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Algebra / Terme & Gleichungen

Terme und Termumformungen

Zusammenfassen, ausmultiplizieren, ausklammern, die Werkzeugkiste der Algebra.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

3x+5x3x + 5x? Klar: 8x8x. Aber was ist mit 3x+5y3x + 5y, mit 3⋅(2x−5)3 \cdot (2x - 5) oder mit 12x+1812x + 18? umzuformen ist das Handwerk der Algebra, wie Vokabeln und Grammatik einer neuen Sprache. Wer sie beherrscht, löst bald im Schlaf. Dieses Kapitel ist dein Grammatik-Training.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • zu Sachsituationen aufstellen und Termwerte berechnen.

  • gleichartige Glieder zusammenfassen (3x+5x=8x3x + 5x = 8x).

  • Klammern ausmultiplizieren, auch mit Minus vor der Klammer.

  • gemeinsame Faktoren ausklammern.

  • Produkte von korrekt vereinfachen (2x⋅3x=6x22x \cdot 3x = 6x^2).

Gleichartige Glieder zusammenfassen

Gleichartig sind Glieder mit genau derselben (und ): 3x3x und 5x5x, aber nicht 3x3x und 5y5y, und auch nicht 3x3x und 3x23x^2!

4x+3y−2x+7y=(4−2)x+(3+7)y=2x+10y4x + 3y - 2x + 7y = (4-2)x + (3+7)y = 2x + 10y

Bild dazu: 44 Äpfel +3+ 3 Birnen −2- 2 Äpfel +7+ 7 Birnen =2= 2 Äpfel +10+ 10 Birnen. Äpfel und Birnen verschmelzen nicht!

Warum man überhaupt zusammenfassen darf

Das Apfel-Bild ist eine gute Merkhilfe. Der mathematische Grund steckt aber im Distributivgesetz, das du aus Klasse 5 kennst.

Denk daran, was 4x4x bedeutet: viermal die Zahl xx. Und 3x3x: dreimal dieselbe Zahl xx. Zusammen sind das siebenmal xx:

4x+3x=x+x+x+x⏟4+x+x+x⏟3=7x4x + 3x = \underbrace{x+x+x+x}_{4} + \underbrace{x+x+x}_{3} = 7x

Kürzer geschrieben ist das genau das Distributivgesetz, nur rückwärts gelesen:

4x+3x=(4+3)⋅x=7x4x + 3x = (4+3) \cdot x = 7x

Das xx wird dabei nie angetastet, du zählst nur, wie oft es vorkommt.

Und warum 3x3x und 5y5y nicht gehen

Setze testweise Zahlen ein, etwa x=2x = 2 und y=10y = 10:

3x+5y=6+50=563x + 5y = 6 + 50 = 56

Würdest du daraus „8xy8xy" machen, käme 8⋅2⋅10=1608 \cdot 2 \cdot 10 = 160 heraus, etwas völlig anderes.

Der Grund: xx und yy dürfen verschiedene Zahlen sein. Solange du nicht weißt, welche, kannst du sie nicht zu einer einzigen zusammenziehen.

Die Probe durch Einsetzen ist übrigens dein bestes Werkzeug bei Termumformungen: Ist die Umformung richtig, muss für jede eingesetzte Zahl dasselbe herauskommen.

Warum auch 3x3x und 3x23x^2 nicht zusammenpassen

xx und x2x^2 sind verschiedene Sorten, genau wie Äpfel und Birnen.

Setze x=5x = 5 ein: 3x=153x = 15, aber 3x2=3⋅25=753x^2 = 3 \cdot 25 = 75. Die beiden wachsen völlig unterschiedlich, also lassen sie sich nicht zusammenzählen.

Multiplizieren von Termgliedern

Zahlen mal Zahlen, mal Variablen:

2x⋅3y=6xy2x⋅3x=6x22x \cdot 3y = 6xy \qquad\qquad 2x \cdot 3x = 6x^2

(x⋅x=x2x \cdot x = x^2. Das ist die Potenzschreibweise aus Klasse 5.)

Erkläre es selbst: Beim Zusammenfassen wandert die Anzahl einmal nach vorn (x plus x ergibt 2x) und einmal nach oben (x mal x ergibt x hoch 2). Was genau wird da jeweils gezählt?

Formuliere es erst selbst, bevor du aufklappst.

Beide Male zählst du, aber verschiedene Dinge.

Beim Addieren zählst du Summanden: Wie oft kommt xx als Summand vor? Diese Anzahl schreibst du davor.

x+x=2xx+x+x=3xx + x = 2x \qquad x + x + x = 3x

Beim Multiplizieren zählst du Faktoren: Wie oft steht xx als Faktor da? Diese Anzahl schreibst du oben.

x⋅x=x2x⋅x⋅x=x3x \cdot x = x^2 \qquad x \cdot x \cdot x = x^3

Probe mit einer Zahl. Setze x=3x = 3 ein:

x+x=3+3=6=2⋅3aberx⋅x=3⋅3=9=32x + x = 3 + 3 = 6 = 2 \cdot 3 \qquad\text{aber}\qquad x \cdot x = 3 \cdot 3 = 9 = 3^2

Völlig verschiedene Ergebnisse, und je größer xx wird, desto weiter laufen die beiden auseinander.

Und warum verwechselt man das trotzdem so hartnäckig? Weil es bei einer einzigen Zahl zusammenfällt:

2+2=4=2⋅22 + 2 = 4 = 2 \cdot 2

Wer seine Umformung ausgerechnet mit x=2x = 2 prüft, merkt den Fehler also nicht. Nimm für den Einsetz-Test deshalb lieber die 33. Dort fällt jede Verwechslung von Summanden und Faktoren sofort auf.

Deine Erklärung darf anders klingen. Der Kern in einem Satz: Plus zählt Summanden nach vorn, Mal zählt Faktoren nach oben.

Ausmultiplizieren (Distributivgesetz)

Der Faktor vor der Klammer wird auf jedes Glied verteilt:

3⋅(2x−5)=6x−15−2⋅(4x−3)=−8x+63 \cdot (2x - 5) = 6x - 15 \qquad\qquad -2 \cdot (4x - 3) = -8x + 6

Das Flächenmodell unten macht es sichtbar: Ein der Höhe 33 und der Breite x+2x+2 zerfällt in die Teilflächen 3x3x und 66, genau 3⋅(x+2)=3x+63\cdot(x+2)=3x+6.

Achtung beim Minus: Es dreht jedes Vorzeichen in der Klammer um. Ein bloßes Minus vor der Klammer wirkt wie (−1)⋅(-1)\cdot:   −(3x−7)=−3x+7\;-(3x - 7) = -3x + 7.

3x3·x26

Ein der Höhe 33 und der Breite x+2x + 2: Zerschneidest du es, entstehen die Teilflächen 3⋅x3\cdot x und 3⋅2=63\cdot 2 = 6. Dieselbe Gesamtfläche, nur anders aufgeteilt. Das ist 3⋅(x+2)=3x+63\cdot(x+2) = 3x + 6. Rückwärts gelesen ist es das Ausklammern.

Ausklammern (die Rückrichtung)

Steckt in allen Gliedern ein gemeinsamer Faktor, darfst du ihn vor die Klammer ziehen:

12x+18=6⋅(2x+3)5x2+3x=x⋅(5x+3)12x + 18 = 6 \cdot (2x + 3) \qquad\qquad 5x^2 + 3x = x \cdot (5x + 3)

Kontrolle: Ausmultiplizieren muss den Ausgangsterm zurückliefern, im Flächenbild ist es einfach der Weg von den Teilflächen zurück zum ganzen .

Wie du den gemeinsamen Faktor findest

Gehe Zahlen und getrennt durch:

  1. Zahlen: Was passt in alle Zahlen hinein? Bei 1212 und 1818 ist das die 66 (der größte gemeinsame ).
  2. Variablen: Welche Variable steckt in jedem Glied? Bei 5x2+3x5x^2 + 3x kommt xx in beiden vor, also lässt sich ein xx herausziehen.

Beides zusammen ergibt den Faktor vor der Klammer. Was übrig bleibt, schreibst du hinein, und das findest du durch Division:

12x:6=2x18:6=3⇒12x+18=6(2x+3)12x : 6 = 2x \qquad 18 : 6 = 3 \qquad \Rightarrow \qquad 12x + 18 = 6(2x+3)

Wozu das gut ist

Ausklammern sieht zunächst nach Mehrarbeit aus, der wird ja nicht kürzer. Es lohnt sich trotzdem aus zwei Gründen:

  • Beim Kopfrechnen: 6⋅(2⋅10+3)=6⋅236 \cdot (2 \cdot 10 + 3) = 6 \cdot 23 ist eine Rechnung statt zweier.
  • Später beim Lösen von : Steht ein Produkt da und soll null ergeben, muss einer der Faktoren null sein. Das wird ab Klasse 9 zur wichtigsten Lösungsstrategie überhaupt.

Merke dir deshalb: Ausmultiplizieren und Ausklammern sind ein Hin- und ein Rückweg. Du wirst beide Richtungen brauchen.

Zusammenfassen

Vereinfache: 7a+4b−3a+b−57a + 4b - 3a + b - 5

  1. 1

    Was ist gesucht? Ein möglichst kurzer , der denselben Wert hat wie der ursprüngliche.

    Vereinfachen heißt nicht, den Term zu verändern. Es heißt, ihn übersichtlicher aufzuschreiben. Für jede eingesetzte Zahl muss dasselbe herauskommen.

  2. 2

    Schritt 1: Die Sorten erkennen.

    Gehe den Term durch und schau, welche jedes Glied trägt:

    • aa-Glieder: 7a7a und −3a-3a
    • bb-Glieder: 4b4b und bb
    • reine Zahl: −5-5

    Drei verschiedene Sorten, nur innerhalb einer Sorte darfst du zusammenfassen.

  3. 3

    Schritt 2: Nach Sorten sortieren.

    Nimm die Vorzeichen dabei mit, sonst verrutscht etwas:

    7a−3a⏟a-Glieder  +  4b+b⏟b-Glieder  −  5\underbrace{7a - 3a}_{a\text{-Glieder}} \;+\; \underbrace{4b + b}_{b\text{-Glieder}} \;-\; 5
  4. 4

    Schritt 3: Die aa-Glieder zusammenfassen.

    7a−3a=(7−3) a=4a7a - 3a = (7-3)\,a = 4a

    Du zählst nur, wie oft aa vorkommt, das aa selbst bleibt unverändert.

  5. 5

    Schritt 4: Die bb-Glieder zusammenfassen.

    Achtung, häufige Falle: Vor dem zweiten bb steht keine Zahl. Das heißt aber nicht „null bb", sondern 1b1b, genau ein bb.

    4b+1b=5b4b + 1b = 5b
  6. 6

    Schritt 5: Alles zusammensetzen.

    Die −5-5 hat keinen Partner und bleibt stehen:

    7a+4b−3a+b−5=4a+5b−57a + 4b - 3a + b - 5 = 4a + 5b - 5
  7. 7

    Schritt 6: Probe durch Einsetzen.

    Wähle beliebige Zahlen, etwa a=2a = 2 und b=1b = 1:

    • Original: 14+4−6+1−5=814 + 4 - 6 + 1 - 5 = 8
    • Vereinfacht: 8+5−5=88 + 5 - 5 = 8 ✓

    Diese Probe ist bei Termumformungen Pflicht, sie deckt vergessene Vorzeichen und falsch zusammengefasste Sorten sofort auf.

7a+4b−3a+b−5=4a+5b−57a + 4b - 3a + b - 5 = 4a + 5b - 5

Ausmultiplizieren mit Minus

Vereinfache: 5(2x+3)−4(x−2)5(2x + 3) - 4(x - 2)

  1. 1

    Was ist gesucht? Der ohne Klammern, so weit wie möglich zusammengefasst.

    Der Plan: erst beide Klammern einzeln auflösen, dann gleichartige Glieder zusammenfassen. Nicht beides gleichzeitig, dabei verliert man den Überblick.

  2. 2

    Schritt 1: Erste Klammer ausmultiplizieren.

    Der Faktor 55 wird auf beide Glieder verteilt:

    5⋅2x+5⋅3=10x+155 \cdot 2x + 5 \cdot 3 = 10x + 15
  3. 3

    Schritt 2: Den Faktor der zweiten Klammer richtig ablesen.

    Hier ist die entscheidende Stelle. Vor der zweiten Klammer steht ein Minus, und das gehört zum Faktor dazu:

    −4(x−2)⇒Faktor ist −4, nicht +4-4(x-2) \quad \Rightarrow \quad \text{Faktor ist } -4, \text{ nicht } +4
  4. 4

    Schritt 3: Zweite Klammer ausmultiplizieren.

    −4⋅x=−4x-4 \cdot x = -4x −4⋅(−2)=+8(Minus mal Minus ergibt Plus)-4 \cdot (-2) = +8 \qquad (\text{Minus mal Minus ergibt Plus})

    Also: −4(x−2)=−4x+8-4(x-2) = -4x + 8.

    Achte auf das zweite Vorzeichen: Aus −2-2 wird +8+8, der häufigste Fehler ist, hier −8-8 stehen zu lassen.

  5. 5

    Schritt 4: Beide Teile hinschreiben.

    10x+15−4x+810x + 15 - 4x + 8
  6. 6

    Schritt 5: Gleichartige Glieder zusammenfassen.

    10x−4x⏟6x  +  15+8⏟23  =  6x+23\underbrace{10x - 4x}_{6x} \;+\; \underbrace{15 + 8}_{23} \;=\; 6x + 23
  7. 7

    Schritt 6: Probe durch Einsetzen (x=1x = 1).

    • Original: 5⋅5−4⋅(−1)=25+4=295 \cdot 5 - 4 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29
    • Ergebnis: 6+23=296 + 23 = 29 ✓

    Hätte man in Schritt 3 das Vorzeichen vergessen, käme 6x+76x + 7 heraus, und die Probe ergäbe 1313 statt 2929. Genau dafür macht man sie.

5(2x+3)−4(x−2)=6x+235(2x+3) - 4(x-2) = 6x + 23

Ausklammern

Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus: a) 18x+2418x + 24 b) 6x2−15x6x^2 - 15x

  1. 1

    Was ist gesucht? Der als Produkt, also ein Faktor vor einer Klammer.

    Das ist die Rückrichtung zum Ausmultiplizieren. Deshalb kannst du am Ende immer prüfen, indem du wieder ausmultiplizierst.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Den gemeinsamen Zahlfaktor suchen.

    Welche Zahl steckt sowohl in 1818 als auch in 2424?

    von 1818: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18 · Teiler von 2424: 1,2,3,4,6,8,12,241, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

    Der größte gemeinsame Teiler ist 66.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Herausziehen und den Rest bestimmen.

    Was bleibt in der Klammer? Das findest du durch Division:

    18x:6=3x24:6=418x : 6 = 3x \qquad 24 : 6 = 4 18x+24=6 (3x+4)18x + 24 = 6\,(3x + 4)

    Beachte: Das xx steckt nur im ersten Glied, kann also nicht mit herausgezogen werden.

  4. 4

    Teil b): Schritt 3: Jetzt Zahlen und getrennt prüfen.

    6x2−15x6x^2 - 15x
    • Zahlen: größter gemeinsamer Teiler von 66 und 1515 ist 33.
    • Variablen: x2=x⋅xx^2 = x \cdot x und xx, in beiden steckt mindestens ein xx.

    Der gemeinsame Faktor ist also 3x3x.

  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Herausziehen.

    6x2:3x=2x(−15x):3x=−56x^2 : 3x = 2x \qquad (-15x) : 3x = -5 6x2−15x=3x (2x−5)6x^2 - 15x = 3x\,(2x - 5)
  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle durch Ausmultiplizieren.

    a) 6⋅3x+6⋅4=18x+246 \cdot 3x + 6 \cdot 4 = 18x + 24 ✓

    b) 3x⋅2x=6x23x \cdot 2x = 6x^2 und 3x⋅(−5)=−15x3x \cdot (-5) = -15x ✓

    Diese Rückprobe kostet zehn Sekunden und ist die einzige zuverlässige Kontrolle beim Ausklammern.

a) 18x+24=6(3x+4)18x + 24 = 6(3x+4) · b) 6x2−15x=3x(2x−5)6x^2 - 15x = 3x(2x-5)

Typischer Fehler

3x+4y=7xy3x + 4y = 7xy, „drei plus vier ist sieben, und die Buchstaben kommen dahinter."

3x3x und 4y4y sind nicht gleichartig, drei Äpfel plus vier Birnen ergeben keine sieben „Apfelbirnen"! Der 3x+4y3x + 4y ist bereits fertig vereinfacht. Test durch Einsetzen (x=1,y=2x=1, y=2): links 3+8=113 + 8 = 11, aber 7xy=147xy = 14, die „Umformung" hätte den Wert verändert, ist also falsch.

Typischer Fehler

−(2x−5)=−2x−5-(2x - 5) = -2x - 5, „das Minus gilt nur fürs erste Glied."

Das Minus vor der Klammer wirkt auf jedes Glied: −(2x−5)=−2x+5-(2x - 5) = -2x + 5. Denke es als (−1)⋅(2x−5)(-1) \cdot (2x - 5), dann verteilst du die −1-1 automatisch auf beide Glieder. Halbe Vorzeichenwechsel sind der Klassiker unter den Termfehlern!

Übung 1

leicht

Vereinfache: a) 8x−3x+x8x - 3x + x b) 5a+2b−3a+4b5a + 2b - 3a + 4b c) 4⋅(3x+2)4 \cdot (3x + 2)

Tipp anzeigen

Nur Gleichartiges zusammenfassen!

Lösung anzeigen

a) 6x6x

b) 2a+6b2a + 6b

c) 12x+812x + 8

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Gleichartige Glieder zusammenfassen

    8x−3x+x8x - 3x + x: Alle drei Glieder enthalten xx, nur die Zahlen davor verrechnen: 8−3+1=68 - 3 + 1 = 6, also 6x6x.

  2. 2

    b) Nach Sorten sortieren

    5a+2b−3a+4b5a + 2b - 3a + 4b: Die aa-Glieder (5a−3a=2a5a - 3a = 2a) und die bb-Glieder (2b+4b=6b2b + 4b = 6b) getrennt verrechnen: 2a+6b2a + 6b.

  3. 3

    c) Klammer ausmultiplizieren

    4⋅(3x+2)4 \cdot (3x + 2): Die 44 mit BEIDEN Summanden multiplizieren: 4⋅3x+4⋅2=12x+84 \cdot 3x + 4 \cdot 2 = 12x + 8.

    4⋅3x+4⋅2=12x+84 \cdot 3x + 4 \cdot 2 = 12x + 8

Übung 2

mittel

Vereinfache: a) 3(2x−1)−(4x−7)3(2x - 1) - (4x - 7) b) 2x⋅5y+3x⋅x2x \cdot 5y + 3x \cdot x c) Klammere aus: 20a−30b+1020a - 30b + 10

Tipp anzeigen

a) Das Minus vor der zweiten Klammer kippt beide Vorzeichen.

Lösung anzeigen

a) 6x−3−4x+7=2x+46x - 3 - 4x + 7 = 2x + 4

b) 10xy+3x210xy + 3x^2

c) 10(2a−3b+1)10(2a - 3b + 1)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Minusklammer korrekt auflösen

    3(2x−1)=6x−33(2x-1) = 6x - 3. Die Minusklammer −(4x−7)-(4x - 7) dreht BEIDE Vorzeichen: −4x+7-4x + 7. Zusammen: 6x−3−4x+7=2x+46x - 3 - 4x + 7 = 2x + 4.

    −(4x−7)=−4x+7-(4x - 7) = -4x + 7

  2. 2

    b) Multiplizieren statt zusammenfassen

    2x⋅5y=10xy2x \cdot 5y = 10xy (Zahlen mal Zahlen, aneinander) und 3x⋅x=3x23x \cdot x = 3x^2. Ergebnis: 10xy+3x210xy + 3x^2, weiter geht nichts.

  3. 3

    c) Ausklammern: Distributivgesetz rückwärts

    20a−30b+1020a - 30b + 10: Der größte gemeinsame aller Koeffizienten ist 1010: 10(2a−3b+1)10(2a - 3b + 1).

Übung 3

schwer

Ein hat die Seiten a=3x+2a = 3x + 2 und b=4b = 4. a) Stelle für und auf und vereinfache. b) Berechne beide für x=5x = 5.

Tipp anzeigen

u=2(a+b)u = 2(a + b), A=a⋅bA = a \cdot b.

Lösung anzeigen

a) u=2(3x+2+4)=2(3x+6)=6x+12u = 2(3x + 2 + 4) = 2(3x + 6) = 6x + 12

A=4(3x+2)=12x+8A = 4(3x + 2) = 12x + 8

b) u=6⋅5+12=42u = 6 \cdot 5 + 12 = 42 · A=12⋅5+8=68A = 12 \cdot 5 + 8 = 68

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Umfangsterm aufstellen und vereinfachen

    u=2(a+b)=2(3x+2+4)=2(3x+6)=6x+12u = 2(a + b) = 2(3x + 2 + 4) = 2(3x + 6) = 6x + 12.

    u=2(3x+2+4)=6x+12u = 2(3x + 2 + 4) = 6x + 12

  2. 2

    a) Flächenterm aufstellen

    A=a⋅b=(3x+2)⋅4=12x+8A = a \cdot b = (3x + 2) \cdot 4 = 12x + 8.

    Zwischenergebnis

    u=6x+12,A=12x+8u = 6x + 12, \quad A = 12x + 8

  3. 3

    b) Werte für x = 5 einsetzen

    u=6⋅5+12=42u = 6 \cdot 5 + 12 = 42 und A=12⋅5+8=68A = 12 \cdot 5 + 8 = 68.

    u=6⋅5+12=42,A=12⋅5+8=68u = 6 \cdot 5 + 12 = 42, \quad A = 12 \cdot 5 + 8 = 68

Zusammenfassung

Termumformungen ändern die Gestalt, nie den Wert: Gleichartige Glieder verschmelzen (Äpfel zu Äpfeln), Klammern öffnest du mit dem Distributivgesetz (Minus kippt alles!) und schließt sie durchs Ausklammern wieder. Der Einsetz-Test ist dein Lügendetektor für jede Umformung, nutze ihn, bis die Regeln sitzen.