Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Abbildungen

Wo baut man einen Brunnen, der von zwei Dörfern gleich weit entfernt ist? Und wie faltet man einen Winkel exakt in zwei gleiche Hälften? Beide Fragen beantworten zwei berühmte Konstruktionen, die seit über 2000 Jahren nur mit Zirkel und Lineal auskommen: die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.

Die Mittelsenkrechte $m$ einer Strecke $\overline{AB}$ steht senkrecht auf der Strecke und geht durch ihren Mittelpunkt.

Konstruktion mit dem Zirkel:

1. Zirkel in $A$ einstechen, Radius größer als die halbe Strecke wählen, je einen Bogen ober- und unterhalb schlagen.
2. Mit demselben Radius von $B$ aus zwei Bögen schlagen.
3. Die beiden Schnittpunkte der Bögen verbinden, fertig ist die Mittelsenkrechte.

Die besondere Eigenschaft, und sie gilt in beide Richtungen: Ein Punkt liegt genau dann auf der Mittelsenkrechten, wenn er von $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist.

Die eine Richtung ist schnell klar: Liegt $P$ auf $m$, dann ist $P$ von $A$ und $B$ gleich weit entfernt, $m$ steht ja senkrecht auf der Mitte, links und rechts sieht alles gleich aus.

Für die Konstruktion brauchst du aber die andere Richtung: Ist ein Punkt $P$ von $A$ und $B$ gleich weit entfernt, muss er dann auch auf $m$ liegen? Ja, und das kannst du mit einem Dreieck begründen, das du kennst. Wegen $|\overline{PA}| = |\overline{PB}|$ ist das Dreieck $ABP$ gleichschenklig mit der Basis $\overline{AB}$. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch, genau das hast du im vorigen Kapitel am Faltbild gesehen, als es um die Basiswinkel ging. Seine Symmetrieachse verläuft durch die Spitze $P$ und durch die Mitte der Basis, senkrecht auf ihr. Das ist genau die Mittelsenkrechte. Also liegt $P$ darauf.

Erst damit funktioniert die Konstruktion: Die beiden Bogen-Schnittpunkte haben von $A$ und von $B$ denselben Abstand, den Zirkelradius. Nach der eben begründeten Richtung liegen sie deshalb beide auf der Mittelsenkrechten. Und durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.

Warum diese Unterscheidung wichtig ist: „Jeder Punkt auf $m$ ist gleich weit entfernt" allein würde nicht genügen. Daraus folgt nämlich noch nicht, dass jeder gleich weit entfernte Punkt auch auf $m$ liegen muss, genauso wenig, wie aus „jeder Hund ist ein Säugetier" folgt, dass jedes Säugetier ein Hund ist. Erst die zweite Richtung macht aus der Eigenschaft ein Konstruktionsverfahren.

Warum der Radius größer als die halbe Strecke sein muss

Diese Bedingung in Schritt 1 wird oft überlesen, ist aber entscheidend.

Stell dir vor, du wählst den Radius kleiner als die halbe Strecke: Dann reichen die Bögen um $A$ und die Bögen um $B$ nicht bis zur Mitte, sie treffen sich nie, und du bekommst keine Schnittpunkte.

Bei genau der halben Strecke berühren sich die Bögen in einem einzigen Punkt (dem Mittelpunkt). Ein Punkt legt aber noch keine Gerade fest.

Erst ein größerer Radius liefert zwei Schnittpunkte, und durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.

Wozu man die Mittelsenkrechte braucht

Die Eigenschaft „überall gleich weit von $A$ und $B$" beantwortet eine ganze Klasse von Fragen: Wo muss ein Treffpunkt liegen, der für zwei Personen gleich weit entfernt ist? Wo verläuft die Grenze zwischen zwei Orten?

Die Antwort ist nie ein einzelner Punkt, sondern immer eine ganze Gerade, darauf liegen unendlich viele mögliche Stellen.

Die Winkelhalbierende $w$ teilt einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel.

Konstruktion:

1. Zirkel im Scheitel $S$ einstechen, einen Bogen schlagen, der beide Schenkel schneidet (Punkte $P$ und $Q$).
2. Von $P$ und $Q$ aus mit gleichem Radius je einen Bogen ins Innere des Winkels schlagen.
3. Den Schnittpunkt der Bögen (nenne ihn $R$) mit $S$ verbinden.

Warum diese Konstruktion funktioniert

Auch hier steckt die Mittelsenkrechte dahinter, du brauchst nichts Neues:

• $P$ und $Q$ liegen auf einem Bogen um $S$, sind von $S$ also gleich weit entfernt.
• $R$ entsteht aus zwei gleich großen Bögen um $P$ und $Q$, ist von $P$ und $Q$ also ebenfalls gleich weit entfernt.

Damit sind beide Punkte, $S$ und $R$, von $P$ und $Q$ gleich weit entfernt, und nach dem Satz von oben liegen sie deshalb beide auf der Mittelsenkrechten von $\overline{PQ}$. Die Gerade durch $S$ und $R$ ist also diese Mittelsenkrechte.

Und eine Mittelsenkrechte ist zugleich eine Spiegelachse: Faltest du die Figur entlang $SR$, fällt $P$ genau auf $Q$, und damit der eine Schenkel auf den anderen. Die beiden Teilwinkel decken sich, sind also gleich groß. Genau das sollte die Konstruktion leisten.

Die besondere Eigenschaft: Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden hat von beiden Schenkeln denselben Abstand.

Auch das folgt aus dem Falten: Ein Punkt auf $w$ bleibt dabei liegen, die beiden Schenkel tauschen die Plätze. Sein Abstand zum einen Schenkel muss deshalb derselbe sein wie zum anderen.

Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen sind exakt: Messen und Halbieren mit dem Lineal erzeugt immer kleine Fehler. In Geometriesoftware (z. B. GeoGebra) bleiben Konstruktionen sogar beweglich: Ziehst du an $A$ oder $B$, wandert die Mittelsenkrechte automatisch korrekt mit.

Beide Konstruktionen brauchst du bald wieder, für Umkreis und Inkreis in Klasse 7.

Bis hierher hast du die Mittelsenkrechte als Konstruktion kennengelernt. Jetzt kommt der Grund, warum sie eine der wichtigsten Linien der Geometrie ist.

Achsensymmetrisch, was heißt das?

Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn man sie so falten kann, dass beide Hälften genau aufeinanderpassen. Die Faltkante heißt Symmetrieachse, und weil an ihr gespiegelt wird, sagt man auch Spiegelachse.

Probier es an einem Blatt Papier aus: Falte es einmal, schneide eine beliebige Form hinein und klappe es auf. Was entsteht, ist immer achsensymmetrisch, die Falte ist die Achse.

Original und Bild

Beim Spiegeln bekommt jeder Punkt einen Partner:

• Der Punkt $A$ der Ausgangsfigur heißt Originalpunkt (oder Urbildpunkt).
• Sein Partner $A'$ (sprich: „A Strich") heißt Bildpunkt.

Die ganze gespiegelte Figur heißt Bildfigur.

🔴 Warum die Achse eine Mittelsenkrechte ist

Schau dir an, wie $A$ und $A'$ zur Achse liegen. Zwei Dinge gelten immer:

1. Die Verbindungsstrecke $\overline{AA'}$ trifft die Achse im rechten Winkel.
2. Die Achse teilt $\overline{AA'}$ in zwei gleich lange Abschnitte, $A$ und $A'$ sind also gleich weit von der Achse entfernt.

Steht dir das bekannt vor? Genau diese zwei Eigenschaften hast du oben als Definition der Mittelsenkrechten gelernt. Also gilt:

Die Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte jeder Strecke $\overline{AA'}$ zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.

Das ist keine Ähnlichkeit, sondern dieselbe Sache. Und daraus folgt sofort etwas Praktisches:

Wenn du eine Figur und ihre Bildfigur siehst, kannst du die Achse finden, du konstruierst einfach die Mittelsenkrechte einer einzigen Strecke $\overline{AA'}$. Ein Punktepaar genügt.

Spiegeln mit dem Geodreieck

1. Lege das Geodreieck so an, dass eine seiner Querlinien auf der Achse liegt. Dann steht die Kante des Geodreiecks senkrecht auf der Achse.
2. Miss von $A$ aus den Abstand bis zur Achse.
3. Trage denselben Abstand auf der anderen Seite ab und markiere dort $A'$.
4. Wiederhole das für jeden Eckpunkt.
5. Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie im Original.

Was bleibt liegen?

Punkte, die auf der Achse liegen, bleiben, wo sie sind: Ihr Abstand zur Achse ist null, also ist der Bildpunkt der Punkt selbst. Solche Punkte heißen Fixpunkte.

Der Unterschied zu Klasse 5

Im Koordinatensystem hast du bereits gespiegelt, dort kippte einfach ein Vorzeichen ($A(3 \mid 2) \to A'(-3 \mid 2)$ beim Spiegeln an der $y$-Achse). Das funktioniert aber nur, solange die Achse eine der beiden Koordinatenachsen ist.

Die Konstruktion hier funktioniert an jeder Achse, auch an einer schrägen. Sie ist der allgemeine Fall, das Rechnen mit Vorzeichen ist der bequeme Sonderfall.

Die Achsenspiegelung ist nicht die einzige Möglichkeit, eine Figur zu bewegen, ohne sie zu verformen. Zwei weitere brauchst du.

Punktspiegelung

Statt an einer Geraden wird hier an einem Punkt gespiegelt. Dieser Punkt heißt Symmetriepunkt oder Zentrum $Z$.

Stell dir vor, du drehst die Figur um $Z$ um eine halbe Umdrehung ($180°$), genau das kommt dabei heraus. Deshalb steht die Bildfigur „auf dem Kopf".

Für jeden Punkt gilt:

$A$, $Z$ und $A'$ liegen auf einer Geraden, und $Z$ liegt genau in der Mitte zwischen $A$ und $A'$.

So konstruierst du:

1. Zeichne eine Gerade durch $A$ und $Z$.
2. Miss den Abstand von $A$ bis $Z$.
3. Trage denselben Abstand von $Z$ aus weiter in dieselbe Richtung ab. Dort liegt $A'$.
4. Für jeden Eckpunkt wiederholen, dann in derselben Reihenfolge verbinden.

Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie nach dieser halben Drehung genauso aussieht wie vorher. Der Buchstabe N ist es, das Wort ANNA auf den Kopf gestellt ebenfalls. Probier es aus, indem du das Blatt umdrehst.

🔴 Nur ein Fixpunkt. Bei der Punktspiegelung bleibt genau ein Punkt liegen: das Zentrum $Z$ selbst. Bei der Achsenspiegelung war es eine ganze Gerade voller Fixpunkte.

Verschiebung

Hier wird nichts gespiegelt und nichts gedreht: Jeder Punkt der Figur macht denselben Weg: dieselbe Richtung, dieselbe Länge. Man zeichnet diesen Weg als Pfeil.

Deshalb sind alle Verschiebungspfeile einer Figur parallel und gleich lang. Wäre auch nur einer anders, würde die Figur verzerrt.

Im Koordinatensystem kennst du das schon aus Klasse 5: „$3$ nach rechts, $2$ nach unten" macht aus $(x \mid y)$ den Punkt $(x+3 \mid y-2)$, für alle Punkte dieselbe Rechnung.

Was bei allen dreien gleich bleibt

Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Verschiebung haben eines gemeinsam: Sie bewegen die Figur, aber sie verformen sie nicht.

Original und Bild sind deshalb deckungsgleich. Man sagt auch kongruent. Genau das prüfst du in Klasse 7 systematisch mit den Kongruenzsätzen.

🔴 Ein Unterschied bleibt trotzdem. Bei der Verschiebung und der Punktspiegelung kannst du die Bildfigur durch Schieben und Drehen wieder aufs Original legen. Bei der Achsenspiegelung nicht, dazu müsstest du das Blatt umdrehen. Deshalb lässt sich dein Spiegelbild auch nicht mit dir zur Deckung bringen: Es hebt die andere Hand.