×b⃗)⋅a⃗=(a2b3−a3b2) a1+(a3b1−a1b3) a2+(a1b2−a2b1) a3(\vec{a}\times\vec{b}) \cdot \vec{a} = (a_2b_3 - a_3b_2)\,a_1 + (a_3b_1 - a_1b_3)\,a_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)\,a_3

Ausmultiplizieren

Jede Klammer wird mit dem Faktor dahinter ausmultipliziert. Es entstehen sechs :

=a1a2b3−a1a3b2+a2a3b1−a1a2b3+a1a3b2−a2a3b1= a_1a_2b_3 - a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 - a_1a_2b_3 + a_1a_3b_2 - a_2a_3b_1

Sortieren, und alles hebt sich auf

Suche zu jedem Term seinen Gegenspieler. Sie stehen paarweise da, mit entgegengesetzten Vorzeichen:

=(a1a2b3−a1a2b3)⏟=  0+(−a1a3b2+a1a3b2)⏟=  0+(a2a3b1−a2a3b1)⏟=  0=0= \underbrace{\big(a_1a_2b_3 - a_1a_2b_3\big)}_{=\;0} + \underbrace{\big(-a_1a_3b_2 + a_1a_3b_2\big)}_{=\;0} + \underbrace{\big(a_2a_3b_1 - a_2a_3b_1\big)}_{=\;0} = 0

Das Ergebnis ist null, für beliebige a⃗\vec a und b⃗\vec b. Damit steht a⃗×b⃗\vec a \times \vec b tatsächlich senkrecht auf a⃗\vec a, und zwar nicht zufällig in einem Beispiel, sondern immer.

Für b⃗\vec b verläuft die Rechnung genauso; auch dort heben sich alle sechs Terme paarweise weg.

(a⃗×b⃗)⊥a⃗und(a⃗×b⃗)⊥b⃗(\vec{a}\times\vec{b}) \perp \vec{a} \qquad\text{und}\qquad (\vec{a}\times\vec{b}) \perp \vec{b}

Die praktische Folge: der Normalenvektor

Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht, heißt Normalenvektor dieser Ebene (von lateinisch norma, „Winkelmaß"). Weil a⃗×b⃗\vec a \times \vec b auf beiden aufspannenden Vektoren senkrecht steht, steht es senkrecht auf der gesamten von ihnen aufgespannten Ebene.

Das macht das Kreuzprodukt zum wichtigsten Werkzeug für die im Ebenen-Kapitel.

Zwei Eigenschaften, die man kennen muss

Die Reihenfolge ist hier nicht gleichgültig. Vertauscht man a⃗\vec a und b⃗\vec b, dreht sich in jeder Zeile das Vorzeichen um:

b⃗×a⃗=− (a⃗×b⃗)\vec b \times \vec a = -\,(\vec a \times \vec b)

Der Vektor zeigt dann in die Gegenrichtung. Er steht aber weiterhin senkrecht auf der Ebene. Für Ebenengleichungen ist das gleichgültig, für Richtungsangaben nicht. Beim war die Reihenfolge egal, beim Vektorprodukt ist sie es nicht.

Parallele Vektoren ergeben den Nullvektor. Ist b⃗=ra⃗\vec b = r\vec a, so liefert die Formel in jeder Zeile null. Auch das ist inhaltlich stimmig: Zwei parallele Vektoren spannen keine Ebene auf, sondern nur eine Gerade. Es gibt keine eindeutige senkrechte Richtung.

Gezeigt ist damit erst eine Richtung: Sind die Vektoren kollinear, kommt der Nullvektor heraus. Für ein verlässliches Prüfkriterium fehlt noch die Umkehrung, folgt aus a⃗×b⃗=0⃗\vec a \times \vec b = \vec 0 auch zwingend Kollinearität? Ja, und das Argument liefert der Abschnitt zum gleich mit. Erst dann gilt das Kriterium in beide Richtungen:

a⃗×b⃗=0⃗⟺a⃗ und b⃗ sind kollinear\vec a \times \vec b = \vec 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec a \text{ und } \vec b \text{ sind kollinear}

Das ist ein weiteres Prüfverfahren für .

Vektorprodukt als Normalenvektor

x₁x₂x₃aba×b

a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren (zwei rechte markiert), deshalb liefert das Kreuzprodukt den Normalenvektor der von a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} aufgespannten Ebene.

Erkläre es selbst: Der Text weist nur nach, dass a Kreuz b senkrecht auf a steht. Führe die Rechnung für b selbst durch: Welche sechs Terme entstehen, und warum bleibt null übrig?

Derselbe Dreischritt, einsetzen, ausmultiplizieren, Paare finden. Das mit b⃗\vec b lautet:

(a⃗×b⃗)⋅b⃗=(a2b3−a3b2) b1+(a3b1−a1b3) b2+(a1b2−a2b1) b3(\vec{a}\times\vec{b}) \cdot \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\,b_1 + (a_3b_1 - a_1b_3)\,b_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)\,b_3

Ausmultiplizieren liefert die sechs :

=a2b1b3−a3b1b2+a3b1b2−a1b2b3+a1b2b3−a2b1b3= a_2b_1b_3 - a_3b_1b_2 + a_3b_1b_2 - a_1b_2b_3 + a_1b_2b_3 - a_2b_1b_3

Jeder Term findet seinen Gegenspieler mit umgekehrtem Vorzeichen: a2b1b3a_2b_1b_3 gegen −a2b1b3-a_2b_1b_3, −a3b1b2-a_3b_1b_2 gegen +a3b1b2+a_3b_1b_2, −a1b2b3-a_1b_2b_3 gegen +a1b2b3+a_1b_2b_3, die Summe ist 00.

Damit ist die zweite Hälfte des Normalenvektor-Nachweises wirklich gerechnet, nicht nur behauptet: a⃗×b⃗\vec a \times \vec b steht senkrecht auf a⃗\vec a und auf b⃗\vec b, für beliebige .

Der Betrag: Flächeninhalt

Das Kreuzprodukt liefert nicht nur eine Richtung, sondern in seiner Länge noch eine zweite, überraschende Information.

Die Fläche eines Parallelogramms

Spannen a⃗\vec a und b⃗\vec b ein auf, so gilt für dessen seit Klasse 8 die Formel „Grundseite mal Höhe":

A=g⋅hA = g \cdot h

Die Grundseite ist g=∣a⃗∣g = |\vec a|. Für die Höhe zeichnen wir das Lot von der Spitze von b⃗\vec b auf die Grundseite. Dabei entsteht ein rechtwinkliges , in dem b⃗\vec b die und die Höhe die Gegenkathete zum eingeschlossenen φ\varphi ist. Nach der Sinusdefinition aus Klasse 10 gilt:

sin⁡φ=h∣b⃗∣⟹h=∣b⃗∣ sin⁡φ\sin\varphi = \frac{h}{|\vec b|} \qquad\Longrightarrow\qquad h = |\vec b|\,\sin\varphi

Beides zusammen ergibt:

A=∣a⃗∣ ∣b⃗∣ sin⁡φA = |\vec a|\,|\vec b|\,\sin\varphi

Und was hat das Kreuzprodukt damit zu tun?

Rechnet man den Betrag des Kreuzprodukts allgemein aus, erhält man genau diesen Ausdruck:

∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣ ∣b⃗∣ sin⁡φ\left|\vec a \times \vec b\right| = |\vec a|\,|\vec b|\,\sin\varphi

Der Zusammenhang lässt sich nachrechnen: Multipliziert man ∣a⃗×b⃗∣2|\vec a \times \vec b|^2 aus und ebenso (a⃗⋅b⃗)2(\vec a \cdot \vec b)^2, so ergibt die Summe beider genau ∣a⃗∣2∣b⃗∣2|\vec a|^2|\vec b|^2. Mit a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\varphi folgt daraus

∣a⃗×b⃗∣2=∣a⃗∣2∣b⃗∣2−∣a⃗∣2∣b⃗∣2cos⁡2φ=∣a⃗∣2∣b⃗∣2(1−cos⁡2φ)⏟=  sin⁡2φ,\left|\vec a \times \vec b\right|^2 = |\vec a|^2|\vec b|^2 - |\vec a|^2|\vec b|^2\cos^2\varphi = |\vec a|^2|\vec b|^2\underbrace{\left(1 - \cos^2\varphi\right)}_{=\;\sin^2\varphi},

wobei im letzten Schritt der „trigonometrische " sin⁡2φ+cos⁡2φ=1\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 aus Klasse 10 steckt. Wurzelziehen liefert die Behauptung.

Nebenbei löst diese Formel das Versprechen aus dem Normalenvektor-Abschnitt ein: Ist a⃗×b⃗=0⃗\vec a \times \vec b = \vec 0 für ≠0⃗\neq \vec 0, dann ist auch der Betrag null, also ∣a⃗∣ ∣b⃗∣sin⁡φ=0|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi = 0. Die beiden Längen sind positiv, folglich ist sin⁡φ=0\sin\varphi = 0, und zwischen 0°0° und 180°180° heißt das φ=0°\varphi = 0° oder φ=180°\varphi = 180°: Die Vektoren sind parallel, also kollinear. Damit gilt die Nullvektor-Aussage tatsächlich in beide Richtungen. (Ist einer der Vektoren selbst der Nullvektor, ist er ohnehin zu jedem Vektor kollinear, das Kriterium bleibt auch dann richtig.)

Damit gilt:

∣a⃗×b⃗∣=Fla¨cheninhalt des von a⃗ und b⃗ aufgespannten Parallelogramms\left|\vec{a} \times \vec{b}\right| = \text{Flächeninhalt des von } \vec{a} \text{ und } \vec{b} \text{ aufgespannten Parallelogramms}

Die Dreiecksfläche als halbe Parallelogrammfläche

Ein Dreieck mit denselben aufspannenden Vektoren ist genau die Hälfte des Parallelogramms, die Diagonale zerlegt es in zwei deckungsgleiche Dreiecke:

A△=12∣a⃗×b⃗∣A_{\triangle} = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|

Warum das so nützlich ist: Für ein Dreieck im Raum gibt es keine einfache Formel wie g⋅h2\frac{g \cdot h}{2} mit direkt ablesbaren Werten, man müsste erst die Höhe konstruieren. Mit dem Kreuzprodukt genügen die drei Eckpunkte.

Zwei Kontrollen

Der Sonderfall φ=90°\varphi = 90°: Dann ist sin⁡φ=1\sin\varphi = 1 und A=∣a⃗∣∣b⃗∣A = |\vec a||\vec b|, die Formel für ein . Das muss so sein, denn ein Parallelogramm mit rechtem Winkel ist ein Rechteck.

Der Sonderfall parallel (φ=0°\varphi = 0°): Dann ist sin⁡φ=0\sin\varphi = 0 und die Fläche null, passend dazu, dass das Kreuzprodukt hier der Nullvektor ist. Ein „Parallelogramm" aus zwei parallelen Vektoren ist zu einer Strecke zusammengefallen und hat keinen Flächeninhalt.

Parallelogrammfläche: g mal h

A = g · hx₁x₂x₃a (Grundseite)bφ

Die eines ist Grundseite mal Höhe, das kennst du aus Klasse 8. Die Grundseite ist hier ∣a⃗∣|\vec a|. Die Höhe ist die gestrichelte Strecke, also das Lot von der Spitze von b⃗\vec b auf a⃗\vec a. Im markierten rechtwinkligen ist b⃗\vec b die und die Höhe die Gegenkathete zum φ\varphi, also h=∣b⃗∣sin⁡φh = |\vec b|\sin\varphi. Damit ist A=∣a⃗∣ ∣b⃗∣sin⁡φA = |\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi, und genau das ist der Betrag des Vektorprodukts.

Vektorprodukt als Flächeninhalt

Parallelogrammx₁x₂x₃n (Richtung, |n|=12)

Der Betrag ∣AB⃗×AC⃗∣=12|\vec{AB}\times\vec{AC}| = 12 ist der des . Der Normalenvektor n⃗\vec{n} ist zur Übersicht verkürzt gezeichnet, seine wahre Länge ist genau dieser Flächeninhalt.

Skalar- vs. Vektorprodukt

Zwei Produkte, ein Kapitelabstand: Verwechslungen sind vorprogrammiert. Diese Übersicht sortiert sie auseinander.

a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}Vektorprodukt a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}
Ergebniseine Zahlein
Rechnungzeilenweise, dann addierenüber Kreuz, zyklisch
Reihenfolgevertauschbardreht das Vorzeichen um
Ergebnis null, wenna⃗⊥b⃗\vec{a}\perp\vec{b} (senkrecht)a⃗∥b⃗\vec{a}\parallel\vec{b} (parallel)
Anwendung, OrthogonalitätNormalenvektor,
enthältcos⁡φ\cos\varphisin⁡φ\sin\varphi

Die Zeile, die alles erklärt

Am aufschlussreichsten ist die vorletzte Zeile: Das Skalarprodukt wird null bei senkrechten, das Vektorprodukt bei parallelen Vektoren. Sie werden also unter genau entgegengesetzten Bedingungen null.

Der Grund steht in der letzten Zeile: Im Skalarprodukt steckt cos⁡φ\cos\varphi, im Vektorprodukt sin⁡φ\sin\varphi. Und cos⁡90°=0\cos 90° = 0, während sin⁡0°=0\sin 0° = 0 ist.

Daraus folgt eine praktische Merkregel:

  • Sollst du Senkrechtstehen prüfen → Skalarprodukt (muss null sein).
  • Sollst du Parallelität prüfen → Vektorprodukt (muss der Nullvektor sein) oder das Vielfachen-Kriterium aus dem Kapitel zur linearen Abhängigkeit.

Die Kontrolle, die beide verbindet

Nach jedem Kreuzprodukt lohnt sich eine Probe mit dem Skalarprodukt:

(a⃗×b⃗)⋅a⃗=!0und(a⃗×b⃗)⋅b⃗=!0(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} \stackrel{!}{=} 0 \qquad\text{und}\qquad (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} \stackrel{!}{=} 0

Kommt dabei nicht null heraus, steckt ein Rechenfehler im Kreuzprodukt, meist das vertauschte Vorzeichen in der mittleren Zeile. Diese Probe kostet zwei Zeilen und findet nahezu jeden Fehler; sie sollte bei jeder Aufgabe zum festen Ablauf gehören.

Vektorprodukt berechnen

Berechne a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} für a⃗=(123)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, b⃗=(456)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}.

  1. 1

    Was ist zu erwarten? Das Ergebnis eines Vektorprodukts ist ein mit drei Koordinaten, keine Zahl. Er wird auf a⃗\vec a und auf b⃗\vec b senkrecht stehen.

    Vorüberlegung: Sind die beiden Vektoren vielleicht parallel? Dann käme der Nullvektor heraus. Ein kurzer Blick: 4=4⋅14 = 4 \cdot 1, aber 5≠4⋅25 \neq 4 \cdot 2. Sie sind nicht kollinear. Es wird also ein echter Vektor entstehen.

  2. 2

    Schritt 1: Die Formel notieren, bevor Zahlen eingesetzt werden:

    a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

    Die mittlere Zeile besonders beachten: Dort steht a3b1−a1b3a_3b_1 - a_1b_3, also erst die dritte mit der ersten. Wer hier der Gewohnheit folgt und a1b3−a3b1a_1b_3 - a_3b_1 rechnet, erhält das falsche Vorzeichen.

  3. 3

    Schritt 2: Erste Koordinate, sie benutzt die Zeilen 22 und 33:

    a2b3−a3b2=2⋅6−3⋅5=12−15=−3a_2b_3 - a_3b_2 = 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3
  4. 4

    Schritt 3: Zweite Koordinate, sie benutzt die Zeilen 33 und 11, in dieser Reihenfolge:

    a3b1−a1b3=3⋅4−1⋅6=12−6=6a_3b_1 - a_1b_3 = 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6
  5. 5

    Schritt 4: Dritte Koordinate, sie benutzt die Zeilen 11 und 22:

    a1b2−a2b1=1⋅5−2⋅4=5−8=−3a_1b_2 - a_2b_1 = 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3

    Damit steht das Ergebnis fest:

    a⃗×b⃗=(−36−3)\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}
  6. 6

    Schritt 5: Die erste Probe. Steht das Ergebnis wirklich senkrecht auf a⃗\vec a? Das prüft das Skalarprodukt:

    (a⃗×b⃗)⋅a⃗=(−3)⋅1+6⋅2+(−3)⋅3=−3+12−9=0  ✓(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} = (-3)\cdot 1 + 6 \cdot 2 + (-3)\cdot 3 = -3 + 12 - 9 = 0 \;\checkmark
  7. 7

    Schritt 6: Die zweite Probe. Auch auf b⃗\vec b muss das Ergebnis senkrecht stehen, diese Prüfung wird oft weggelassen, obwohl sie zusätzliche Sicherheit gibt:

    (a⃗×b⃗)⋅b⃗=(−3)⋅4+6⋅5+(−3)⋅6=−12+30−18=0  ✓(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} = (-3)\cdot 4 + 6 \cdot 5 + (-3)\cdot 6 = -12 + 30 - 18 = 0 \;\checkmark

    Beide Proben gehen auf, das Kreuzprodukt ist mit hoher Sicherheit richtig berechnet.

  8. 8

    Schritt 7: Das Ergebnis einordnen. Ein Blick auf die Zahlen: Alle drei Koordinaten sind von 33. Man könnte also auch

    (−12−1)\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

    als Normalenvektor verwenden. Er zeigt in dieselbe Richtung und steht ebenfalls senkrecht auf beiden.

    Wann man kürzen darf und wann nicht: Geht es nur um die Richtung (etwa für eine ), ist das Kürzen erlaubt und macht die Rechnung angenehmer. Ist dagegen der Betrag gefragt (!), muss der ungekürzte Vektor verwendet werden, sonst wird die Fläche um denselben Faktor zu klein.

a⃗×b⃗=(−36−3)\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}, dieser Vektor steht senkrecht auf a⃗\vec a und auf b⃗\vec b.

Der Ablauf jedes Kreuzprodukts: Formel hinschreiben (mittlere Zeile: 3 13\,1!) → drei Koordinaten einzeln berechnen → mit beiden gegenprüfen. Für reine Richtungsangaben darf anschließend werden.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Berechne den des mit den Ecken A(0∣0∣0)A(0|0|0), B(3∣0∣0)B(3|0|0), C(0∣4∣0)C(0|4|0).

  1. 1

    Welcher Weg führt zum Ziel? Ein Dreieck ist die Hälfte des , das von zwei seiner Seiten aufgespannt wird. Und die Parallelogrammfläche ist der Betrag des Kreuzprodukts:

    A△=12∣AB⃗×AC⃗∣A_{\triangle} = \frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|

    Welche zwei Seiten? Beliebige zwei, solange sie von derselben Ecke ausgehen. Sie müssen ja das Parallelogramm aufspannen. Wir wählen AA als gemeinsamen Startpunkt.

    Beobachtung vorweg: Alle drei Punkte haben die dritte Koordinate 00, liegen also in der x1x2x_1x_2-Ebene. Das Dreieck ist damit „flach", der Normalenvektor wird senkrecht dazu, also entlang der x3x_3-Achse zeigen.

  2. 2

    Schritt 1: Die aufspannenden bilden.

    AB⃗=(300)−(000)=(300),AC⃗=(040)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}

    Weil AA im Ursprung liegt, stimmen die Verbindungsvektoren hier mit den Koordinaten von BB und CC überein.

  3. 3

    Schritt 2: Das Kreuzprodukt berechnen: Koordinate für Koordinate:

    1. Koordinate:0⋅0−0⋅4=02. Koordinate:0⋅0−3⋅0=03. Koordinate:3⋅4−0⋅0=12\begin{aligned} \text{1. Koordinate:}&\quad 0\cdot 0 - 0\cdot 4 = 0\\ \text{2. Koordinate:}&\quad 0\cdot 0 - 3\cdot 0 = 0\\ \text{3. Koordinate:}&\quad 3\cdot 4 - 0\cdot 0 = 12 \end{aligned} AB⃗×AC⃗=(0012)\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}

    Der Vektor zeigt entlang der x3x_3-Achse, genau wie in der Vorüberlegung erwartet, denn das Dreieck liegt flach in der x1x2x_1x_2-Ebene ✓

  4. 4

    Schritt 3: Die Probe. Auch hier lohnt der Kontroll-Reflex:

    (0012)⋅(300)=0  ✓(0012)⋅(040)=0  ✓\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \;\checkmark \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \;\checkmark
  5. 5

    Schritt 4: Den Betrag bilden. Das ist die Parallelogrammfläche:

    ∣AB⃗×AC⃗∣=02+02+122=144=12\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{144} = 12

    Nicht mit dem Vektor selbst verwechseln: Gefragt ist eine Fläche, also eine Zahl. Der Vektor (0012)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} ist nur das Zwischenergebnis.

  6. 6

    Schritt 5: Halbieren. Das Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms:

    A△=12⋅12=6A_{\triangle} = \frac{1}{2}\cdot 12 = 6

    Das Halbieren wird häufig vergessen. Wer 1212 als Antwort notiert, hat die Fläche des Parallelogramms angegeben, nicht die des Dreiecks.

  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle mit der Elementarformel. Diese Aufgabe ist bewusst so gewählt, dass sich das Ergebnis unabhängig prüfen lässt.

    AB⃗\vec{AB} zeigt entlang der x1x_1-Achse, AC⃗\vec{AC} entlang der x2x_2-Achse, die beiden Seiten stehen also senkrecht aufeinander. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den 33 und 44:

    A△=3⋅42=6  ✓A_{\triangle} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \;\checkmark

    Beide Wege liefern 66. Bei einem Dreieck im Raum ohne rechten wäre diese Gegenprobe nicht möglich, genau dafür braucht man das Kreuzprodukt.

  8. 8

    Schritt 7: Einheit und Antwort. Flächen im werden in Flächeneinheiten (FE) angegeben.

    Plausibilität: Das Dreieck steckt in einem mit den Seiten 33 und 44, also der Fläche 1212. Ein Wert von 66 ist genau die Hälfte davon und damit stimmig ✓

A△=6A_{\triangle} = 6 FE

Der Ablauf jeder Flächenaufgabe: zwei Seitenvektoren von derselben Ecke aus bilden → Kreuzprodukt → mit dem gegenprüfen → Betrag bilden (Parallelogramm) → halbieren (Dreieck).

Normalenvektor einer Ebene durch drei Punkte

Die Punkte A(1∣0∣0)A(1|0|0), B(0∣2∣0)B(0|2|0) und C(0∣0∣3)C(0|0|3) spannen eine Ebene auf. Bestimme einen Normalenvektor dieser Ebene und den des ABCABC.

  1. 1

    Was ist ein Normalenvektor, und warum genügt das Kreuzprodukt? Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der ganzen Ebene.

    Auf den ersten Blick müsste man dafür unendlich viele Richtungen prüfen. Tatsächlich reicht es, senkrecht auf zwei nicht-parallelen der Ebene zu stehen: Jeder andere Vektor der Ebene ist eine Linearkombination dieser beiden und wird dann automatisch mit erfasst.

    Damit ist der Plan klar: zwei Verbindungsvektoren in der Ebene bilden und ihr Kreuzprodukt berechnen.

  2. 2

    Schritt 1: Zwei aufspannende Vektoren wählen. Beide müssen in der Ebene liegen und von derselben Ecke ausgehen:

    AB⃗=(0−12−00−0)=(−120),AC⃗=(0−10−03−0)=(−103)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 2-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 0-0 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

    Die Vorzeichen der ersten Koordinate beachten: 0−1=−10 - 1 = -1. Da AA nicht im Ursprung liegt, muss hier wirklich subtrahiert werden.

  3. 3

    Schritt 2: Sind die beiden Vektoren nicht-parallel? Diese Prüfung gehört dazu, bei parallelen Vektoren gäbe es keine Ebene und das Kreuzprodukt wäre der Nullvektor.

    Die zweite Koordinate von AB⃗\vec{AB} ist 22, die von AC⃗\vec{AC} ist 00. Für ein müsste 2=r⋅0=02 = r \cdot 0 = 0 gelten, ein Widerspruch. Die Vektoren sind nicht kollinear, die drei Punkte spannen also tatsächlich eine Ebene auf.

  4. 4

    Schritt 3: Das Kreuzprodukt berechnen.

    1. Koordinate:a2b3−a3b2=2⋅3−0⋅0=62. Koordinate:a3b1−a1b3=0⋅(−1)−(−1)⋅3=0+3=33. Koordinate:a1b2−a2b1=(−1)⋅0−2⋅(−1)=0+2=2\begin{aligned} \text{1. Koordinate:}&\quad a_2b_3 - a_3b_2 = 2\cdot 3 - 0\cdot 0 = 6\\ \text{2. Koordinate:}&\quad a_3b_1 - a_1b_3 = 0\cdot(-1) - (-1)\cdot 3 = 0 + 3 = 3\\ \text{3. Koordinate:}&\quad a_1b_2 - a_2b_1 = (-1)\cdot 0 - 2\cdot(-1) = 0 + 2 = 2 \end{aligned} n⃗=AB⃗×AC⃗=(632)\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

    In den Zeilen 2 und 3 stehen doppelte Minuszeichen. Beide ergeben ein Plus. Hier entstehen die meisten Vorzeichenfehler.

  5. 5

    Schritt 4: Beide Proben.

    n⃗⋅AB⃗=6⋅(−1)+3⋅2+2⋅0=−6+6+0=0  ✓\vec n \cdot \vec{AB} = 6\cdot(-1) + 3\cdot 2 + 2\cdot 0 = -6 + 6 + 0 = 0 \;\checkmark n⃗⋅AC⃗=6⋅(−1)+3⋅0+2⋅3=−6+0+6=0  ✓\vec n \cdot \vec{AC} = 6\cdot(-1) + 3\cdot 0 + 2\cdot 3 = -6 + 0 + 6 = 0 \;\checkmark

    n⃗\vec n steht auf beiden aufspannenden Vektoren senkrecht und ist damit ein Normalenvektor der Ebene.

  6. 6

    Schritt 5: Der Flächeninhalt, jetzt kommt der Betrag ins Spiel.

    ∣n⃗∣=62+32+22=36+9+4=49=7\left|\vec n\right| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7

    Das ist die Fläche des . Für das Dreieck halbieren wir:

    A△=12⋅7=3,5A_{\triangle} = \frac{1}{2}\cdot 7 = 3{,}5

    Hier zeigt sich, warum man bei Flächenaufgaben nicht kürzen darf: Hätte man n⃗\vec n vorher zu einer „schöneren" Form gekürzt, wäre der Betrag und damit die Fläche falsch geworden.

  7. 7

    Schritt 6: Plausibilität der Fläche. Das Dreieck hat die Seitenlängen

    ∣AB⃗∣=1+4+0=5≈2,24,∣AC⃗∣=1+0+9=10≈3,16\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{1+4+0} = \sqrt5 \approx 2{,}24, \qquad \left|\vec{AC}\right| = \sqrt{1+0+9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16

    Selbst wenn diese beiden Seiten senkrecht aufeinander stünden (größtmögliche Fläche), ergäbe sich höchstens 2,24⋅3,162≈3,54\frac{2{,}24 \cdot 3{,}16}{2} \approx 3{,}54.

    Unser Ergebnis 3,53{,}5 liegt knapp darunter ✓, und die Nähe zum Maximum sagt zusätzlich aus, dass der bei AA fast 90°90° beträgt.

  8. 8

    Schritt 7: Warum dieser Normalenvektor gleich zwei Fragen beantwortet. Ein einziges Kreuzprodukt liefert:

    • über seine Richtung die Lage der Ebene (Normalenvektor),
    • über seinen Betrag den Flächeninhalt.

    Ausblick: Im Ebenen-Kapitel wird aus diesem Normalenvektor unmittelbar die der Ebene: Die Koordinaten von n⃗\vec n werden dort zu den Koeffizienten der Ebenengleichung 6x1+3x2+2x3=d6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d. Das Kreuzprodukt ist damit kein Selbstzweck, sondern der Zugang zu den Ebenengleichungen.

Normalenvektor: n⃗=(632)\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} · Dreiecksfläche: A△=3,5A_{\triangle} = 3{,}5 FE

Zum Mitnehmen: Für den Normalenvektor einer Ebene durch drei Punkte zwei Verbindungsvektoren von derselben Ecke bilden und kreuzen. Für reine Richtungsangaben darf man den Vektor , bei Flächenberechnungen nicht.

Typischer Fehler

„a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} ist eine Zahl, so wie das ."

Kreuz- und Skalarprodukt verwechselt! Das Vektorprodukt ergibt einen (mit drei Koordinaten), das Skalarprodukt eine Zahl. Merkhilfe: Das Kreuz ×\times „baut" etwas Dreidimensionales (einen Vektor, den Normalenvektor), der Punkt ⋅\cdot „verdichtet" zu einer Zahl. Wer beim Kreuzprodukt nur eine Zahl hinschreibt, hat die Struktur verfehlt.

Übung 1

leicht

Berechne (100)×(010)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Tipp anzeigen

Die Einheitsvektoren der x- und y-Achse.

Lösung anzeigen

(0⋅0−0⋅10⋅0−1⋅01⋅1−0⋅0)=(001)\begin{pmatrix} 0\cdot0 - 0\cdot1 \\ 0\cdot0 - 1\cdot0 \\ 1\cdot1 - 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, der Einheitsvektor der z-Achse (senkrecht auf beiden!).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Kreuzprodukt-Schema anwenden

    a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}: hier (0⋅0−0⋅10⋅0−1⋅01⋅1−0⋅0)=(001)\begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

  2. 2

    Das Ergebnis geometrisch lesen

    (0∣0∣1)(0 \mid 0 \mid 1) ist der Einheitsvektor der z-Achse, er steht senkrecht auf BEIDEN Ausgangsvektoren (x- und y-Richtung).

  3. 3

    Auch der Betrag hat Bedeutung

    ∣a⃗×b⃗∣=1|\vec{a} \times \vec{b}| = 1, das ist genau der des von den beiden Einheitsvektoren aufgespannten (Einheitsquadrat).

Übung 2

mittel

Bestimme einen Normalenvektor der Ebene, die von u⃗=(210)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und v⃗=(131)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} aufgespannt wird.

Tipp anzeigen

Normalenvektor = u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}.

Lösung anzeigen

u⃗×v⃗=(1⋅1−0⋅30⋅1−2⋅12⋅3−1⋅1)=(1−25)\vec{u}\times\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 - 0\cdot3 \\ 0\cdot1 - 2\cdot1 \\ 2\cdot3 - 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}

Kontrolle: (1)(2)+(−2)(1)+(5)(0)=0(1)(2) + (-2)(1) + (5)(0) = 0 ✓

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Normalenvektor = Kreuzprodukt der Spannvektoren

    Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene, also auf BEIDEN Spannvektoren, genau das leistet u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}.

  2. 2

    Schema durchrechnen

    u⃗×v⃗=(1⋅1−0⋅30⋅1−2⋅12⋅3−1⋅1)=(1−25)\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}.

    (1⋅1−0⋅3∣0⋅1−2⋅1∣2⋅3−1⋅1)(1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \mid 0 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \mid 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1)

    Zwischenergebnis

    n⃗=(1∣−2∣5)\vec{n} = (1 \mid -2 \mid 5)

  3. 3

    Senkrecht-Probe per Skalarprodukt

    n⃗⋅u⃗=1⋅2+(−2)⋅1+5⋅0=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 0 ✓ (und ebenso n⃗⋅v⃗=1−6+5=0\vec{n} \cdot \vec{v} = 1 - 6 + 5 = 0 ✓).

Übung 3

schwer

Berechne den des mit A(1∣1∣1)A(1|1|1), B(4∣1∣1)B(4|1|1), C(1∣5∣1)C(1|5|1).

Tipp anzeigen

12∣AB⃗×AC⃗∣\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|.

Lösung anzeigen

AB⃗=(3∣0∣0)\vec{AB} = (3|0|0), AC⃗=(0∣4∣0)\vec{AC} = (0|4|0).

AB⃗×AC⃗=(0012)\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}; Betrag =12= 12.

A△=12⋅12=6A_{\triangle} = \frac{1}{2}\cdot 12 = 6 FE.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Spannvektoren des Dreiecks

    Von AA aus: AB⃗=(3∣0∣0)\vec{AB} = (3 \mid 0 \mid 0) und AC⃗=(0∣4∣0)\vec{AC} = (0 \mid 4 \mid 0).

  2. 2

    Kreuzprodukt und sein Betrag

    AB⃗×AC⃗=(0⋅0−0⋅40⋅0−3⋅03⋅4−0⋅0)=(0012)\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 4 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}; Betrag =12= 12.

    ∣AB⃗×AC⃗∣=12|\vec{AB} \times \vec{AC}| = 12

  3. 3

    Halbieren fürs Dreieck

    A△=12⋅∣AB⃗×AC⃗∣=12⋅12=6A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 FE.

Zusammenfassung

Das Vektorprodukt a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} liefert einen , der senkrecht auf beiden steht, den Normalenvektor der aufgespannten Ebene. Sein Betrag ist der des (halbiert: ). Anders als das (Zahl, null bei Orthogonalität) ergibt das Kreuzprodukt einen Vektor und ist null bei Parallelität. Die Kontrolle via Skalarprodukt sichert jedes Ergebnis.