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Vektoren / Analytische Geometrie

Ebenen im Raum

Ebenen in Parameter- und Koordinatenform: aufstellen, Punkte prüfen, schneiden.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine Tischplatte, eine Wand, die Wasseroberfläche eines Sees: Ebenen sind die „flachen " des Raums. Nach Punkten und Geraden sind sie das dritte Grundobjekt der analytischen Geometrie. Du lernst zwei Beschreibungen: die anschauliche und die rechenfreundliche Koordinatenform mit ihrem Normalenvektor.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • eine Ebene in aus drei Punkten aufstellen.

  • die Koordinatenform (Normalenform) einer Ebene bestimmen.

  • mit der Punktprobe prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt.

  • den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene berechnen.

Parameterform

Eine Gerade entstand aus einem Stützpunkt und einer Richtung. Was ändert sich, wenn eine ganze Ebene beschrieben werden soll?

Von einer Richtung zu zwei

Auf einer Geraden kann man sich nur vor und zurück bewegen, eine einzige Freiheit, ausgedrückt durch einen Parameter tt.

Auf einer Ebene gibt es zwei unabhängige Bewegungsrichtungen. Denk an eine Tischplatte: Du kannst nach vorn/hinten und nach links/rechts, und durch Kombination beider erreichst du jeden Punkt der Platte. Für jede dieser Freiheiten braucht die einen eigenen Parameter:

E:x⃗=a⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗,r,s∈RE: \vec{x} = \vec{a} + r\cdot\vec{u} + s\cdot\vec{v}, \qquad r, s \in \mathbb{R}

Das ist genau die Linearkombination aus dem Kapitel zur linearen Abhängigkeit: Zwei nicht-kollineare spannen eine Ebene auf. Hier wird diese Ebene nur zusätzlich vom Ursprung weg an den Stützpunkt a⃗\vec a verschoben.

Die Anzahl der Parameter ist die Dimension

Daraus ergibt sich eine Systematik, die das Ganze ordnet:

ObjektRichtungsvektorenParameterDimension
Punktkeine0000
Gerade111111
Ebene222222
Raum333333

Der häufigste Fehler in diesem Kapitel ist, eine Ebene mit nur einem Richtungsvektor anzusetzen. Damit beschreibt man keine Ebene, sondern lediglich eine Gerade in dieser Ebene.

Warum die Richtungsvektoren nicht kollinear sein dürfen

Wären u⃗\vec u und v⃗\vec v voneinander, zeigten beide in dieselbe Richtung. Dann brächte der zweite Parameter nichts Neues, man käme über eine Gerade nicht hinaus.

Das ist keine Formalie, sondern eine Bedingung, die man prüfen muss. Bei Aufgaben, in denen die Richtungsvektoren gegeben sind, gehört ein kurzer Kollinearitätstest an den Anfang.

Ebene durch drei Punkte

Sind drei Punkte AA, BB, CC gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, so legen sie genau eine Ebene fest (deshalb wackelt ein dreibeiniger Hocker nie).

Die Bausteine liest man direkt ab: Stützpunkt ist einer der Punkte, die beiden Richtungsvektoren sind die Verbindungen zu den anderen:

E:x⃗=a⃗+r⋅AB⃗+s⋅AC⃗E: \vec{x} = \vec{a} + r\cdot\vec{AB} + s\cdot\vec{AC}

Beide Richtungsvektoren müssen vom selben Punkt ausgehen, aus demselben Grund wie bei der Kollinearitätsprüfung von Punkten.

Ebene in Parameterform

Ex₁x₂x₃u⃗=ABv⃗=ACABC

Die Ebene durch AA, BB, CC entsteht aus dem Stützpunkt AA und den zwei Richtungsvektoren u⃗=AB⃗\vec{u}=\vec{AB}, v⃗=AC⃗\vec{v}=\vec{AC}: E:x⃗=a⃗+ru⃗+sv⃗E: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v}.

Koordinatenform

Die hat einen praktischen Nachteil: Um zu prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, muss man ein mit zwei Unbekannten lösen. Es geht einfacher, mit einer Form ganz ohne Parameter.

Die Idee: senkrecht denken statt aufspannen

Statt die Ebene durch Richtungen zu erzeugen, beschreiben wir sie durch eine Bedingung. Dafür nutzen wir den Normalenvektor n⃗\vec n aus dem Vektorprodukt-Kapitel: den , der senkrecht auf der Ebene steht.

Wann liegt ein Punkt XX in der Ebene? Genau dann, wenn der Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu ihm in der Ebene verläuft. Und ein Vektor liegt genau dann in der Ebene, wenn er senkrecht zum Normalenvektor steht.

Beide Richtungen dieser Aussage verdienen einen Blick. Liegt der Vektor in der Ebene, steht er senkrecht auf n⃗\vec n. Das ist die Normaleneigenschaft aus dem Vektorprodukt-Kapitel. Für die Umkehrung stell dir n⃗\vec n als Stange vor, die senkrecht in der Ebene steckt: Alles, was am Fußpunkt senkrecht zur Stange verläuft, liegt flach, zusammen ergeben diese Richtungen genau die Ebene selbst. Eine „schräge" Richtung hätte dagegen einen Anteil entlang der Stange und stünde nicht mehr senkrecht auf ihr. (Das ist ein anschauliches Argument; der formale Beweis der Umkehrung arbeitet mit Linearkombinationen und gehört nicht in die Schule.) Damit gilt:

X∈E⟺n⃗⊥AX⃗⟺n⃗⋅AX⃗=0X \in E \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{n} \perp \vec{AX} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{n} \cdot \vec{AX} = 0

Im letzten Schritt steckt das Orthogonalitätskriterium des . Ausgeschrieben ergibt das die Normalenform:

n⃗⋅(x⃗−a⃗)=0\vec{n} \cdot \left(\vec{x} - \vec{a}\right) = 0

Von der Normalenform zur Koordinatenform

Jetzt muss nur noch ausmultipliziert werden. Das Skalarprodukt darf gliedweise auf die Klammer angewendet werden, in Koordinaten nachgerechnet zerfällt jeder Summand ni (xi−ai)n_i\,(x_i - a_i) in nixi−niain_i x_i - n_i a_i, das gewohnte Ausmultiplizieren:

n⃗⋅x⃗−n⃗⋅a⃗=0⟹n⃗⋅x⃗=n⃗⋅a⃗\vec{n} \cdot \vec{x} - \vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{a}

Auf der rechten Seite stehen nur bekannte Größen, ihr Skalarprodukt ist eine feste Zahl, die wir dd nennen. Links schreiben wir das Skalarprodukt in Koordinaten aus:

  E:n1x1+n2x2+n3x3=d  \boxed{\;E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\;}

Damit ist klar, was die Koeffizienten bedeuten: Die Zahlen vor x1x_1, x2x_2, x3x_3 sind nicht irgendwelche Vorfaktoren, sondern die Koordinaten des Normalenvektors. Man kann ihn also direkt aus jeder Koordinatenform ablesen, eine der nützlichsten Beobachtungen dieses Kapitels.

Der Weg von der Parameter- zur Koordinatenform

Daraus ergibt sich ein zweistufiges Verfahren:

  1. Normalenvektor berechnen: n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}, das der beiden Richtungsvektoren steht ja auf beiden und damit auf der ganzen Ebene senkrecht.
  2. dd bestimmen: Den Stützpunkt in n1x1+n2x2+n3x3n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 einsetzen. Weil er in der Ebene liegt, muss er die erfüllen, das Ergebnis ist dd.

Beide Formen im Vergleich

ParameterformKoordinatenform
AufbauStützpunkt + 2 Richtungeneine Gleichung
PunktprobeGleichungssystem löseneinsetzen und vergleichen
Punkte erzeugendirekt über rr, ssumständlich
Normalenvektorerst berechnendirekt ablesbar

Keine der beiden ist grundsätzlich besser, man wählt sie nach der Aufgabe. Für Punktproben und Schnittprobleme ist die Koordinatenform fast immer die schnellere.

Normalenvektor einer Ebene

Ex₁x₂x₃n⃗

Der Normalenvektor n⃗=u⃗×v⃗=(632)\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = \begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix} steht senkrecht auf EE (zur Übersicht verkürzt gezeichnet) und liefert die Koordinatenform 6x1+3x2+2x3=66x_1+3x_2+2x_3=6.

Punktprobe und Schnitt mit Koordinatenebenen

Zwei Standardaufgaben, die sich mit der Koordinatenform in wenigen Zeilen erledigen lassen.

Die Punktprobe

Die Koordinatenform ist eine Bedingung: Erfüllt ein Punkt sie, liegt er in der Ebene; erfüllt er sie nicht, liegt er außerhalb. Man setzt seine Koordinaten also einfach ein und vergleicht beide Seiten.

Kein , keine Unbekannten, der ganze Vorteil dieser Form zeigt sich hier.

Und die Abweichung sagt sogar noch etwas aus: Zwei Punkte, bei denen die linke Seite denselben Wert ergibt, liegen auf derselben zu EE parallelen Ebene. Der Wert der linken Seite ist damit ein Maß dafür, auf welcher „Höhe" über der Ebene ein Punkt liegt.

Spurpunkte: wo etwas die Koordinatenebenen durchstößt

Die drei Koordinatenebenen haben besonders einfache , weil in ihnen jeweils eine Koordinate durchgehend null ist:

EbeneGleichunganschaulich
x1x2x_1x_2-Ebenex3=0x_3 = 0der „Boden"
x1x3x_1x_3-Ebenex2=0x_2 = 0eine „Wand"
x2x3x_2x_3-Ebenex1=0x_1 = 0die andere „Wand"

Um zu bestimmen, wo eine Gerade x⃗=a⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} den Boden durchstößt, braucht man deshalb keine Ebenengleichung: Man setzt schlicht die dritte Koordinate gleich null:

a3+t u3=0⟹t=−a3u3a_3 + t\,u_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{a_3}{u_3}

Dieses tt liefert, in die eingesetzt, den gesuchten Punkt. Solche Durchstoßpunkte heißen Spurpunkte.

Wann es keinen Spurpunkt gibt: Ist u3=0u_3 = 0, ändert die Gerade ihre Höhe nie. Sie verläuft parallel zum Boden und trifft ihn entweder gar nicht oder liegt ganz darin. Die Gleichung zeigt das an: Man müsste durch null teilen.

Erkläre es selbst: Beim Spurpunkt setzt du eine Koordinate der Geraden gleich null. Wie überträgst du die Idee auf eine beliebige Ebene wie 2x1 + x2 + x3 = 14?

Dieselbe Idee, nur mit der ganzen statt einer einzelnen Koordinate. Beim Spurpunkt lautet die Bedingung schlicht x3=0x_3 = 0; bei einer beliebigen Ebene ist die Bedingung ihre Koordinatengleichung. Der Schnittpunkt muss auf der Geraden liegen und die Ebenengleichung erfüllen, also setzt du die drei Zeilen der dort ein.

Für die Gerade aus der Spurpunkt-Musterlösung, g:x⃗=(126)+t(11−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}, und E:2x1+x2+x3=14E: 2x_1 + x_2 + x_3 = 14:

2(1+t)+(2+t)+(6−2t)=14⟹10+t=14⟹t=42(1+t) + (2+t) + (6-2t) = 14 \quad\Longrightarrow\quad 10 + t = 14 \quad\Longrightarrow\quad t = 4

Einsetzen in gg liefert S(5∣6∣−2)S(5 \mid 6 \mid -2): Kontrolle: 2⋅5+6+(−2)=142 \cdot 5 + 6 + (-2) = 14 ✓

Es bleibt eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten tt. Der Spurpunkt ist nur der Spezialfall mit der kürzestmöglichen Ebenengleichung (x3=0x_3 = 0). Genau dieses Verfahren brauchst du in Übung 3.

Ebenenbüschel und Scharen paralleler Ebenen

Wie bei Geraden gibt es auch bei Ebenen ganze Familien. Zwei Typen sind zu unterscheiden, und die Koordinatenform macht den Unterschied besonders deutlich.

Schar paralleler Ebenen: gleicher Normalenvektor, anderes dd

Behält man den Normalenvektor bei und ändert nur dd, so bleibt die Neigung der Ebene gleich; sie wird lediglich parallel verschoben:

Ed:6x1+3x2+2x3=dE_d: 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d

Jeder Wert von dd liefert eine andere Ebene der Schar, und alle sind zueinander parallel. Sie überdecken zusammen den ganzen Raum, ohne sich je zu schneiden, wie die Stockwerke eines Hauses.

Damit ergibt sich ein Parallelitätskriterium: Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren kollinear sind. Stimmt zusätzlich dd überein (nach demselben ), sind sie identisch.

Ebenenbüschel: gemeinsame Gerade, verschiedene Neigung

Ein Büschel entsteht anders: Alle seine Ebenen enthalten dieselbe Gerade, sind aber unterschiedlich um sie gekippt, wie die Seiten eines aufgeschlagenen Buches, die alle am Buchrücken zusammenlaufen.

Hier ändert sich der Normalenvektor von Ebene zu Ebene, während die gemeinsame Gerade fest bleibt.

Der Unterschied auf einen Blick:

parallele ScharBüschel
Normalenvektorgleichverschieden
gemeinsame Punktekeineeine ganze Gerade
BildStockwerkeaufgeschlagenes Buch

Schar paralleler Ebenen

x₁x₂x₃

Alle drei Ebenen haben dieselben Richtungsvektoren (denselben Normalenvektor), aber verschiedene Stützpunkte, eine Schar paralleler Ebenen, wie übereinanderliegende Stockwerke.

Ebenenbüschel um eine Gerade

x₁x₂x₃

Alle drei Ebenen enthalten dieselbe gemeinsame Gerade (hier die x2x_2-Achse durch den Ursprung), sind aber unterschiedlich um sie gekippt, ein Ebenenbüschel.

Schnittgeraden zwischen Ebenen

Was passiert, wenn sich zwei Ebenen begegnen?

Warum eine Gerade entsteht, und kein Punkt

Zwei nicht-parallele Ebenen schneiden sich niemals in nur einem Punkt. Der Grund lässt sich abzählen: Jede Ebene legt einen Punkt durch eine fest und nimmt ihm damit eine Freiheit. Im Raum hat ein Punkt drei Freiheiten; zwei Gleichungen lassen also noch eine übrig.

Ein Objekt mit einer verbleibenden Freiheit ist eine Gerade, die Schnittgerade. Jeder ihrer Punkte liegt in beiden Ebenen gleichzeitig.

Anschaulich: Zwei Wände eines Zimmers treffen sich in der senkrechten Zimmerkante, Wand und Decke in einer waagerechten Kante.

Die drei möglichen Lagen

Anders als bei Geraden gibt es hier keinen windschiefen Fall: zwei Ebenen sind im Raum einfach zu groß, um sich zu verfehlen:

NormalenvektorenLage
nicht kollinearschneidend (Schnittgerade)
kollinear, dd verschiedenecht parallel
kollinear, dd gleichidentisch

Wie man die Schnittgerade berechnet

Gesucht sind alle Punkte, die beide Koordinatengleichungen erfüllen, also die Lösungsmenge eines Systems aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Weil eine Unbekannte frei bleibt, setzt man eine Koordinate gleich einem Parameter (etwa x3=tx_3 = t) und drückt die beiden anderen dadurch aus. Das Ergebnis ist genau die der Schnittgeraden: Stützpunkt und Richtungsvektor lassen sich daraus ablesen.

Die Kontrolle: Der Richtungsvektor der Schnittgeraden muss auf beiden Normalenvektoren senkrecht stehen (sie verläuft ja in beiden Ebenen). Zwei , beide null, eine schnelle und zuverlässige Probe.

Schnittgerade zweier Ebenen

E₁E₂x₁x₂x₃s

E1E_1 und E2E_2 schneiden sich in der Schnittgeraden ss, jeder Punkt von ss liegt in beiden Ebenen gleichzeitig.

Ebene durch drei Punkte (Koordinatenform)

Bestimme die Koordinatenform der Ebene durch A(1∣0∣0)A(1|0|0), B(0∣2∣0)B(0|2|0), C(0∣0∣3)C(0|0|3).

  1. 1

    Der Weg zum Ziel. Die Koordinatenform lautet n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d. Es fehlen also zwei Dinge: der Normalenvektor n⃗\vec n und die Zahl dd.

    Der Plan:

    1. zwei Richtungsvektoren in der Ebene bilden,
    2. ihr liefert n⃗\vec n,
    3. einen bekannten Punkt einsetzen liefert dd.

    Beobachtung vorweg: Jeder der drei Punkte liegt auf einer Koordinatenachse. Die Ebene schneidet die Achsen also bei 11, 22 und 33. Das wird am Ende eine hübsche Kontrolle ermöglichen.

  2. 2

    Schritt 1: Zwei Richtungsvektoren bilden, beide von AA aus, damit sie sicher in der Ebene liegen:

    AB⃗=(0−12−00−0)=(−120),AC⃗=(0−10−03−0)=(−103)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 2-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 0-0 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

    Kurz prüfen, ob sie nicht kollinear sind: In der zweiten Zeile steht 22 gegen 00, ein ist damit ausgeschlossen. Die drei Punkte liegen also nicht auf einer Geraden und spannen tatsächlich eine Ebene auf.

  3. 3

    Schritt 2: Den Normalenvektor über das Kreuzprodukt.

    1. Koordinate:2⋅3−0⋅0=62. Koordinate:0⋅(−1)−(−1)⋅3=0+3=33. Koordinate:(−1)⋅0−2⋅(−1)=0+2=2\begin{aligned} \text{1. Koordinate:}&\quad 2\cdot 3 - 0\cdot 0 = 6\\ \text{2. Koordinate:}&\quad 0\cdot(-1) - (-1)\cdot 3 = 0 + 3 = 3\\ \text{3. Koordinate:}&\quad (-1)\cdot 0 - 2\cdot(-1) = 0 + 2 = 2 \end{aligned} n⃗=AB⃗×AC⃗=(632)\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

    In den Zeilen 2 und 3 stehen doppelte Minuszeichen. Beide ergeben ein Plus.

  4. 4

    Schritt 3: Den Normalenvektor prüfen. Bevor wir weiterrechnen, die Standardprobe:

    n⃗⋅AB⃗=−6+6+0=0  ✓n⃗⋅AC⃗=−6+0+6=0  ✓\vec n \cdot \vec{AB} = -6 + 6 + 0 = 0 \;\checkmark \qquad \vec n \cdot \vec{AC} = -6 + 0 + 6 = 0 \;\checkmark

    n⃗\vec n steht auf beiden Richtungsvektoren senkrecht und damit auf der ganzen Ebene.

  5. 5

    Schritt 4: Die ohne dd aufstellen. Die Koordinaten von n⃗\vec n sind die Koeffizienten:

    6x1+3x2+2x3=d6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = d

    Das ist der Kern der Koordinatenform: Der Normalenvektor steht bereits vor den . Man muss ihn nirgends gesondert notieren.

  6. 6

    Schritt 5: dd über einen bekannten Punkt bestimmen. Der Punkt AA liegt in der Ebene, also muss er die Gleichung erfüllen. Einsetzen von A(1∣0∣0)A(1|0|0):

    6⋅1+3⋅0+2⋅0=66\cdot 1 + 3\cdot 0 + 2\cdot 0 = 6 d=6d = 6

    Damit lautet die Ebenengleichung:

    E:6x1+3x2+2x3=6E: 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6

    Man darf jeden der drei Punkte nehmen. Alle liegen in der Ebene und liefern denselben Wert. Genau das prüfen wir als Nächstes.

  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle mit den beiden anderen Punkten. Das ist eine echte Probe, denn BB und CC sind in die bisherige Rechnung nur über die Richtungsvektoren eingegangen:

    B(0∣2∣0):6⋅0+3⋅2+2⋅0=6  ✓B(0|2|0): \quad 6\cdot 0 + 3\cdot 2 + 2\cdot 0 = 6 \;\checkmark C(0∣0∣3):6⋅0+3⋅0+2⋅3=6  ✓C(0|0|3): \quad 6\cdot 0 + 3\cdot 0 + 2\cdot 3 = 6 \;\checkmark

    Beide ergeben 66, alle drei Punkte erfüllen die Gleichung.

  8. 8

    Schritt 7: Das Ergebnis deuten. Erinnerst du dich an die Vorüberlegung? Die Ebene schneidet die Achsen bei 11, 22 und 33. Teilt man die Gleichung durch 66, wird das sichtbar:

    6x16+3x26+2x36=1⟹x11+x22+x33=1\frac{6x_1}{6} + \frac{3x_2}{6} + \frac{2x_3}{6} = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x_1}{1} + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} = 1

    Unter den stehen genau die Achsenabschnitte 11, 22, 33 ✓, ein schöner Hinweis darauf, dass die Rechnung stimmt.

    Zusatz: Dieselben drei Punkte kamen im Vektorprodukt-Kapitel vor; dort ergab ∣n⃗∣=7|\vec n| = 7 die Dreiecksfläche 3,53{,}5. Ein und dasselbe Kreuzprodukt liefert also die Ebenengleichung und die .

E:6x1+3x2+2x3=6E: 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6

Der Ablauf: zwei Richtungsvektoren von derselben Ecke → Kreuzprodukt (mit gegengeprüft) → Koordinaten als Koeffizienten → dd durch Einsetzen eines Punktes → Kontrolle mit den übrigen Punkten.

Punktprobe

Liegt P(2∣−2∣3)P(2|-2|3) in der Ebene E:6x1+3x2+2x3=6E: 6x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6?

  1. 1

    Warum diese Aufgabe kurz ist. Die Ebene liegt in Koordinatenform vor, also als Bedingung an die Koordinaten. Ein Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er diese Bedingung erfüllt.

    Es ist kein zu lösen: Einsetzen und Vergleichen genügt. Läge die Ebene in vor, müsste man dagegen ein System mit zwei Unbekannten rr und ss lösen.

  2. 2

    Schritt 1: Die Koordinaten richtig zuordnen. P(2∣−2∣3)P(2|-2|3) bedeutet:

    x1=2,x2=−2,x3=3x_1 = 2, \qquad x_2 = -2, \qquad x_3 = 3

    Auf das Vorzeichen der zweiten Koordinate achten. Es wird gleich gebraucht.

  3. 3

    Schritt 2: In die linke Seite einsetzen. Nur die linke Seite wird ausgerechnet; die rechte (66) bleibt als Vergleichswert stehen:

    6⋅2+3⋅(−2)+2⋅36\cdot 2 + 3\cdot(-2) + 2\cdot 3
  4. 4

    Schritt 3: Die drei Produkte einzeln bilden.

    6⋅2=123⋅(−2)=−62⋅3=6\begin{aligned} 6 \cdot 2 &= 12\\ 3 \cdot (-2) &= -6\\ 2 \cdot 3 &= 6 \end{aligned}

    Das mittlere Produkt ist negativ. Hier entsteht der häufigste Fehler dieser Aufgabe.

  5. 5

    Schritt 4: Addieren.

    12+(−6)+6=12−6+6=1212 + (-6) + 6 = 12 - 6 + 6 = 12
  6. 6

    Schritt 5: Vergleichen und entscheiden. Die linke Seite ergibt 1212, gefordert wären 66:

    12≠612 \neq 6

    Die ist nicht erfüllt, PP liegt nicht in EE.

  7. 7

    Schritt 6: Das Ergebnis deuten, was sagt die 1212? Der Wert ist nicht nur „falsch", er enthält eine Information.

    Alle Punkte, für die die linke Seite 1212 ergibt, bilden die Ebene 6x1+3x2+2x3=126x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 12. Diese hat denselben Normalenvektor wie EE und ist deshalb parallel dazu.

    PP liegt also auf einer zu EE parallelen Ebene, und weil 12>612 > 6 ist, auf der Seite, in die der Normalenvektor zeigt.

    Praktischer Nutzen: Fragt eine Aufgabe, ob zwei Punkte auf derselben Seite einer Ebene liegen, muss man nur beide einsetzen und die Werte mit dd vergleichen.

PP liegt nicht in EE: Die linke Seite ergibt 1212 statt der geforderten 66.

PP liegt stattdessen auf der parallelen Ebene 6x1+3x2+2x3=126x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 12.

Zum Mitnehmen: Bei der Koordinatenform ist die Punktprobe reines Einsetzen. Die Abweichung vom Wert dd verrät zusätzlich, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt.

Schnitt mit Koordinatenebene

Wo durchstößt die Gerade g:x⃗=(126)+t(11−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix} die x1x2x_1x_2-Ebene (x3=0x_3 = 0)?

  1. 1

    Was ist die x1x2x_1x_2-Ebene? Es ist der „Boden" des , alle Punkte mit der Höhe x3=0x_3 = 0. Gesucht ist der Punkt, an dem die Gerade diesen Boden durchstößt: ihr Spurpunkt.

    Die entscheidende Vereinfachung: Für diese Ebene wird keine Ebenengleichung gebraucht. Die Bedingung ist bereits denkbar einfach, die dritte Koordinate muss null sein.

  2. 2

    Schritt 1: Die dritte Zeile der isolieren. Nur sie enthält die Information über die Höhe:

    x3=6+t⋅(−2)=6−2tx_3 = 6 + t \cdot (-2) = 6 - 2t

    Die Höhe nimmt mit wachsendem tt ab (der Richtungsvektor hat dort −2-2). Die Gerade läuft also von oben nach unten und wird den Boden mit Sicherheit erreichen, bei positivem tt.

  3. 3

    Schritt 2: Die Bedingung ansetzen. Am Durchstoßpunkt ist die Höhe null:

    6−2t=06 - 2t = 0
  4. 4

    Schritt 3: Nach tt auflösen.

    6−2t=0∣  +2t6 - 2t = 0 \quad\Big|\; +2t 6=2t∣  :26 = 2t \quad\Big|\; : 2 t=3t = 3

    Positiv, wie in Schritt 1 erwartet ✓

  5. 5

    Schritt 4: tt in die ganze Geradengleichung einsetzen. Jetzt werden alle drei Koordinaten gebraucht, nicht nur die dritte:

    x1=1+3⋅1=4x2=2+3⋅1=5x3=6+3⋅(−2)=6−6=0\begin{aligned} x_1 &= 1 + 3 \cdot 1 = 4\\ x_2 &= 2 + 3 \cdot 1 = 5\\ x_3 &= 6 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0 \end{aligned}

    Die dritte Zeile ist die eingebaute Probe: Sie muss null ergeben, sonst wurde tt falsch bestimmt.

  6. 6

    Schritt 5: Den Spurpunkt angeben.

    S(4∣5∣0)S(4 \mid 5 \mid 0)

    Die dritte Koordinate gehört mit angegeben, auch wenn sie null ist. Sie ist Teil der Ortsangabe im Raum und zeigt, dass der Punkt tatsächlich im „Boden" liegt.

  7. 7

    Schritt 6: Plausibilität. Der Stützpunkt (1∣2∣6)(1|2|6) liegt sechs Einheiten über dem Boden. Pro Parameterschritt sinkt die Gerade um 22 Einheiten, braucht also 33 Schritte bis zum Boden, genau das gefundene t=3t = 3 ✓

    Gleichzeitig wandert sie in x1x_1- und x2x_2-Richtung um je 33 Einheiten weiter, von (1∣2)(1|2) auf (4∣5)(4|5) ✓

    Wann es keinen Spurpunkt gäbe: Wäre die dritte Koordinate des Richtungsvektors 00, bliebe die Höhe konstant bei 66, die Gerade verliefe parallel zum Boden und träfe ihn nie. Die 6=06 = 0 hätte dann keine Lösung.

Der Spurpunkt in der x1x2x_1x_2-Ebene ist S(4∣5∣0)S(4 \mid 5 \mid 0).

Der Ablauf bei Spurpunkten: die zur Koordinatenebene gehörende Zeile null setzen → tt berechnen → tt in alle drei Zeilen einsetzen → die null gesetzte Koordinate dient als eingebaute Probe. Für die x2x3x_2x_3-Ebene setzt man entsprechend x1=0x_1 = 0, für die x1x3x_1x_3-Ebene x2=0x_2 = 0.

Typischer Fehler

„Eine Ebene stelle ich wie eine Gerade mit einem Richtungsvektor auf: x⃗=a⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{u}."

Eine Ebene ist zweidimensional und braucht zwei (nicht kollineare) Richtungsvektoren und zwei Parameter: x⃗=a⃗+ru⃗+sv⃗\vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v}. Mit nur einem Richtungsvektor beschreibst du bloß eine Gerade in der Ebene. Merke: Gerade = 1 Richtung (1 Parameter), Ebene = 2 Richtungen (2 Parameter), Raum = 3 Richtungen.

Übung 1

leicht

Liegt P(1∣1∣1)P(1|1|1) in der Ebene E:2x1+3x2−x3=4E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 4?

Tipp anzeigen

Einsetzen und vergleichen.

Lösung anzeigen

2+3−1=4=42 + 3 - 1 = 4 = 4 ✓ → ja, PP liegt in EE.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Punktprobe in der Koordinatenform

    Die Koordinaten von P(1∣1∣1)P(1|1|1) in E:2x1+3x2−x3=4E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 einsetzen: 2⋅1+3⋅1−12 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1.

  2. 2

    Auswerten und vergleichen

    2+3−1=42 + 3 - 1 = 4 und die rechte Seite ist 44: Gleichheit ✓.

    2⋅1+3⋅1−1⋅1=42 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 4

  3. 3

    Antworten

    Die Gleichung ist erfüllt → JA, PP liegt in der Ebene EE.

Übung 2

mittel

Bestimme einen Normalenvektor und die Koordinatenform der Ebene durch A(0∣0∣0)A(0|0|0) mit den Richtungsvektoren u⃗=(1∣0∣1)\vec{u} = (1|0|1) und v⃗=(0∣1∣1)\vec{v} = (0|1|1).

Tipp anzeigen

n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}, dann AA einsetzen.

Lösung anzeigen

n⃗=u⃗×v⃗=(0⋅1−1⋅11⋅0−1⋅11⋅1−0⋅0)=(−1−11)\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = \begin{pmatrix} 0\cdot1 - 1\cdot1 \\ 1\cdot0 - 1\cdot1 \\ 1\cdot1 - 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

dd: A(0∣0∣0)A(0|0|0) einsetzen → d=0d = 0. Koordinatenform: −x1−x2+x3=0-x_1 - x_2 + x_3 = 0 (bzw. x1+x2−x3=0x_1 + x_2 - x_3 = 0).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Normalenvektor per Kreuzprodukt

    n⃗=u⃗×v⃗=(0⋅1−1⋅11⋅0−1⋅11⋅1−0⋅0)=(−1−11)\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.

    n⃗⋅u⃗=0,  n⃗⋅v⃗=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 0, \; \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 ✓

  2. 2

    d über den Aufpunkt bestimmen

    Ansatz −x1−x2+x3=d-x_1 - x_2 + x_3 = d; Aufpunkt A(0∣0∣0)A(0|0|0) einsetzen: 0−0+0=d⇒d=00 - 0 + 0 = d \Rightarrow d = 0.

  3. 3

    Koordinatenform notieren (und normieren)

    E:−x1−x2+x3=0E: -x_1 - x_2 + x_3 = 0, äquivalent (mit −1-1 multipliziert): x1+x2−x3=0x_1 + x_2 - x_3 = 0.

Übung 3

schwer

Die Gerade g:x⃗=(214)+t(1−1−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix} schneidet die Ebene E:x1+x2+x3=10E: x_1 + x_2 + x_3 = 10. Bestimme den Schnittpunkt.

Tipp anzeigen

Geradenkoordinaten in EE einsetzen, nach tt lösen.

Lösung anzeigen

Einsetzen: (2+t)+(1−t)+(4−2t)=10⇒7−2t=10⇒t=−1,5(2+t) + (1-t) + (4-2t) = 10 \Rightarrow 7 - 2t = 10 \Rightarrow t = -1{,}5.

Schnittpunkt: x1=2−1,5=0,5x_1 = 2 - 1{,}5 = 0{,}5; x2=1+1,5=2,5x_2 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5; x3=4+3=7x_3 = 4 + 3 = 7.

S(0,5∣2,5∣7)S(0{,}5 \mid 2{,}5 \mid 7). (Kontrolle: 0,5+2,5+7=100{,}5 + 2{,}5 + 7 = 10 ✓)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Geradenpunkt allgemein in die Ebene einsetzen

    Der laufende Geradenpunkt ist (2+t∣1−t∣4−2t)(2 + t \mid 1 - t \mid 4 - 2t); in EE eingesetzt: (2+t)+(1−t)+(4−2t)=10(2 + t) + (1 - t) + (4 - 2t) = 10.

  2. 2

    Die t-Gleichung lösen

    7−2t=10⇒−2t=3⇒t=−1,57 - 2t = 10 \Rightarrow -2t = 3 \Rightarrow t = -1{,}5.

    7−2t=10⇒t=−1,57 - 2t = 10 \Rightarrow t = -1{,}5

    Zwischenergebnis

    t=−1,5t = -1{,}5

  3. 3

    Schnittpunkt berechnen und proben

    t=−1,5t = -1{,}5 in gg: S(2−1,5∣1+1,5∣4+3)=S(0,5∣2,5∣7)S(2 - 1{,}5 \mid 1 + 1{,}5 \mid 4 + 3) = S(0{,}5 \mid 2{,}5 \mid 7). Probe in EE: 0,5+2,5+7=100{,}5 + 2{,}5 + 7 = 10 ✓.

Zusammenfassung

Ebenen brauchen zwei Richtungsvektoren: Die a⃗+ru⃗+sv⃗\vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v} erzeugt Punkte, die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d prüft sie. Der Normalenvektor entsteht als der Richtungsvektoren, dd durch Einsetzen eines Punktes. Schnittpunkte mit Koordinatenebenen findet man, indem man die passende Koordinate null setzt.