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Analysis

Vollständige Kurvendiskussion

Alle Werkzeuge zusammen: eine Funktion systematisch von A bis Z untersuchen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Definitionsbereich, , , , Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, jetzt fügst du alle Werkzeuge zu einem großen Ganzen zusammen: der Kurvendiskussion. Sie ist die Königsdisziplin der Analysis und die häufigste Klausuraufgabe der Oberstufe. Mit einem festen Fahrplan wird sie zur sicheren Routine.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • eine ganzrationale Funktion vollständig untersuchen (Standard-Fahrplan).

  • Symmetrie und Verhalten für x→±∞x \to \pm\infty bestimmen.

  • , und kombiniert berechnen.

  • aus allen Ergebnissen einen sauberen Graphen skizzieren.

Der Fahrplan der Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion ist die vollständige Untersuchung einer Funktion: Am Ende sollst du ihren Graphen zeichnen können, ohne eine einzige Wertetabelle anzulegen.

Das klingt nach viel Arbeit, ist aber nur eine Zusammenstellung dessen, was du in den letzten Kapiteln einzeln gelernt hast. Neu ist allein die feste Reihenfolge, und die sorgt dafür, dass du nichts vergisst.

Die acht Schritte

1. Definitionsbereich, welche xx sind erlaubt? Bei Polynomen immer D=RD = \mathbb{R}; bei und musst du prüfen.

2. Symmetrie (f(−x)f(-x)-Test aus Klasse 10). Bei Polynomen genügt ein Blick auf die Exponenten: nur gerade → achsensymmetrisch, nur ungerade → punktsymmetrisch, gemischt → keine dieser Symmetrien. (Ein konstantes Glied zählt als gerader Exponent, denn c=c⋅x0c = c \cdot x^0.)

3. Verhalten für x→±∞x \to \pm\infty, wohin läuft die Kurve ganz außen? Das entscheidet der Leitterm, also der Summand mit dem höchsten Exponenten. Er wächst am schnellsten und dominiert für große ∣x∣|x| alle anderen.

4. , f(x)=0f(x) = 0 lösen.

5. , f′(x)=0f'(x) = 0, Art über f′′f'' nachweisen, yy-Koordinate berechnen.

6. , f′′(x)=0f''(x) = 0, Nachweis über f′′′f''' oder Vorzeichenwechsel, yy-Koordinate berechnen.

7. yy-Achsenabschnitt, einfach f(0)f(0) einsetzen.

8. Graph skizzieren, alle gefundenen Punkte eintragen und verbinden (siehe Bild).

Warum genau diese Reihenfolge

Sie ist nicht willkürlich, sondern spart Arbeit: Die frühen Schritte liefern Informationen, die die späteren erleichtern.

Stellst du in Schritt 2 fest, dass der Graph achsensymmetrisch ist, brauchst du alle folgenden Punkte nur für x>0x > 0 zu berechnen, die andere Hälfte ergibt sich durch Spiegelung. Und das Randverhalten aus Schritt 3 sagt dir schon, ob die Kurve links unten oder links oben beginnt, bevor du einen einzigen Punkt berechnet hast.

Kurvendiskussion: f(x)=x³−3x

xy-3-2-112-4-224fNN/WPNHPTP

Alles zusammen: (blau) bei x=0x=0 und x=±3x=\pm\sqrt{3}, (−1∣2)(-1\mid2) und Tiefpunkt (1∣−2)(1\mid-2) (rot), im Ursprung. Punktsymmetrisch (nur ungerade Exponenten); für x→−∞x \to -\infty läuft ff nach −∞-\infty, für x→+∞x \to +\infty nach +∞+\infty, das entscheidet der Leitterm x3x^3.

Denk weiter: Warum entscheidet für sehr große x allein der Leitterm? Rechne bei x hoch 3 minus 3 x hoch 2 beide Summanden für x = 100 aus und vergleiche.

Rechne erst selbst, bevor du aufklappst.

Für x=100x = 100: Der Leitterm liefert x3=1 000 000x^3 = 1\,000\,000, der zweite Summand 3x2=30 0003x^2 = 30\,000, nur noch 3 %3\,\% des Leitterms. Für x=1000x = 1000 sind es 10910^9 gegen 3⋅1063 \cdot 10^6: nur noch 0,3 %0{,}3\,\%.

Das ist der Grund für die Faustregel: Der Anteil der niedrigeren schrumpft gegen null, je größer ∣x∣|x| wird, der Quotient 3x2x3=3x\frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x} wird beliebig klein. Deshalb bestimmt der Leitterm allein, wohin die Kurve ganz außen läuft.

Aber die Faustregel gilt nur für die Ränder: In der Mitte ist sie falsch, bei x=2x = 2 steht x3=8x^3 = 8 gegen 3x2=123x^2 = 12, dort ist der zweite Summand sogar größer (und tatsächlich liegt bei x=2x = 2 der aus der Musterlösung). Genau deshalb braucht der Fahrplan beide Blicke: den Leitterm für außen, die vollständige Funktion für innen.

Kontrollen, die Rechenfehler sofort aufdecken

Eine Kurvendiskussion besteht aus vielen Rechenschritten, da schleicht sich leicht ein Fehler ein. Das Gute daran: Die Ergebnisse müssen zueinander passen. Wenn du sie gegeneinander prüfst, findest du fast jeden Fehler selbst.

Fünf Plausibilitätsprüfungen

1. Symmetrie muss sich durchziehen. Ist der Graph achsensymmetrisch, müssen auch die besonderen Punkte symmetrisch liegen: Zu einem bei x=2x = 2 gehört einer bei x=−2x = -2. Findest du nur einen, fehlt eine Lösung.

2. Zwischen zwei liegt mindestens ein Extrempunkt. Die Kurve muss ja irgendwo umkehren, um wieder zur xx-Achse zurückzukommen. Hast du zwei Nullstellen, aber keinen Extrempunkt dazwischen gefunden, stimmt etwas nicht.

3. Zwischen Hoch- und Tiefpunkt liegt mindestens ein . Von einer Rechtskrümmung (Hochpunkt) zu einer Linkskrümmung (Tiefpunkt) muss die Kurve die Krümmung wechseln. (Bei den Funktionen bis Grad 44, die dir meist begegnen, ist es genau einer.)

4. Das Randverhalten muss zur Skizze passen. Läuft die Kurve rechts nach oben weg, muss der rechteste Punkt deiner Skizze aufwärts zeigen.

5. Die Anzahl stimmt mit dem Grad überein. Ein Polynom vom Grad nn hat höchstens nn Nullstellen, höchstens n−1n-1 Extrempunkte und höchstens n−2n-2 Wendepunkte. Findest du bei einer Funktion dritten Grades drei Extrempunkte, ist sicher ein Fehler passiert.

Die schnellste Einzelprobe

Setze eine gefundene Extremstelle in f′f' ein. Es muss null herauskommen. Diese Kontrolle dauert zehn Sekunden und findet Rechenfehler beim Lösen der zuverlässig.

Und ganz am Ende: Vergleiche deine Skizze mit den berechneten Werten. Wenn du einen Hochpunkt bei (2∣5)(2 \mid 5) berechnet hast, dein Graph dort aber ein Tal zeigt, hast du entweder falsch gerechnet oder falsch gezeichnet. Beides ist gut zu wissen, bevor du abgibst.

Vollständige Kurvendiskussion

Führe eine vollständige Kurvendiskussion für f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 durch.

  1. 1

    Vorbereitung: alle auf Vorrat. Fast jeder Schritt braucht eine davon, deshalb bildest du sie am besten zuerst, dann musst du später nicht unterbrechen.

    f′(x)=3x2−6xf′′(x)=6x−6f′′′(x)=6f'(x) = 3x^2 - 6x \qquad f''(x) = 6x - 6 \qquad f'''(x) = 6
  2. 2

    Schritt 1: Definitionsbereich. ff ist ein Polynom. Es gibt keinen und keine , also auch keine verbotenen Stellen:

    D=RD = \mathbb{R}

    Schritt 2: Symmetrie. Der enthält x3x^3 (ungerade) und x2x^2 (gerade), also gemischte Exponenten. Damit liegt keine der beiden Symmetrien vor.

    (Zur Kontrolle: f(−x)=−x3−3x2f(-x) = -x^3 - 3x^2, und das ist weder f(x)f(x) noch −f(x)-f(x).)

  3. 3

    Schritt 3: Verhalten für x→±∞x \to \pm\infty. Entscheidend ist der Leitterm x3x^3, denn er wächst am schnellsten und dominiert für große ∣x∣|x| alle anderen Summanden.

    x→+∞:  x3→+∞x→−∞:  x3→−∞x \to +\infty: \; x^3 \to +\infty \qquad\qquad x \to -\infty: \; x^3 \to -\infty

    Der Graph kommt also von links unten und verläuft nach rechts oben, der typische Verlauf einer Funktion dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten.

  4. 4

    Schritt 4: Nullstellen. Setze f(x)=0f(x) = 0:

    x3−3x2=0x^3 - 3x^2 = 0

    Kein Zahlenglied → :

    x2(x−3)=0x^2(x - 3) = 0 x1=0 (doppelt)x2=3x_1 = 0 \text{ (doppelt)} \qquad\qquad x_2 = 3

    Was „doppelt" bedeutet: Der Faktor xx kommt zweimal vor. Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die xx-Achse, statt sie zu schneiden, ein Hinweis, dass dort ein liegen könnte.

  5. 5

    Schritt 5: Extrempunkte. Notwendige Bedingung f′(x)=0f'(x) = 0:

    3x2−6x=3x(x−2)=0⇒x=0 oder x=23x^2 - 6x = 3x(x-2) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 0 \text{ oder } x = 2

    Art über f′′f'':

    f′′(0)=−6<0  ⇒  Hochpunktf′′(2)=+6>0  ⇒  Tiefpunktf''(0) = -6 < 0 \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt} \qquad f''(2) = +6 > 0 \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt}

    yy-Koordinaten mit ff: f(0)=0f(0) = 0 und f(2)=8−12=−4f(2) = 8 - 12 = -4.

    H(0∣0)T(2∣−4)H(0 \mid 0) \qquad\qquad T(2 \mid -4)

    Schöne Bestätigung: Der Hochpunkt liegt genau auf der doppelten Nullstelle, deshalb berührt der Graph dort die Achse.

  6. 6

    Schritt 6: . Notwendige Bedingung f′′(x)=0f''(x) = 0:

    6x−6=0⇒x=16x - 6 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 1

    Hinreichend: f′′′(1)=6≠0f'''(1) = 6 \neq 0 ✓

    yy-Koordinate: f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2.

    W(1∣−2)W(1 \mid -2)

    Kontrolle: Der Wendepunkt liegt zwischen Hoch- (x=0x=0) und Tiefpunkt (x=2x=2), genau in der Mitte, wie es bei Funktionen dritten Grades immer der Fall ist ✓

  7. 7

    Schritt 7: yy-Achsenabschnitt.

    f(0)=0f(0) = 0

    Der Graph geht durch den Ursprung, das wussten wir schon aus der Nullstelle und dem Hochpunkt.

    Schritt 8: Skizze. Trage alles ein: Der Graph kommt von links unten, steigt zum Hochpunkt (0∣0)(0\mid 0), fällt über den Wendepunkt (1∣−2)(1 \mid -2) zum Tiefpunkt (2∣−4)(2 \mid -4), schneidet bei x=3x = 3 die Achse und steigt nach rechts oben weg.

  8. 8

    Abschließende Plausibilitätsprüfung. Gehe die Kontrollen aus der Theorie durch:

    • Zwischen den Nullstellen 00 und 33 liegt ein Extrempunkt (der Tiefpunkt bei 22) ✓
    • Zwischen Hoch- und Tiefpunkt liegt genau ein Wendepunkt ✓
    • Grad 33 erlaubt höchstens 33 Nullstellen, 22 Extrem- und 11 Wendepunkt, genau erreicht ✓
    • Das Randverhalten passt zur Skizze ✓

D=RD = \mathbb{R} · keine Symmetrie · von links unten nach rechts oben · x=0x = 0 (doppelt) und x=3x = 3 · H(0∣0)H(0 \mid 0), T(2∣−4)T(2 \mid -4) · W(1∣−2)W(1 \mid -2) · yy-Achsenabschnitt 00.

Die Reihenfolge einhalten lohnt sich: Jeder Schritt liefert Informationen, die die späteren erleichtern, und am Ende passen alle Ergebnisse zusammen.

Symmetrie spart Arbeit

Untersuche f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 auf Symmetrie, und . Nutze die Symmetrie zur Abkürzung.

  1. 1

    Zuerst die Symmetrie prüfen, und zwar bewusst als erstes. Bei diesem genügt ein Blick auf die Exponenten: x4x^4 und x2x^2 sind beide gerade, ein ungerader Exponent kommt nicht vor.

    f(−x)=(−x)4−8(−x)2=x4−8x2=f(x)f(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 = x^4 - 8x^2 = f(x)

    Beim Einsetzen von −x-x heben sich alle Minuszeichen weg, weil jeder Exponent gerade ist. Damit ist ff achsensymmetrisch zur yy-Achse.

  2. 2

    Warum das Arbeit spart. Achsensymmetrie bedeutet: Was rechts der yy-Achse passiert, spiegelt sich links exakt. Deshalb genügt es, alles für x>0x > 0 zu berechnen, die linke Hälfte ergibt sich durch Spiegelung.

    Konkret: Zu jeder Nullstelle bei x0x_0 gehört automatisch eine bei −x0-x_0; zu jedem Extrempunkt bei x0x_0 einer bei −x0-x_0 mit demselben yy-Wert.

  3. 3

    Nullstellen. Setze f(x)=0f(x) = 0 und klammere aus:

    x4−8x2=x2(x2−8)=0x^4 - 8x^2 = x^2(x^2 - 8) = 0 x2=0  ⇒  x=0oderx2=8  ⇒  x=±8=±22≈±2,83x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \qquad\text{oder}\qquad x^2 = 8 \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2{,}83

    Die Symmetrie zeigt sich sofort: Die beiden äußeren Nullstellen liegen spiegelbildlich zur yy-Achse. Hätte man nur +22+2\sqrt{2} gefunden, wäre klar gewesen, dass −22-2\sqrt{2} fehlt.

  4. 4

    Extrempunkte, notwendige Bedingung.

    f′(x)=4x3−16x=4x(x2−4)=0f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 0 x=0oderx2=4  ⇒  x=±2x = 0 \qquad\text{oder}\qquad x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x = \pm 2

    Drei Kandidaten: −2-2, 00 und +2+2, wieder symmetrisch angeordnet.

  5. 5

    Art bestimmen mit f′′(x)=12x2−16f''(x) = 12x^2 - 16.

    f′′(0)=−16<0  ⇒  Hochpunktf''(0) = -16 < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{Hochpunkt} f′′(2)=48−16=+32>0  ⇒  Tiefpunktf''(2) = 48 - 16 = +32 > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{Tiefpunkt} f′′(−2)=48−16=+32>0  ⇒  Tiefpunktf''(-2) = 48 - 16 = +32 > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{Tiefpunkt}

    Hier spart die Symmetrie den dritten Nachweis: Weil der Graph achsensymmetrisch ist, muss bei −2-2 dasselbe vorliegen wie bei +2+2. Man darf das mit der Symmetrie begründen, statt zu rechnen.

  6. 6

    yy-Koordinaten berechnen.

    f(0)=0f(2)=16−32=−16f(0) = 0 \qquad\qquad f(2) = 16 - 32 = -16

    Und wegen der Symmetrie ist f(−2)=f(2)=−16f(-2) = f(2) = -16, ohne Rechnung.

    H(0∣0)T1(−2∣−16)T2(2∣−16)H(0 \mid 0) \qquad T_1(-2 \mid -16) \qquad T_2(2 \mid -16)

    Die typische W-Form: Zwei gleich tiefe Tiefpunkte links und rechts, dazwischen ein Hochpunkt auf der yy-Achse. Genau so sehen achsensymmetrische Funktionen vierten Grades aus.

ff ist achsensymmetrisch; Nullstellen bei x=0x = 0 und x=±22x = \pm 2\sqrt{2}; H(0∣0)H(0 \mid 0) sowie zwei Tiefpunkte T(±2∣−16)T(\pm 2 \mid -16).

Deshalb steht die Symmetrieprüfung an zweiter Stelle des Fahrplans: Erkennt man sie früh, halbiert sich der Rechenaufwand, und man merkt sofort, wenn ein spiegelbildliches Ergebnis fehlt.

Typischer Fehler

Bei f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2: „f′(0)=0f'(0) = 0 und f′′(0)=−16≠0f''(0) = -16 \neq 0, aber x=0x = 0 ist doch eine doppelte , also ein Sattelpunkt."

Nullstelle und nicht vermischen! Dass x=0x = 0 eine (doppelte) Nullstelle von ff ist, hat nichts mit der Art des Extrempunkts zu tun. Die Art bestimmt allein f′′(0)=−16<0f''(0) = -16 < 0 → Hochpunkt. Ein Sattelpunkt bräuchte f′(0)=0f'(0) = 0 und f′′(0)=0f''(0) = 0. Hier ist f′′(0)≠0f''(0) \neq 0. Jeder Aspekt (Nullstelle, Extremum, ) wird mit seinem eigenen Kriterium geprüft.

Übung 1

leicht

Bestimme Symmetrie und Grenzverhalten von a) f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2 b) g(x)=x5−xg(x) = x^5 - x.

Tipp anzeigen

Exponenten anschauen, Leitterm für die Ränder.

Lösung anzeigen

a) nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; Leitterm x4x^4 → beidseitig +∞+\infty.

b) nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch; Leitterm x5x^5 → x→−∞:−∞x\to-\infty: -\infty, x→+∞:+∞x\to+\infty: +\infty.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Symmetrie an den Exponenten ablesen

    f(x)=x4−2x2f(x) = x^4 - 2x^2: nur GERADE Exponenten → achsensymmetrisch zur y-Achse. g(x)=x5−xg(x) = x^5 - x: nur UNGERADE (x=x1x = x^1) → punktsymmetrisch zum Ursprung.

  2. 2

    a) Grenzverhalten über den Leitterm

    Für sehr große ∣x∣|x| dominiert der Leitterm x4x^4: gerade Potenz, positiver Koeffizient → beidseitig +∞+\infty.

  3. 3

    b) Grenzverhalten bei ungeradem Grad

    g(x)=x5−xg(x) = x^5 - x: Leitterm x5x^5, ungerade, positiv → für x→−∞x \to -\infty gegen −∞-\infty, für x→+∞x \to +\infty gegen +∞+\infty.

Übung 2

mittel

Führe eine Kurvendiskussion von f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x durch (Symmetrie, , , ).

Tipp anzeigen

und f′=3x2−12f' = 3x^2 - 12.

Lösung anzeigen

Symmetrie: punktsymmetrisch. Nullstellen: x(x2−12)=0⇒0,±23x(x^2 - 12) = 0 \Rightarrow 0, \pm 2\sqrt{3}.

Extrema: f′(x)=3x2−12=0⇒x=±2f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2. f′′(x)=6xf''(x) = 6x: H(−2∣16)H(-2 \mid 16), T(2∣−16)T(2 \mid -16).

Wendepunkt: f′′(x)=6x=0⇒x=0f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0; Nachweis f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \neq 0 ✓ → W(0∣0)W(0 \mid 0).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Symmetrie und Nullstellen

    Nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch. Nullstellen: x3−12x=x(x2−12)=0⇒x=0x^3 - 12x = x(x^2 - 12) = 0 \Rightarrow x = 0 oder x=±12=±23x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}.

    x(x2−12)=0x(x^2 - 12) = 0

  2. 2

    Extrempunkte bestimmen

    f′(x)=3x2−12=0⇒x=±2f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2. f′′(x)=6xf''(x) = 6x: f′′(−2)=−12<0f''(-2) = -12 < 0 → Hochpunkt; f′′(2)=12>0f''(2) = 12 > 0 → Tiefpunkt. Werte: f(−2)=−8+24=16f(-2) = -8 + 24 = 16, f(2)=−16f(2) = -16: H(−2∣16)H(-2 \mid 16), T(2∣−16)T(2 \mid -16).

    3x2−12=0⇒x=±23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2

  3. 3

    Wendepunkt und Gesamtbild

    f′′(x)=6x=0⇒x=0f''(x) = 6x = 0 \Rightarrow x = 0; f′′′(x)=6≠0f'''(x) = 6 \ne 0 ✓ → W(0∣0)W(0 \mid 0). Gesamtbild: von −∞-\infty steigend zum Hochpunkt, durch den Wendepunkt im Ursprung fallend zum Tiefpunkt, dann steigend nach +∞+\infty.

Übung 3

schwer

Gegeben f(x)=−14x4+2x2f(x) = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2. a) Symmetrie und Grenzverhalten. b) Alle . c) Skizziere den groben Verlauf in Worten.

Tipp anzeigen

f′(x)=−x3+4x=−x(x2−4)f'(x) = -x^3 + 4x = -x(x^2 - 4).

Lösung anzeigen

a) Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch; Leitterm −14x4-\frac{1}{4}x^4 → beidseitig −∞-\infty.

b) f′(x)=−x(x2−4)=0⇒x=0,±2f'(x) = -x(x^2-4) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 2. f′′(x)=−3x2+4f''(x) = -3x^2 + 4: f′′(0)=4>0f''(0) = 4 > 0 → Tiefpunkt (0∣0)(0\mid0); f′′(±2)=−8<0f''(\pm2) = -8 < 0 → Hochpunkte (±2∣4)(\pm 2 \mid 4).

c) Von −∞-\infty steigend zum linken Hochpunkt (−2∣4)(-2\mid4), hinunter zum Tiefpunkt im Ursprung, hinauf zum rechten Hochpunkt (2∣4)(2\mid4), dann nach −∞-\infty fallend: eine „M-Form".

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Symmetrie und Grenzverhalten

    Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch. Leitterm −14x4-\frac{1}{4}x^4: gerade , NEGATIVER Koeffizient → beidseitig −∞-\infty.

  2. 2

    b) Extrempunkte über f' und f''

    f′(x)=−x3+4x=−x(x2−4)=0⇒x=0,±2f'(x) = -x^3 + 4x = -x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 2. f′′(x)=−3x2+4f''(x) = -3x^2 + 4: f′′(0)=4>0f''(0) = 4 > 0 → Tiefpunkt (0∣0)(0 \mid 0); f′′(±2)=−8<0f''(\pm 2) = -8 < 0 → Hochpunkte (±2∣4)(\pm 2 \mid 4).

    −x(x2−4)=0⇒x=0,±2-x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 2

  3. 3

    c) Den Verlauf in Worten zeichnen

    Von −∞-\infty steigend zum linken Hochpunkt (−2∣4)(-2 \mid 4), hinab zum Tiefpunkt im Ursprung, hinauf zum rechten Hochpunkt (2∣4)(2 \mid 4), dann nach −∞-\infty fallend, eine „M-Form".

Zusammenfassung

Die Kurvendiskussion vereint alle Analysis-Werkzeuge in einem Fahrplan: Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzverhalten (Leitterm!), , (f′=0f'=0, f′′f''-Test), (f′′=0f''=0, f′′′f'''-Test) und y-Abschnitt, mündend in eine Skizze. Symmetrie spart Arbeit, jeder Aspekt hat sein eigenes Kriterium, und die Zusammenschau aller Ergebnisse ist die beste Fehlerkontrolle.