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Stochastik

Häufigkeiten und Zufallsexperimente

Absolute und relative Häufigkeit, Zufallsexperimente planen und im Baumdiagramm darstellen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Ist dieser gezinkt? Wie oft kommt bei zwei Münzwürfen zweimal Kopf? Solchen Fragen rückst du mit Experimenten zu Leibe: würfeln, werfen, zählen, und die Ergebnisse mit relativen Häufigkeiten und ordnen. Das ist der Einstieg in die Stochastik, die Mathematik des Zufalls.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • absolute und relative Häufigkeiten ermitteln und interpretieren.

  • einstufige und zweistufige Zufallsexperimente planen und durchführen.

  • zweistufige Experimente im darstellen.

  • alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Experiments systematisch aufzählen.

Absolute und relative Häufigkeit

Wirfst du einen 5050-mal und fällt 99-mal die Sechs, dann ist

  • die absolute Häufigkeit der Sechs: 99,
  • die relative Häufigkeit: 950=0,18=18 %\frac{9}{50} = 0{,}18 = 18\,\%.
relative Ha¨ufigkeit=absolute Ha¨ufigkeitGesamtzahl der Versuche\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl der Versuche}}

Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen 00 und 11 (bzw. 0 %0\,\% und 100 %100\,\%), und alle relativen Häufigkeiten eines Experiments summieren sich zu 11.

Warum genau 11? Zählst du die absoluten Häufigkeiten aller Ergebnisse zusammen, bekommst du die Gesamtzahl der Versuche zurück, jeder Wurf ist ja genau einmal irgendwo mitgezählt worden. Und teilst du diese Gesamtzahl durch sich selbst, kommt 11 heraus. Das ist zugleich deine schnellste Kontrolle: Ergibt die Summe nicht 11, hast du dich verzählt.

Das Säulendiagramm unten zeigt die absoluten Häufigkeiten der Augenzahlen aus 2424 Würfen.

Warum relativ? Nur relative Häufigkeiten lassen sich vergleichen: 99 Sechser bei 5050 Würfen (18 %18\,\%) sind bemerkenswerter als 1212 Sechser bei 100100 Würfen (12 %12\,\%).

0246Anzahl415233642546

Beim 2424-maligen zählst du, wie oft jede Augenzahl fällt, die absolute Häufigkeit. Das Säulendiagramm macht die Unterschiede auf einen Blick sichtbar (Werteachse ab 00, gleiche Breite).

Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit mehreren möglichen Ergebnissen, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, aber unter gleichen Bedingungen beliebig wiederholbar (, Münzwurf, Glücksrad, Ziehen aus einer Urne).

  • einstufig: einmal ausführen (ein Wurf).
  • zweistufig: zwei Ausführungen nacheinander (zwei Würfe, oder Münze, dann Würfel).

Das Baumdiagramm

Bei mehrstufigen Experimenten behältst du mit dem den Überblick: Jede Stufe verzweigt sich in ihre möglichen Ergebnisse, jeder Pfad von der Wurzel bis zum Ende steht für ein Gesamtergebnis. Im Bild unten siehst du zwei Münzwürfe, die vier Pfade KKKK, KZKZ, ZKZK, ZZZZ.

Pfade zählen: Anzahl der Ergebnisse == Produkt der Möglichkeiten pro Stufe. Münze dann : 2⋅6=122 \cdot 6 = 12 Pfade. (Die Wahrscheinlichkeitsrechnung an den Ästen folgt in Klasse 7/8. Hier zählen wir erst einmal sauber.)

Warum multipliziert man? Zu jedem Ergebnis der ersten Stufe gehören alle Ergebnisse der zweiten. Bei der Münze gibt es zwei Äste, und an jedem davon verzweigt sich der Würfel noch einmal in sechs. Also 66 Pfade beim Kopf-Ast und 66 beim Zahl-Ast, zusammen 1212.

Das ist dieselbe Überlegung wie beim Zählen von Kleiderkombinationen: 33 Hosen und 44 Shirts ergeben 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 Outfits.

Damit ist auch die Frage vom Kapitelanfang beantwortet: Von den vier Pfaden zweier Münzwürfe ist genau einer KKKK, zweimal Kopf ist also einer von vier möglichen Ausgängen.

1/21/21/21/21/21/2KZKKZZ

Zwei Münzwürfe nacheinander als : Jede Stufe verzweigt in Kopf (KK) oder Zahl (ZZ). Ein Pfad von links nach rechts ist ein Ergebnis (z. B. K ZK\,Z). Es gibt 44 gleich wahrscheinliche Pfade.

Denk weiter: Du hast den Verdacht, dass ein Würfel gezinkt ist. Wie kannst du das mit relativen Häufigkeiten untersuchen, und warum reicht es nicht, zehnmal zu würfeln?

Überlege erst selbst, wie du vorgehen würdest.

So gehst du vor: Würfle oft und notiere für jede Augenzahl, wie oft sie fällt (die absoluten Häufigkeiten). Rechne sie anschließend in relative Häufigkeiten um, nur die kannst du vergleichen, und nur sie bleiben aussagekräftig, wenn jemand anders eine andere Anzahl Würfe macht.

Womit vergleichst du? Bei einem fairen sind alle sechs Augenzahlen gleichberechtigt, keine ist bevorzugt. Jede sollte deshalb ungefähr ein Sechstel aller Würfe ausmachen:

16≈0,17=17 %\frac{1}{6} \approx 0{,}17 = 17\,\%

Weicht eine Augenzahl dauerhaft und deutlich davon ab, während die anderen zurückbleiben, ist das ein begründeter Verdacht.

Und warum nicht zehn Würfe? Weil relative Häufigkeiten bei wenigen Versuchen stark schwanken. Bei zehn Würfen kommt die Sechs leicht dreimal (30 %30\,\%). Das ist reiner Zufall und kein Hinweis auf einen gezinkten Würfel. Erst bei vielen Würfen pendeln sich die Werte ein; bei 600600 Würfen wäre eine Sechs mit 30 %30\,\% dagegen sehr auffällig.

Wo deine Möglichkeiten enden, ehrlich gesagt: Ganz sicher wirst du nie. Ab wann eine Abweichung zu groß ist, um noch Zufall zu sein, beantwortet erst die Wahrscheinlichkeitsrechnung ab Klasse 7. Was du jetzt schon kannst, ist mehr als ein Bauchgefühl: einen begründeten Verdacht, gestützt auf gezählte Daten.

Relative Häufigkeiten berechnen und vergleichen

Zwei Reißzwecken-Experimente: Zwecke A landet bei 40 Würfen 26-mal auf dem Kopf, Zwecke B bei 60 Würfen 36-mal. Welche Zwecke landet häufiger auf dem Kopf?

  1. 1

    Die Falle in dieser Aufgabe. Ein schneller Blick sagt: 36>2636 > 26, also Zwecke B.

    Das ist falsch, die beiden Zahlen sind gar nicht vergleichbar, weil unterschiedlich oft geworfen wurde. Zwecke B hatte ja auch 2020 Würfe mehr Gelegenheit.

    Was man vergleichen muss, ist der Anteil der Kopf-Landungen an allen Würfen, also die relative Häufigkeit.

  2. 2

    Schritt 1: Die Formel notieren.

    relative Ha¨ufigkeit=absolute Ha¨ufigkeitAnzahl aller Versuche\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl aller Versuche}}

    Oben steht, was gezählt wurde; unten, wie oft insgesamt geworfen wurde. Die Reihenfolge zu vertauschen ist der häufigste Fehler.

  3. 3

    Schritt 2: Zwecke A berechnen.

    2640=0,65=65 %\frac{26}{40} = 0{,}65 = 65\,\%

    Zwischenschritt: 26:40=0,6526 : 40 = 0{,}65. Als Prozentwert das Komma zwei Stellen nach rechts.

  4. 4

    Schritt 3: Zwecke B berechnen.

    3660=0,6=60 %\frac{36}{60} = 0{,}6 = 60\,\%

    geht auch: 3660=35=0,6\frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0{,}6 ✓

  5. 5

    Schritt 4: Jetzt vergleichen. Beide Anteile beziehen sich auf dieselbe Grundlage (100 %100\,\%), sind also direkt vergleichbar:

    65 %>60 %65\,\% > 60\,\%

    Zwecke A landet häufiger auf dem Kopf, obwohl sie in absoluten Zahlen weniger Kopf-Landungen hatte.

  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis einordnen. Warum ist das kein Widerspruch?

    Zwecke A schaffte 2626 Treffer bei nur 4040 Versuchen, Zwecke B brauchte 6060 Versuche für 3636. Pro Wurf war A also erfolgreicher.

    Kontrolle mit gleicher Basis: Rechne beide auf 120120 Würfe hoch (das kleinste gemeinsame von 4040 und 6060):

    • A: 26⋅3=7826 \cdot 3 = 78 Kopf-Landungen
    • B: 36⋅2=7236 \cdot 2 = 72 Kopf-Landungen

    Bei gleicher Wurfzahl liegt A vorn ✓, dasselbe Ergebnis auf anderem Weg.

  7. 7

    Schritt 6: Die Kontrolle des Wertebereichs. Relative Häufigkeiten liegen immer zwischen 00 und 11 (bzw. 0 %0\,\% und 100 %100\,\%):

    0≤0,6≤0,65≤1  ✓0 \le 0{,}6 \le 0{,}65 \le 1 \;\checkmark

    Käme ein Wert über 11 heraus, hättest du und vertauscht.

Zwecke A landet häufiger auf dem Kopf: 2640=65 %\frac{26}{40} = 65\,\% gegenüber 3660=60 %\frac{36}{60} = 60\,\%.

Zum Mitnehmen: Absolute Häufigkeiten aus verschiedenen Versuchsreihen darf man nicht direkt vergleichen. Erst die relative Häufigkeit schafft eine gemeinsame Grundlage.

Baumdiagramm für ein zweistufiges Experiment

Erst wird eine Münze geworfen (Kopf K / Zahl Z), dann am Glücksrad gedreht (rot r / blau b / grün g). Zeichne das und zähle alle Ergebnisse. Wie viele Pfade enthalten „rot"?

  1. 1

    Was für ein Experiment ist das? Zwei Vorgänge nacheinander, also ein zweistufiges Zufallsexperiment.

    Die Stufen sortieren, bevor gezeichnet wird:

    • 1. Stufe: Münze mit 22 Möglichkeiten (KK, ZZ)
    • 2. Stufe: Glücksrad mit 33 Möglichkeiten (rr, bb, gg)

    Die Reihenfolge ist wichtig, sie legt fest, was oben im Baum steht.

  2. 2

    Schritt 1: Die erste Stufe zeichnen. Von der Wurzel gehen zwei Äste aus:

    Wurzel  ⟶  KundZ\text{Wurzel} \;\longrightarrow\; K \quad\text{und}\quad Z
  3. 3

    Schritt 2: Die zweite Stufe anhängen. Jetzt kommt der entscheidende Punkt: An jeden der beiden Äste werden alle drei Glücksrad-Ergebnisse angehängt.

    K→r, b, gZ→r, b, gK \to r,\, b,\, g \qquad\qquad Z \to r,\, b,\, g

    Nicht nur an einen Ast! Das Glücksrad wird ja unabhängig davon gedreht, was die Münze gezeigt hat.

  4. 4

    Schritt 3: Die Pfade auflisten. Jeder Weg von der Wurzel bis zu einem Ende ist ein mögliches Gesamtergebnis:

    Kr,  Kb,  Kg,  Zr,  Zb,  ZgKr, \; Kb, \; Kg, \; Zr, \; Zb, \; Zg

    Insgesamt 66 Ergebnisse.

  5. 5

    Schritt 4: Mit der Rechenregel gegenprüfen. Statt zu zählen, kannst du multiplizieren:

    2⋅3=6  ✓2 \cdot 3 = 6 \;\checkmark

    Warum multiplizieren? Zu jedem der 22 Münzergebnisse gehören 33 Glücksrad-Ergebnisse. Also 33 Pfade über KK und 33 über ZZ.

    Diese Regel spart bei größeren Experimenten viel Arbeit: Münze, und Glücksrad hintereinander wären 2⋅6⋅3=362 \cdot 6 \cdot 3 = 36 Pfade, die will niemand einzeln aufschreiben.

  6. 6

    Schritt 5: Die Pfade mit „rot" zählen. Gehe die Liste durch und markiere alle, in denen ein rr vorkommt:

    Kr,  Kb,  Kg,  Zr,  Zb,  Zg\boldsymbol{Kr}, \; Kb, \; Kg, \; \boldsymbol{Zr}, \; Zb, \; Zg

    Es sind 22 Pfade: KrKr und ZrZr.

  7. 7

    Schritt 6: Das Ergebnis verstehen. Warum genau 22?

    „Rot" legt nur die zweite Stufe fest. Die erste bleibt frei, und dafür gibt es 22 Möglichkeiten (KK oder ZZ).

    2 (Mu¨nze frei)⋅1 (rot fest)=22 \text{ (Münze frei)} \cdot 1 \text{ (rot fest)} = 2

    Dieselbe Überlegung funktioniert immer: Zähle für jede Stufe die noch offenen Möglichkeiten und multipliziere sie.

Es gibt 66 Ergebnisse (KrKr, KbKb, KgKg, ZrZr, ZbZb, ZgZg), davon enthalten 22 die Farbe Rot.

Zum Mitnehmen: An jeden Ast der ersten Stufe kommen alle Möglichkeiten der zweiten. Die Gesamtzahl der Pfade ist das Produkt der Möglichkeiten pro Stufe.

Typischer Fehler

„Bei 20 Würfen kam 24-mal Zahl… äh, die relative Häufigkeit ist 2420=1,2\frac{24}{20} = 1{,}2."

Eine relative Häufigkeit über 1 (über 100 %) ist unmöglich, ein Ergebnis kann nicht öfter eintreten, als überhaupt Versuche stattfanden! Hier stimmen die gezählten Daten nicht (24 > 20). Nutze 0≤h≤10 \leq h \leq 1 als automatischen Fehler-Alarm für Zähl- und Tippfehler.

Übung 1

leicht

Bei 25 Freiwürfen trifft Emma 18-mal. Gib die relative Häufigkeit ihrer Treffer als , und in an.

Tipp anzeigen

Treffer : Versuche.

Lösung anzeigen

h=1825=0,72=72 %h = \frac{18}{25} = 0{,}72 = 72\,\%

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Relative Häufigkeit als Bruch aufstellen

    Relative Häufigkeit = Treffer durch Versuche: h=1825h = \frac{18}{25}.

  2. 2

    In Dezimalzahl umwandeln

    1825\frac{18}{25} auf Hundertstel (mal 44): 72100=0,72\frac{72}{100} = 0{,}72.

    18⋅425⋅4=72100\frac{18 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{72}{100}

    Zwischenergebnis

    0,720{,}72

  3. 3

    In Prozent ausdrücken und deuten

    0,72=72 %0{,}72 = 72\,\%: Emma trifft 7272 von 100100 gedachten Würfen.

Übung 2

mittel

In einer Urne liegen eine rote, eine blaue und eine gelbe Kugel. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. a) Zeichne das . b) Wie viele Ergebnisse gibt es? c) Bei wie vielen Ergebnissen sind beide Kugeln gleichfarbig?

Tipp anzeigen

Mit Zurücklegen hat Stufe 2 wieder alle drei Farben.

Lösung anzeigen

a) Stufe 1: r, b, g, von jedem Ast wieder r, b, g.

b) 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 Ergebnisse.

c) rr, bb, gg → 3 Ergebnisse.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Baumdiagramm aufbauen

    Stufe 1 (erster Zug): drei Äste r, b, g. Weil die Kugel ZURÜCKgelegt wird, hat jeder Ast auf Stufe 2 wieder alle drei Möglichkeiten r, b, g.

  2. 2

    b) Ergebnisse zählen

    Jede Stufe hat 33 Möglichkeiten: 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 Ergebnisse (Pfade durchs Diagramm).

    3⋅3=93 \cdot 3 = 9

  3. 3

    c) Gleichfarbige Pfade finden

    Beide Kugeln gleichfarbig: rr, bb, gg, genau 33 der 99 Ergebnisse.

Übung 3

schwer

Dieselbe Urne, aber ohne Zurücklegen (die gezogene Kugel bleibt draußen). a) Wie verändert sich das ? b) Wie viele Ergebnisse gibt es jetzt? c) Kann noch „zweimal dieselbe Farbe" vorkommen?

Tipp anzeigen

Auf Stufe 2 fehlt die schon gezogene Farbe.

Lösung anzeigen

a) Auf Stufe 2 hat jeder Ast nur noch zwei Zweige (die gezogene Farbe fehlt).

b) 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 Ergebnisse: rb, rg, br, bg, gr, gb.

c) Nein, die erste Kugel liegt nicht mehr in der Urne. Das Baumdiagramm zeigt das sofort: Es gibt keine rr-, bb-, gg-Pfade mehr.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Wie sich der Baum verändert

    Ohne Zurücklegen fehlt die gezogene Kugel im zweiten Zug: Jeder Stufe-1-Ast hat auf Stufe 2 nur noch ZWEI Zweige (die eigene Farbe fällt weg).

  2. 2

    b) Ergebnisse neu zählen

    33 Möglichkeiten mal 22 Möglichkeiten: 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 Ergebnisse, rb, rg, br, bg, gr, gb.

    3⋅2=63 \cdot 2 = 6

  3. 3

    c) Gleichfarbig ist unmöglich geworden

    Zweimal dieselbe Farbe kann NICHT mehr vorkommen, die erste Kugel liegt draußen. Im Baum sichtbar: Es gibt keine rr-, bb-, gg-Pfade mehr.

Zusammenfassung

Absolute Häufigkeiten zählen, relative Häufigkeiten (absolut: gesamt, immer zwischen 0 und 1) machen Ergebnisse vergleichbar. Zufallsexperimente sind wiederholbare Vorgänge mit ungewissem Ausgang; bei zwei Stufen bringt das Ordnung: Pfade sind Ergebnisse, ihre Anzahl ist das Produkt der Möglichkeiten, und ob zurückgelegt wird, verändert den Baum.