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Stochastik

Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln

Baumdiagramme mit Wahrscheinlichkeiten: multiplizieren entlang, addieren über Pfade.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie wahrscheinlich sind zwei Sechser hintereinander? Oder mindestens ein Treffer bei zwei Elfmetern? Sobald der Zufall mehrmals zuschlägt, brauchst du das Baumdiagramm mit an den Ästen, und zwei simple Regeln, die zusammen fast jede Aufgabe der Schulstochastik knacken.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Baumdiagramme mit an den Ästen beschriften.

  • die 1. Pfadregel anwenden: entlang eines Pfades multiplizieren.

  • die 2. Pfadregel anwenden: passende Pfade addieren.

  • Experimente mit und ohne Zurücklegen unterscheiden.

  • „mindestens ein …"-Aufgaben über das Gegenereignis lösen.

Das Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten

An jeden Ast schreibst du seine . Kontrolle: An jeder Verzweigung summieren sich die Astwahrscheinlichkeiten zu 1. Das Bild zeigt zwei Würfe mit „Sechs" (16\tfrac{1}{6}) und „keine Sechs" (56\tfrac{5}{6}).

1/61/65/65/61/65/66≠666≠6≠6

Zweimal : An jedem Ast steht die (an jeder Verzweigung ergeben sie zusammen 11). Nach der Produktregel ist P(6,6)=16⋅16=136P(6, 6) = \tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}, das Produkt entlang des Pfades.

Die 1. Pfadregel (Produktregel)

Die eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Zwei Sechser hintereinander:   P(6,6)=16⋅16=136\;P(6, 6) = \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}.

Warum multipliziert wird

Das lässt sich durch Abzählen nachprüfen, und danach ist die Regel keine Behauptung mehr.

Wirf zwei und schreibe alle möglichen Ergebnisse auf: Der erste Würfel hat 66 Möglichkeiten, und zu jeder davon gibt es wieder 66 für den zweiten.

6⋅6=36 mo¨gliche Paare6 \cdot 6 = 36 \text{ mögliche Paare}

Und wie viele davon sind (6,6)(6,6)? Genau eines. Also, günstige durch mögliche, die Laplace-Regel aus Klasse 7:

P(6,6)=136P(6,6) = \frac{1}{36}

Genau dasselbe liefert die Produktregel: 16⋅16=136\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} ✓

Der Grund dahinter: Auf der zweiten Stufe betrachtest du nur noch den Anteil, der die erste Stufe schon geschafft hat. Von diesem Rest nimmst du wieder einen Bruchteil, und „ein Bruchteil von einem Bruchteil" bedeutet multiplizieren, genau wie bei 12\frac{1}{2} von 13\frac{1}{3}.

Die 2. Pfadregel (Summenregel)

Die eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu ihm gehören.

„Genau eine Sechs bei zwei Würfen": Pfade (6,≠6)(6, \neq 6) und (≠6,6)(\neq 6, 6):

P=16⋅56+56⋅16=1036=518P = \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6} + \tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{10}{36} = \tfrac{5}{18}

Warum hier addiert wird

Der Unterschied zur ersten Regel ist wichtig, und leicht zu merken, wenn man ihn einmal verstanden hat.

Multipliziert wird entlang eines Pfades: Erst muss das eine passieren, und dann das andere.

Addiert wird zwischen Pfaden: Es reicht, wenn der eine oder der andere Weg eintritt.

Bei „genau eine Sechs" gibt es zwei getrennte Wege zum Ziel: Sechs zuerst oder Sechs zuletzt. Sie schließen sich gegenseitig aus (beides gleichzeitig geht nicht), also darfst du ihre Anteile schlicht zusammenzählen.

Die Merkregel lautet deshalb: „und" heißt mal, „oder" heißt plus.

Die Kontrolle, die immer funktioniert

Addierst du alle Pfade eines Baumdiagramms, muss 11 herauskommen, irgendetwas passiert ja mit Sicherheit.

Beim Zwei-Würfe-Baum: 136+536+536+2536=3636=1\frac{1}{36} + \frac{5}{36} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{36}{36} = 1 ✓

Diese Probe deckt fehlende oder doppelt gezählte Pfade sofort auf.

Mit und ohne Zurücklegen

Mit Zurücklegen: Die bleiben auf jeder Stufe gleich.

Ohne Zurücklegen: Nach jedem Zug ändert sich der Urneninhalt, die Astwahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe passen sich an! (Beispiel: 33 rote von 1010 Kugeln; nach einem roten Zug nur noch 22 rote von 99.)

Die „mindestens“-Abkürzung

„Mindestens ein Treffer" hat viele Pfade, das Gegenereignis „kein Treffer" nur einen:

P(mindestens ein Treffer)=1−P(kein Treffer)P(\text{mindestens ein Treffer}) = 1 - P(\text{kein Treffer})

Warum diese Abkürzung erlaubt ist

„Mindestens einer" und „keiner" sind Gegenereignisse: Genau einer der beiden Fälle tritt immer ein, und beide zugleich sind unmöglich.

Deshalb ergänzen sich ihre zu 11:

P(mindestens einer)+P(keiner)=1P(\text{mindestens einer}) + P(\text{keiner}) = 1

Nach Umstellen steht die Formel oben da. Die Regel selbst ist nicht neu, P(Eˉ)=1−P(E)P(\bar{E}) = 1 - P(E) kennst du aus Klasse 7. Neu ist hier nur die Frage, welches Ereignis überhaupt das Gegenereignis ist.

Warum sich das so lohnt

Zähle bei drei Würfen die Pfade für „mindestens ein Treffer": Treffer-Treffer-Treffer, Treffer-Treffer-Fehl, Treffer-Fehl-Treffer, …, insgesamt sieben Pfade, die du alle berechnen und addieren müsstest.

Für „kein Treffer" gibt es dagegen genau einen Pfad: dreimal daneben.

Sieben Rechnungen gegen eine. Immer wenn in einer Aufgabe „mindestens" steht, lohnt sich deshalb der Blick auf das Gegenereignis.

Achtung bei der Formulierung: Das Gegenteil von „mindestens ein Treffer" ist „kein Treffer", nicht etwa „genau ein Treffer" oder „höchstens einer". Formuliere das Gegenereignis immer bewusst aus, bevor du rechnest.

Erkläre es selbst: Ein Schütze trifft jeden Elfmeter mit 80 Prozent. Warum darf man für mindestens einen Treffer aus zwei Elfmetern nicht einfach 80 und 80 Prozent addieren?

Formuliere es erst selbst, am besten mit einer kleinen Skizze des Baumdiagramms.

Der schnellste Einwand kommt aus Klasse 7: 0,8+0,8=1,60{,}8 + 0{,}8 = 1{,}6. Eine über 11 kann es nicht geben, das Ergebnis ist also schon vor jeder weiteren Überlegung falsch.

Wo genau steckt der Fehler? Die Merkregel „oder heißt plus" gilt nur für Fälle, die sich gegenseitig ausschließen. Und das tun diese beiden nicht:

  • „Treffer im ersten Schuss"
  • „Treffer im zweiten Schuss"

Im Pfad Treffer–Treffer tritt beides zugleich ein. Wer die zwei Wahrscheinlichkeiten addiert, zählt diesen Pfad also doppelt.

Warum die zweite Pfadregel trotzdem stimmt: Sie addiert Pfade, nicht Ereignisse, und zwei verschiedene Pfade eines Baumdiagramms schließen sich immer aus. Genau deshalb ist die Regel dort sicher.

Richtig gerechnet, auf beiden Wegen. Über die Pfade (TT = Treffer, FF = Fehlschuss):

P(TT)=0,64P(TF)=0,16P(FT)=0,16P(TT) = 0{,}64 \qquad P(TF) = 0{,}16 \qquad P(FT) = 0{,}16 P(mindestens ein Treffer)=0,64+0,16+0,16=0,96P(\text{mindestens ein Treffer}) = 0{,}64 + 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}96

Über das Gegenereignis geht es in einem Schritt:

1−P(FF)=1−0,2⋅0,2=1−0,04=0,961 - P(FF) = 1 - 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 1 - 0{,}04 = 0{,}96

Und jetzt siehst du, warum der Umweg über das Gegenereignis so beliebt ist: „Kein Treffer" ist ein einziger Pfad, da kann gar nichts doppelt gezählt werden.

Deine Erklärung darf anders klingen. Wichtig ist der Kern: Addiert werden dürfen nur Fälle, die sich ausschließen, und zwei Versuche schließen sich nicht aus.

Urne ohne Zurücklegen

In einer Urne: 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Berechne P(beide rot)P(\text{beide rot}) und P(genau eine rot)P(\text{genau eine rot}).

  1. 1

    Baum, Stufe 1: P(r)=410P(r) = \frac{4}{10}, P(b)=610P(b) = \frac{6}{10}.

  2. 2

    Stufe 2 nach rot: nur noch 3 rote von 9: P(r∣r)=39P(r|r) = \frac{3}{9}. Nach blau: P(r∣b)=49P(r|b) = \frac{4}{9}.

  3. 3

    Beide rot (1. Pfadregel): 410⋅39=1290=215\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

  4. 4

    Genau eine rot (2. Pfadregel): rbrb + brbr = 410⋅69+610⋅49=2490+2490=4890=815\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}

P(beide rot)=215P(\text{beide rot}) = \frac{2}{15},   P(genau eine rot)=815\;P(\text{genau eine rot}) = \frac{8}{15}

Mindestens einmal, über das Gegenereignis

Ein Basketballspieler trifft Freiwürfe mit P=0,7P = 0{,}7. Er wirft dreimal. Wie groß ist die für mindestens einen Treffer?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: Trefferwahrscheinlichkeit 0,70{,}7 pro Wurf, drei Würfe. Gesucht: P(mindestens ein Treffer)P(\text{mindestens ein Treffer}).

    Das Signalwort „mindestens" ist hier der entscheidende Hinweis. Es lohnt sich fast immer, über das Gegenereignis zu gehen.

  2. 2

    Schritt 1: Zählen, wie aufwendig der direkte Weg wäre.

    „Mindestens ein Treffer" umfasst: genau einer, genau zwei oder alle drei. Das sind zusammen sieben verschiedene Pfade im Baumdiagramm.

    Alle sieben zu berechnen und zu addieren ginge, dauert aber lange und ist fehleranfällig.

  3. 3

    Schritt 2: Das Gegenereignis formulieren.

    Was ist das genaue Gegenteil von „mindestens ein Treffer"?

    „Kein einziger Treffer", also dreimal daneben. Das ist ein Pfad.

  4. 4

    Schritt 3: Die Fehlwahrscheinlichkeit bestimmen.

    Wenn er mit 0,70{,}7 trifft, verfehlt er mit:

    1−0,7=0,31 - 0{,}7 = 0{,}3
  5. 5

    Schritt 4: Den einen Pfad berechnen (1. Pfadregel).

    Dreimal hintereinander danebenwerfen heißt „und", also multiplizieren:

    P(3-mal daneben)=0,3⋅0,3⋅0,3=0,027P(\text{3-mal daneben}) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027
  6. 6

    Schritt 5: Zum Gegenereignis zurück.

    P(mindestens ein Treffer)=1−0,027=0,973P(\text{mindestens ein Treffer}) = 1 - 0{,}027 = 0{,}973

    Das sind 97,3 %97{,}3\,\%.

  7. 7

    Schritt 6: Plausibilität prüfen.

    Ein Spieler, der in 70 %70\,\% der Fälle trifft, sollte bei drei Versuchen fast sicher mindestens einmal treffen. 97,3 %97{,}3\,\% passt also ✓

    Und die Gegenprobe der Größenordnung: Das Ergebnis muss größer als 0,70{,}7 sein (mit drei Würfen hat er mehr Chancen als mit einem) und kleiner als 11 (ganz sicher ist es nie). Beides erfüllt ✓

P(mindestens ein Treffer)=1−0,33=0,973=97,3 %P(\text{mindestens ein Treffer}) = 1 - 0{,}3^3 = 0{,}973 = 97{,}3\,\%

Typischer Fehler

Ziehen ohne Zurücklegen, zwei Züge aus 5 roten und 5 blauen: „P(beide rot)=510⋅510=14P(\text{beide rot}) = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{1}{4}."

Ohne Zurücklegen ändert sich die Urne! Nach dem ersten roten Zug sind nur noch 4 rote unter 9 Kugeln: P=510⋅49=29P = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}. Frage dich auf jeder Stufe: „Was liegt JETZT noch in der Urne?": und wandern beide.

Übung 1

leicht

Eine Münze wird zweimal geworfen. Berechne mit den Pfadregeln: a) P(zweimal Kopf)P(\text{zweimal Kopf}) b) P(genau einmal Kopf)P(\text{genau einmal Kopf})

Tipp anzeigen

Vier Pfade: KK, KZ, ZK, ZZ, je 12⋅12\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}.

Lösung anzeigen

a) 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

b) KZ + ZK: 14+14=12\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Baumdiagramm aufbauen

    Zwei Stufen, je zwei Äste (K und Z) mit 12\frac{1}{2}: Es entstehen vier Pfade (KK, KZ, ZK, ZZ).

  2. 2

    a) Produktregel längs des Pfades

    Der Pfad Kopf–Kopf: erste Stufe 12\frac{1}{2}, zweite Stufe 12\frac{1}{2}. Entlang des Pfades wird multipliziert: 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

    12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

  3. 3

    b) Summenregel über mehrere Pfade

    „Genau einmal Kopf" schaffen ZWEI Pfade: KZ und ZK, jeder mit 14\frac{1}{4}. Die Pfade werden addiert: 14+14=12\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

    14+14=12\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Übung 2

mittel

In einer Schublade liegen 3 schwarze und 5 weiße Socken. Du ziehst blind zwei Socken (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die für zwei gleichfarbige Socken?

Tipp anzeigen

Zwei günstige Pfade: ss und ww.

Lösung anzeigen

P(ss)=38⋅27=656P(ss) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}

P(ww)=58⋅47=2056P(ww) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}

P(gleichfarbig)=2656=1328≈46,4 %P(\text{gleichfarbig}) = \frac{26}{56} = \frac{13}{28} \approx 46{,}4\,\%

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Ohne Zurücklegen: Brüche ändern sich

    Beim ersten Zug: 3 schwarze, 5 weiße von 8. Beim zweiten Zug fehlt die gezogene Socke, nur noch 7 in der Schublade, und eine Farbe hat eine weniger.

  2. 2

    Die beiden Gleichfarbig-Pfade berechnen

    P(ss)=38⋅27=656P(ss) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} und P(ww)=58⋅47=2056P(ww) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}.

    38⋅27=656,58⋅47=2056\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}, \quad \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}

  3. 3

    Addieren und einordnen

    P(gleichfarbig)=656+2056=2656=1328≈46,4 %P(\text{gleichfarbig}) = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28} \approx 46{,}4\,\%.

Übung 3

schwer

Bei einem Glücksspiel gewinnt man mit P=0,2P = 0{,}2 pro Runde. a) Wie wahrscheinlich ist es, in 4 nie zu gewinnen? b) Und mindestens einmal? c) Ab wie vielen Runden ist „mindestens ein Gewinn" wahrscheinlicher als 90 %? (Probiere!)

Tipp anzeigen

P(nie)=0,8nP(\text{nie}) = 0{,}8^n.

Lösung anzeigen

a) 0,84=0,4096≈41 %0{,}8^4 = 0{,}4096 \approx 41\,\%

b) 1−0,4096=0,5904≈59 %1 - 0{,}4096 = 0{,}5904 \approx 59\,\%

c) Probieren: 0,810≈0,1070{,}8^{10} \approx 0{,}107 (89,3 %), knapp drunter; 0,811≈0,0860{,}8^{11} \approx 0{,}086 → 91,4 %91{,}4\,\%. Ab 11 Runden.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Der Nie-gewinnen-Pfad

    Pro Runde: Nicht-Gewinn mit 1−0,2=0,81 - 0{,}2 = 0{,}8. Vier Runden nacheinander: 0,84=0,4096≈41 %0{,}8^4 = 0{,}4096 \approx 41\,\%.

    0,84=0,40960{,}8^4 = 0{,}4096

  2. 2

    b) Gegenereignis statt Pfad-Wald

    „Mindestens einmal gewinnen" ist das Gegenteil von „nie gewinnen": 1−0,4096=0,5904≈59 %1 - 0{,}4096 = 0{,}5904 \approx 59\,\%.

  3. 3

    c) Systematisch probieren bis über 90 %

    Gesucht: kleinstes nn mit 1−0,8n>0,91 - 0{,}8^n > 0{,}9, also 0,8n<0,10{,}8^n < 0{,}1. Probieren: 0,810≈0,1070{,}8^{10} \approx 0{,}107 (noch zu groß), 0,811≈0,0860{,}8^{11} \approx 0{,}086 ✓. Ab 11 Runden.

    0,811≈0,086⇒1−0,086≈91,4 %0{,}8^{11} \approx 0{,}086 \Rightarrow 1 - 0{,}086 \approx 91{,}4\,\%

Zusammenfassung

Mehrstufiger Zufall gehorcht zwei Regeln: Entlang eines Pfades wird multipliziert, über mehrere Pfade addiert. Ohne Zurücklegen passt sich die Urne auf jeder Stufe an, und „mindestens"-Fragen löst das Gegenereignis in einem Schritt. Die Verzweigungssummen (= 1) sind deine eingebaute Fehlerkontrolle.