Quadratische Gleichungen

Ein Ball fliegt in hohem Bogen, wann landet er? Ein rechteckiger Garten mit 60 m² soll 4 m länger als breit sein, welche Maße hat er? Solche Fragen führen auf Gleichungen mit $x^2$: quadratische Gleichungen. Sie haben bis zu zwei Lösungen, und mit der p-q-Formel bekommst du einen Generalschlüssel für alle.

Lineare Gleichungen wie $3x + 7 = 22$ kennst du aus Klasse 7: Sie haben genau eine Lösung. Bei quadratischen Gleichungen ist das anders, und der Grund steckt schon im einfachsten Fall.

Der einfachste Fall: $x^2 = a$

Solche Gleichungen heißen reinquadratisch, weil nur $x^2$ vorkommt und kein einzelnes $x$. Nimm

Gefragt ist: Welche Zahl ergibt quadriert $49$? Und hier gibt es zwei richtige Antworten:

Die zweite wird oft vergessen. Sie stimmt aber, weil beim Quadrieren einer negativen Zahl die beiden Minuszeichen verschwinden. Deshalb schreibst du beide Lösungen auf:

Achtung, hier lauert die Verwechslung aus dem Wurzelkapitel: Das Zeichen $\sqrt{49}$ allein bedeutet nur $7$. Das Plusminus gehört nicht zur Wurzel. Es entsteht daraus, dass die Gleichung zwei Lösungen hat. Du musst es selbst setzen.

Drei Fälle, und alle drei ergeben Sinn

Der letzte Fall ist keine Panne, sondern eine echte Antwort: Die Lösungsmenge ist leer, $L = \{\}$. Genau derselbe Gedanke wie beim Wurzelziehen. Dort war $\sqrt{-4}$ nicht definiert, hier hat die Gleichung eben keine Lösung.

Behalte diese Dreiteilung im Kopf. Sie kommt am Ende des Kapitels als „Diskriminante" wieder, dann für beliebige quadratische Gleichungen.

Manche Gleichungen kann man ohne jede Formel lösen, wenn man einen bestimmten Gedanken kennt. Schau dir an:

Hier steht ein Produkt (etwas mal etwas), und das Ergebnis soll $0$ sein. Wann passiert das?

Die Überlegung

Multipliziere zwei Zahlen, die beide nicht null sind: $3 \cdot 7 = 21$, $(-2) \cdot 0{,}5 = -1$. Es kommt nie $0$ heraus. Zwei Beispiele beweisen aber noch nichts, begründen lässt es sich so:

Nimm an, ein Produkt $a \cdot b$ ist null, und der erste Faktor ist nicht null. Dann darfst du die ganze Gleichung durch $a$ teilen: verboten ist ja nur das Teilen durch null:

Im letzten Schritt steckt eine Regel aus Klasse 5: Null geteilt durch irgendeine Zahl (außer null) bleibt null. Und damit sind wir fertig, denn mehr Fälle gibt es nicht. Entweder ist der erste Faktor null, oder er ist es nicht, und dann muss der zweite null sein. Das ist der Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Das „genau dann" enthält zwei Richtungen, und du brauchst beide. Die eine haben wir eben begründet: Produkt null $\Rightarrow$ ein Faktor null. Das ist die Richtung, mit der man Gleichungen löst. Die andere ist die einfache: Ist irgendein Faktor null, dann ist auch das ganze Produkt null, denn Malnehmen mit null ergibt immer null.

Was das für die Gleichung bedeutet

Damit zerfällt die schwierige Gleichung in zwei einfache. Entweder ist der erste Faktor null, oder der zweite:

Die Lösungen sind also $x_1 = 0$ und $x_2 = 5$, gefunden im Kopf, ohne Formel.

Deshalb lohnt sich Faktorisieren

Der Satz hilft nur bei einem Produkt. Steht die Gleichung als Summe da, kannst du sie manchmal in ein Produkt verwandeln, mit den Techniken aus Klasse 8:

Ausklammern, wenn kein Zahlenglied dasteht:

Dritte binomische Formel, wenn ein Quadrat minus ein Quadrat dasteht:

Ein häufiger Fehler beim Ausklammern: Bei $x^2 = 7x$ kürzen viele beide Seiten durch $x$ und erhalten nur $x = 7$. Damit ist die Lösung $x = 0$ verloren gegangen, denn durch $x$ darf man nur teilen, wenn $x \neq 0$ ist, und genau das ist hier ja fraglich. Bringe deshalb immer alles auf eine Seite und klammere aus, statt zu kürzen.

Das ist übrigens derselbe Vorbehalt wie oben in der Begründung, nur einmal richtig und einmal falsch angewendet: Dort haben wir den Fall „erster Faktor gleich null" ausdrücklich mitbehandelt, hier fällt er beim Kürzen stillschweigend unter den Tisch, und mit ihm eine Lösung.

Jetzt kommt der Fall, an dem die bisherigen Tricks scheitern:

Warum ist das schwierig? Das $x$ kommt zweimal vor, und zwar in verschiedenen Formen: einmal als $x^2$, einmal als $6x$. Beim Lösen linearer Gleichungen hast du $x$ immer isoliert. Das geht hier nicht, denn du kannst $x^2$ und $6x$ nicht zusammenfassen (es sind keine gleichartigen Glieder). Ausklammern hilft auch nicht, weil die $8$ kein $x$ enthält.

Die entscheidende Idee

Es gibt einen Fall, den wir bereits lösen können: eine Gleichung, in der $x$ nur einmal vorkommt, nämlich in einem Quadrat. So etwas wie

Das kannst du sofort knacken: Wurzel ziehen (mit $\pm$!), dann die $3$ abziehen. Die Frage ist also nicht „wie löse ich $x^2 + 6x + 8 = 0$", sondern:

Kann ich $x^2 + 6x + 8$ in ein Quadrat verwandeln?

Wie man ein Quadrat erkennt

Erinnere dich an die erste binomische Formel aus Klasse 8:

Vergleiche das mit unserem $x^2 + 6x$. Beide fangen mit $x^2$ an. Das mittlere Glied ist bei uns $6x$, in der Formel $2mx$. Damit beide übereinstimmen, muss gelten

Das ist der Schlüsselgedanke des ganzen Kapitels: Du nimmst die Hälfte der Zahl vor dem $x$. Dann passt $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, fast. Denn dort steht ein $+9$, das wir gar nicht haben.

Quadratische Ergänzung

Also holen wir uns die $9$ dazu und nehmen sie im selben Atemzug wieder weg. Das ist erlaubt, weil $+9 - 9 = 0$ ist und Addieren von Null nichts verändert:

Dieses Vorgehen heißt quadratische Ergänzung. Das Bild unten zeigt, warum es genau so funktionieren muss: Der Streifen $6x$ wird auf zwei Seiten des $x^2$-Quadrats verteilt (jeder $3$ breit, daher die Hälfte von $p$), und zur vollständigen Quadratform fehlt dann genau die kleine Ecke $3^2 = 9$.

Damit wird aus unserer Gleichung:

Und jetzt ist es der einfache Fall von oben. Wurzel ziehen, mit beiden Vorzeichen:

Probe (immer machen): $(-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$ ✓

Und die Parabel-Grafik weiter unten zeigt dieselbe Gleichung noch einmal von der Bildseite: Die beiden Lösungen sind genau die Stellen, an denen die Kurve die $x$-Achse schneidet.

Die quadratische Ergänzung funktioniert immer, aber sie ist jedes Mal etwas Arbeit. Deshalb machen wir sie jetzt ein einziges Mal mit Buchstaben statt mit Zahlen. Das Ergebnis ist eine Formel, in die du danach nur noch einsetzen musst.

Die Ausgangslage: die Normalform

Wir schreiben die allgemeine Gleichung so, dass vor dem $x^2$ eine 1 steht. Diese Gestalt heißt Normalform:

Dabei ist $p$ die Zahl vor dem $x$ und $q$ das Zahlenglied. (Steht vor dem $x^2$ etwas anderes als $1$, teilst du zuerst die ganze Gleichung dadurch, dazu unten mehr.)

Dieselben Schritte wie eben, nur mit Buchstaben

Die Hälfte von $p$ ist $\frac{p}{2}$. Das ist unser $m$. Also ergänzen wir mit $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ und ziehen es gleich wieder ab:

Jetzt Wurzel ziehen, mit $\pm$, weil es zwei Lösungen geben kann:

Das ist die p-q-Formel. Sie ist kein Zauberspruch, den man glauben muss. Sie ist die quadratische Ergänzung, einmal allgemein durchgerechnet. Wenn du die Formel im Test vergisst, kannst du jede Aufgabe immer noch mit quadratischer Ergänzung lösen.

Ausprobieren an der bekannten Gleichung

$x^2 + 6x + 8 = 0$ hat $p = 6$ und $q = 8$:

Also $x_1 = -2$ und $x_2 = -4$, dieselben Lösungen wie oben, nur schneller.

Die Falle: erst Normalform, dann einsetzen

Hier ist $p$ nicht $6$! Vor dem $x^2$ steht eine $3$, also ist das noch keine Normalform. Teile zuerst die ganze Gleichung durch $3$, jedes Glied, auch die $-9$:

Wer das Teilen vergisst, setzt falsche Werte ein und bekommt systematisch falsche Ergebnisse. Erster Blick bei jeder Aufgabe: Steht vor dem $x^2$ eine 1?

Und die Vorzeichen: $p$ und $q$ werden mit ihrem Vorzeichen übernommen. Bei $x^2 - 8x + 12 = 0$ ist $p = -8$ (nicht $8$), also $-\frac{p}{2} = +4$.

In der p-q-Formel steht eine Wurzel. Und aus dem Wurzelkapitel weißt du: Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Genau daran hängt, wie viele Lösungen es gibt.

Der Ausdruck unter der Wurzel bekommt deshalb einen eigenen Namen: Diskriminante (von lateinisch discriminare = unterscheiden):

Die drei Fälle

• $D > 0$: Die Wurzel liefert eine positive Zahl. Einmal wird sie addiert, einmal subtrahiert → zwei verschiedene Lösungen.
• $D = 0$: Die Wurzel ist $0$. Dann ist $-\frac{p}{2} + 0$ dasselbe wie $-\frac{p}{2} - 0$ → genau eine Lösung (man nennt sie doppelte Lösung).
• $D < 0$: Es müsste die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden. Die gibt es nicht → keine reelle Lösung.

Das ist genau die Dreiteilung von $x^2 = a$ vom Kapitelanfang, jetzt für beliebige quadratische Gleichungen.

Was das im Bild bedeutet

Jede quadratische Gleichung gehört zu einer Parabel (dem Graphen von $y = x^2 + px + q$). Die Lösungen der Gleichung sind die Stellen, an denen $y = 0$ ist, also die Nullstellen, die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.

Ein Wort brauchst du dafür noch: Der Scheitel ist der Punkt, an dem die Parabel umkehrt, bei einer nach oben geöffneten Parabel also ihr tiefster Punkt. (Nicht zu verwechseln mit dem Scheitelpunkt eines Winkels aus Klasse 6: gleiches Wort, anderer Gegenstand.) Alles Weitere über Parabeln kommt im nächsten Kapitel; hier genügt dieser eine Punkt, denn an ihm allein hängt, wie oft die Kurve die $x$-Achse trifft. Das zeigen die drei Parabel-Bilder dieses Kapitels: Das erste steht schon weiter oben (zwei Lösungen), die beiden anderen folgen gleich unter diesem Abschnitt.

• $D > 0$: Der Scheitel liegt unter der Achse, die Parabel schneidet sie zweimal.
• $D = 0$: Der Scheitel liegt genau auf der Achse, die Parabel berührt sie einmal.
• $D < 0$: Der Scheitel liegt über der Achse (bei nach oben geöffneter Parabel), die Achse wird nie erreicht.

Wozu das nützlich ist: Du kannst $D$ zuerst allein ausrechnen. Kommt etwas Negatives heraus, bist du fertig, „keine reelle Lösung", und musst nicht weiterrechnen. Und in Aufgaben vom Typ „für welches $q$ hat die Gleichung genau eine Lösung?" setzt du einfach $D = 0$.

Zum Schluss ein Werkzeug, das dir in Klassenarbeiten Punkte rettet. Es beantwortet die Frage: Habe ich mich verrechnet?

Zwei überraschende Zusammenhänge

Addiere die beiden Lösungen unserer Beispielgleichung $x^2 + 6x + 8 = 0$ (dort war $x_1 = -2$, $x_2 = -4$, $p = 6$, $q = 8$):

Und jetzt multipliziere sie:

Das ist kein Zufall dieses Beispiels, sondern gilt immer. Das ist der Satz von Vieta:

Warum das stimmt

Du kannst es direkt aus der p-q-Formel ablesen. Die beiden Lösungen unterscheiden sich nur im Vorzeichen vor der Wurzel. Nenne die Wurzel kurz $w$, dann ist $x_1 = -\frac{p}{2} + w$ und $x_2 = -\frac{p}{2} - w$.

Summe, die Wurzel hebt sich weg:

Produkt. Hier hilft die dritte binomische Formel $(u+w)(u-w) = u^2 - w^2$ mit $u = -\frac{p}{2}$:

Im letzten Schritt wurde eingesetzt, was $w^2$ ist: das $w$ war ja die Wurzel aus $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$, also ist $w^2$ genau dieser Ausdruck.

So benutzt du es

Rechne nach dem Lösen kurz Summe und Produkt deiner beiden Ergebnisse aus und vergleiche mit $-p$ und $q$. Stimmt beides, ist deine Lösung fast sicher richtig. Stimmt etwas nicht, hast du einen Rechenfehler, bevor du das Blatt abgibst.

Und ein Bonus: Bei einfachen Gleichungen findest du die Lösungen damit sogar im Kopf. Bei $x^2 - 7x + 12 = 0$ suchst du zwei Zahlen mit Summe $7$ und Produkt $12$. Das sind $3$ und $4$.

Warum du dich auf dieses Raten verlassen darfst. Hier wird Vieta nämlich rückwärts benutzt. Bewiesen haben wir oben: sind $3$ und $4$ die Lösungen, dann ist die Summe $7$ und das Produkt $12$. Gebraucht wird jetzt die Gegenrichtung, und die musst du nicht glauben, du kannst sie mit dem Satz vom Nullprodukt vom Kapitelanfang selbst nachprüfen. Multipliziere die geratenen Zahlen als Klammern aus:

Deine Gleichung heißt also in Wahrheit $(x-3)(x-4) = 0$. Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist, und das sind hier genau $x = 3$ und $x = 4$. Damit sind die geratenen Zahlen tatsächlich die Lösungen, und weitere gibt es nicht.