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Analysis

Zusammenhang von Funktion und Ableitungsfunktion

Aus dem Graphen von f den Graphen von f′ lesen, und umgekehrt.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Zeig mir den Graphen einer Funktion, und ich zeichne dir ihre , ganz ohne Formel. Denn f′f' misst nur eines: die von ff an jeder Stelle. Wo ff steigt, ist f′f' positiv; wo ff einen Gipfel hat, ist f′f' null. Diesen Blick zwischen den Graphen zu beherrschen, ist die halbe .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • aus dem Graphen von ff Vorzeichen und von f′f' ablesen.

  • den Graphen von f′f' skizzieren und umgekehrt aus f′f' auf ff schließen.

  • Hoch-/Tiefpunkte von ff mit Nullstellen von f′f' verknüpfen.

  • die Bedeutung von f′′f'' als von f′f' erkennen.

Zwei Graphen, eine Information

Bisher war f′f' vor allem eine Rechenvorschrift. Jetzt betrachten wir sie als eigenen Graphen, und lernen, zwischen beiden Bildern zu übersetzen. Das ist eine der häufigsten Aufgabenformen der Oberstufe: „Hier ist der Graph von f′f', was folgt daraus für ff?"

Der Grundgedanke

f′f' ist keine neue geheimnisvolle Kurve. Sie zeigt an jeder Stelle nur eine einzige Information über ff: wie steil die Kurve dort ist.

Ho¨he von f′ an der Stelle x  =  Steigung von f an der Stelle x\text{Höhe von } f' \text{ an der Stelle } x \;=\; \text{Steigung von } f \text{ an der Stelle } x

Aus dieser einen Zeile folgt die gesamte Übersetzungstabelle. Du kannst sie dir also jederzeit selbst herleiten, statt sie auswendig zu lernen.

Verhalten von ffWert von f′f'warum
ff steigtf′>0f' > 0 (über der x-Achse)positive
ff fälltf′<0f' < 0 (unter der x-Achse)negative Steigung
ff hat Hoch-/f′=0f' = 0 ()waagerechte
ff ist am steilstenf′f' hat ein Extremumgrößte Steigung
ff hat einen f′f' hat ein ExtremumSteigung kehrt um

Die wichtigste Warnung

Ein Hochpunkt von f′f' ist kein Hochpunkt von ff! Wenn f′f' ganz oben ist, bedeutet das nur: Dort ist ff am steilsten, wächst also am schnellsten. Der Hochpunkt von ff liegt dagegen dort, wo f′f' null wird, also die xx-Achse schneidet.

Diese Verwechslung ist der häufigste Fehler bei Graphenaufgaben. Präge dir ein: Bei ff interessieren dich die Extrempunkte, bei f′f' die Nullstellen.

Das Bild unten zeigt beide Graphen übereinander, vergleiche gezielt: Wo schneidet f′f' die xx-Achse, und was macht ff genau dort?

f(x)=x³−3x und ihre Ableitung f'

xy-3-2-112-4-224fHPTP

f′f' (blau) liest die von ff (grün) ab: Wo ff einen Hoch- oder hat, ist f′=0f' = 0 ( von f′f' bei x=±1x=\pm1). Wo ff steigt, ist f′>0f'>0; wo ff fällt, ist f′<0f'<0.

In beide Richtungen übersetzen

Aufgaben verlangen beide Richtungen, mal ist ff gegeben und f′f' zu skizzieren, mal umgekehrt. Für beide gibt es ein festes Vorgehen.

Von ff zu f′f', den Graphen der Ableitung skizzieren

  1. Waagerechte suchen. An jeder solchen Stelle hat f′f' eine . Dort schneidet die neue Kurve die xx-Achse. Das sind deine Ankerpunkte.
  2. Vorzeichen eintragen. Wo ff steigt, verläuft f′f' oberhalb der Achse; wo ff fällt, unterhalb.
  3. Höhe abschätzen. Wo ff am steilsten ist, erreicht f′f' seinen größten Abstand zur Achse.

Kontrolle über den Grad: Ist ff ein Polynom vom Grad nn, hat f′f' den Grad n−1n-1. Aus einer wird eine Gerade, aus einer Funktion dritten Grades eine Parabel. Passt das bei deiner Skizze nicht, ist etwas schiefgegangen.

Von f′f' zurück zu ff, die schwierigere Richtung

Hier liest du aus dem Ableitungsgraphen das Verhalten von ff ab:

  1. Nullstellen von f′f' suchen. Das sind die Kandidaten für von ff.
  2. Vorzeichenwechsel prüfen:
    • von ++ nach −- → Hochpunkt von ff (erst steigend, dann fallend)
    • von −- nach ++ → Tiefpunkt von ff
    • kein Wechsel (die Kurve berührt die Achse nur) → Sattelpunkt, kein Extrempunkt
  3. Extrempunkte von f′f' suchen, sie markieren die von ff.

Was du aus f′f' nicht ablesen kannst: die Höhe von ff. Der Ableitungsgraph verrät nur die , nicht den Startwert. Deshalb kann man ff aus f′f' nur bis auf eine Verschiebung nach oben oder unten rekonstruieren, alle diese Kurven haben dieselbe . Genau diese Lücke schließt in Klasse 12 die Integralrechnung.

Prüfe dich: Die Ableitung von f ist x Quadrat. Sie wird bei x gleich null zwar null, wechselt dort aber nicht das Vorzeichen. Hat f bei null einen Extrempunkt?

Nein, und genau dafür steht das Wort Kandidat.

f′(x)=x2f'(x) = x^2 ist für alle x≠0x \neq 0 positiv (!), links wie rechts der . ff steigt also vor der Stelle 00 und danach. Es entsteht kein Gipfel und kein Tal, sondern ein Sattelpunkt: Die Kurve wird nur für einen Moment waagerecht und steigt weiter.

Nach der Übersetzungsliste oben: Nullstelle von f′f' ohne Vorzeichenwechsel → kein . Du kennst ein solches ff übrigens schon: f(x)=x33f(x) = \frac{x^3}{3} (plus beliebige Konstante) hat genau die x2x^2, und der Graph von x3x^3 hat im Ursprung seinen Sattelpunkt.

Merke: f′(x0)=0f'(x_0) = 0 macht x0x_0 nur zum Kandidaten, erst der Vorzeichenwechsel entscheidet. (Im Fachjargon: f′=0f' = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend, dieses Begriffspaar bekommt im Extrempunkte-Kapitel seinen großen Auftritt.) Wer nur die Nullstelle prüft, tappt bei Funktionen wie x3x^3 in die klassische Abiturfalle.

Die zweite Ableitung: die Änderung der Änderung

Wenn f′f' selbst wieder eine Funktion ist, kann man sie dann nicht auch ?

Ja. Das Ergebnis heißt zweite Ableitung und wird f′′f'' geschrieben (gesprochen „f zwei Strich"). Formal ist das nichts Neues: Du wendest dieselben Ableitungsregeln einfach ein zweites Mal an.

f(x)=x3  ⟶  f′(x)=3x2  ⟶  f′′(x)=6xf(x) = x^3 \;\longrightarrow\; f'(x) = 3x^2 \;\longrightarrow\; f''(x) = 6x

Was sie inhaltlich bedeutet

f′f' misst, wie schnell sich ff ändert. Also misst f′′f'', wie schnell sich f′f' ändert, also wie schnell sich die ändert.

Das klingt abstrakt, ist im Alltag aber völlig vertraut. Beim Autofahren:

GrößeBedeutungBeispiel
s(t)s(t)zurückgelegter WegKilometerstand
s′(t)s'(t)GeschwindigkeitTacho zeigt 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}
s′′(t)s''(t)Beschleunigungdu wirst in den Sitz gedrückt

Der Unterschied ist spürbar: Eine hohe Geschwindigkeit merkst du kaum (im ICE fühlt sich 250 kmh250\,\frac{\text{km}}{\text{h}} ruhig an). Eine hohe Beschleunigung dagegen sofort. Das ist f′′f''.

Warum sie in der Kurvendiskussion wichtig wird

Für den Graphen bedeutet „die Steigung ändert sich" eine Krümmung:

  • Wird die Steigung immer größer (f′′>0f'' > 0), dreht die Kurve nach links. Sie ist nach oben gekrümmt.
  • Wird sie immer kleiner (f′′<0f'' < 0), dreht sie nach rechts.

Damit hast du ein Werkzeug, das f′f' allein nicht liefert. Wie du damit Hoch- und Tiefpunkte unterscheidest und findest, ist Thema der nächsten Kapitel.

Die Merkregel: f′′f'' verhält sich zu f′f' genau so wie f′f' zu ff. Es ist immer dieselbe Frage, „wie schnell ändert sich das?", nur eine Ebene höher.

Vorzeichen von f′ aus dem Graphen

Der Graph von ff fällt von links kommend bis zu einem bei x=2x = 2, steigt dann bis zu einem Hochpunkt bei x=5x = 5 und fällt danach wieder. Was weißt du daraus über f′f'?

  1. 1

    Was die Aufgabe verlangt. Es gibt keine Funktionsgleichung, nur eine Beschreibung des Verlaufs. Trotzdem lässt sich der Ableitungsgraph vollständig charakterisieren, denn f′f' hängt nur von den von ff ab.

    Das Vorgehen: erst die von f′f' suchen, dann die Vorzeichen dazwischen.

  2. 2

    Schritt 1: Wo hat f′f' Nullstellen? An einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht, die Steigung also null. Und die Steigung ist genau der Wert von f′f':

    x=2 (Tiefpunkt)  ⇒  f′(2)=0x = 2 \text{ (Tiefpunkt)} \;\Rightarrow\; f'(2) = 0 x=5 (Hochpunkt)  ⇒  f′(5)=0x = 5 \text{ (Hochpunkt)} \;\Rightarrow\; f'(5) = 0

    Der Ableitungsgraph schneidet oder berührt die xx-Achse also an genau diesen zwei Stellen.

  3. 3

    Schritt 2: Die Vorzeichen in den drei Abschnitten. Die beiden Nullstellen teilen die Zahlengerade in drei Bereiche. In jedem schaust du, was ff dort tut:

    Bereichff …also f′f' …
    x<2x < 2fälltf′<0f' < 0 (unter der Achse)
    2<x<52 < x < 5steigtf′>0f' > 0 (über der Achse)
    x>5x > 5fälltf′<0f' < 0 (unter der Achse)
  4. 4

    Schritt 3: Den Verlauf von f′f' beschreiben. Setze die Informationen zusammen:

    f′f' kommt von unten (negativ), schneidet bei x=2x = 2 die xx-Achse nach oben, bleibt zwischen 22 und 55 positiv und schneidet bei x=5x = 5 wieder nach unten.

    Die Richtung des Schnitts verrät die Art des Extrempunkts:

    • Schnitt von −- nach ++ → Tiefpunkt von ff (hier bei x=2x = 2)
    • Schnitt von ++ nach −- → Hochpunkt von ff (hier bei x=5x = 5)
  5. 5

    Eine Zusatzinformation, die man leicht übersieht. Zwischen 22 und 55 ist f′f' positiv und hat irgendwo dort seinen größten Wert. Dort steigt ff am steilsten. Diese Stelle ist der von ff.

    Und die häufigste Verwechslung: Der Hochpunkt von f′f' ist kein Hochpunkt von ff. Bei ff liegen die Extrempunkte dort, wo f′f' die Achse schneidet, nicht wo f′f' am höchsten ist.

f′f' hat Nullstellen bei x=2x = 2 und x=5x = 5 und ist negativ–positiv–negativ (in dieser Reihenfolge), spiegelbildlich zum Muster fallend–steigend–fallend von ff.

Das Übersetzungsrezept: waagerechte von ff → Nullstellen von f′f'; steigende Bereiche → f′f' oberhalb der Achse; fallende → darunter.

Von f′ auf f schließen

Die einer Funktion ist f′(x)=x−3f'(x) = x - 3. Was folgt daraus für und von ff?

  1. 1

    Die Richtung dieser Aufgabe. Diesmal ist die Ableitung gegeben, gesucht sind Eigenschaften der Ausgangsfunktion. Das ist die anspruchsvollere Richtung, aber mit demselben Werkzeug lösbar: dem Vorzeichen von f′f'.

  2. 2

    Schritt 1: Nullstelle von f′f' bestimmen. Nur dort kann das Vorzeichen wechseln, und nur dort kann ff einen Extrempunkt haben:

    x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 3

    Das ist der Kandidat, noch nicht die gesicherte Extremstelle.

  3. 3

    Schritt 2: Vorzeichen links und rechts prüfen. Setze Testwerte in f′(x)=x−3f'(x) = x - 3 ein:

    f′(2)=2−3=−1<0f′(4)=4−3=+1>0f'(2) = 2 - 3 = -1 < 0 \qquad\qquad f'(4) = 4 - 3 = +1 > 0

    Übersetzt: Für x<3x < 3 ist f′f' negativ, also fällt ff. Für x>3x > 3 ist f′f' positiv, also steigt ff.

  4. 4

    Schritt 3: Die Monotonie aufschreiben.

    f fa¨llt auf (−∞; 3]f steigt auf [3; ∞)f \text{ fällt auf } (-\infty;\, 3] \qquad\qquad f \text{ steigt auf } [3;\, \infty)

    Beachte die Schreibweise: Monotonie gilt auf Intervallen. „ff fällt bei x=2x = 2" wäre ungenau formuliert.

  5. 5

    Schritt 4: Die Art des Extrempunkts bestimmen. Das Vorzeichen wechselt von −- nach ++: Die Funktion fällt erst und steigt dann. Sie hat dort also ihren tiefsten Punkt.

    Bei x=3 liegt ein Tiefpunkt\text{Bei } x = 3 \text{ liegt ein } \textbf{Tiefpunkt}

    Alternativ über f′′f'': Aus f′(x)=x−3f'(x) = x - 3 folgt f′′(x)=1>0f''(x) = 1 > 0, nach dem Abschnitt zur zweiten Ableitung heißt das: nach oben gekrümmt, ein Tal, also ein Tiefpunkt. Dasselbe Ergebnis ✓ (Die genaue Begründung dieses f′′f''-Kriteriums liefert das Extrempunkte-Kapitel.)

  6. 6

    Zur Kontrolle: Wie sieht ff ungefähr aus? f′f' ist linear, also muss ff quadratisch sein (der Grad ist beim Ableiten um 11 gesunken). Und weil ff erst fällt und dann steigt, ist es eine nach oben geöffnete mit Scheitel bei x=3x = 3.

    Was du nicht bestimmen kannst: die Höhe des Tiefpunkts. Der Ableitungsgraph verrät nichts über die yy-Werte, jede senkrecht verschobene Parabel hat dieselbe Ableitung.

ff fällt auf (−∞; 3](-\infty;\,3] und steigt auf [3; ∞)[3;\,\infty); bei x=3x = 3 liegt ein Tiefpunkt. Die yy-Koordinate lässt sich aus f′f' allein nicht bestimmen.

Das Rezept: von f′f' suchen → Vorzeichen links/rechts testen → Monotonie ablesen → Art des Extrempunkts aus der Wechselrichtung bestimmen.

Typischer Fehler

„Der Graph von ff ist gerade auf seinem Höchststand, also ist auch f′f' dort maximal."

Verwechslung von Funktionswert und ! Am von ff ist die waagerecht, die Steigung also null. Dort hat f′f' eine , nicht ein Maximum. f′f' ist dort maximal, wo ff am steilsten ansteigt (typisch an einem ), nicht am Gipfel. Immer fragen: „Wie steil ist ff hier?", nicht „Wie hoch?"

Übung 1

leicht

f′(x)=2xf'(x) = 2x. In welchem Bereich steigt bzw. fällt ff, und wo liegt der ?

Tipp anzeigen

Vorzeichen von 2x2x.

Lösung anzeigen

f′<0f' < 0 für x<0x < 0 (fällt), f′>0f' > 0 für x>0x > 0 (steigt).

Wechsel −→+-\to+ bei x=0x = 0 → Tiefpunkt. (Zum Beispiel bei der Normalparabel f(x)=x2f(x) = x^2, oder jeder senkrecht verschobenen Fassung x2+cx^2 + c: Sie alle haben f′(x)=2xf'(x) = 2x.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Vorzeichen von f' lesen

    f′(x)=2xf'(x) = 2x: negativ für x<0x < 0, positiv für x>0x > 0. Also fällt ff links von 00 und steigt rechts davon.

  2. 2

    Vorzeichenwechsel = Extrempunkt

    Bei x=0x = 0 wechselt f′f' von −- nach ++: Fallen geht in Steigen über → TIEFPUNKT von ff an der Stelle 00.

  3. 3

    Welche f passen dazu?

    Zum Beispiel f(x)=x2f(x) = x^2 oder jede senkrecht verschobene Fassung x2+cx^2 + c: Sie alle haben f′(x)=2xf'(x) = 2x.

Übung 2

mittel

Der Graph von f′f' ist eine nach oben geöffnete mit bei x=−1x = -1 und x=4x = 4. Bestimme und Art der von ff.

Tipp anzeigen

Wo ist die Parabel f′f' positiv/negativ?

Lösung anzeigen

f′>0f' > 0 für x<−1x < -1 und x>4x > 4 (außerhalb der Nullstellen), f′<0f' < 0 dazwischen.

Bei x=−1x = -1: +→−+\to- → Hochpunkt. Bei x=4x = 4: −→+-\to+ → Tiefpunkt.

ff steigt bis −1-1, fällt bis 44, steigt danach.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Vorzeichenprofil von f' aufstellen

    f′f' ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen −1-1 und 44: positiv AUSSERHALB (x<−1x < -1 und x>4x > 4), negativ DAZWISCHEN.

  2. 2

    In Monotonie von f übersetzen

    ff steigt für x<−1x < -1, fällt zwischen −1-1 und 44, steigt wieder für x>4x > 4.

  3. 3

    Extrempunkte an den Wechselstellen

    Bei x=−1x = -1: Wechsel +→−+\to- → HOCHPUNKT. Bei x=4x = 4: Wechsel −→+-\to+ → TIEFPUNKT.

Übung 3

schwer

Ein Auto fährt an; s(t)s(t) ist der Weg, v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) die Geschwindigkeit. Der Graph von vv steigt zunächst, erreicht bei t=8 st = 8\,\text{s} ein Maximum und fällt dann. a) Was bedeutet das Maximum von vv für die Bewegung? b) Was bedeutet es für ss? c) Was gilt bei t=8t = 8 für die Beschleunigung a(t)=v′(t)a(t) = v'(t)?

Tipp anzeigen

v ist selbst von s; a ist Ableitung von v.

Lösung anzeigen

a) Bei t=8t = 8 ist das Auto am schnellsten, danach wird es langsamer (aber fährt noch vorwärts, solange v>0v > 0).

b) ss steigt die ganze Zeit (denn v>0v > 0), bei t=8t = 8 am steilsten. Dort hat ss einen .

c) Die Beschleunigung a=v′a = v' ist am Maximum von vv gleich null (Vorzeichenwechsel +→−+\to-): Das Auto hört auf zu beschleunigen und beginnt zu bremsen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Das v-Maximum für die Bewegung

    Bei t=8t = 8 s ist das Auto am SCHNELLSTEN. Danach wird es langsamer, fährt aber weiter vorwärts, solange v>0v > 0 bleibt.

  2. 2

    b) Was das für s bedeutet

    ss steigt die GANZE Zeit (denn v=s′>0v = s' > 0), bei t=8t = 8 am STEILSTEN, dort hat der ss-Graph einen Wendepunkt.

  3. 3

    c) Die Beschleunigung bei t = 8

    a=v′a = v' ist am Maximum von vv gleich NULL, mit Vorzeichenwechsel +→−+\to-: Das Auto hört auf zu beschleunigen und beginnt zu bremsen.

Zusammenfassung

f′f' ist das Steigungs-Protokoll von ff: positiv beim Steigen, negativ beim Fallen, null bei waagerechten . Vorzeichenwechsel von f′f' verraten Hoch- (+→−+\to-) und Tiefpunkte (−→+-\to+) von ff. Dieser Blick in beide Richtungen, Graph von ff ↔ Graph von f′f', ist das Fundament jeder Funktionsuntersuchung, und f′′f'' setzt das Spiel eine Ebene höher fort.