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Analysis

Anwendungen: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Ableitungen in der Bewegung: vom Weg zur Geschwindigkeit zur Beschleunigung.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Auto beschleunigt, ein Ball fliegt, eine Rakete startet: Bewegung ist in Aktion. Der zurückgelegte Weg s(t)s(t), die Geschwindigkeit v(t)v(t) und die Beschleunigung a(t)a(t) sind durch Ableiten miteinander verkettet. Dieses Kapitel zeigt, wie die Analysis die Physik der Bewegung beschreibt, momentan, exakt, an jeder Stelle.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Geschwindigkeit als des Weges deuten (v=s′v = s').

  • die Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit deuten (a=v′=s′′a = v' = s'').

  • momentane von mittlerer Geschwindigkeit unterscheiden.

  • Bewegungsaufgaben mit Extrem- und interpretieren.

Die Ableitungskette der Bewegung

Die ist keine reine Rechenübung. Sie beschreibt Bewegung. In der Physik ist sie das Standardwerkzeug, und die drei zentralen Größen hängen genau über das Ableiten zusammen.

Die Kette

s(t)  →  ableiten    v(t)=s′(t)  →  ableiten    a(t)=v′(t)=s′′(t)s(t) \;\xrightarrow{\;\text{ableiten}\;}\; v(t) = s'(t) \;\xrightarrow{\;\text{ableiten}\;}\; a(t) = v'(t) = s''(t)
  • Weg s(t)s(t): Wo befindet sich der Körper zur Zeit tt?
  • Geschwindigkeit v(t)=s′(t)v(t) = s'(t): Wie schnell ändert sich der Ort? Das ist der Tachowert.
  • Beschleunigung a(t)=v′(t)=s′′(t)a(t) = v'(t) = s''(t): Wie schnell ändert sich die Geschwindigkeit?

Warum das genau die Ableitung ist

Erinnere dich an den Anfang der Analysis: Die Durchschnittsgeschwindigkeit war ΔsΔt\frac{\Delta s}{\Delta t}: Weg durch Zeit, also ein . Lässt man das Zeitintervall gegen null gehen, wird daraus die momentane Geschwindigkeit. Und das ist per Definition die Ableitung.

Dieselbe Überlegung eine Ebene höher liefert die Beschleunigung: Sie misst, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.

Das macht die Begriffe greifbar: Wenn du im Auto sitzt, spürst du nicht die Geschwindigkeit (bei konstanter Fahrt merkst du sie kaum), sondern die Beschleunigung, das Andrücken beim Anfahren, das Vorneigen beim Bremsen. s′′s'' ist also die Größe, die du körperlich wahrnimmst.

Die Einheiten zeigen den Zusammenhang

Jedes Ableiten teilt durch eine Zeit, also kommt jedes Mal ein „pro Sekunde" hinzu:

[s]=m[v]=ms[a]=ms2[s] = \text{m} \qquad [v] = \frac{\text{m}}{\text{s}} \qquad [a] = \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Die merkwürdige Einheit ms2\frac{\text{m}}{\text{s}^2} ist also kein Zufall. Sie bedeutet „Meter pro Sekunde, pro Sekunde", also Geschwindigkeitsänderung je Sekunde.

Das Bild unten zeigt alle drei Größen für einen senkrechten Wurf.

Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a

xy123-3-2-11234s(t)v(t)a(t)Umkehr: v=0

Die Ableitungskette der Bewegung: s(t)s(t) (Weg, grün) →′v(t)=s′(t)\xrightarrow{'} v(t)=s'(t) (Geschwindigkeit, blau) →′a(t)=v′(t)=s′′(t)\xrightarrow{'} a(t)=v'(t)=s''(t) (Beschleunigung, rot, hier konstant). Wo v=0v=0 (bei t=2t=2), kehrt die Bewegung um. Dort hat ss sein Maximum.

Was die Vorzeichen über die Bewegung verraten

In Physikaufgaben musst du aus Zahlen auf den Bewegungsablauf schließen. Dabei helfen die Vorzeichen, und sie bedeuten bei vv und aa etwas ganz Verschiedenes.

Größepositivnegativnull
v(t)v(t)Bewegung vorwärtsBewegung rückwärtsStillstand (Umkehrpunkt)
a(t)a(t)Geschwindigkeit nimmt zuGeschwindigkeit nimmt abkonstante Geschwindigkeit

Die Kombination entscheidet

Der häufigste Denkfehler ist, negative Beschleunigung mit „langsamer werden" gleichzusetzen. Entscheidend ist das Zusammenspiel beider Vorzeichen:

  • v>0v > 0 und a>0a > 0: vorwärts, wird schneller
  • v>0v > 0 und a<0a < 0: vorwärts, wird langsamer (Bremsen)
  • v<0v < 0 und a<0a < 0: rückwärts, wird schneller (rückwärts beschleunigen)
  • v<0v < 0 und a>0a > 0: rückwärts, wird langsamer

Die Merkregel: Haben vv und aa dasselbe Vorzeichen, wird die Bewegung schneller; bei verschiedenen Vorzeichen langsamer. Das leuchtet ein, die Beschleunigung wirkt dann gegen die Bewegungsrichtung.

Zwei besondere Momente

v(t)=0v(t) = 0, der Umkehrpunkt. Der Körper steht für einen Augenblick still und wechselt die Richtung. Beim senkrechten Wurf ist das der höchste Punkt: Dort ist die Geschwindigkeit null, die Beschleunigung durch die Schwerkraft wirkt aber weiter, deshalb fällt der Ball anschließend zurück.

Beachte den Zusammenhang zur : v(t)=s′(t)=0v(t) = s'(t) = 0 ist genau die Bedingung für einen von ss. Der Umkehrpunkt der Bewegung ist der Hochpunkt der Weg-Zeit-Kurve.

a(t)=0a(t) = 0 mit Vorzeichenwechsel, das Tempo-Extremum. Hier ist die Geschwindigkeit maximal oder minimal. Und weil a=v′a = v' ist, entspricht das einem Extrempunkt von vv, beziehungsweise einem von ss.

Der rote Faden: Umkehrpunkt der Bewegung = Extrempunkt von ss · schnellster Moment = Wendepunkt von ss. Die gesamte Kurvendiskussion bekommt hier eine physikalische Bedeutung.

Prüfe dich: Ein Fahrzeug hat die Geschwindigkeit minus 4 Meter pro Sekunde und die Beschleunigung minus 2 Meter pro Sekunde Quadrat. Wird es schneller oder langsamer?

Schneller, auch wenn beide Zahlen negativ sind.

Sortiere mit der Vorzeichen-Tabelle: v=−4 msv = -4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} heißt, das Fahrzeug fährt rückwärts. a=−2 ms2a = -2\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} heißt, die Geschwindigkeit nimmt weiter ab, von −4-4 geht es Richtung −6-6, −8-8, … Der Rückwärtsgang wird also immer flotter: gleiches Vorzeichen → schneller.

Nach einer Sekunde wäre v=−6 msv = -6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, das Tempo (der Betrag) ist von 44 auf 66 gestiegen.

Genau deshalb ist „negatives aa = bremsen" nur die halbe Wahrheit: Sie stimmt bei Vorwärtsfahrt. Entscheidend ist, ob aa mit der Bewegungsrichtung wirkt (schneller) oder gegen sie (langsamer).

Mittlere und momentane Geschwindigkeit, und der freie Fall

Die Unterscheidung vom Anfang der Analysis kommt hier zu ihrer eigentlichen Anwendung. Beide Begriffe beschreiben Geschwindigkeit, meinen aber Verschiedenes:

Formelbeantwortet
mittlere Geschwindigkeitvˉ=s(t2)−s(t1)t2−t1\bar{v} = \dfrac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}Wie schnell im über eine Zeitspanne?
momentane Geschwindigkeitv(t0)=s′(t0)v(t_0) = s'(t_0)Wie schnell genau jetzt?

Woran du sie in Aufgaben erkennst: Ist ein Zeitraum genannt („zwischen der 2. und 5. Sekunde", „auf den ersten 100 km100\,\text{km}"), ist die mittlere Geschwindigkeit gefragt, du brauchst den . Ist ein Zeitpunkt genannt („nach 3 Sekunden", „beim Aufprall"), ist es die momentane, du brauchst die .

Der freie Fall als Musterbeispiel

Lässt man einen Körper ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen (und vernachlässigt den Luftwiderstand), gilt für den zurückgelegten Weg:

s(t)=12gt2mitg≈9,81 ms2s(t) = \frac{1}{2} g t^2 \qquad\text{mit}\qquad g \approx 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Leite das zweimal ab, mit der Potenzregel, gg und 12\frac{1}{2} sind nur konstante Faktoren:

v(t)=s′(t)=12g⋅2t=g⋅ta(t)=v′(t)=gv(t) = s'(t) = \frac{1}{2} g \cdot 2t = g \cdot t \qquad\qquad a(t) = v'(t) = g

Was diese drei Zeilen aussagen

Die Beschleunigung ist konstant. a(t)=ga(t) = g enthält kein tt mehr, der Körper wird die ganze Zeit gleich stark beschleunigt. Das ist die Erdanziehung, und sie ändert sich während des Falls praktisch nicht.

Die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig. v(t)=g⋅tv(t) = g \cdot t ist eine : Pro Sekunde kommen rund 9,81 ms9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}} dazu. Nach einer Sekunde fällt der Körper mit knapp 10 ms10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, nach zwei Sekunden mit knapp 2020.

Der Weg wächst quadratisch. In der ersten Sekunde sind es rund 4,9 m4{,}9\,\text{m}, in den ersten zwei Sekunden aber nicht doppelt so viel, sondern 19,6 m19{,}6\,\text{m}, viermal so viel. Deshalb werden Fallhöhen so schnell gefährlich.

Der Zusammenhang zum Kapitel: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind hier drei Funktionen desselben Vorgangs, verbunden durch das Ableiten. Wer eine kennt, kann die anderen bestimmen, und genau das macht die Analysis in der Physik so mächtig.

Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Ein Körper bewegt sich gemäß s(t)=t3−6t2+9ts(t) = t^3 - 6t^2 + 9t (Weg in Metern, Zeit in Sekunden). Bestimme v(t)v(t), a(t)a(t) und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=1t = 1.

  1. 1

    Was die Aufgabe verlangt. Die drei Größen der Bewegung hängen über das zusammen:

    s(t)  →  ableiten    v(t)  →  ableiten    a(t)s(t) \;\xrightarrow{\;\text{ableiten}\;}\; v(t) \;\xrightarrow{\;\text{ableiten}\;}\; a(t)

    Es ist also zweimal dieselbe Rechnung, nur die Deutung der Ergebnisse ist neu.

  2. 2

    Schritt 1: Geschwindigkeit als erste Ableitung. Gliedweise mit der Potenzregel:

    v(t)=s′(t)=3t2−12t+9v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9

    Einheit: Weg pro Zeit, also ms\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    Was vv inhaltlich ist: die momentane Geschwindigkeit, der Wert, den ein Tacho zu jedem Zeitpunkt anzeigen würde.

  3. 3

    Schritt 2: Beschleunigung als zweite Ableitung. Jetzt vv ableiten (nicht ss!):

    a(t)=v′(t)=6t−12a(t) = v'(t) = 6t - 12

    Einheit: Geschwindigkeit pro Zeit, also ms2\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

    Was aa inhaltlich ist: die Änderung der Geschwindigkeit, das, was man im Auto als Andrücken oder Bremsen spürt.

  4. 4

    Schritt 3: Die Geschwindigkeit bei t=1t = 1. Setze in vv ein, nicht in ss und nicht in aa:

    v(1)=3⋅12−12⋅1+9=3−12+9=0v(1) = 3 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 9 = 3 - 12 + 9 = 0 v(1)=0 msv(1) = 0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}
  5. 5

    Schritt 4: Das Ergebnis deuten, hier steckt die eigentliche Aussage. Eine Geschwindigkeit von null bedeutet: Der Körper steht in diesem Augenblick still.

    Aber steht er dauerhaft? Prüfe die Beschleunigung dort:

    a(1)=6⋅1−12=−6≠0a(1) = 6 \cdot 1 - 12 = -6 \neq 0

    Die Geschwindigkeit ändert sich also weiter, der Körper bleibt nicht stehen, sondern kehrt um. Er hat seinen Umkehrpunkt erreicht.

    Der Zusammenhang zur : v(1)=s′(1)=0v(1) = s'(1) = 0 ist genau die Bedingung für einen von ss. Der Umkehrpunkt der Bewegung ist der Hochpunkt der Weg-Zeit-Kurve, mit s(1)=1−6+9=4 ms(1) = 1 - 6 + 9 = 4\,\text{m} erreicht der Körper hier die größte Entfernung dieser ersten Bewegungsphase (nach der zweiten Umkehr bei t=3t = 3 fährt er wieder vorwärts und überschreitet die Marke später).

v(t)=3t2−12t+9v(t) = 3t^2 - 12t + 9 (in ms\frac{\text{m}}{\text{s}}) · a(t)=6t−12a(t) = 6t - 12 (in ms2\frac{\text{m}}{\text{s}^2}) · v(1)=0 msv(1) = 0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, der Körper kehrt zu diesem Zeitpunkt um.

Merke: Immer die richtige Funktion zum Einsetzen wählen. Für eine Geschwindigkeit brauchst du vv, für eine Beschleunigung aa, für eine Position ss.

Umkehrpunkte finden

Wann steht der Körper aus dem letzten Beispiel momentan still, und wann ist seine Beschleunigung null? Deute die Ergebnisse.

  1. 1

    Die beiden Fragen mathematisch übersetzen. Bei solchen Aufgaben lautet der erste Schritt immer: Welche Bedingung steckt hinter der Formulierung?

    • „steht momentan still" → die Geschwindigkeit ist null → v(t)=0v(t) = 0
    • „Beschleunigung null" → a(t)=0a(t) = 0

    Zwei , die wir getrennt lösen.

  2. 2

    Teil 1: Stillstand, also v(t)=0v(t) = 0.

    3t2−12t+9=03t^2 - 12t + 9 = 0

    Teile zuerst durch 33. Das macht die p-q-Formel bequemer:

    t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0

    Mit p=−4p = -4 und q=3q = 3:

    t1,2=2±4−3=2±1⇒t1=1,  t2=3t_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1 \qquad\Rightarrow\qquad t_1 = 1, \; t_2 = 3

    (Schneller geht es mit Vieta: zwei Zahlen mit Summe 44 und Produkt 33. Das sind 11 und 33.)

  3. 3

    Teil 1 deuten. Der Körper steht bei t=1 st = 1\,\text{s} und bei t=3 st = 3\,\text{s} momentan still. An beiden Stellen kehrt er um.

    Zwischen diesen Zeitpunkten muss er sich also rückwärts bewegen. Prüfen wir das mit einem Testwert:

    v(2)=3⋅4−24+9=−3<0  ✓v(2) = 3 \cdot 4 - 24 + 9 = -3 < 0 \;\checkmark

    Tatsächlich negativ, der Körper läuft zwischen der ersten und dritten Sekunde zurück.

  4. 4

    Teil 2: Beschleunigung null, also a(t)=0a(t) = 0.

    6t−12=0⇒t=26t - 12 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = 2

    Dieser Zeitpunkt liegt genau zwischen den beiden Umkehrpunkten.

  5. 5

    Teil 2 deuten, was bedeutet a=0a = 0? Die Beschleunigung ist die von vv. Wo sie null wird und das Vorzeichen wechselt, hat die Geschwindigkeit ein Extremum.

    Prüfen wir den Vorzeichenwechsel: a(1)=−6<0a(1) = -6 < 0 und a(3)=+6>0a(3) = +6 > 0, also Wechsel von −- nach ++, das bedeutet ein Minimum von vv.

    v(2)=−3 msv(2) = -3\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}

    Bei t=2 st = 2\,\text{s} ist die Geschwindigkeit am kleinsten, der Körper bewegt sich dort am schnellsten rückwärts.

    Vorsicht bei der Formulierung: „Minimum der Geschwindigkeit" heißt hier nicht „langsamste Bewegung". Weil vv negativ ist, ist das Tempo dort betragsmäßig maximal. Wer nur auf das Wort „Minimum" schaut, deutet es falsch.

  6. 6

    Der Bogen zur . Alle drei Ergebnisse sind bekannte Begriffe in neuem Gewand:

    BewegungBedingungin der Kurvendiskussion von ss
    Umkehrpunkte (t=1t = 1 und t=3t = 3)s′(t)=0s'(t) = 0
    schnellste Rückwärtsbewegung (t=2t = 2)s′′(t)=0s''(t) = 0

    Die Bewegungsaufgabe ist also eine Kurvendiskussion mit physikalischer Deutung, mehr nicht.

Stillstand (Umkehrpunkte) bei t=1 st = 1\,\text{s} und t=3 st = 3\,\text{s}; die Beschleunigung ist bei t=2 st = 2\,\text{s} null. Dort ist die Geschwindigkeit mit v(2)=−3 msv(2) = -3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} minimal, das Rückwärtstempo also am größten.

Übersetzungshilfe für alle Bewegungsaufgaben: „steht still" → v=0v = 0 · „konstante Geschwindigkeit" oder „Tempo-Extremum" → a=0a = 0 · „am weitesten entfernt" → Extrempunkt von ss.

Typischer Fehler

„Bei t=2t = 2 ist a(2)=0a(2) = 0, also steht der Körper still."

Verwechslung von Geschwindigkeit und Beschleunigung! a=0a = 0 heißt: Das Tempo ändert sich gerade nicht (konstante Geschwindigkeit im Moment), nicht, dass der Körper steht. Stillstand ist v=0v = 0. Bei t=2t = 2 bewegt sich der Körper sogar (mit v(2)=−3 msv(2) = -3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}), nur beschleunigt er in diesem Augenblick nicht. Immer sauber trennen: vv = Tempo, aa = Tempo-Änderung.

Übung 1

leicht

s(t)=4t2s(t) = 4t^2 (Meter, Sekunden). Bestimme v(t)v(t) und a(t)a(t).

Tipp anzeigen

Zweimal .

Lösung anzeigen

v(t)=s′(t)=8tv(t) = s'(t) = 8t (m/s)

a(t)=v′(t)=8a(t) = v'(t) = 8 (m/s²), konstante Beschleunigung.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Geschwindigkeit = Ableitung des Weges

    Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderungsrate des Weges, also seine Ableitung: v(t)=s′(t)=8tv(t) = s'(t) = 8t (in m/s).

  2. 2

    Beschleunigung = Ableitung der Geschwindigkeit

    a(t)=v′(t)=8a(t) = v'(t) = 8 (in m/s²), konstante Beschleunigung.

    a(t)=(8t)′=8a(t) = (8t)' = 8

  3. 3

    Die Einheiten-Kette prüfen

    ss in m → v=s′v = s' in m/s → a=v′a = v' in m/s². Jede Ableitung teilt eine weitere Zeiteinheit heraus.

Übung 2

mittel

Ein Ball wird hochgeworfen: s(t)=20t−5t2s(t) = 20t - 5t^2 (Höhe in Metern). a) Wann erreicht er die maximale Höhe? b) Wie hoch fliegt er? c) Mit welcher Geschwindigkeit startet er?

Tipp anzeigen

Maximale Höhe: v(t)=0v(t) = 0.

Lösung anzeigen

v(t)=20−10tv(t) = 20 - 10t. a) v=0⇒t=2 sv = 0 \Rightarrow t = 2\,\text{s}.

b) s(2)=40−20=20 ms(2) = 40 - 20 = 20\,\text{m} maximale Höhe.

c) v(0)=20 msv(0) = 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} Anfangsgeschwindigkeit.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Oben ist v = 0

    v(t)=s′(t)=20−10tv(t) = s'(t) = 20 - 10t. Am höchsten Punkt steht der Ball momentan still: 20−10t=0⇒t=220 - 10t = 0 \Rightarrow t = 2 s.

  2. 2

    b) Höhe zum Zeitpunkt t = 2

    s(2)=20⋅2−5⋅4=40−20=20s(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20 m maximale Höhe.

    s(2)=40−20=20s(2) = 40 - 20 = 20

    Zwischenergebnis

    hmax⁡=20h_{\max} = 20 m

  3. 3

    c) Startgeschwindigkeit ablesen

    v(0)=20−0=20v(0) = 20 - 0 = 20 m/s, die Anfangsgeschwindigkeit.

Übung 3

schwer

Ein Zug fährt gemäß s(t)=0,5t3−6t2+24ts(t) = 0{,}5t^3 - 6t^2 + 24t (Meter, ab t=0t=0). a) Bestimme v(t)v(t) und a(t)a(t). b) Wann ist der Zug am langsamsten (ohne zu halten)? c) Interpretiere aa zu diesem Zeitpunkt.

Tipp anzeigen

b) Minimum von vv: a(t)=0a(t) = 0.

Lösung anzeigen

a) v(t)=1,5t2−12t+24v(t) = 1{,}5t^2 - 12t + 24; a(t)=3t−12a(t) = 3t - 12.

b) a(t)=3t−12=0⇒t=4 sa(t) = 3t - 12 = 0 \Rightarrow t = 4\,\text{s}. Da aa dort von −- nach ++ wechselt, hat vv ein Minimum: v(4)=24−48+24=0 msv(4) = 24 - 48 + 24 = 0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, der Zug kommt bei t=4t=4 momentan zum Stehen (Grenzfall).

c) Bei t=4t = 4 ist a=0a = 0: Der Zug hört auf zu bremsen und beginnt wieder zu beschleunigen, der der Bewegung.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Beide Ableitungen bilden

    v(t)=s′(t)=1,5t2−12t+24v(t) = s'(t) = 1{,}5t^2 - 12t + 24 und a(t)=v′(t)=3t−12a(t) = v'(t) = 3t - 12.

    v=s′,a=v′v = s', \quad a = v'

  2. 2

    b) Am langsamsten: Minimum von v

    Gesucht ist das MINIMUM von vv: Kandidat bei v′(t)=a(t)=3t−12=0⇒t=4v'(t) = a(t) = 3t - 12 = 0 \Rightarrow t = 4 s. Dort wechselt aa von −- nach ++ → tatsächlich Minimum. v(4)=24−48+24=0v(4) = 24 - 48 + 24 = 0 m/s.

    3t−12=0⇒t=4,v(4)=03t - 12 = 0 \Rightarrow t = 4, \quad v(4) = 0

  3. 3

    c) a = 0 deuten

    Bei t=4t = 4 ist a=0a = 0: Der Zug hört auf zu bremsen und beginnt wieder zu beschleunigen, der Umschlagpunkt der Bewegung.

Zusammenfassung

Bewegung ist : Der Weg s(t)s(t) wird durch Ableiten zur Geschwindigkeit v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) und weiter zur Beschleunigung a(t)=s′′(t)a(t) = s''(t). v=0v = 0 markiert Umkehr- und Haltepunkte, a=0a = 0 (mit VZW) Extrema der Geschwindigkeit. Geschwindigkeit (Tempo) und Beschleunigung (Tempo-Änderung) niemals verwechseln, die Einheiten ms\frac{\text{m}}{\text{s}} und ms2\frac{\text{m}}{\text{s}^2} helfen dabei.