Statistische Kenngrößen und Boxplot

Der wichtigste erste Schritt: ordnen. Median und Quartile lassen sich nur an einer geordneten Liste ablesen. Ohne diesen Schritt sind Fehler fast sicher.

Zähle nach: Es müssen weiterhin $7$ Werte sein ✓

Vorüberlegung: Die $25$ fällt aus der Reihe. Das ist die Leiterin. Solche Ausreißer beeinflussen Mittel und Median unterschiedlich; darauf kommen wir am Ende zurück.

Schritt 1: Minimum, Maximum, Spannweite. In der geordneten Liste stehen sie ganz außen:

Die Spannweite ist die Differenz. Sie sagt, wie weit die Daten insgesamt streuen:

Schritt 2: Der Modalwert. Das ist der häufigste Wert. Zähle in der geordneten Liste:

• $11$: einmal
• $\boldsymbol{12}$: dreimal
• $13$, $14$, $25$: je einmal

Hier zeigt sich der Vorteil des Ordnens: Gleiche Werte stehen beieinander und lassen sich leicht zählen.

Schritt 3: Der Median. Er ist der Wert in der Mitte der geordneten Liste.

Bei $7$ Werten (ungerade Anzahl) gibt es genau eine Mitte, den $4.$ Wert:

Zur Kontrolle: Links davon stehen $3$ Werte, rechts ebenfalls $3$ ✓

Schritt 4: Das arithmetische Mittel. Alle Werte addieren und durch die Anzahl teilen:

Auf eine Nachkommastelle runden ist bei Altersangaben üblich.

Schritt 5: Die Ergebnisse vergleichen, darum geht es in dieser Aufgabe.

Das Mittel liegt höher als jeder Wert außer der 25, und höher als das Alter von $6$ der $7$ Personen.

Der Grund ist die Leiterin. Ihre $25$ Jahre gehen mit vollem Gewicht in die Summe ein und ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median bleibt davon unberührt, weil dort nur die Position zählt.

Schritt 6: Welche Zahl beschreibt die AG besser? Der Median mit $12$ Jahren.

„Die Gruppe ist im Schnitt $14$ Jahre alt" wäre irreführend: Sechs der sieben sind jünger als dieser Durchschnitt, die älteste Schülerin ist $14$, und schon sie liegt unter den $14{,}1$. Nur die Leiterin liegt darüber, und zwar sehr weit.

Kontrolle der Plausibilität: Alle Kenngrößen liegen zwischen Minimum und Maximum ($11 \le 12 \le 14{,}1 \le 25$) ✓ Läge eine davon außerhalb, wäre ein Rechenfehler passiert.

Was braucht ein Boxplot? Genau fünf Zahlen:

Die Daten sind bereits geordnet ✓, das spart den ersten Schritt.

Achtung bei der Anzahl: $8$ Werte sind eine gerade Anzahl. Es gibt also keinen einzelnen mittleren Wert; wir müssen mitteln.

Schritt 1: Minimum und Maximum ablesen.

Schritt 2: Den Median bestimmen. Bei $8$ Werten liegt die Mitte zwischen dem $4.$ und dem $5.$ Wert:

Der Median ist ihr Mittelwert:

Der Median muss kein Wert der Liste sein, $19$ kommt hier gar nicht vor. Das ist völlig in Ordnung.

Schritt 3: Das untere Quartil $Q_1$. Es ist der Median der unteren Hälfte. Die untere Hälfte sind die ersten vier Werte:

Wieder eine gerade Anzahl, also mitteln, diesmal den $2.$ und $3.$ Wert:

Schritt 4: Das obere Quartil $Q_3$. Analog aus der oberen Hälfte:

Schritt 5: Den Boxplot zeichnen. Auf einer Skala in Metern:

• Die Box reicht von $Q_1 = 15{,}5$ bis $Q_3 = 23$.
• Der Strich in der Box markiert den Median bei $19$.
• Die Antennen gehen bis zum Minimum $12$ und zum Maximum $26$.

Schritt 6: Den Boxplot lesen. Das ist sein eigentlicher Zweck.

In der Box liegt die mittlere Hälfte der Daten. Von $8$ Würfen liegen also $4$ zwischen $15{,}5$ und $23$ Metern.

Die Antennen zeigen die Extreme: Je länger sie sind, desto weiter streuen die Randwerte.

Kontrolle der Reihenfolge: Die fünf Zahlen müssen aufsteigend sein:

Wäre etwa $Q_1$ größer als der Median, läge ein Rechenfehler vor.