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Vektoren / Analytische Geometrie

Vektoren: Grundlagen und Rechenoperationen

Vektoren im Raum: Darstellung, Addition, Skalarmultiplikation und Betrag.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie beschreibt man die Flugbahn einer Drohne im Raum? Mit einer einzelnen Zahl kommt man nicht weit. Man braucht Richtung und Länge. Genau dafür gibt es Vektoren. Sie sind das Fundament der analytischen Geometrie in der Oberstufe.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Vektoren in Koordinatendarstellung angeben und als Verschiebung deuten.

  • Vektoren addieren, subtrahieren und mit Skalaren multiplizieren.

  • den Verbindungsvektor zweier Punkte bilden („Spitze minus Fuß").

  • den Betrag (die Länge) eines Vektors berechnen.

Was ist ein Vektor?

Manche Größen sind mit einer einzigen Zahl vollständig beschrieben: eine Masse von 70 kg70\,\text{kg}, eine Temperatur von 18 °C18\,°\text{C}, ein Preis von 5 €. Bei anderen fehlt etwas Entscheidendes.

Die Frage, an der eine Zahl allein scheitert

„Die Drohne ist 5050 Meter weit geflogen.": Und wo ist sie jetzt? Das lässt sich nicht sagen, denn die Angabe verschweigt die Richtung. Dasselbe gilt für eine Kraft (schieben oder ziehen?) oder eine Geschwindigkeit (nordwärts oder südwärts?).

Solche Größen brauchen zwei Informationen: eine Länge und eine Richtung. Genau das leistet ein Vektor.

  • Eine Größe mit nur einer Zahl heißt Skalar (Masse, Temperatur, Zeit).
  • Eine Größe mit Länge und Richtung heißt Vektor (Verschiebung, Kraft, Geschwindigkeit).

Wie man Richtung und Länge in Zahlen fasst

Eine Richtungsangabe wie „schräg nach rechts oben" ist zu ungenau zum Rechnen. Deshalb zerlegt man die Bewegung in die drei Achsenrichtungen und gibt an, wie weit es in jeder Richtung einzeln geht.

Beispiel: „33 nach rechts, 22 nach hinten, 11 nach oben." Diese drei Zahlen legen die Verschiebung eindeutig fest, mehr braucht es nicht. Man schreibt sie untereinander in eine Spalte:

v⃗=(321)allgemeinv⃗=(v1v2v3)\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad\text{allgemein}\qquad \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}

Der Pfeil über dem Buchstaben zeigt an, dass es sich um einen Vektor handelt und nicht um eine gewöhnliche Zahl. Die drei Zahlen heißen Koordinaten oder Komponenten des Vektors.

Der Punkt, an dem die meisten stolpern

Ein Vektor beschreibt nur die Verschiebung, nicht, wo sie stattfindet.

Die Anweisung „33 nach rechts, 22 nach hinten, 11 nach oben" ist dieselbe, egal ob du sie am Ursprung, in der Zimmerecke oder auf dem Dach ausführst. Deshalb stellt jeder Pfeil mit dieser Länge und dieser Richtung denselben Vektor v⃗\vec v dar, ganz gleich, wo sein Fuß liegt. Zwei Pfeile sind genau dann derselbe Vektor, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind.

Warum das wichtig ist: Ein Vektor ist keine Ortsangabe. „Wo ist der Punkt?" und „Wie kommt man dorthin?" sind zwei verschiedene Fragen, die erste beantwortet ein Punkt, die zweite ein Vektor. Wie man Punkte trotzdem mit Vektoren beschreibt, klärt der nächste Abschnitt.

Ortsvektor und Verbindungsvektor

Vektoren sind frei verschiebbar, wie beschreibt man damit dann einen festen Ort?

Der Ortsvektor: ein Pfeil mit festem Fuß

Die Lösung ist eine Vereinbarung: Man legt den Fuß des Pfeils immer in den Ursprung O(0∣0∣0)O(0|0|0). Dann zeigt die Spitze auf genau einen Punkt, und der Vektor beschreibt eindeutig dessen Lage.

Dieser besondere Vektor heißt Ortsvektor des Punktes AA und wird OA⃗\vec{OA} geschrieben. Seine Koordinaten sind genau die Koordinaten des Punktes:

A(1∣2∣3)⟹OA⃗=(123)A(1 \mid 2 \mid 3) \quad\Longrightarrow\quad \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

Achte auf den Unterschied in der Schreibweise: Der Punkt wird waagerecht mit senkrechten Strichen geschrieben, A(1∣2∣3)A(1|2|3), der Vektor senkrecht als Spalte. Gemeint sind dieselben drei Zahlen, aber einmal als Ort und einmal als Verschiebung dorthin.

Der Verbindungsvektor, und woher „Spitze minus Fuß" kommt

Jetzt die eigentliche Frage: Wie kommt man von einem Punkt AA zu einem Punkt BB? Gesucht ist der Vektor AB⃗\vec{AB}.

Der Trick besteht darin, einen Umweg über den Ursprung zu nehmen, denn zum Ursprung kennen wir beide Verbindungen bereits:

  1. Zuerst von AA zurück zum Ursprung. Das ist die Gegenbewegung zu OA⃗\vec{OA}, also −OA⃗-\vec{OA}.
  2. Dann vom Ursprung zu BB. Das ist OB⃗\vec{OB}.

Beide Verschiebungen nacheinander ausgeführt bringen dich von AA nach BB:

AB⃗=−OA⃗+OB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = -\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA}

Weil die Ortsvektoren genau die Punktkoordinaten enthalten, steht dort koordinatenweise:

AB⃗=(b1−a1b2−a2b3−a3)\vec{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}

Das ist die Regel „Spitze minus Fuß", und sie ist jetzt keine Merkregel mehr, sondern das Ergebnis einer Überlegung: Ziel minus Start.

Die Reihenfolge entscheidet

AB⃗\vec{AB} und BA⃗\vec{BA} sind nicht dasselbe. Sie haben dieselbe Länge, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen:

BA⃗=−AB⃗\vec{BA} = -\vec{AB}

Bei einem Abstand spielt das keine Rolle (eine Länge ist richtungslos). Sobald ein Vektor aber eine Richtung angibt, etwa als Richtungsvektor einer Geraden, führt die vertauschte Reihenfolge in die falsche Richtung.

Ortsvektor und Verbindungsvektor

x₁x₂x₃a⃗=OAABAB

Der Ortsvektor OA⃗\vec{OA} zeigt vom Ursprung zum Punkt A(1∣2∣3)A(1|2|3). Der Verbindungsvektor AB⃗\vec{AB} zeigt von AA zu B(4∣0∣5)B(4|0|5): „Spitze minus Fuß": AB⃗=(3−22)\vec{AB} = \begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}.

Prüfe dich: Ein Pfeil führt von P(2|1|0) nach Q(5|-1|2), ein anderer von R(0|0|4) nach S(3|-2|6). Stellen beide denselben Vektor dar?

Ja, und die Rechnung zeigt, warum.

Bilde beide Verbindungsvektoren mit „Spitze minus Fuß":

PQ⃗=(5−2−1−12−0)=(3−22)RS⃗=(3−0−2−06−4)=(3−22)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ -1-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad\qquad \vec{RS} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ -2-0 \\ 6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

Gleiche Koordinaten heißt: gleiche Verschiebung, derselbe Vektor, obwohl die beiden Pfeile an völlig verschiedenen Orten sitzen. Genau das meint die freie Verschiebbarkeit: Ein Vektor merkt sich nur, wie weit und wohin es geht, nicht, von wo aus.

Die Pfeile selbst sind natürlich verschieden (anderer Start, anderes Ziel (als Punkte betrachtet)) aber als Vektoren sind sie identisch: parallel, gleich lang, gleich gerichtet.

Vektoraddition

Zwei Verschiebungen nacheinander ausführen, was kommt dabei heraus?

Erst anschaulich

Du gehst erst u⃗\vec u, dann von dort aus v⃗\vec v. Der Gesamteffekt ist wieder eine Verschiebung: von deinem Startpunkt direkt zum Endpunkt. Diesen Gesamteffekt nennt man die Summe u⃗+v⃗\vec u + \vec v.

Warum man koordinatenweise rechnen darf

Die drei Achsenrichtungen stehen senkrecht aufeinander und beeinflussen sich deshalb nicht: Wie weit du nach rechts kommst, hängt nicht davon ab, wie weit du nach oben steigst.

Gehst du also erst u1u_1 nach rechts und danach noch v1v_1 nach rechts, bist du insgesamt u1+v1u_1 + v_1 nach rechts gekommen, und dasselbe gilt unabhängig davon in den beiden anderen Richtungen. Jede Zeile lässt sich für sich abarbeiten:

u⃗+v⃗=(u1u2u3)+(v1v2v3)=(u1+v1u2+v2u3+v3)\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix}

Zwei Regeln, ein Ergebnis

Geometrisch gibt es zwei gebräuchliche Bilder für dieselbe Rechnung:

  • Dreiecksregel: v⃗\vec v wird an die Spitze von u⃗\vec u angehängt; die Summe reicht vom Fuß des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils. Das passt zum „nacheinander" von oben.
  • Parallelogrammregel: Beide Pfeile starten im selben Punkt und spannen ein auf; die Summe ist dessen Diagonale. Das passt zu „beide Wirkungen gleichzeitig", etwa bei zwei Kräften.

Beide führen zum selben Ergebnis, denn die Reihenfolge der Summanden ist gleichgültig:

u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec u + \vec v = \vec v + \vec u

Das folgt direkt aus der Koordinatenformel. Dort steht in jeder Zeile eine gewöhnliche Summe von Zahlen, und für die gilt das Kommutativgesetz seit Klasse 5.

Subtraktion und der Nullvektor

Subtrahieren bedeutet, die Gegenbewegung zu addieren:

u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)mit−v⃗=(−v1−v2−v3)\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v) \qquad\text{mit}\qquad -\vec v = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}

Der Gegenvektor −v⃗-\vec v ist genauso lang wie v⃗\vec v, zeigt aber in die Gegenrichtung. Führt man beide nacheinander aus, kommt man wieder am Start an:

v⃗+(−v⃗)=(000)=0⃗\vec v + (-\vec v) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec 0

Der Nullvektor 0⃗\vec 0 beschreibt die Verschiebung, die nichts verschiebt. Er ist der einzige Vektor ohne Richtung, und der Grund, warum man bei ihm keine Richtung angeben kann.

Vektoraddition (Dreieck/Parallelogramm)

x₁x₂x₃uvu+v

Dreiecksregel: von OO über die gestrichelte, zu vv parallele Linie zur Spitze von u+vu+v, als würde man vv an die Spitze von uu anhängen. Parallelogrammregel: dieselbe Spitze ergibt sich als vierte Ecke des von uu und vv aufgespannten . Beide Regeln liefern dasselbe u+vu+v.

Skalarmultiplikation

Was bedeutet es, dieselbe Verschiebung dreimal hintereinander auszuführen?

Aus der Addition entwickelt

Nach dem vorigen Abschnitt ist das eine Summe aus drei gleichen Summanden:

v⃗+v⃗+v⃗=(v1+v1+v1v2+v2+v2v3+v3+v3)=(3v13v23v3)\vec v + \vec v + \vec v = \begin{pmatrix} v_1 + v_1 + v_1 \\ v_2 + v_2 + v_2 \\ v_3 + v_3 + v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3v_1 \\ 3v_2 \\ 3v_3 \end{pmatrix}

Wie schon bei den in Klasse 5 ist die Multiplikation die Kurzschreibweise für wiederholtes Addieren. Man schreibt dafür 3⋅v⃗3 \cdot \vec v und verallgemeinert auf beliebige Faktoren rr:

r⋅v⃗=(r⋅v1r⋅v2r⋅v3)r \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} r \cdot v_1 \\ r \cdot v_2 \\ r \cdot v_3 \end{pmatrix}

Die Zahl rr heißt Skalar, eine Zahl ohne Richtung, die den Vektor „skaliert", also seine Länge verändert. Der Name unterscheidet sie von den Vektoren, mit denen sie multipliziert wird.

Was mit dem Vektor dabei geschieht

Die Richtung bleibt erhalten oder kehrt sich um, die Länge wird um den Faktor ∣r∣|r| verändert:

Faktor rrWirkung
r>1r > 1gleiche Richtung, länger (Streckung)
0<r<10 < r < 1gleiche Richtung, kürzer (Stauchung)
r<0r < 0entgegengesetzte Richtung
r=0r = 0ergibt den Nullvektor 0⃗\vec 0
r=−1r = -1der Gegenvektor −v⃗-\vec v

Warum kehrt ein negatives rr die Richtung um? Weil sich dabei jedes Vorzeichen umdreht: Aus „33 nach rechts" wird „33 nach links". Genau das leistet der Gegenvektor aus dem vorigen Abschnitt. Er ist der Sonderfall r=−1r = -1.

Der wichtigste Zusammenhang für später

Alle Vektoren der Form r⋅v⃗r \cdot \vec v zeigen in dieselbe oder in die genau entgegengesetzte Richtung wie v⃗\vec v. Sie liegen alle auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung.

Das ist der Schlüssel zu fast allem, was noch kommt: Er erklärt, wie man mit einem Richtungsvektor eine ganze Gerade beschreibt, und er ist das Kriterium dafür, dass zwei Vektoren parallel sind.

Skalarmultiplikation eines Vektors

x₁x₂x₃v2v-½v

2v⃗2\vec{v} zeigt in dieselbe Richtung wie v⃗\vec{v}, aber doppelt so lang (gestreckt, r=2r=2). −12v⃗-\tfrac12\vec{v} ist halb so lang und zeigt entgegengesetzt (r<0r<0 kehrt die Richtung um, ∣r∣<1|r|<1 staucht).

Der Betrag: Länge über zweimal Pythagoras

Wie lang ist eine Verschiebung? Die drei Koordinaten sagen es nicht direkt: Der Vektor (340)\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix} besteht aus den Schritten 33 und 44, ist aber weder 33 noch 44 noch 77 lang, weil die Schritte in verschiedene Richtungen gehen.

Zuerst der Fall in der Ebene

Betrachte nur die ersten beiden Koordinaten. Die Schritte „33 nach rechts" und „44 nach hinten" stehen senkrecht aufeinander, sie bilden zusammen mit der direkten Verbindung ein rechtwinkliges . Damit greift der aus Klasse 9:

d2=32+42=9+16=25⟹d=5d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad\Longrightarrow\quad d = 5

Und jetzt in den Raum

Im Raum kommt die Höhe v3v_3 dazu. Der entscheidende Gedanke: Man wendet Pythagoras zweimal an.

Erster Schritt: flach in der Grundebene. Aus v1v_1 und v2v_2 entsteht wie eben die Diagonale dd der Grundfläche:

d2=v12+v22d^2 = v_1^2 + v_2^2

Zweiter Schritt: senkrecht dazu. Nun steht die Höhe v3v_3 senkrecht auf der gesamten Grundebene, also auch auf dd. Diese beiden bilden erneut ein rechtwinkliges Dreieck, und seine ist der gesuchte Vektor selbst:

∣v⃗∣2=d2+v32|\vec v|^2 = d^2 + v_3^2

Zusammensetzen. Für d2d^2 setzen wir das Ergebnis des ersten Schritts ein:

∣v⃗∣2=v12+v22⏟=  d2+v32|\vec v|^2 = \underbrace{v_1^2 + v_2^2}_{= \;d^2} + v_3^2

Und nach dem Wurzelziehen steht die Betragsformel da, hergeleitet, nicht behauptet:

  ∣v⃗∣=v12+v22+v32  \boxed{\;|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\;}

Zwei Beobachtungen, die Fehler verhindern

Der Betrag ist nie negativ. Alle Koordinaten werden quadriert, dabei verschwinden die Vorzeichen. Kommt bei dir eine negative Länge heraus, ist ein Rechenfehler passiert.

Quadrieren und Addieren sind nicht vertauschbar. Es gilt v12+v22≠v1+v2\sqrt{v_1^2+v_2^2} \neq v_1 + v_2: Für (340)\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix} ergibt die Formel 55, nicht 77. Der direkte Weg ist eben kürzer als der Umweg über zwei Kanten.

Der Abstand zweier Punkte

Damit ist auch die Frage nach dem Abstand beantwortet. Der Weg von AA nach BB ist der Verbindungsvektor AB⃗\vec{AB}; der Abstand der beiden Punkte ist dessen Länge:

d(A,B)=∣AB⃗∣d(A,B) = \left|\vec{AB}\right|

Weil beim Quadrieren die Vorzeichen verschwinden, liefern AB⃗\vec{AB} und BA⃗\vec{BA} denselben Wert, der Weg ist in beide Richtungen gleich lang, wie es sein muss.

Betrag: zweimal Pythagoras

x₁x₂x₃v₁=2v₂=−6d=√40v₃=3|w|=7

Der Betrag entsteht aus zwei rechtwinkligen . Erstes Dreieck (liegt flach in der Grundebene): v1v_1 und v2v_2 stehen senkrecht aufeinander, die gestrichelte Diagonale ist d=v12+v22=4+36=40d = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40}. Zweites Dreieck (steht senkrecht dazu): dd und die Höhe v3v_3 bilden den rechten , die ist der gesuchte Vektor selbst: ∣w⃗∣=d2+v32=40+9=7|\vec w| = \sqrt{d^2 + v_3^2} = \sqrt{40 + 9} = 7. Setzt man d2=v12+v22d^2 = v_1^2+v_2^2 ein, entsteht die Betragsformel.

Betrag und Komponenten eines Vektors

x₁x₂x₃w

Die drei Komponenten von w⃗=(2−63)\vec{w} = \begin{pmatrix}2\\-6\\3\end{pmatrix} farblich einzeln entlang der Achsenrichtungen, zusammengesetzt ergeben sie w⃗\vec{w}. Der Betrag ist der 3D-Pythagoras über alle drei Komponenten: ∣w⃗∣=4+36+9=7|\vec{w}| = \sqrt{4+36+9} = 7.

Verbindungsvektor und Abstand

Gegeben sind die Punkte A(1∣2∣3)A(1 \mid 2 \mid 3) und B(4∣0∣5)B(4 \mid 0 \mid 5). Berechne AB⃗\vec{AB} und den Abstand der beiden Punkte (runde auf zwei Nachkommastellen).

  1. 1

    Angaben ordnen und Gesuchtes klären. Gegeben sind zwei Punkte, gesucht sind zwei Dinge:

    1. der Verbindungsvektor AB⃗\vec{AB}, eine Spalte mit drei Zahlen,
    2. der Abstand d(A,B)d(A,B), eine einzelne Zahl mit Längeneinheit.

    Diese Unterscheidung ist mehr als Formsache: Ein Vektor als Antwort auf eine Abstandsfrage (oder umgekehrt) ist inhaltlich falsch.

  2. 2

    Schritt 1: Welche Formel passt, und warum? Gesucht ist die Verschiebung von AA nach BB, also „Ziel minus Start":

    AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}

    Die Reihenfolge festhalten, bevor gerechnet wird: Im Namen AB⃗\vec{AB} steht AA vorn. Das ist der Start, wird also abgezogen. BB ist das Ziel und steht vorn in der Rechnung.

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    Schritt 2: Koordinaten einsetzen. Jede Zeile wird für sich gerechnet:

    AB⃗=(405)−(123)=(4−10−25−3)=(3−22)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

    Die mittlere Zeile ist die Fehlerquelle: 0−2=−20 - 2 = -2, nicht 22. Das Minus gehört zum Ergebnis und bedeutet, dass man in dieser Richtung rückwärts geht.

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    Schritt 3: Probe des Zwischenergebnisses. Der Vektor muss von AA aus tatsächlich bei BB landen. Rechne A+AB⃗A + \vec{AB}:

    (123)+(3−22)=(405)  ✓\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \;\checkmark

    Das sind genau die Koordinaten von BB. Diese Probe kostet zehn Sekunden und findet jeden Vorzeichen- oder Reihenfolgefehler.

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    Schritt 4: Welche Formel für den Abstand, und warum? Der Abstand ist die Länge des eben berechneten Verbindungsvektors, also sein Betrag:

    d(A,B)=∣AB⃗∣=v12+v22+v32d(A,B) = \left|\vec{AB}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}

    Wir dürfen den Verbindungsvektor also weiterverwenden und müssen nicht neu ansetzen.

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    Schritt 5: Einsetzen und quadrieren.

    ∣AB⃗∣=32+(−2)2+22\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2}

    Die Klammer um (−2)(-2) ist entscheidend: (−2)2=+4(-2)^2 = +4. Ohne Klammer verleitet −22-2^2 dazu, −4-4 zu rechnen, dann käme unter der eine zu kleine Zahl heraus.

    =9+4+4=17= \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}
  7. 7

    Schritt 6: Runden, erst jetzt, nicht vorher.

    17≈4,1231…≈4,12\sqrt{17} \approx 4{,}1231\ldots \approx 4{,}12

    Warum erst am Ende gerundet wird: Hätte man Zwischenergebnisse gerundet, würde sich der Fehler durch die weiteren Rechenschritte fortpflanzen. Der exakte Wert 17\sqrt{17} bleibt stehen, solange es geht.

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    Schritt 7: Einheit und Plausibilität. Weil die Achsen im keine physikalische Einheit tragen, gibt man Längeneinheiten (LE) an.

    Größenordnung prüfen: Die längste Einzelkoordinate ist 33, die Summe aller Beträge ist 3+2+2=73+2+2 = 7. Die direkte Verbindung muss länger als die längste Einzelstrecke, aber kürzer als der Umweg über alle drei Kanten sein:

    3<4,12<7  ✓3 < 4{,}12 < 7 \;\checkmark

AB⃗=(3−22)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} und d(A,B)=17≈4,12d(A,B) = \sqrt{17} \approx 4{,}12 LE.

Der Ablauf für jede Aufgabe dieses Typs: „Spitze minus Fuß" (Reihenfolge vorher festlegen) → Probe durch Zurückrechnen → Betrag des Verbindungsvektors → erst am Ende .

Linearkombination berechnen

Berechne 2u⃗−3v⃗2\vec{u} - 3\vec{v} für u⃗=(2−13)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} und v⃗=(14−2)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}.

  1. 1

    Was steht hier eigentlich? Der Ausdruck verbindet beide Rechenoperationen dieses Kapitels: Zuerst werden die Vektoren mit Zahlen multipliziert (Skalarmultiplikation), dann wird subtrahiert (Addition des Gegenvektors).

    Ein solcher Ausdruck aus mehrerer Vektoren heißt Linearkombination. Er begegnet dir in fast jedem weiteren Kapitel wieder.

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    Schritt 1: Welche Reihenfolge, und warum diese? Es gilt „Punkt vor Strich" wie bei gewöhnlichen Zahlen: erst die beiden Vielfachen bilden, dann subtrahieren.

    Die Rechnung in einem Zug durchzuziehen ist zwar erlaubt, aber fehleranfällig, weil dann in jeder Zeile Multiplikation und Vorzeichen gleichzeitig zu beachten sind. Wir rechnen deshalb in zwei klar getrennten Schritten.

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    Schritt 2: Das erste Vielfache. Jede Koordinate wird mit 22 multipliziert:

    2u⃗=2⋅(2−13)=(2⋅22⋅(−1)2⋅3)=(4−26)2\vec{u} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}

    Nicht nur die erste Zeile multiplizieren, der Faktor wirkt auf alle drei Koordinaten.

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    Schritt 3: Das zweite Vielfache. Zunächst nur 3v⃗3\vec v, das Minuszeichen kommt im nächsten Schritt:

    3v⃗=3⋅(14−2)=(312−6)3\vec{v} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix}
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    Schritt 4: Subtrahieren, zeilenweise.

    2u⃗−3v⃗=(4−26)−(312−6)=(4−3−2−126−(−6))2\vec u - 3\vec v = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ -2 - 12 \\ 6 - (-6) \end{pmatrix}

    Die dritte Zeile ist die klassische Falle: 6−(−6)=6+6=126 - (-6) = 6 + 6 = 12. Ein Minus vor einer negativen Zahl ergibt ein Plus.

    =(1−1412)= \begin{pmatrix} 1 \\ -14 \\ 12 \end{pmatrix}
  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle über einen anderen Rechenweg. Rechne dieselbe Aufgabe zur Probe in einem Durchgang, also 2ui−3vi2u_i - 3v_i je Zeile:

    1. Zeile:2⋅2−3⋅1=4−3=1  ✓2. Zeile:2⋅(−1)−3⋅4=−2−12=−14  ✓3. Zeile:2⋅3−3⋅(−2)=6+6=12  ✓\begin{aligned} \text{1. Zeile:}&\quad 2\cdot 2 - 3\cdot 1 = 4 - 3 = 1 \;\checkmark\\ \text{2. Zeile:}&\quad 2\cdot(-1) - 3\cdot 4 = -2 - 12 = -14 \;\checkmark\\ \text{3. Zeile:}&\quad 2\cdot 3 - 3\cdot(-2) = 6 + 6 = 12 \;\checkmark \end{aligned}

    Beide Wege stimmen überein. Weil die zweite Rechnung anders aufgebaut ist, ist die gering, denselben Fehler zweimal zu machen.

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    Schritt 6: Das Ergebnis deuten. Die Zahlen sind deutlich größer als die der Ausgangsvektoren, und die zweite Koordinate ist stark negativ geworden.

    Das ist stimmig: v⃗\vec v hat mit 44 eine große zweite Koordinate und geht mit dem Faktor −3-3 ein, also mit −12-12. Der Ergebnisvektor zeigt daher vor allem in die Gegenrichtung der zweiten Achse.

    Wichtig für die Antwort: Das Ergebnis ist wieder ein Vektor, keine Zahl. Eine Linearkombination von Vektoren ist immer selbst ein Vektor.

2u⃗−3v⃗=(1−1412)2\vec{u} - 3\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -14 \\ 12 \end{pmatrix}

Zum Mitnehmen: Punkt vor Strich gilt auch bei Vektoren; der Skalar wirkt auf jede Koordinate; und bei „minus mal negativ" in einer Zeile besonders sorgfältig arbeiten.

Vierter Eckpunkt eines Parallelogramms

Die Punkte A(1∣2∣3)A(1 \mid 2 \mid 3), B(4∣0∣5)B(4 \mid 0 \mid 5) und C(6∣3∣4)C(6 \mid 3 \mid 4) sind drei Ecken eines ABCDABCD. Bestimme den fehlenden Punkt DD.

  1. 1

    Was ist hier anders als bisher? Die Aufgabe ist nicht rechnerisch, sondern geometrisch gestellt: Gesucht ist ein Punkt, der eine bestimmte Form vervollständigt. Wir müssen die geometrische Bedingung zuerst in eine Vektorgleichung übersetzen.

    Die Eigenschaft eines Parallelogramms: Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Genau das drückt die Gleichheit zweier Vektoren aus: Gleichheit bedeutet ja gleiche Richtung und gleiche Länge.

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    Schritt 1: Welche Seiten liegen sich gegenüber? Hier lohnt sich Sorgfalt, denn davon hängt das ganze Ergebnis ab.

    Die Bezeichnung ABCDABCD gibt die Ecken der Reihe nach an, also A→B→C→D→AA \to B \to C \to D \to A. Die Seiten sind damit AB‾\overline{AB}, BC‾\overline{BC}, CD‾\overline{CD} und DA‾\overline{DA}.

    Gegenüber liegen sich also AB‾\overline{AB} und DC‾\overline{DC} sowie BC‾\overline{BC} und AD‾\overline{AD}.

    Die Bedingung lautet damit:

    AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}

    Auf die Richtung achten: AB⃗\vec{AB} und DC⃗\vec{DC} zeigen beide „im Umlaufsinn nach vorn". Setzte man fälschlich AB⃗=CD⃗\vec{AB} = \vec{CD}, erhielte man eine überkreuzte Figur statt eines Parallelogramms.

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    Schritt 2: Den bekannten Vektor berechnen.

    AB⃗=(405)−(123)=(3−22)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}
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    Schritt 3: Die Bedingung mit dem Unbekannten aufschreiben. Auch DC⃗\vec{DC} ist „Spitze minus Fuß": Ziel ist CC, Start ist das gesuchte DD:

    DC⃗=OC⃗−OD⃗\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD}

    Eingesetzt in die Bedingung AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}:

    (3−22)=(634)−OD⃗\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \vec{OD}
  5. 5

    Schritt 4: Nach dem Gesuchten umstellen. Die wird wie eine gewöhnliche Gleichung behandelt, nur dass in jeder Zeile eine eigene Zahlengleichung steht:

    OD⃗=(634)−(3−22)=(6−33−(−2)4−2)=(352)\vec{OD} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 3-(-2) \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}

    Die mittlere Zeile wieder sorgfältig: 3−(−2)=3+2=53 - (-2) = 3 + 2 = 5.

  6. 6

    Schritt 5: Vom Ortsvektor zum Punkt. Der Ortsvektor enthält die Punktkoordinaten, jetzt nur noch in der Punktschreibweise notieren:

    D(3∣5∣2)D(3 \mid 5 \mid 2)

    Dieser Schritt wird oft vergessen. Gefragt war ein Punkt; eine Spalte als Endantwort beantwortet die Frage formal nicht.

  7. 7

    Schritt 6: Probe über die andere Seitenpaarung. Wenn DD stimmt, muss auch die zweite Parallelogramm-Bedingung AD⃗=BC⃗\vec{AD} = \vec{BC} erfüllt sein. Das ist eine echte Kontrolle, weil sie andere Punkte verwendet als die Rechnung:

    AD⃗=(352)−(123)=(23−1)\vec{AD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} BC⃗=(634)−(405)=(23−1)\vec{BC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}

    Beide Vektoren stimmen überein ✓, die Figur ist tatsächlich ein Parallelogramm.

  8. 8

    Schritt 7: Ein Hinweis, der Missverständnisse vermeidet. Die Aufgabe hat eine Lösung, weil die Reihenfolge ABCDABCD vorgegeben war.

    Fragt eine Aufgabe dagegen offen „Ergänze zu einem Parallelogramm", gibt es drei mögliche vierte Punkte, je nachdem, welche der drei gegebenen Ecken der neuen Ecke gegenüberliegt. Lies die Aufgabenstellung deshalb genau: Die Buchstabenreihenfolge ist eine Angabe, keine Zierde.

D(3∣5∣2)D(3 \mid 5 \mid 2)

Der Ablauf bei geometrischen Vektoraufgaben: Eigenschaft in eine Vektorgleichung übersetzen (hier: gegenüberliegende Seiten sind gleiche Vektoren) → nach dem gesuchten Ortsvektor umstellen → zurück in die Punktschreibweise → mit der anderen Seitenpaarung gegenprüfen.

Typischer Fehler

Für AB⃗\vec{AB} wird A−BA - B gerechnet statt B−AB - A.

Die Reihenfolge ist entscheidend: AB⃗\vec{AB} zeigt von AA nach BB, also „Ziel minus Start" bzw. „Spitze minus Fuß": AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A. Rechnet man A−BA - B, erhält man den Gegenvektor BA⃗=−AB⃗\vec{BA} = -\vec{AB}, gleiche Länge, aber entgegengesetzte Richtung. Für Abstände ist das egal (der Betrag ist gleich), für und Richtungsangaben aber nicht!

Übung 1

leicht

Berechne u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} für u⃗=(2−13)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} und v⃗=(14−2)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}.

Tipp anzeigen

Koordinatenweise addieren.

Lösung anzeigen

u⃗+v⃗=(2+1−1+43+(−2))=(331)\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2+1 \\ -1+4 \\ 3+(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Koordinatenweise addieren

    Vektoren werden Koordinate für Koordinate addiert: u⃗+v⃗=(2+1−1+43+(−2))=(331)\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2+1 \\ -1+4 \\ 3+(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}.

  2. 2

    Vorzeichen sauber führen

    Kritische Zeilen: −1+4=3-1 + 4 = 3 und 3+(−2)=13 + (-2) = 1, negative Koordinaten mit Klammerdisziplin verrechnen.

  3. 3

    Ergebnis deuten

    (331)\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ist die GESAMT-Verschiebung: erst u⃗\vec{u}, dann v⃗\vec{v} oder umgekehrt, die Reihenfolge ist egal (Kommutativgesetz).

Übung 2

mittel

Berechne den Betrag von w⃗=(2−63)\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}.

Tipp anzeigen

∣w⃗∣=w12+w22+w32\left|\vec{w}\right| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}: Vorzeichen verschwinden beim Quadrieren.

Lösung anzeigen

∣w⃗∣=22+(−6)2+32=4+36+9=49=7\left|\vec{w}\right| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Betragsformel: Pythagoras in 3D

    ∣w⃗∣=w12+w22+w32|\vec{w}| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}, die Länge des Pfeils über den räumlichen .

  2. 2

    Einsetzen und quadrieren

    ∣w⃗∣=22+(−6)2+32=4+36+9=49|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49}.

    4+36+9=494 + 36 + 9 = 49

  3. 3

    Wurzel ziehen und einordnen

    ∣w⃗∣=49=7|\vec{w}| = \sqrt{49} = 7, der Pfeil ist 7 Längeneinheiten lang.

Übung 3

schwer

Bestimme den Mittelpunkt MM der Strecke AB‾\overline{AB} mit A(1∣2∣3)A(1 \mid 2 \mid 3) und B(4∣0∣5)B(4 \mid 0 \mid 5).

Tipp anzeigen

Der Ortsvektor des Mittelpunkts ist der der Ortsvektoren: OM⃗=12(OA⃗+OB⃗)\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OB}\right).

Lösung anzeigen

OM⃗=12((123)+(405))=12(528)=(2,514)\vec{OM} = \frac{1}{2}\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}

Der Mittelpunkt ist M(2,5∣1∣4)M(2{,}5 \mid 1 \mid 4).

(Warum der Durchschnitt der Ortsvektoren wirklich die Mitte trifft, Mitte == Start plus halber Verbindungsvektor, leitet das Kapitel „Punkte und Figuren im Raum" ausführlich her. Hier darfst du die Formel schon einmal benutzen.)

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Mittelpunktsformel ansetzen

    OM⃗=12(OA⃗+OB⃗)\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OB}\right), der Ortsvektor der Mitte ist der Durchschnitt der beiden Ortsvektoren.

  2. 2

    Einsetzen und rechnen

    OM⃗=12((123)+(405))=12(528)=(2,514)\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}.

    1+42=2,5,2+02=1,3+52=4\frac{1+4}{2} = 2{,}5, \quad \frac{2+0}{2} = 1, \quad \frac{3+5}{2} = 4

    Zwischenergebnis

    M(2,5∣1∣4)M(2{,}5 \mid 1 \mid 4)

  3. 3

    Mit der Symmetrie prüfen

    Kontrolle: AM⃗=(1,5∣−1∣1)\vec{AM} = (1{,}5 \mid -1 \mid 1) und MB⃗=(1,5∣−1∣1)\vec{MB} = (1{,}5 \mid -1 \mid 1), identisch ✓: MM liegt exakt in der Mitte.

Zusammenfassung

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum. Du rechnest koordinatenweise (Addition, Skalarmultiplikation), bildest Verbindungsvektoren mit „Spitze minus Fuß" und bestimmst Längen und Abstände über den Betrag ∣v⃗∣=v12+v22+v32\left|\vec{v}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}. Damit bist du bereit für Geraden und Ebenen im Raum.