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Stochastik

Zufallsgrößen und Erwartungswert

Lohnt sich das Spiel? Zufallsgrößen, Verteilungen und der Erwartungswert.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

„Einsatz 2 €, bei einer Sechs gibt's 10 €!" Lohnt sich das? Um Glücksspiele, Versicherungen und Lotterien zu durchschauen, übersetzt man Zufall in Zahlen: Die Zufallsgröße misst, was du gewinnst; ihr Erwartungswert verrät den auf lange Sicht. Spoiler: Das Casino kennt ihn ganz genau.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, was eine Zufallsgröße ist.

  • die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße als Tabelle aufstellen.

  • den Erwartungswert E(X)E(X) berechnen und interpretieren.

  • beurteilen, ob ein Spiel fair ist.

Zufall in Zahlen übersetzen

Bisher waren die Ergebnisse von Zufallsexperimenten oft Wörter: „Kopf", „rot", „eine Sechs". Damit lässt sich schlecht rechnen. Man kann keinen aus „Kopf" und „Zahl" bilden.

Genau deshalb übersetzt man den Zufall in Zahlen. Das leistet die Zufallsgröße:

Eine Zufallsgröße XX ordnet jedem Ergebnis eines eine Zahl zu.

Beispiele

ZufallsexperimentZufallsgröße XXmögliche Werte
Würfelspiel mit Einsatzdein Gewinn in Euro−2-2 oder +8+8
zwei werfendie Augensumme2,3,…,122, 3, \ldots, 12
10-mal eine Münze werfenAnzahl der Kopf-Würfe0,1,…,100, 1, \ldots, 10

Was ist daran neu? Die Zufallsgröße ist eine , keine Zahl. Erst wenn das Experiment durchgeführt wurde, steht ein konkreter Wert fest. Deshalb schreibt man das Ergebnis als X=7X = 7 und nennt XX selbst großgeschrieben, die konkreten Werte klein (x1,x2,…x_1, x_2, \ldots).

Warum sich das lohnt: Sobald Ergebnisse Zahlen sind, kannst du mit ihnen rechnen: Durchschnitte bilden, Spiele vergleichen, Risiken bewerten. Genau darum geht es in diesem Kapitel.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung: die Übersicht aller Möglichkeiten

Wenn eine Zufallsgröße verschiedene Werte annehmen kann, reicht es nicht zu wissen welche. Man muss auch wissen, wie wahrscheinlich jeder davon ist. Beides zusammen heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Nimm das Würfelspiel aus der Einführung: 22 € Einsatz, bei einer Sechs bekommst du 1010 € ausgezahlt.

Zuerst die Werte bestimmen, und zwar den Gewinn, nicht die Auszahlung:

  • Sechs (Auszahlung 1010 €, Einsatz 22 €): Gewinn +8+8 €
  • keine Sechs (keine Auszahlung, Einsatz weg): Gewinn −2-2 €

Der häufigste Fehler an dieser Stelle: die Auszahlung 1010 € statt des Gewinns 88 € einzutragen. Der Einsatz ist immer schon bezahlt. Er muss abgezogen werden.

Dann die : Eine Sechs bei einem fairen hat 16\frac{1}{6}, keine Sechs entsprechend 56\frac{5}{6}.

Gewinn xix_i (€)−2-2+8+8
P(X=xi)P(X = x_i)56\frac{5}{6}16\frac{1}{6}

Die eingebaute Kontrolle: Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen müssen genau 11 ergeben, hier 56+16=1\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1 ✓

Warum muss das so sein? Weil irgendetwas ja passieren muss. Die Verteilung listet alle möglichen Fälle auf, und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass überhaupt einer davon eintritt, ist 100 %100\,\%. Kommt bei dir weniger heraus, hast du einen Fall vergessen; kommt mehr heraus, hast du Fälle doppelt gezählt.

Das Säulendiagramm unten zeigt dieselbe Verteilung als Bild.

00,250,50,751P(X = x)−2 €+8 €

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gewinns: P(X=−2)=56P(X = -2) = \tfrac{5}{6}, P(X=8)=16P(X = 8) = \tfrac{1}{6} (Summe =1= 1). Der Erwartungswert gewichtet jeden Wert mit seiner : E(X)=(−2)⋅56+8⋅16=−26≈−0,33E(X) = (-2)\cdot\tfrac{5}{6} + 8\cdot\tfrac{1}{6} = -\tfrac{2}{6} \approx -0{,}33 €, auf lange Sicht ein Verlust.

Der Erwartungswert, ein Durchschnitt mit Gewichten

Jetzt die eigentliche Frage: Lohnt sich das Spiel? Ein einzelnes Spiel sagt darüber nichts, mal gewinnst du, mal verlierst du. Interessant ist, was auf lange Sicht herauskommt.

Warum der normale Durchschnitt nicht funktioniert

Beim Würfelspiel sind zwei Ergebnisse möglich: −2-2 € oder +8+8 €. Der gewöhnliche wäre

−2+82=3\frac{-2 + 8}{2} = 3 €

Dieses Ergebnis kann nicht stimmen, es behauptet, du würdest pro Spiel 33 € gewinnen, obwohl du in fünf von sechs Fällen verlierst. Der Fehler steckt darin, dass diese Rechnung beide Ergebnisse als gleich häufig behandelt. Tatsächlich tritt der Verlust aber fünfmal so oft ein wie der Gewinn.

Die Lösung: jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichten

Stell dir 600600 Spiele vor. Dann tritt (im Schnitt) ein:

  • 500500-mal der Verlust von 22 € → −1 000-1\,000 €
  • 100100-mal der Gewinn von 88 € → +800+800 €

Zusammen: −200-200 € auf 600600 Spiele, also −200600≈−0,33-\frac{200}{600} \approx -0{,}33 € pro Spiel.

Dieselbe Rechnung ohne den Umweg über 600600: Multipliziere jeden Wert mit seiner und addiere alles auf. Das ist der Erwartungswert:

E(X)=x1⋅p1+x2⋅p2+…+xn⋅pnE(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n

E(X)=(−2)⋅56+8⋅16=−106+86=−26≈−0,33E(X) = (-2) \cdot \frac{5}{6} + 8 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{10}{6} + \frac{8}{6} = -\frac{2}{6} \approx -0{,}33 €

Die Wahrscheinlichkeiten sind also die Gewichte: Was häufiger passiert, zählt stärker. Deshalb heißt der Erwartungswert auch gewichteter Mittelwert.

Wie du ihn richtig deutest

Er sagt etwas über viele Spiele, nicht über eines. In einem einzelnen Spiel verlierst du 22 € oder gewinnst 88 €, niemals 0,330{,}33 €. Erst über hunderte Spiele nähert sich dein durchschnittliches Ergebnis diesem Wert an.

Er muss selbst kein möglicher Wert sein. −0,33-0{,}33 € kommt in keiner einzelnen Runde vor. Genauso ist die durchschnittliche Kinderzahl pro Familie 1,41{,}4, obwohl niemand 1,41{,}4 Kinder hat.

Das Vorzeichen entscheidet: E(X)<0E(X) < 0 bedeutet, dass du auf Dauer verlierst, hier 3333 Cent pro Spiel. Bei 1 0001\,000 Spielen sind das rund 330330 €. Genau mit dieser Rechnung kalkulieren Spielbanken.

Faire Spiele, und warum es keine gibt

Mit dem Erwartungswert lässt sich die Ausgangsfrage endlich beantworten: Ist ein Spiel fair?

Die Definition

Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn null ist: E(X)=0E(X) = 0.

Das bedeutet: Auf lange Sicht gewinnt und verliert niemand, weder du noch der Anbieter. Einsatz und erwartete Auszahlung halten sich exakt die Waage.

Achte auf die Größe, die du betrachtest: Fair heißt E(X)=0E(X) = 0 für den Gewinn (Auszahlung minus Einsatz), nicht für die Auszahlung. Wer den Einsatz vergisst, hält jedes Spiel für fair.

So findest du den fairen Einsatz

Aus der Bedingung wird eine . Ist AA die erwartete Auszahlung und ee der Einsatz, dann gilt:

E(X)=A−e=0⇒e=AE(X) = A - e = 0 \qquad\Rightarrow\qquad e = A

Der faire Einsatz ist also genau die erwartete Auszahlung. Beim Würfelspiel mit 1010 € bei einer Sechs wäre die erwartete Auszahlung 10⋅16≈1,6710 \cdot \frac{1}{6} \approx 1{,}67 €, bei diesem Einsatz wäre das Spiel fair. Verlangt werden aber 22 €, und genau diese Differenz von 3333 Cent ist der Verlust, den wir oben berechnet haben.

Warum reale Glücksspiele nie fair sind

Spielbanken, Lotterien und Automaten müssen Personal, Räume und Gewinn bezahlen. Deshalb ist dort E(X)E(X) für die Spielenden immer negativ, die Differenz ist der kalkulierte Gewinn des Anbieters.

Beim deutschen Lotto liegt die Auszahlungsquote bei etwa 50 %50\,\%: Von jedem eingesetzten Euro fließen im Schnitt nur rund 5050 Cent als Gewinne zurück. Der Erwartungswert beträgt also etwa −0,50-0{,}50 € pro Euro Einsatz, und daran ändert auch keine Strategie etwas, weil die Zahlen keinem Muster folgen.

Der entscheidende Punkt: Diese Rechnung ist kein Werturteil über das Spielen. Sie zeigt nur nüchtern, was auf lange Sicht passiert. Wer ein Spiel als Unterhaltung bezahlt, kann das wissen, wer auf Gewinn hofft, sollte es wissen.

Versicherungen: dasselbe Prinzip, umgekehrt gedacht

Auch bei einer Versicherung ist dein Erwartungswert negativ, du zahlst im Schnitt mehr Beitrag, als du an Leistung erhältst. Sonst könnte die Versicherung nicht existieren.

Trotzdem ist der Abschluss vernünftig, und das ist kein Widerspruch. Du tauschst einen kleinen sicheren Verlust (den Beitrag) gegen die Absicherung vor einem seltenen, aber existenzbedrohenden Schaden. Der Erwartungswert allein misst eben nicht alles. Er sagt nichts über das Risiko aus. Genau deshalb betrachtet man in der Oberstufe zusätzlich die Streuung.

Denk weiter: Spiel A: plus oder minus 1 Euro, je zur Hälfte. Spiel B: mit 99 Prozent plus 1 Euro, mit 1 Prozent minus 99 Euro. Sind beide fair, und warum fühlen sie sich so verschieden an?

Versuch es erst selbst, rechne beide Erwartungswerte nach.

Spiel A: E(X)=1⋅12+(−1)⋅12=0E(X) = 1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 0 ✓

Spiel B: E(X)=1⋅0,99+(−99)⋅0,01=0,99−0,99=0E(X) = 1 \cdot 0{,}99 + (-99) \cdot 0{,}01 = 0{,}99 - 0{,}99 = 0 ✓

Beide Spiele sind fair, nach der Definition des Kapitels sind sie sogar völlig gleichwertig: Auf lange Sicht gewinnt und verliert in beiden niemand.

Und trotzdem würde kaum jemand beide gleich behandeln. Bei Spiel A kannst du pro Runde höchstens 11 € verlieren. Bei Spiel B gewinnst du fast immer einen Euro, aber ungefähr jede hundertste Runde reißt dir 9999 € weg. Wer mit 5050 € in der Tasche spielt, kann bei A nie ruiniert werden, bei B schon beim ersten Pechfall.

Was der Erwartungswert hier nicht sieht: Er verrechnet den seltenen großen Verlust mit den vielen kleinen Gewinnen zu einer einzigen Zahl, die Schwankung um diese Zahl herum ist für ihn unsichtbar. Genau das meint der Versicherungs-Absatz oben: Eine Versicherung nimmt dir das Spiel-B-Risiko ab und verkauft dir dafür den kleinen, sicheren Verlust, aus gutem Grund, obwohl ihr Erwartungswert für dich negativ ist.

Die Moral in zwei Sätzen: Der Erwartungswert ist der richtige Berater für viele Wiederholungen, dafür wurde er gebaut. Für das Risiko einer einzelnen Runde ist er blind; das misst erst die Streuung, die in der Oberstufe dazukommt.

Glücksrad-Spiel bewerten

Ein Glücksrad hat 1010 gleich große Felder: einmal „2020 €", viermal „55 €" und fünfmal „00 €". Der Einsatz beträgt 44 €. Stelle die Verteilung des Gewinns auf, berechne E(X)E(X) und entscheide, ob das Spiel fair ist.

  1. 1

    Zuerst der Punkt, an dem die meisten Fehler passieren: Auszahlung ist nicht Gewinn.

    Der Einsatz von 44 € ist bezahlt, bevor sich das Rad dreht. Er ist in jedem Fall weg. Der Gewinn ist deshalb immer

    Gewinn=Auszahlung−Einsatz\text{Gewinn} = \text{Auszahlung} - \text{Einsatz}

    Die Aufgabe fragt ausdrücklich nach der Verteilung des Gewinns, also müssen alle Auszahlungen umgerechnet werden.

  2. 2

    Die drei möglichen Gewinne berechnen.

    FeldAuszahlungGewinn
    „2020 €"2020 €20−4=1620 - 4 = 16 €
    „55 €"55 €5−4=15 - 4 = 1 €
    „00 €"00 €0−4=−40 - 4 = -4 €

    Der letzte Wert ist negativ, bei einer Niete verlierst du deinen Einsatz. Solche negativen Werte gehören ausdrücklich dazu.

  3. 3

    Die Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Alle 1010 Felder sind gleich groß, jedes hat also 110\frac{1}{10}. Jetzt zählen wir, wie viele Felder zu jedem Gewinn gehören:

    P(X=16)=110=0,1P(X=1)=410=0,4P(X=−4)=510=0,5P(X = 16) = \tfrac{1}{10} = 0{,}1 \qquad P(X = 1) = \tfrac{4}{10} = 0{,}4 \qquad P(X = -4) = \tfrac{5}{10} = 0{,}5

    Die Pflichtkontrolle: Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen müssen 11 ergeben:

    0,1+0,4+0,5=1  ✓0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}5 = 1 \;\checkmark

    Stimmt das nicht, hast du einen Fall vergessen oder doppelt gezählt.

  4. 4

    Den Erwartungswert ansetzen. Jeder Gewinn wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet, dann wird summiert:

    E(X)=16⋅0,1+1⋅0,4+(−4)⋅0,5E(X) = 16 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}4 + (-4) \cdot 0{,}5
  5. 5

    Die drei Produkte einzeln ausrechnen, und dabei auf das Vorzeichen im letzten achten:

    16⋅0,1=1,61⋅0,4=0,4(−4)⋅0,5=−216 \cdot 0{,}1 = 1{,}6 \qquad 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}4 \qquad (-4) \cdot 0{,}5 = -2 E(X)=1,6+0,4−2=0E(X) = 1{,}6 + 0{,}4 - 2 = 0
  6. 6

    Ergebnis deuten und die Frage beantworten. Ein Spiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn null ist, genau das liegt hier vor.

    Was das praktisch bedeutet: Auf lange Sicht gewinnt und verliert weder der Spieler noch der Anbieter etwas. In einzelnen schwankt das Ergebnis natürlich stark: meistens 44 € Verlust, gelegentlich 1616 € Gewinn.

    Die Einheit gehört dazu: Der Erwartungswert ist ein Geldbetrag, also 00 € pro Spiel.

E(X)=0E(X) = 0 €, das Spiel ist fair.

Das Vorgehen bei jeder Spielbewertung: Auszahlungen in Gewinne umrechnen (Einsatz abziehen!) → zuordnen → Kontrollsumme 11 prüfen → gewichtet aufsummieren → Vorzeichen deuten.

Augensumme zweier Würfel

Zwei werden geworfen, XX sei die Augensumme. Bestimme P(X=7)P(X = 7) und begründe, warum E(X)=7E(X) = 7 plausibel ist.

  1. 1

    Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Zu jedem der sechs Ergebnisse des ersten Würfels sind sechs des zweiten möglich:

    6⋅6=36 Kombinationen6 \cdot 6 = 36 \text{ Kombinationen}

    Dabei betrachtet man die Würfel als unterscheidbar (etwa einen roten und einen blauen). Nur dann ist jede der 3636 Kombinationen gleich wahrscheinlich, und nur dann darf man „günstige durch mögliche" rechnen.

  2. 2

    Die günstigen Kombinationen für die Summe 77 auflisten. Systematisch nach dem ersten Würfel sortiert, damit keine fehlt:

    (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)(1{,}6) \quad (2{,}5) \quad (3{,}4) \quad (4{,}3) \quad (5{,}2) \quad (6{,}1)

    Das sind sechs Kombinationen.

    Warum (3,4)(3{,}4) und (4,3)(4{,}3) getrennt zählen: Es sind verschiedene Ergebnisse, einmal zeigt der rote Würfel die 33, einmal die 44. Wer sie zusammenfasst, zählt zu wenig.

  3. 3

    Die berechnen.

    P(X=7)=gu¨nstigemo¨gliche=636=16≈16,7 %P(X = 7) = \frac{\text{günstige}}{\text{mögliche}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%

    Zum Vergleich: Für die Summe 22 gibt es nur eine Kombination, also 136\frac{1}{36}. Die 77 ist damit die häufigste Augensumme. Sie hat die meisten Möglichkeiten.

  4. 4

    Nun der Erwartungswert, auf dem kurzen Weg. Man könnte alle elf Summen mit ihren Wahrscheinlichkeiten aufsummieren. Einfacher ist es, zuerst einen Würfel zu betrachten. Alle sechs Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich:

    E=1+2+3+4+5+66=216=3,5E = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5
  5. 5

    Für zwei Würfel addieren sich die Erwartungswerte:

    E(X)=3,5+3,5=7E(X) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7

    Warum darf man das? Weil die Augensumme die Summe der Einzelergebnisse ist, und für Summen addieren sich die Erwartungswerte. Das ist eine der nützlichsten Eigenschaften des Erwartungswerts. (Ihren allgemeinen Beweis führen wir hier nicht, deshalb gleich noch eine zweite, unabhängige Begründung, die das Ergebnis ohne diese Regel stützt.)

    Zweite Begründung über die Symmetrie: Die möglichen Summen reichen von 22 bis 1212, und die Verteilung ist symmetrisch (P(X=2)=P(X=12)P(X=2) = P(X=12) und so weiter). Bei einer symmetrischen Verteilung liegt der Erwartungswert in der Mitte, und die Mitte zwischen 22 und 1212 ist 77 ✓

P(X=7)=16P(X = 7) = \frac{1}{6} und E(X)=7E(X) = 7.

Beachte den Unterschied: P(X=7)P(X=7) sagt, wie häufig die 77 vorkommt. E(X)=7E(X) = 7 sagt, was im herauskommt. Dass hier beide Male die 77 auftaucht, liegt an der Symmetrie. Das ist keine Selbstverständlichkeit.

Einsatz für ein faires Spiel bestimmen

Bei einem Würfelspiel wird die geworfene Augenzahl in Euro ausgezahlt. Welcher Einsatz ee macht das Spiel fair?

  1. 1

    Was ist hier anders? Bisher war der Einsatz gegeben und der Erwartungswert gesucht. Jetzt ist es umgekehrt: Der Erwartungswert soll null sein (Fairness-Bedingung), gesucht ist der Einsatz.

    Aus einer Berechnung wird damit eine .

  2. 2

    Zuerst die erwartete Auszahlung. Jede Augenzahl von 11 bis 66 wird mit derselben 16\frac{1}{6} ausgezahlt:

    EAuszahlung=1+2+3+4+5+66=216=3,50E_{\text{Auszahlung}} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}50 €

    Im bekommst du also 3,503{,}50 € pro Spiel zurück.

  3. 3

    Die Fairness-Bedingung aufstellen. Der Gewinn ist Auszahlung minus Einsatz, und er soll im Erwartungswert null sein:

    E(X)=3,50−e=0E(X) = 3{,}50 - e = 0
  4. 4

    Nach ee auflösen.

    3,50−e=0∣  +e3,50=e\begin{aligned} 3{,}50 - e &= 0 &&|\; +e \\ 3{,}50 &= e \end{aligned}

    Der faire Einsatz beträgt 3,503{,}50 €.

    Inhaltlich einleuchtend: Der faire Einsatz ist genau das, was du im Schnitt zurückbekommst. Jeder andere Betrag verschafft einer Seite einen systematischen Vorteil.

  5. 5

    Das Ergebnis einordnen. Was passiert bei einem anderen Einsatz?

    • unter 3,503{,}50 € → E(X)>0E(X) > 0: Auf Dauer gewinnt der Spieler. Kein Anbieter würde das anbieten.
    • über 3,503{,}50 € → E(X)<0E(X) < 0: Auf Dauer gewinnt der Anbieter, so funktionieren reale Glücksspiele.

    Bei einem Einsatz von 44 € wäre E(X)=−0,50E(X) = -0{,}50 €; der Anbieter verdiente also im Schnitt 5050 Cent pro Spiel.

Bei einem Einsatz von 3,503{,}50 € ist das Spiel fair.

Die Kernidee: Der faire Einsatz ist immer gleich der erwarteten Auszahlung. Die Differenz zum tatsächlich verlangten Einsatz ist der einkalkulierte Gewinn des Anbieters.

Typischer Fehler

„E(X)=−0,33E(X) = -0{,}33 €? Unsinn. Man kann doch nur −2-2 oder +8+8 bekommen, niemals −0,33-0{,}33!"

Der Erwartungswert ist ein , kein möglicher Einzelwert! Wie die Durchschnittsfamilie mit 1,4 Kindern: Kein realer Wurf liefert −0,33-0{,}33 €, aber nach 600 Spielen liegst du ziemlich sicher bei etwa −200-200 €, im Schnitt eben −0,33-0{,}33 pro Spiel. Genau deshalb ist E(X)E(X) die richtige Größe für Langzeit-Entscheidungen.

Übung 1

leicht

Eine Zufallsgröße hat die Verteilung: P(X=0)=0,5P(X=0) = 0{,}5, P(X=2)=0,3P(X=2) = 0{,}3, P(X=10)=0,2P(X=10) = 0{,}2. Berechne E(X)E(X).

Tipp anzeigen

Werte mal , dann addieren.

Lösung anzeigen

E(X)=0⋅0,5+2⋅0,3+10⋅0,2=0+0,6+2=2,6E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}2 = 0 + 0{,}6 + 2 = 2{,}6

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Formel: Werte mal Wahrscheinlichkeiten

    E(X)=∑xi⋅piE(X) = \sum x_i \cdot p_i: jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichten und alles addieren.

  2. 2

    Einsetzen und ausrechnen

    E(X)=0⋅0,5+2⋅0,3+10⋅0,2=0+0,6+2=2,6E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}2 = 0 + 0{,}6 + 2 = 2{,}6.

    E(X)=0⋅0,5+2⋅0,3+10⋅0,2=2,6E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}2 = 2{,}6

    Zwischenergebnis

    E(X)=2,6E(X) = 2{,}6

  3. 3

    Das Ergebnis richtig deuten

    2,62{,}6 ist der Durchschnitt auf LANGE Sicht, kein einzelnes Ergebnis: XX selbst nimmt nur 00, 22 oder 1010 an, nie 2,62{,}6.

Übung 2

mittel

Losbude: 100 Lose, davon 2 Hauptgewinne (20 €), 10 Trostpreise (2 €), Rest Nieten. Ein Los kostet 1 €. a) Verteilung des Gewinns aufstellen. b) E(X)E(X) berechnen. c) Wie viel verdient die Bude im Schnitt pro Los?

Tipp anzeigen

Gewinn: 19 €, 1 €, −1 €.

Lösung anzeigen

a) P(19)=0,02P(19) = 0{,}02; P(1)=0,1P(1) = 0{,}1; P(−1)=0,88P(-1) = 0{,}88

b) E(X)=19⋅0,02+1⋅0,1−1⋅0,88=0,38+0,1−0,88=−0,40E(X) = 19 \cdot 0{,}02 + 1 \cdot 0{,}1 - 1 \cdot 0{,}88 = 0{,}38 + 0{,}1 - 0{,}88 = -0{,}40 €

c) Die Bude verdient im Schnitt 40 Cent pro Los.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Gewinn = Auszahlung minus Einsatz

    Der GEWINN rechnet den Lospreis (1 €) mit ein: Hauptgewinn 20−1=1920 - 1 = 19 € (p=2100p = \frac{2}{100}), Trostpreis 2−1=12 - 1 = 1 € (p=10100p = \frac{10}{100}), Niete −1-1 € (p=88100p = \frac{88}{100}).

  2. 2

    b) Erwartungswert des Gewinns

    E(X)=19⋅0,02+1⋅0,1+(−1)⋅0,88=0,38+0,1−0,88=−0,40E(X) = 19 \cdot 0{,}02 + 1 \cdot 0{,}1 + (-1) \cdot 0{,}88 = 0{,}38 + 0{,}1 - 0{,}88 = -0{,}40 €.

    19⋅0,02+1⋅0,1−1⋅0,88=−0,4019 \cdot 0{,}02 + 1 \cdot 0{,}1 - 1 \cdot 0{,}88 = -0{,}40

    Zwischenergebnis

    E(X)=−0,40E(X) = -0{,}40 €

  3. 3

    c) Der Blick der Gegenseite

    Was die Käufer im Schnitt verlieren, nimmt die Bude ein: durchschnittlich 0,400{,}40 € Gewinn pro verkauftem Los.

Übung 3

schwer

Münzwurf-Spiel: Du wirfst zweimal. Zweimal Kopf → 5 € Auszahlung, einmal Kopf → 1 €, kein Kopf → nichts. a) Verteilung der Auszahlung aufstellen. b) Welcher Einsatz macht das Spiel fair? c) Beim Einsatz von 2 €: erwarteter Gewinn?

Tipp anzeigen

P(KK)=14P(KK) = \frac{1}{4}, P(genau 1 K)=12P(\text{genau 1 K}) = \frac{1}{2}.

Lösung anzeigen

a) Auszahlung: 55 (p=14p = \frac{1}{4}), 11 (p=12p = \frac{1}{2}), 00 (p=14p = \frac{1}{4})

b) E(Auszahlung)=54+12=1,75E(\text{Auszahlung}) = \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = 1{,}75 € → fairer Einsatz 1,75 €

c) E(Gewinn)=1,75−2=−0,25E(\text{Gewinn}) = 1{,}75 - 2 = -0{,}25 €, im Schnitt 25 Cent Verlust pro Runde.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Auszahlungsverteilung über die Pfadregeln

    Zweimal werfen (Klasse 8!): P(2× Kopf)=14P(\text{2× Kopf}) = \frac{1}{4}, P(genau 1× Kopf)=12P(\text{genau 1× Kopf}) = \frac{1}{2}, P(0× Kopf)=14P(\text{0× Kopf}) = \frac{1}{4}. Auszahlung: 55 € (14\frac{1}{4}), 11 € (12\frac{1}{2}), 00 € (14\frac{1}{4}).

  2. 2

    b) Fairer Einsatz = erwartete Auszahlung

    E(Auszahlung)=5⋅14+1⋅12+0⋅14=1,25+0,5=1,75E(\text{Auszahlung}) = 5 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{4} = 1{,}25 + 0{,}5 = 1{,}75 €. Fair ist das Spiel beim Einsatz 1,751{,}75 €.

    5⋅14+1⋅12=1,755 \cdot \tfrac{1}{4} + 1 \cdot \tfrac{1}{2} = 1{,}75

    Zwischenergebnis

    fairer Einsatz: 1,751{,}75 €

  3. 3

    c) Einsatz 2 €: erwarteter Verlust

    E(Gewinn)=E(Auszahlung)−Einsatz=1,75−2=−0,25E(\text{Gewinn}) = E(\text{Auszahlung}) - \text{Einsatz} = 1{,}75 - 2 = -0{,}25 €, im Schnitt 25 Cent Verlust pro Runde.

Zusammenfassung

Zufallsgrößen machen Zufall rechenbar: Die Verteilungstabelle (Summe 1!) zeigt Werte und , der Erwartungswert E(X)=∑xipiE(X) = \sum x_i p_i den Langzeit-Durchschnitt. Fair heißt E(X)=0E(X) = 0, reale Glücksspiele liegen darunter. Und E(X)E(X) ist ein , kein Versprechen: Genau das macht ihn zum besten Berater für viele Wiederholungen.