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Analysis

Die Ableitung: Grundlagen und Ableitungsregeln

Momentane Änderungsrate, Tangentensteigung und die wichtigsten Ableitungsregeln.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Tacho zeigt nicht deine Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern die Geschwindigkeit genau jetzt, eine momentane Änderungsrate. Genau das leistet die Ableitung in der Mathematik: Sie beschreibt, wie schnell sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle ändert. Sie ist das zentrale Werkzeug der Analysis.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Ableitung als Grenzwert des (Differentialquotient) beschreiben.

  • f′(x0)f'(x_0) als Tangentenanstieg und momentane Änderungsrate deuten.

  • Polynome mit -, Faktor- und Summenregel ableiten.

  • Tangentensteigungen an gegebenen Stellen berechnen.

Das Problem: eine Steigung an einem einzigen Punkt

Im letzten Kapitel hast du die mittlere Änderungsrate berechnet, die der Sekante zwischen zwei Punkten. Der Tacho zeigt aber nicht den der letzten Stunde, sondern das Tempo genau jetzt. Wie berechnet man eine Steigung an einer einzigen Stelle?

Warum das zunächst unmöglich aussieht

Für eine Steigung brauchst du zwei Punkte. Das war schon in Klasse 8 so:

m=ΔyΔxm = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Nimmst du aber denselben Punkt zweimal, dann sind Δy=0\Delta y = 0 und Δx=0\Delta x = 0, und du erhältst

00\frac{0}{0}

Das ist keine Zahl. Durch null darf man nicht teilen: der direkte Weg ist also versperrt. Genau an dieser Stelle hing die Mathematik jahrhundertelang fest.

Der Ausweg: sich annähern, statt anzukommen

Statt die beiden Punkte gleichzusetzen, lässt man sie immer näher zusammenrücken und beobachtet, was mit der Sekantensteigung passiert.

Rechne das an f(x)=x2f(x) = x^2 an der Stelle x0=2x_0 = 2 selbst nach. Der zweite Punkt rückt Schritt für Schritt näher:

zweiter Punkt xxf(x)−f(2)x−2\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}Wert
339−41\frac{9-4}{1}55
2,52{,}56,25−40,5\frac{6{,}25-4}{0{,}5}4,54{,}5
2,12{,}14,41−40,1\frac{4{,}41-4}{0{,}1}4,14{,}1
2,012{,}014,0401−40,01\frac{4{,}0401-4}{0{,}01}4,014{,}01
2,0012{,}0014,0014{,}001

Die Werte streben unverkennbar auf 44 zu. Sie erreichen die 44 nie exakt, aber sie kommen ihr beliebig nahe.

Der Grenzwert

Diese Zahl, der sich die Sekantensteigungen annähern, heißt Grenzwert (lateinisch limes). Man schreibt:

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Gelesen: „f′f' von x0x_0 ist der Limes des für xx gegen x0x_0."

Und das ist die Antwort auf unser Problem: Wir setzen nie x=x0x = x_0, wir schauen nur, wohin die Werte laufen. Damit ist die Division durch null umgangen.

Was dabei geometrisch passiert

Rücken die beiden Punkte zusammen, kippt die Sekante immer weiter, bis sie den Graphen nur noch in einem Punkt berührt. Diese Grenzlage ist die (siehe Bild).

f′(x0)=Steigung der Tangente an der Stelle x0f'(x_0) = \text{Steigung der Tangente an der Stelle } x_0

Drei Namen für dieselbe Zahl, das solltest du dir merken, weil Aufgaben zwischen ihnen wechseln:

  • die Ableitung von ff an der Stelle x0x_0,
  • die momentane Änderungsrate dort,
  • die Steigung der Tangente dort.

Von der Zahl zur Funktion

Bisher haben wir f′f' an einer Stelle bestimmt. Macht man das für jede Stelle, entsteht eine neue Funktion: die Ableitungsfunktion f′f'. Sie ordnet jeder Stelle die dortige Tangentensteigung zu.

Für f(x)=x2f(x) = x^2 haben wir bei x0=2x_0 = 2 den Wert 44 gefunden. Rechnet man dasselbe bei x0=3x_0 = 3, kommt 66 heraus, bei x0=5x_0 = 5 ergibt sich 1010, jedes Mal das Doppelte der Stelle. Das ist kein Zufall, sondern führt direkt auf f′(x)=2xf'(x) = 2x. Warum das allgemein gilt, siehst du im nächsten Abschnitt.

Tangente = momentane Änderungsrate

xy-3-2-1122468f(x)=x²TangenteP(1|1)

Die berührt den Graphen im Punkt P(1∣1)P(1\mid1). Ihre ist die Ableitung an dieser Stelle: f′(1)=2f'(1) = 2. Sie gibt die momentane Änderungsrate an, anders als die Sekante, die nur einen misst.

Die Ableitungsregeln, und woher die Potenzregel kommt

Den Grenzwert jedes Mal auszurechnen wäre mühsam. Zum Glück muss man das nur einmal allgemein tun. Dann hat man eine Regel, in die man nur noch einsetzt.

Die Potenzregel entsteht

Leiten wir f(x)=x2f(x) = x^2 an einer beliebigen Stelle x0x_0 ab. Wir setzen in den ein:

f(x)−f(x0)x−x0=x2−x02x−x0\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0}

Jetzt kommt der entscheidende Kniff: Im steht eine Differenz zweier , dafür gibt es die dritte aus Klasse 8:

x2−x02=(x+x0)(x−x0)x^2 - x_0^2 = (x + x_0)(x - x_0)

Damit lässt sich (erlaubt, denn x≠x0x \neq x_0, solange wir uns nur annähern):

(x+x0)(x−x0)x−x0=x+x0\frac{(x + x_0)(x - x_0)}{x - x_0} = x + x_0

Der ist verschwunden, und damit auch das Problem mit der Null im . Jetzt darf xx gefahrlos gegen x0x_0 laufen:

f′(x0)=lim⁡x→x0(x+x0)=x0+x0=2x0f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} (x + x_0) = x_0 + x_0 = 2x_0

Also f′(x)=2xf'(x) = 2x, genau der Wert 44 an der Stelle 22, den wir oben in der Tabelle gesehen haben ✓

Führt man dieselbe Rechnung für x3x^3, x4x^4 und allgemein xnx^n durch, ergibt sich immer dasselbe Muster. (Für x3x^3 kannst du das in der Frage unten selbst nachvollziehen. Man braucht nur den passenden Ersatz für die binomische Formel. Den Beweis für jedes beliebige nn führen wir hier nicht; er läuft mit einer verallgemeinerten Faktorisierung nach genau demselben Plan.) Das Ergebnis ist die Potenzregel:

f(x)=xn⟹f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \qquad\Longrightarrow\qquad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

In Worten: Der Exponent wandert als Faktor nach vorn, und der Exponent wird um 11 kleiner.

Die drei weiteren Regeln: und warum sie einleuchten

Faktorregel: f(x)=c⋅g(x)  ⇒  f′(x)=c⋅g′(x)f(x) = c \cdot g(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = c \cdot g'(x)

Streckst du eine Funktion um den Faktor cc in die Höhe, wird jede ebenfalls cc-mal so groß. Eine dreimal so steile Rampe hat dreifache Steigung. Das ist unmittelbar plausibel.

Summenregel: f(x)=g(x)+h(x)  ⇒  f′(x)=g′(x)+h′(x)f(x) = g(x) + h(x) \;\Rightarrow\; f'(x) = g'(x) + h'(x)

Addieren sich zwei Vorgänge, addieren sich auch ihre Änderungsraten. Steigt dein Guthaben um 5050 € und dein Sparbuch um 3030 € pro Monat, wächst dein Vermögen um 8080 €.

Konstante: f(x)=c  ⇒  f′(x)=0f(x) = c \;\Rightarrow\; f'(x) = 0

Eine konstante Funktion ist eine waagerechte Gerade. Sie ändert sich nicht, ihre Steigung ist überall null.

Damit kannst du jedes Polynom ableiten

Dank Summen- und Faktorregel gehst du einfach für Term vor:

f(x)=3x4−5x2+7x−2⟹f′(x)=12x3−10x+7f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 \qquad\Longrightarrow\qquad f'(x) = 12x^3 - 10x + 7

Prüfe die vier Teile einzeln nach: 3x4→3⋅4x3=12x33x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3 · −5x2→−10x-5x^2 \to -10x · 7x→77x \to 7 (denn x1→1⋅x0=1x^1 \to 1 \cdot x^0 = 1) · −2→0-2 \to 0.

Die zwei häufigsten Fehler:

  1. Bei 7x7x verschwindet das xx vollständig. Es bleibt nur die 77. Viele schreiben fälschlich 7x7x stehen.
  2. Die Konstante −2-2 fällt ganz weg. Sie verschiebt den Graphen nur nach oben oder unten, ohne die Steigung zu ändern.
Denk weiter: Prüfe das Muster selbst, leite x hoch 3 genauso her wie x hoch 2. Welcher Ersatz für die dritte binomische Formel wird gebraucht, und was kommt heraus?

Versuch es erst selbst, der Fahrplan ist derselbe wie bei x2x^2: aufschreiben, faktorisieren, , Grenzwert bilden.

Schritt 1: der Differenzenquotient.

x3−x03x−x0\frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0}

Schritt 2: der Ersatz für die . Bei x2x^2 half x2−x02=(x+x0)(x−x0)x^2 - x_0^2 = (x+x_0)(x-x_0). Für dritte gibt es das Gegenstück

x3−x03=(x−x0)⋅(x2+x⋅x0+x02)x^3 - x_0^3 = (x - x_0) \cdot (x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2)

Das musst du nicht raten, du kannst es prüfen, indem du die rechte Seite ausmultiplizierst:

x3+x2x0+x x02−x2x0−x x02−x03=x3−x03  ✓x^3 + x^2 x_0 + x\, x_0^2 - x^2 x_0 - x\, x_0^2 - x_0^3 = x^3 - x_0^3 \;\checkmark

Die vier mittleren Glieder heben sich paarweise auf, genau dafür ist der Faktor gebaut.

Schritt 3: kürzen und Grenzwert. Der Faktor (x−x0)(x - x_0) kürzt sich (erlaubt, solange x≠x0x \neq x_0, und beim Annähern ist das ja der Fall):

x3−x03x−x0=x2+x⋅x0+x02  ⟶  x02+x02+x02=3x02\frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} = x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2 \;\longrightarrow\; x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 = 3x_0^2

Also (x3)′=3x2\left(x^3\right)' = 3x^2, das Muster stimmt: Der Exponent 33 ist nach vorn gewandert, der neue Exponent ist um 11 kleiner. Und du siehst sogar, woher der Faktor kommt: Beim Einsetzen von x=x0x = x_0 entstehen drei gleiche Summanden x02x_0^2, bei xnx^n wären es auf demselben Weg nn Summanden x0n−1x_0^{n-1}. Genau deshalb steht in der Potenzregel der Exponent als Faktor vorn.

Ehrlich eingeordnet: Damit ist das Muster für n=2n = 2 und n=3n = 3 bewiesen und der Mechanismus für beliebiges nn sichtbar, der vollständige allgemeine Beweis bleibt der Vertiefung vorbehalten. Für alles, was in diesem Kapitel kommt, trägt das Geprüfte.

Polynom ableiten und Tangentensteigung bestimmen

Gegeben ist f(x)=3x2−4x+5f(x) = 3x^2 - 4x + 5. Bestimme f′(x)f'(x) und die des Graphen an der Stelle x=2x = 2.

  1. 1

    Was ist gegeben, was gesucht? Gegeben ist ein Polynom, gesucht sind zwei Dinge: die Ableitungsfunktion f′f' und ein einzelner Steigungswert an der Stelle 22.

    Der Unterschied ist wichtig: f′(x)f'(x) ist eine Funktion (sie gilt für alle Stellen), f′(2)f'(2) ist eine Zahl (die Steigung an genau einer Stelle).

  2. 2

    Welche Regeln brauchen wir? Das Polynom besteht aus drei Summanden. Dank der Summenregel darfst du jeden einzeln ableiten und die Ergebnisse addieren, du musst also nie den ganzen auf einmal betrachten.

    f(x)=3x2⏟1−  4x⏟2+  5⏟3f(x) = \underbrace{3x^2}_{1} \underbrace{- \;4x}_{2} \underbrace{+ \;5}_{3}
  3. 3

    Erster Summand: 3x23x^2. Hier greifen zwei Regeln zusammen. Die Faktorregel sagt, dass die 33 stehen bleibt; die Potenzregel wandelt x2x^2 in 2x2x um:

    (3x2)′=3⋅2x=6x\left(3x^2\right)' = 3 \cdot 2x = 6x

    Warum 2x2x und nicht 2x12x^1? Weil x1x^1 einfach xx ist, die Hochzahl 11 schreibt man nicht mit.

  4. 4

    Zweiter Summand: −4x-4x. Schreibe dir xx als x1x^1, dann ist die Potenzregel anwendbar:

    (x1)′=1⋅x0=1⇒(−4x)′=−4\left(x^1\right)' = 1 \cdot x^0 = 1 \qquad\Rightarrow\qquad (-4x)' = -4

    Hier passiert der häufigste Fehler: Das xx verschwindet vollständig, es bleibt nur die Zahl −4-4. Wer −4x-4x stehen lässt, hat nicht abgeleitet.

  5. 5

    Dritter Summand: die Konstante 55.

    (5)′=0(5)' = 0

    Eine konstante Funktion ist eine waagerechte Gerade. Sie hat überall die Steigung null. Die 55 verschiebt den Graphen nur nach oben, ohne seine Steilheit zu ändern.

  6. 6

    Zusammensetzen. Jetzt die drei Ergebnisse addieren:

    f′(x)=6x−4f'(x) = 6x - 4

    Eine Kontrolle über den Grad: ff war vom Grad 22, also muss f′f' vom Grad 11 sein, und tatsächlich ist 6x−46x - 4 eine ✓

  7. 7

    Die zweite Frage: die Steigung an der Stelle x=2x = 2. Dafür setzt du die Zahl in die Ableitung ein (nicht in ff!):

    f′(2)=6⋅2−4=12−4=8f'(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8

    Was das bedeutet: An der Stelle x=2x = 2 hat die an den Graphen die Steigung 88, die Kurve steigt dort also recht steil an. Der zugehörige Funktionswert wäre f(2)=9f(2) = 9; das ist die Höhe, nicht die Steigung. Beides zu verwechseln, ist der zweithäufigste Fehler.

f′(x)=6x−4f'(x) = 6x - 4; an der Stelle x=2x = 2 beträgt die Steigung f′(2)=8f'(2) = 8.

Das Vorgehen bei jedem Polynom: Summand für Summand ableiten, dabei Faktoren stehen lassen, Exponenten nach vorn holen und um 11 verringern, Konstanten streichen. Für einen konkreten Steigungswert die Stelle anschließend in f′f' einsetzen.

Typischer Fehler

f(x)=x3+7  ⇒  f′(x)=3x2+7f(x) = x^3 + 7 \;\Rightarrow\; f'(x) = 3x^2 + 7, die Konstante wurde „mitgenommen".

Konstanten fallen beim Ableiten weg: (7)′=0(7)' = 0, denn eine konstante Funktion ändert sich nicht, ihre Änderungsrate ist überall null. Richtig: f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2. Nicht verwechseln: Ein konstanter Faktor (5x35x^3) bleibt erhalten (15x215x^2), ein konstanter Summand (+7+7) verschwindet.

Übung 1

leicht

Leite ab: f(x)=x4f(x) = x^4

Tipp anzeigen

Potenzregel: Exponent nach vorn, dann Exponent um 1 verringern.

Lösung anzeigen

f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Potenzregel bereitlegen

    Für gilt (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}: Der Exponent kommt als Faktor nach vorn, der neue Exponent ist um 1 kleiner.

  2. 2

    Auf x⁴ anwenden

    Die Potenzregel mit n=4n = 4 ausführen, herunterholen und vermindern in einem Zug: f′(x)=4x4−1=4x3f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3.

    f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3

  3. 3

    Am Graphen plausibilisieren

    f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3 ist negativ für x<0x < 0 und positiv für x>0x > 0, passend: Die x4x^4-„Wanne" fällt links und steigt rechts; bei x=0x = 0 ist die waagerecht (f′(0)=0f'(0) = 0).

Übung 2

mittel

Leite ab: f(x)=2x3−x2+7f(x) = 2x^3 - x^2 + 7

Tipp anzeigen

Gliedweise ableiten; die Konstante fällt weg.

Lösung anzeigen

f′(x)=2⋅3x2−2x+0=6x2−2xf'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 2x + 0 = 6x^2 - 2x

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    In Summanden zerlegen

    Summenregel: f(x)=2x3−x2+7f(x) = 2x^3 - x^2 + 7 wird gliedweise abgeleitet, jeder der drei Summanden einzeln.

  2. 2

    Jedes Glied ableiten

    (2x3)′=2⋅3x2=6x2(2x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2, (−x2)′=−2x(-x^2)' = -2x, (7)′=0(7)' = 0.

    2⋅3x2=6x2,(−x2)′=−2x,(7)′=02 \cdot 3x^2 = 6x^2, \quad (-x^2)' = -2x, \quad (7)' = 0

  3. 3

    Zusammensetzen und prüfen

    Die drei Teilergebnisse wieder zur Summe verbinden: f′(x)=6x2−2x+0=6x2−2xf'(x) = 6x^2 - 2x + 0 = 6x^2 - 2x.

    Zwischenergebnis

    f′(x)=6x2−2xf'(x) = 6x^2 - 2x

Übung 3

schwer

Gegeben ist f(x)=13x3−2xf(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x. An welchen Stellen hat der Graph die 22?

Tipp anzeigen

Setze f′(x)=2f'(x) = 2 und löse die .

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f′(x)=x2−2f'(x) = x^2 - 2

Ansatz: x2−2=2  ⇒  x2=4  ⇒  x1=2,  x2=−2x^2 - 2 = 2 \;\Rightarrow\; x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x_1 = 2,\; x_2 = -2

An den Stellen x=2x = 2 und x=−2x = -2 hat der Graph die Steigung 22.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Ableitung bilden

    f(x)=13x3−2xf(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x: f′(x)=13⋅3x2−2=x2−2f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 = x^2 - 2.

    13⋅3x2−2=x2−2\tfrac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 = x^2 - 2

  2. 2

    Die Steigungsbedingung als Gleichung

    „Steigung 2" heißt f′(x)=2f'(x) = 2: x2−2=2⇒x2=4x^2 - 2 = 2 \Rightarrow x^2 = 4.

  3. 3

    Lösen und antworten

    x2=4⇒x1=2x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x2=−2x_2 = -2: An den Stellen 22 und −2-2 hat der Graph die Steigung 22.

    x2=4⇒x=±2x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Zusammenfassung

Die Ableitung f′(x0)f'(x_0) ist die Tangentensteigung, die momentane Änderungsrate an der Stelle x0x_0. Mit -, Faktor- und Summenregel leitest du jedes Polynom ab. Konstante Summanden verschwinden, konstante Faktoren bleiben. Damit steht das Fundament für und Extremwertaufgaben.