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Algebra / Terme & Gleichungen

Klammern multiplizieren und binomische Formeln

Klammer mal Klammer, und die drei berühmtesten Formeln der Schulmathematik.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

(a+b)2(a + b)^2, was könnte einfacher aussehen? Und doch ist es die berühmteste Stolperfalle der Schulmathematik. Die binomischen Formeln räumen sie aus dem Weg: drei Muster, die dir tausendfach begegnen werden, beim Faktorisieren, bei quadratischen , sogar beim Kopfrechnen. Wer sie beherrscht, hat einen Schlüssel für die gesamte Oberstufe.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Summen multiplizieren: jedes mit jedem ((a+b)(c+d)(a+b)(c+d)).

  • die drei binomischen Formeln herleiten, auswendig abrufen und anwenden.

  • mit binomischen Formeln faktorisieren.

  • die Formeln für geschicktes Kopfrechnen nutzen (21221^2, 19⋅2119 \cdot 21).

Klammer mal Klammer: jedes mit jedem

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert, vier Produkte, keine Ausnahme. Vorzeichen wandern mit!

(x+3)(x−5)=x2−5x+3x−15=x2−2x−15(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15

Warum jedes mit jedem?

Die Regel fällt nicht vom Himmel. Sie ist das Distributivgesetz aus Klasse 5, zweimal angewendet.

Betrachte die zweite Klammer zunächst als einen einzigen Baustein. Dann steht da nichts weiter als „Summe mal Baustein", und genau das kennst du:

(a+b)⋅(c+d)=a⋅(c+d)+b⋅(c+d)(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot (c + d) + b \cdot (c + d)

Jetzt löst du die beiden Klammern einzeln auf, wieder mit demselben Gesetz, aa verteilt sich auf cc und dd, danach bb:

=ac+ad+bc+bd= ac + ad + bc + bd

Deshalb sind es genau vier Produkte: Jedes der zwei Glieder links trifft auf jedes der zwei rechts, also 2⋅22 \cdot 2. Hätte die linke Klammer drei Glieder, wären es 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 Produkte, die Regel zählt einfach mit, und deshalb gibt es keine Ausnahme.

Die drei binomischen Formeln

1. Binomische Formel: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

2. Binomische Formel: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

3. Binomische Formel: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Das Flächenmodell unten macht die 1. Formel sichtbar: Ein der Seite a+ba+b besteht aus a2a^2, b2b^2 und zwei abab-, daher das oft vergessene 2ab2ab. Die 3. Formel entsteht, wenn man ein b2b^2 von a2a^2 abzieht.

Woher die Formeln kommen, nachgerechnet

Du musst die drei Formeln nicht glauben. Sie folgen alle aus der Regel „jedes mit jedem" von oben.

1. Formel. (a+b)2(a+b)^2 heißt nichts anderes als (a+b)(a+b)(a+b)(a+b):

(a+b)(a+b)=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a2+ab+ab+b2(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2

In der Mitte steht zweimal dasselbe (abab und baba sind gleich), also:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

2. Formel. Genauso mit einem Minus:

(a−b)(a−b)=a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2(a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2

Das letzte Glied wird positiv: Minus mal Minus ergibt Plus.

3. Formel. Jetzt eine Klammer mit Plus, eine mit Minus:

(a+b)(a−b)=a2−ab+ba−b2(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2

Hier heben sich die beiden mittleren Glieder gegenseitig auf (−ab+ab=0-ab + ab = 0):

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

Warum das 2ab2ab so oft vergessen wird

Der häufigste Fehler überhaupt lautet (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2. Das Flächenbild zeigt sofort, was daran fehlt: die beiden Rechtecke an den Seiten.

Mach dir den Fehler mit Zahlen klar:

(3+4)2=72=49aber32+42=9+16=25(3+4)^2 = 7^2 = 49 \qquad \text{aber} \qquad 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

Die fehlenden 2424 sind genau 2ab=2⋅3⋅42ab = 2 \cdot 3 \cdot 4.

Merke dir diese Zahlenprobe. Wenn du unsicher bist, ob eine Umformung stimmt, setze zwei einfache Zahlen ein, das entlarvt jeden Formelfehler in Sekunden.

Warum sich die Formeln überhaupt lohnen

Ausmultiplizieren könntest du ja auch ohne sie. Der Nutzen liegt in der Rückrichtung: Du erkennst an der Form eines sofort, wie er als Produkt aussieht.

Und Produkte brauchst du ab Klasse 9 ständig, beim Lösen quadratischer , beim von Bruchtermen und bei der Scheitelpunktform der Parabel.

ababa²a·ba·bb²

Ein mit der Seite a+ba+b besteht aus dem a2a^2-Quadrat, dem b2b^2-Quadrat und zwei gleichen a⋅ba\cdot b-. Genau daher kommt das gemischte Glied: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, das 2ab2ab wird am häufigsten vergessen.

a²− b²aa

Für die 3. Formel: Vom großen a2a^2 wird das kleine Quadrat b2b^2 abgezogen (rot). Die übrige L-Fläche lässt sich zu einem (a+b)⋅(a−b)(a+b)\cdot(a-b) umlegen, deshalb a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).

Faktorisieren, die Formeln rückwärts

Die Formeln funktionieren in beide Richtungen:

x2+6x+9=(x+3)249x2−16=(7x+4)(7x−4)x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \qquad\qquad 49x^2 - 16 = (7x + 4)(7x - 4)

Erkennungsdienst: Zwei mit Minus dazwischen → 3. Formel. Drei Glieder, äußere sind Quadrate, mittleres ist 2⋅2 \cdot Wurzel ⋅\cdot Wurzel → 1. oder 2. Formel (Vorzeichen des Mittelglieds entscheidet).

Denk weiter: Auf einen Term passt keine binomische Formel, weil seine Glieder keine Quadratzahlen sind. Heißt das, er lässt sich nicht in ein Produkt zerlegen?

Prüfe es erst selbst an einem Beispiel.

Nein, oft fehlt nur ein Schritt davor. Nimm

12x2−2712x^2 - 27

Weder 1212 noch 2727 ist eine , der Erkennungsdienst meldet also Fehlanzeige. Aber sieh dir die beiden Zahlen genauer an: Beide sind durch 33 . Klammere den gemeinsamen Faktor aus, das Distributivgesetz rückwärts, wie du es aus Klasse 7 kennst:

12x2−27=3⋅(4x2−9)12x^2 - 27 = 3 \cdot (4x^2 - 9)

Und jetzt prüfe die Klammer noch einmal: 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2 ✓, 9=329 = 3^2 ✓, Minus dazwischen ✓, die dritte Formel passt doch:

12x2−27=3(2x+3)(2x−3)12x^2 - 27 = 3(2x + 3)(2x - 3)

Probe durch Ausmultiplizieren: (2x+3)(2x−3)=4x2−9(2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9, und 3⋅(4x2−9)=12x2−273 \cdot (4x^2 - 9) = 12x^2 - 27 ✓

Die Reihenfolge ist die eigentliche Lehre: erst gemeinsame Faktoren , dann nach binomischen Mustern suchen. Wer sofort nach sucht, hält viele zerlegbare für unzerlegbar. „Es passt keine Formel" heißt fast nie „es geht nicht", sondern meistens „noch nicht".

Wann es wirklich nicht geht: bei x2+9x^2 + 9. Das sind zwar zwei Quadrate, aber mit Plus dazwischen, und dafür gibt es keine binomische Formel. Genau deshalb steht in der dritten Formel ausdrücklich ein Minus.

Deine Antwort darf anders aussehen. Wichtig ist der Reflex: erst ausklammern, dann erkennen.

Kopfrechnen-Bonus

212=(20+1)2=400+40+1=44119⋅21=(20−1)(20+1)=400−1=39921^2 = (20+1)^2 = 400 + 40 + 1 = 441 \qquad\quad 19 \cdot 21 = (20-1)(20+1) = 400 - 1 = 399

Warum das funktioniert

Der Trick besteht darin, eine unbequeme Zahl in eine runde Zahl plus einen kleinen Rest zu zerlegen. Danach machen die Formeln die Arbeit.

Bei 21221^2 zerlegst du 21=20+121 = 20 + 1 und wendest die 1. Formel an:

(20+1)2=202+2⋅20⋅1+12=400+40+1(20+1)^2 = 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^2 = 400 + 40 + 1

Alle drei Teile kannst du im Kopf rechnen, 400400, 4040 und 11.

Wann welche Formel

  • Zahlen wie 21221^2, 98298^2, 1032103^2 → 1. oder 2. Formel (runde Zahl ±\pm kleiner Rest quadrieren)
  • Produkte wie 19⋅2119 \cdot 21 oder 47⋅5347 \cdot 53 → 3. Formel, wenn beide Zahlen gleich weit von einer Zahl entfernt sind

Beim zweiten Fall lohnt der Blick auf die Mitte: 1919 und 2121 liegen beide 11 von der 2020 entfernt, 4747 und 5353 beide 33 von der 5050:

47⋅53=(50−3)(50+3)=2 500−9=2 49147 \cdot 53 = (50-3)(50+3) = 2\,500 - 9 = 2\,491

Die Formeln anwenden

Multipliziere aus: a) (x+7)2(x + 7)^2 b) (3a−4)2(3a - 4)^2 c) (5y+2)(5y−2)(5y + 2)(5y - 2)

  1. 1

    Was ist gesucht? Die ohne Klammern.

    Gehe immer in drei Schritten vor: (1) Welche Formel passt? (2) Was ist aa, was ist bb? (3) Einsetzen.

    Der zweite Schritt wird oft übersprungen, genau dort passieren die Fehler.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Formel erkennen und Bausteine benennen.

    (x+7)2(x+7)^2 ist eine Summe im → 1. binomische Formel.

    a=xb=7a = x \qquad b = 7
  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Einsetzen.

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (x+7)2=x2+2⋅x⋅7+72=x2+14x+49(x+7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49
  4. 4

    Teil b): Schritt 3: Achtung beim zusammengesetzten Baustein.

    (3a−4)2(3a-4)^2 ist eine Differenz im Quadrat → 2. binomische Formel. Aber Vorsicht:

    a-Baustein=3ab-Baustein=4a\text{-Baustein} = 3a \qquad b\text{-Baustein} = 4

    Der erste Baustein ist 3a3a, mitsamt der 3. Wer nur aa nimmt, verliert den Faktor.

  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Einsetzen und sauber quadrieren.

    (3a)2−2⋅3a⋅4+42(3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 4 + 4^2

    (3a)2(3a)^2 bedeutet 3a⋅3a=9a23a \cdot 3a = 9a^2, die 33 wird mitquadriert:

    =9a2−24a+16= 9a^2 - 24a + 16
  6. 6

    Teil c): Schritt 5: Die 3. Formel erkennen.

    (5y+2)(5y−2)(5y+2)(5y-2): zweimal dieselben Bausteine, einmal mit Plus, einmal mit Minus → 3. binomische Formel.

    (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 (5y)2−22=25y2−4(5y)^2 - 2^2 = 25y^2 - 4

    Das Mittelglied fällt hier weg, weil sich −5y⋅2-5y \cdot 2 und +2⋅5y+2 \cdot 5y aufheben.

  7. 7

    Schritt 6: Zahlenprobe für Teil a).

    Setze x=1x = 1 ein:

    • Original: (1+7)2=64(1+7)^2 = 64
    • Ergebnis: 1+14+49=641 + 14 + 49 = 64 ✓

    Mache diese Probe besonders dann, wenn du unsicher bist, ob das Mittelglied stimmt.

a) x2+14x+49x^2 + 14x + 49 · b) 9a2−24a+169a^2 - 24a + 16 · c) 25y2−425y^2 - 4

Faktorisieren mit Formel-Erkennungsdienst

Faktorisiere: a) x2−10x+25x^2 - 10x + 25 b) 36a2−4936a^2 - 49

  1. 1

    Was ist gesucht? Die als Produkt, also die binomischen Formeln rückwärts gelesen.

    Der Erkennungsdienst in zwei Fragen:

    1. Wie viele Glieder hat der Term? Zwei → 3. Formel prüfen. Drei → 1. oder 2. Formel prüfen.
    2. Sind die äußeren Glieder ?
  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Struktur prüfen.

    x2−10x+25x^2 - 10x + 25 hat drei Glieder. Also kommen die 1. oder 2. Formel infrage.

    Sind die äußeren Glieder ? x2=(x)2x^2 = (x)^2 ✓ und 25=5225 = 5^2 ✓

    Damit lauten die Bausteine a=xa = x und b=5b = 5.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Das Mittelglied prüfen, der entscheidende Test.

    Passt das Mittelglied zu 2ab2ab?

    2⋅x⋅5=10x  ✓2 \cdot x \cdot 5 = 10x \; ✓

    Es stimmt. Ohne diesen Test darfst du nicht faktorisieren, bei x2−7x+25x^2 - 7x + 25 wären die äußeren Glieder auch Quadrate, die Formel würde trotzdem nicht passen.

  4. 4

    Teil a): Schritt 3: Vorzeichen bestimmen und hinschreiben.

    Das Mittelglied ist negativ → 2. binomische Formel:

    x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2
  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Struktur prüfen.

    36a2−4936a^2 - 49 hat zwei Glieder, verbunden mit Minus. Das ist das Kennzeichen der 3. Formel.

    Beide Glieder als Quadrate schreiben:

    36a2=(6a)249=7236a^2 = (6a)^2 \qquad 49 = 7^2
  6. 6

    Teil b): Schritt 5: In Produktform bringen.

    a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 36a2−49=(6a+7)(6a−7)36a^2 - 49 = (6a + 7)(6a - 7)
  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle durch Ausmultiplizieren.

    (6a+7)(6a−7)=36a2−42a+42a−49=36a2−49  ✓(6a+7)(6a-7) = 36a^2 - 42a + 42a - 49 = 36a^2 - 49 \; ✓

    Die beiden Mittelglieder heben sich auf, genau das ist der Grund, warum die 3. Formel funktioniert.

    Prüfe auch a): (x−5)2=x2−10x+25(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25 ✓

a) x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 · b) 36a2−49=(6a+7)(6a−7)36a^2 - 49 = (6a+7)(6a-7)

Kopfrechnen mit Binomi

Berechne im Kopf: a) 1022102^2 b) 98⋅10298 \cdot 102

  1. 1

    Was ist gesucht? Zwei Ergebnisse, ohne schriftliches Rechnen.

    Der Trick: Beide Aufgaben enthalten Zahlen dicht bei 100100. Und mit 100100 rechnet es sich mühelos.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Zerlegen.

    102=100+2102 = 100 + 2

    Damit wird aus 1022102^2 ein Fall für die 1. binomische Formel mit a=100a = 100 und b=2b = 2.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Formel anwenden.

    (100+2)2=1002+2⋅100⋅2+22(100+2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 =10 000+400+4=10 404= 10\,000 + 400 + 4 = 10\,404

    Alle drei Summanden sind Kopfrechnen, genau das war das Ziel.

  4. 4

    Teil b): Schritt 3: Die passende Zerlegung finden.

    9898 und 102102 liegen beide 22 von 100100 entfernt, einmal darunter, einmal darüber.

    98=100−2102=100+298 = 100 - 2 \qquad 102 = 100 + 2

    Diese Symmetrie ist das Erkennungszeichen der 3. binomischen Formel.

  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Formel anwenden.

    (100−2)(100+2)=1002−22=10 000−4=9 996(100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10\,000 - 4 = 9\,996
  6. 6

    Schritt 5: Wann sich der Trick lohnt.

    Nur wenn die Zahlen dicht an einer Zahl liegen. Bei 63⋅8763 \cdot 87 hilft er nicht, die beiden liegen nicht gleich weit von einer bequemen Mitte entfernt.

    Faustregel: Erst hinschauen, dann rechnen. Findest du die Struktur, geht es im Kopf; findest du sie nicht, rechne schriftlich.

a) 1022=10 404102^2 = 10\,404 · b) 98⋅102=9 99698 \cdot 102 = 9\,996

Typischer Fehler

(a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2

Der Klassiker aller Termfehler! Das gemischte Glied 2ab2ab fehlt. Gegenbeispiel mit Zahlen: (3+4)2=49(3 + 4)^2 = 49, aber 32+42=253^2 + 4^2 = 25, deutlich daneben. Quadrieren ist eben kein „Verteilen aufs Plus". Male dir das Flächenbild: Das große enthält zwei abab-, die nicht verschwinden.

Typischer Fehler

(a−b)2=a2−2ab−b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2

Das letzte Glied ist (−b)2=+b2(-b)^2 = +b^2: sind nie negativ! Richtig: a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2. Nur das Mittelglied trägt das Minus. Zahlencheck: (5−2)2=9(5-2)^2 = 9 und 25−20+4=925 - 20 + 4 = 9 ✓ (mit −4-4 am Ende käme fälschlich 1 heraus).

Übung 1

leicht

Multipliziere aus: a) (x+5)2(x + 5)^2 b) (y−3)2(y - 3)^2 c) (a+6)(a−6)(a + 6)(a - 6)

Tipp anzeigen

Formel erkennen, aa und bb identifizieren, einsetzen.

Lösung anzeigen

a) x2+10x+25x^2 + 10x + 25

b) y2−6y+9y^2 - 6y + 9

c) a2−36a^2 - 36

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Erste binomische Formel

    (x+5)2(x+5)^2 nach (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 mit a=xa = x, b=5b = 5: x2+2⋅x⋅5+25=x2+10x+25x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 25 = x^2 + 10x + 25.

  2. 2

    b) Zweite binomische Formel

    (y−3)2=y2−2⋅y⋅3+9=y2−6y+9(y-3)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 9 = y^2 - 6y + 9.

  3. 3

    c) Dritte binomische Formel

    (a+6)(a−6)(a+6)(a-6): Plus-mal-Minus-Paar → a2−36a^2 - 36. Die gemischten Glieder +6a+6a und −6a-6a heben sich auf.

    (a+6)(a−6)=a2−6a+6a−36=a2−36(a+6)(a-6) = a^2 - 6a + 6a - 36 = a^2 - 36

Übung 2

mittel

a) Multipliziere aus: (2x+3y)2(2x + 3y)^2 b) Faktorisiere: x2+16x+64x^2 + 16x + 64 c) Faktorisiere: 100−9k2100 - 9k^2

Tipp anzeigen

b) Ist 16x=2⋅x⋅816x = 2 \cdot x \cdot 8? c) Zwei , Minus dazwischen.

Lösung anzeigen

a) 4x2+12xy+9y24x^2 + 12xy + 9y^2

b) 82=648^2 = 64 und 2⋅x⋅8=16x2 \cdot x \cdot 8 = 16x ✓ → (x+8)2(x + 8)^2

c) (10+3k)(10−3k)(10 + 3k)(10 - 3k)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Binome mit Koeffizienten

    (2x+3y)2(2x+3y)^2 mit a=2xa = 2x, b=3yb = 3y: (2x)2+2⋅2x⋅3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2.

  2. 2

    b) Faktorisieren: Quadratmuster erkennen

    x2+16x+64x^2 + 16x + 64: Ist es ein (a+b)2(a+b)^2? Endglieder: x2x^2 und 64=8264 = 8^2. Mittelglied-Check: 2⋅x⋅8=16x2 \cdot x \cdot 8 = 16x ✓, also (x+8)2(x+8)^2.

  3. 3

    c) Differenz zweier Quadrate

    100−9k2=102−(3k)2100 - 9k^2 = 10^2 - (3k)^2: dritte Formel rückwärts → (10+3k)(10−3k)(10 + 3k)(10 - 3k).

Übung 3

schwer

a) Vereinfache: (x+4)2−(x−4)2(x+4)^2 - (x-4)^2 b) Ein mit Seite aa wird um 3 cm verlängert und um 3 cm verschmälert ( a+3a+3 mal a−3a-3). Um wie viel unterscheidet sich die neue von der alten, unabhängig von aa?

Tipp anzeigen

b) 3. binomische Formel!

Lösung anzeigen

a) (x2+8x+16)−(x2−8x+16)=16x(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 8x + 16) = 16x

b) Neue Fläche: (a+3)(a−3)=a2−9(a+3)(a-3) = a^2 - 9.

Die neue Fläche ist immer genau 9 cm29\,\text{cm}^2 kleiner als das Quadrat, egal wie groß aa ist!

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Beide Quadrate entwickeln

    (x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16 und (x−4)2=x2−8x+16(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16, erste und zweite binomische Formel.

  2. 2

    a) Subtrahieren mit Minusklammer

    (x2+8x+16)−(x2−8x+16)=x2+8x+16−x2+8x−16=16x(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 8x + 16) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 16x.

    (x+4)2−(x−4)2=16x(x+4)^2 - (x-4)^2 = 16x

  3. 3

    b) Das Quadrat-Rechteck-Phänomen

    Neue Fläche: (a+3)(a−3)=a2−9(a+3)(a-3) = a^2 - 9 (dritte Formel). Alte Fläche: a2a^2. Die neue ist IMMER genau 9 cm29\,\text{cm}^2 kleiner, unabhängig von aa.

Zusammenfassung

Klammern multiplizieren heißt „jedes mit jedem", und drei Spezialfälle kennst du auswendig: (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 und (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2. Vorwärts multiplizieren sie aus, rückwärts faktorisieren sie, und nebenbei machen sie dich zum Kopfrechen-Künstler. Das 2ab2ab nie vergessen. Es ist der Unterschied zwischen richtig und klassisch falsch.