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Geometrie

Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken

Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten sicher berechnen.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie viel Zaun brauchst du für ein Grundstück? Wie viele Fliesen für den Badezimmerboden? Bei der ersten Frage geht es um den Umfang, bei der zweiten um den Flächeninhalt. In diesem Kapitel lernst du, beides für Rechtecke und zu berechnen, und den Unterschied nie wieder zu verwechseln.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, was der Umfang und was der Flächeninhalt einer Figur ist, und den Unterschied an Beispielen zeigen.

  • den Umfang von Rechtecken und mit der Formel u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a+b) bzw. u=4au = 4a berechnen.

  • den Flächeninhalt mit A=a⋅bA = a \cdot b bzw. A=a2A = a^2 berechnen.

  • die richtigen Einheiten verwenden: cm für Längen, cm² für Flächen.

  • Sachaufgaben zu Zaun, Rahmen, Fliesen und Co. selbstständig lösen.

Der Fensterrahmen, einmal rundherum

8 cm8 cm5 cm5 cmu = 2 · (8 + 5) = 26 cm

Jede Seitenlänge kommt zweimal vor: zwei grüne Seiten der Länge aa, zwei blaue der Länge bb. Genau deshalb steht in der Formel die 22.

Der Umfang: einmal außen herum

Worum geht es hier überhaupt?

Stell dir vor, du willst einen Zaun um dein Grundstück bauen. Dann musst du wissen, wie lang der Zaun werden muss, also wie weit es einmal außen herum ist. Genau darum geht es beim Umfang.

Der Umfang ist die gesamte Länge des Randes einer Figur. Eine Ameise, die einmal außen herumläuft und wieder am Start ankommt, läuft genau den Umfang ab.

Wie entsteht die Formel?

Schau dir zuerst das Bild oben an. Was siehst du?

Ein Rechteck hat vier Seiten. Die beiden waagerechten Seiten (grün) sind gleich lang. Beide haben die Länge aa. Die beiden senkrechten Seiten (blau) sind ebenfalls gleich lang. Beide haben die Länge bb.

Welche Längen brauchst du? Wenn du einmal außen herumläufst, kommst du an allen vier Seiten vorbei. Keine darfst du auslassen. Also zählst du alle vier Längen zusammen:

u=a+a+b+bu = a + a + b + b

Jetzt schau genau hin: aa kommt zweimal vor. Statt a+aa + a darfst du kürzer 2⋅a2 \cdot a schreiben. Genauso kommt bb zweimal vor, also 2⋅b2 \cdot b:

u=2⋅a+2⋅bu = 2 \cdot a + 2 \cdot b

Damit hast du eine Formel, mit der du jeden Rechteck-Umfang ausrechnen kannst.

In Büchern findest du den Umfang aber oft noch kürzer geschrieben. Warum das erlaubt ist, siehst du gleich.

Zwei gleiche Hälften einer Runde

abab1. Hälfte: 8 cm + 5 cm2. Hälfte: 8 cm + 5 cm

Lila: ein aa und ein bb, die erste halbe Runde. Orange: wieder ein aa und ein bb, die zweite, gleich lange Hälfte. Zusammen: (a+b)+(a+b)=2⋅(a+b)(a+b) + (a+b) = 2 \cdot (a+b).

Warum du auch 2 · (a + b) schreiben darfst

In vielen Büchern steht der Umfang kürzer: u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b). Woher kommt diese Schreibweise?

Schau auf das Bild oben. Dort ist das Rechteck in zwei Farben aufgeteilt.

Die lila Seiten sind oben eine Seite aa und rechts eine Seite bb. Zusammen bilden sie den Weg von der oberen linken Ecke bis zur unteren rechten Ecke, also eine halbe Runde. Sie ist a+ba + b lang.

Die orangen Seiten sind unten eine Seite aa und links eine Seite bb. Das ist die zweite Hälfte, und sie ist genauso lang: wieder a+ba + b.

Beide Hälften sind gleich lang. Und eine ganze Runde besteht genau aus diesen beiden Hälften:

u=(a+b)+(a+b)u = (a + b) + (a + b)

Hier steht zweimal dasselbe. Und dafür darfst du kürzer schreiben:

u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b)

Ist das wirklich dasselbe wie vorher?

Ja. Du kannst 2⋅(a+b)2 \cdot (a+b) auch wieder auseinanderziehen: Die 22 wird dabei mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert. Diese Regel heißt Distributivgesetz:

2⋅(a+b)=2⋅a+2⋅b2 \cdot (a + b) = 2 \cdot a + 2 \cdot b

Und genau das hattest du oben schon herausgefunden. Beide Formeln beschreiben denselben Weg einmal außen herum, nimm die, die du dir besser merken kannst.

Prüfe dich: Warum steht in der Umfangsformel eine 2, und warum darf man auch 2 mal Klammer auf a plus b Klammer zu schreiben?

Die 22 steht dort, weil jede Seitenlänge zweimal vorkommt: zwei Seiten der Länge aa, zwei der Länge bb.

u=a+a+b+b=2⋅a+2⋅bu = a + a + b + b = 2 \cdot a + 2 \cdot b

Die kurze Schreibweise beschreibt dasselbe, nur anders zerlegt: Eine ganze Runde besteht aus zwei gleichen Hälften von je a+ba + b.

u=(a+b)+(a+b)=2⋅(a+b)u = (a+b) + (a+b) = 2 \cdot (a+b)

Dass beide Formeln übereinstimmen, zeigt das Distributivgesetz: 2⋅(a+b)=2⋅a+2⋅b2 \cdot (a+b) = 2 \cdot a + 2 \cdot b.

Der Flächeninhalt: was passt hinein?

Jetzt geht es um etwas anderes

Beim Umfang ging es um den Rand. Jetzt geht es um die Fläche innen drin: Wie viele Fliesen brauchst du für den Boden? Wie viel Rasen musst du mähen?

Der Flächeninhalt gibt an, wie viel Platz innerhalb der Figur ist.

Wie misst man „Platz"?

Beim Umfang konntest du eine Länge mit dem Lineal abmessen. Aber Platz? Den misst man anders: Man legt die Fläche mit lauter gleich großen Kästchen aus.

Jedes Kästchen ist genau 1 cm1\,\text{cm} lang und 1 cm1\,\text{cm} breit. So ein Kästchen nennt man einen Quadratzentimeter, kurz 1 cm21\,\text{cm}^2.

Der Flächeninhalt beantwortet dann nur noch eine einzige Frage:

Wie viele Kästchen passen hinein?

Der Fliesenboden: Reihen mal Spalten

8 Kästchen5 ReihenA = 8 · 5 = 40 cm²

Die gelbe Reihe enthält 88 Kästchen, und es gibt 55 solche Reihen. Statt 8+8+8+8+88+8+8+8+8 rechnest du kürzer 8⋅58 \cdot 5. Darum wird hier multipliziert.

Warum multiplizierst du?

Schau dir das Bild oben an. Zähl die gelb markierte Reihe: Sie enthält 88 Kästchen, genau so viele, wie das Rechteck lang ist (a=8a = 8).

Und wie viele solche Reihen gibt es? Genau 55, so viele, wie das Rechteck breit ist (b=5b = 5).

Du hast also 55 Reihen mit je 88 Kästchen. Du könntest sie einzeln zusammenzählen:

8+8+8+8+8=408 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40

Aber immer wieder dieselbe Zahl zu addieren, dafür gibt es eine Abkürzung: die Multiplikation. Genau deshalb rechnest du hier mal statt plus:

A=8⋅5=40A = 8 \cdot 5 = 40

Es passen 4040 Kästchen hinein. Allgemein: eine Reihe hat aa Kästchen, und es gibt bb Reihen. So entsteht die Formel:

A=a⋅bA = a \cdot b

Der wichtigste Unterschied

  • Beim Umfang addierst du, du läufst Längen ab.
  • Beim Flächeninhalt multiplizierst du, du zählst Kästchen.

Wer hier addiert statt multipliziert, berechnet nicht die Fläche, sondern etwas, das es gar nicht gibt.

Warum cm2\text{cm}^2 und nicht cm\text{cm}?

Weil du keine Länge gezählt hast, sondern Kästchen. Und jedes Kästchen ist 1 cm⋅1 cm=1 cm21\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2 groß. Deshalb bekommt die Fläche die Einheit cm2\text{cm}^2, gesprochen „Quadratzentimeter".

Prüfe dich: Warum multiplizierst du beim Flächeninhalt, statt zu addieren?

Weil du Kästchen zählst, nicht Längen abläufst.

In einer Reihe liegen aa Kästchen, und es gibt bb solche Reihen. Statt die Reihen einzeln zusammenzuzählen (8+8+8+8+88 + 8 + 8 + 8 + 8), nimmst du die kürzere Schreibweise dafür, die Multiplikation:

A=a⋅bA = a \cdot b

Beim Umfang läufst du dagegen den Rand ab und addierst die vier Seitenlängen. Zwei verschiedene Fragen, zwei verschiedene Rechenarten.

Erkläre es selbst: Wo liegt der Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt, und woran siehst du am Ergebnis, welchen von beiden du berechnet hast?

Formuliere es erst selbst, laut oder aufgeschrieben. Danach vergleichst du.

Eine mögliche Antwort: Der Umfang ist der Weg außen herum, du addierst Längen. Der Flächeninhalt ist der Platz innen drin, du zählst Kästchen und multiplizierst.

Am Ergebnis erkennst du es an der Einheit:

  • cm\text{cm} (eine Länge) → du hast den Umfang berechnet
  • cm2\text{cm}^2 (eine Fläche) → du hast den Flächeninhalt berechnet

Passt die Einheit nicht zur Frage, hast du die falsche Formel benutzt. Das ist die schnellste Selbstkontrolle bei jeder Aufgabe dieses Kapitels.

Rechteck berechnen

Ein Rechteck hat die Seitenlängen a=8 cma = 8\,\text{cm} und b=5 cmb = 5\,\text{cm}. Berechne Umfang und Flächeninhalt.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: a=8 cma = 8\,\text{cm} und b=5 cmb = 5\,\text{cm}. Gesucht: zwei Größen, der Umfang uu und der Flächeninhalt AA.

    Kläre zuerst, was gefragt ist: Der Umfang ist der Weg außen herum (eine Länge), der Flächeninhalt ist der Platz innen drin (eine Fläche). Zwei verschiedene Fragen, zwei verschiedene Formeln.

  2. 2

    Schritt 1: Die Formel für den Umfang wählen, und wissen, warum.

    Du läufst einmal außen herum und kommst an allen vier Seiten vorbei. Zwei davon sind aa lang, zwei sind bb lang:

    u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b)

    Diese Formel addiert Längen, genau richtig für einen Weg.

  3. 3

    Schritt 2: Einsetzen und die Klammer zuerst rechnen.

    u=2⋅(8 cm+5 cm)=2⋅13 cmu = 2 \cdot (8\,\text{cm} + 5\,\text{cm}) = 2 \cdot 13\,\text{cm}

    Warum zuerst die Klammer? Weil a+ba + b eine halbe Runde ist. Erst wenn die fertig ist, darfst du sie verdoppeln.

  4. 4

    Schritt 3: Den Umfang ausrechnen.

    u=26 cmu = 26\,\text{cm}

    Die Einheit ist cm, eine Länge, wie es sich für einen Weg gehört.

  5. 5

    Schritt 4: Die Formel für den Flächeninhalt wählen.

    Jetzt zählst du Kästchen: In einer Reihe liegen 88, und es gibt 55 solche Reihen.

    A=a⋅bA = a \cdot b

    Diese Formel multipliziert. Deshalb wird der Flächeninhalt nie durch Addieren berechnet.

  6. 6

    Schritt 5: Einsetzen.

    A=8 cm⋅5 cm=40 cm2A = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2

    Beachte die Einheit: Zwei Längen multipliziert ergeben cm⋅cm=cm2\text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^2: Quadratzentimeter.

  7. 7

    Schritt 6: Beide Ergebnisse gegen die Frage prüfen.

    u=26 cmA=40 cm2u = 26\,\text{cm} \qquad A = 40\,\text{cm}^2

    Die Einheiten passen zu dem, was gefragt war: cm für den Weg außen herum, cm2\text{cm}^2 für die Fläche innen.

    Das ist die beste Kontrolle des Kapitels: Kommt bei einer Flächenfrage eine Einheit ohne kleine 22 heraus, hast du addiert statt multipliziert.

Umfang u=26 cmu = 26\,\text{cm} und Flächeninhalt A=40 cm2A = 40\,\text{cm}^2

Von der Fläche zurück zur Seitenlänge

Ein rechteckiges Beet hat einen Flächeninhalt von A=24 m2A = 24\,\text{m}^2. Eine Seite ist 6 m6\,\text{m} lang. Wie lang ist die andere Seite, und wie viel Zaun brauchst du?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: A=24 m2A = 24\,\text{m}^2 und a=6 ma = 6\,\text{m}. Gesucht: die zweite Seite bb und danach der Umfang.

    Das ist eine Umkehraufgabe: Sonst kennst du beide Seiten und suchst die Fläche. Hier ist es andersherum.

  2. 2

    Schritt 1: Die bekannte Formel hinschreiben.

    A=a⋅bA = a \cdot b

    Setze ein, was du weißt:

    24=6⋅b24 = 6 \cdot b
  3. 3

    Schritt 2: Rückwärts denken.

    Die Frage lautet jetzt: Welche Zahl mal 66 ergibt 2424?

    Der Rückweg zu „mal 66" ist „geteilt durch 66":

    b=24:6=4b = 24 : 6 = 4

    Die zweite Seite ist also 4 m4\,\text{m} lang.

  4. 4

    Schritt 3: Auf die Einheit achten.

    Hier passiert etwas Interessantes: Du teilst m2\text{m}^2 durch m\text{m} und erhältst m\text{m}.

    24 m2:6 m=4 m24\,\text{m}^2 : 6\,\text{m} = 4\,\text{m}

    Das ist auch anschaulich klar: Aus einer Fläche wird durch Teilen wieder eine Länge, du fragst ja, wie viele Reihen es gibt.

  5. 5

    Schritt 4: Probe machen.

    6 m⋅4 m=24 m2  ✓6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2 \; ✓

    Die Seitenlänge stimmt.

  6. 6

    Schritt 5: Jetzt den Zaun berechnen.

    Zaun bedeutet: einmal außen herum, also der Umfang:

    u=2⋅(6 m+4 m)=2⋅10 m=20 mu = 2 \cdot (6\,\text{m} + 4\,\text{m}) = 2 \cdot 10\,\text{m} = 20\,\text{m}
  7. 7

    Schritt 6: Antwortsatz und Einordnung.

    Das Beet ist 6 m×4 m6\,\text{m} \times 4\,\text{m} groß, du brauchst 20 m20\,\text{m} Zaun.

    Beachte, wie beide Größen zusammenspielen: Die Fläche war vorgegeben, aber die Zaunlänge stand damit noch nicht fest. Ein Beet mit 24 m224\,\text{m}^2 könnte auch 12 m×2 m12\,\text{m} \times 2\,\text{m} groß sein, dann bräuchtest du 28 m28\,\text{m} Zaun. Gleiche Fläche, unterschiedlicher Umfang.

Die zweite Seite ist 4 m4\,\text{m} lang; für den Zaun werden 20 m20\,\text{m} benötigt.

Typischer Fehler

„Das Rechteck mit a=8 cma = 8\,\text{cm} und b=5 cmb = 5\,\text{cm} hat den Umfang 40 cm40\,\text{cm}.". Hier wurden Umfang und Flächeninhalt verwechselt.

8 · 5 = 40 berechnet den Flächeninhalt, nicht den Umfang. Das Ergebnis lautet deshalb 40 cm² und nicht 40 cm.

Merkhilfe:

  • Beim Umfang läufst du einmal außen um die Figur herum. Deshalb addierst du die Seitenlängen.
  • Beim Flächeninhalt berechnest du, wie viele Kästchen in die Figur passen. Deshalb multiplizierst du Länge und Breite.

Tipp: Kontrolliere zum Schluss immer die Einheit.

  • cm, m, km, ... → Du hast eine Länge berechnet.
  • cm², m², km², ... → Du hast eine Fläche berechnet. .

Übung 1

leicht

Berechne Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks mit a=7 cma = 7\,\text{cm} und b=3 cmb = 3\,\text{cm}.

Tipp anzeigen

Umfang: u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a+b) · Flächeninhalt: A=a⋅bA = a \cdot b

Lösung anzeigen

u=2⋅(7+3) cm=2⋅10 cm=20 cmu = 2 \cdot (7 + 3)\,\text{cm} = 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}

A=7 cm⋅3 cm=21 cm2A = 7\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 21\,\text{cm}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Angaben aus der Aufgabe herauslesen

    Gegeben: die beiden Seitenlängen des Rechtecks, a=7 cma = 7\,\text{cm} und b=3 cmb = 3\,\text{cm}.

    Gesucht: der Umfang uu und der Flächeninhalt AA. Das sind zwei verschiedene Fragen: Der Umfang ist der Weg einmal außen um das Rechteck herum, also eine Länge. Der Flächeninhalt gibt an, wie viel Platz das Rechteck bedeckt.

    Umfang und Flächeninhalt werden oft verwechselt. Merke: Umfang = Rand, Flächeninhalt = Inhalt.

  2. 2

    Formel für den Umfang auswählen

    Für den Umfang laufen wir alle vier Seiten ab. In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang: Wir laufen also zweimal die lange Seite aa und zweimal die kurze Seite bb. Einmal a+ba + b ist der halbe Weg herum, das Doppelte davon ist der ganze Weg.

    u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b)

  3. 3

    Werte einsetzen und Umfang berechnen

    Wir ersetzen die Buchstaben durch die bekannten Längen. Zuerst wird die Klammer berechnet (Klammer zuerst!), danach wird verdoppelt.

    u=2⋅(7+3) cm=2⋅10 cmu = 2 \cdot (7 + 3)\,\text{cm} = 2 \cdot 10\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    u=20 cmu = 20\,\text{cm}

  4. 4

    Formel für den Flächeninhalt auswählen und berechnen

    Den Flächeninhalt kannst du dir mit Kästchen vorstellen: Das Rechteck lässt sich in 33 Reihen mit je 77 Kästchen von 1 cm21\,\text{cm}^2 zerlegen. Insgesamt sind das 7⋅3=217 \cdot 3 = 21 Kästchen. Genau deshalb heißt die Formel „Länge mal Breite".

    A=a⋅b=7 cm⋅3 cmA = a \cdot b = 7\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    A=21 cm2A = 21\,\text{cm}^2

  5. 5

    Ergebnis prüfen

    Plausibel? Der Weg außen herum (20 cm20\,\text{cm}) muss länger sein als zweimal die lange Seite (14 cm14\,\text{cm}): passt. Auch die Einheiten stimmen: Der Umfang ist ein Weg und wird in cm\text{cm} gemessen. Beim Flächeninhalt rechnen wir cm⋅cm\text{cm} \cdot \text{cm}, deshalb kommt cm2\text{cm}^2 heraus.

Alternative Lösungswege

Übung 2

mittel

Ein hat den Umfang u=36 cmu = 36\,\text{cm}. Wie lang ist eine Seite? Wie groß ist der Flächeninhalt?

Tipp anzeigen

Beim Quadrat gilt u=4au = 4a. Rechne rückwärts!

Lösung anzeigen

Seitenlänge: a=u:4=36 cm:4=9 cma = u : 4 = 36\,\text{cm} : 4 = 9\,\text{cm}

Flächeninhalt: A=a2=9 cm⋅9 cm=81 cm2A = a^2 = 9\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 81\,\text{cm}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Rückwärtsaufgabe erkennen

    Diesmal ist der Umfang GEGEBEN (3636 cm) und die Seite gesucht, die Umfangsformel muss rückwärts benutzt werden. Beim Quadrat gilt u=4au = 4a.

  2. 2

    Seitenlänge berechnen

    Wenn 44 gleiche Seiten zusammen 3636 cm ergeben, ist eine Seite a=36:4=9a = 36 : 4 = 9 cm.

    a=36 cm:4=9 cma = 36\,\text{cm} : 4 = 9\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    a=9 cma = 9\,\text{cm}

  3. 3

    Flächeninhalt aus der Seite

    Mit der Seite ist die Fläche wieder eine Vorwärtsrechnung: A=a⋅a=9⋅9=81 cm2A = a \cdot a = 9 \cdot 9 = 81\,\text{cm}^2.

Zusammenfassung

Du kannst jetzt Umfang (u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a+b), außen herum) und Flächeninhalt (A=a⋅bA = a \cdot b, Innenfläche) von Rechtecken berechnen, und kennst das als Spezialfall mit u=4au = 4a und A=a2A = a^2. Denke immer an die richtige Einheit: Längen in cm, Flächen in cm².