Kreis, Geraden am Kreis und der Satz des Thales

Der Kreis ist die perfekteste aller Formen: Jeder Randpunkt ist genau gleich weit von der Mitte entfernt. Um ihn herum gibt es ein ganzes Vokabular, Sehne, Tangente, Sekante, und einen der ältesten Sätze der Mathematik: den Satz des Thales, mit dem rechte Winkel wie von Zauberhand entstehen.

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt $M$) denselben Abstand haben. Dieser Abstand ist der Radius $r$. Die Bilder unten zeigen die wichtigsten Strecken am Kreis:

• Radius $r$: von $M$ zum Kreisrand.
• Durchmesser $d$: quer durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand, $d = 2r$.
• Sehne: Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte (die längste Sehne ist der Durchmesser).

Eine Gerade kann den Kreis auf drei Arten treffen:

Die Tangente steht im Berührpunkt immer senkrecht auf dem Radius, siehe die Markierung des rechten Winkels im Bild.

Warum die Tangente senkrecht auf dem Radius steht

Das ist keine Beobachtung am Bild, sondern lässt sich begründen, mit etwas, das du aus Klasse 5 schon kennst.

Zuerst die Vorstellungshilfe: Eine Tangente berührt den Kreis nur. Sie taucht nicht ins Innere ein. Denn sobald ein Punkt der Geraden im Kreisinneren läge, müsste die Gerade den Kreisrand auf beiden Seiten wieder verlassen, dann hätte sie zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis und wäre eine Sekante, keine Tangente.

Und jetzt die Begründung. Nenne den Berührpunkt $B$ und schau dir die Abstände vom Mittelpunkt $M$ aus an:

• Der Berührpunkt $B$ liegt auf dem Kreis. Sein Abstand zu $M$ ist also genau der Radius $r$.
• Jeder andere Punkt der Tangente liegt außerhalb des Kreises. Und außerhalb heißt: weiter als $r$ von $M$ entfernt.

Damit ist $\overline{MB}$ der kürzeste Weg von $M$ zur Tangente, kein anderer Punkt der Geraden liegt näher.

Und den letzten Schritt kennst du aus Geometrische Grundbegriffe (Klasse 5): Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Geraden ist immer der senkrechte. Also steht der Radius $\overline{MB}$ senkrecht auf der Tangente.

Merke dir den Zusammenhang: „Tangente steht senkrecht auf dem Radius" ist nur eine andere Formulierung für „der Radius zum Berührpunkt ist der kürzeste Weg zur Tangente".

Liegt der Punkt $C$ auf einem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann hat das Dreieck $ABC$ bei $C$ immer einen rechten Winkel.

Der Halbkreis über $\overline{AB}$ (mit dem Streckenmittelpunkt als Zentrum) heißt Thaleskreis. Egal, wo auf dem Bogen $C$ liegt, der Winkel bei $C$ beträgt exakt $90°$.

Warum? Verbinde $C$ mit dem Mittelpunkt $M$. Die drei Strecken $\overline{MA}$, $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ sind alle Radien, also gleich lang, und damit sind $AMC$ und $BMC$ zwei gleichschenklige Dreiecke.

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß (das Faltargument aus dem Dreiecks-Kapitel). Das heißt hier:

• Im Dreieck $AMC$: der Winkel bei $A$ ist genauso groß wie der bei $C$, nenne beide $\alpha$.
• Im Dreieck $BMC$: der Winkel bei $B$ ist genauso groß wie der bei $C$, nenne beide $\beta$.

Der Winkel bei $C$ setzt sich aus beiden zusammen, ist also $\alpha + \beta$.

Jetzt der Innenwinkelsatz im großen Dreieck $ABC$. Seine drei Winkel sind $\alpha$ (bei $A$), $\beta$ (bei $B$) und $\alpha + \beta$ (bei $C$):

Und $\alpha + \beta$ ist der Winkel bei $C$. Er beträgt also immer $90°$, ganz gleich, wo auf dem Bogen $C$ liegt. Nirgends in dieser Begründung kam vor, wo $C$ genau sitzt; nur, dass $\overline{MC}$ ein Radius ist.

Auch die Umkehrung gilt, und die muss man eigens begründen

Die Umkehrung lautet: Hat ein Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel, dann liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$.

Das klingt, als wäre es dieselbe Aussage rückwärts gelesen, ist es aber nicht. Oben haben wir gezeigt: auf dem Halbkreis $\Rightarrow$ rechter Winkel. Die Umkehrung behauptet: rechter Winkel $\Rightarrow$ auf dem Halbkreis. Aus dem einen folgt das andere nicht von selbst; genauso wenig, wie aus „jedes Quadrat ist ein Rechteck" folgt, dass jedes Rechteck ein Quadrat ist. Die Umkehrung braucht also einen eigenen Grund.

Und den bekommen wir, mit dem, was oben schon bewiesen ist.

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit einem rechten Winkel bei $C$. Zeichne den Thaleskreis über $\overline{AB}$ und dazu die Gerade durch $A$ und $C$.

Schritt 1: Diese Gerade trifft den Kreis noch ein zweites Mal. Berühren kann sie ihn nicht, dann stünde sie nach dem vorigen Abschnitt senkrecht auf dem Radius $\overline{MA}$, und der Winkel bei $A$ wäre schon $90°$. Zwei rechte Winkel hat aber kein Dreieck, denn zusammen wären das bereits die vollen $180°$. Nenne den zweiten Schnittpunkt $C^{*}$.

Schritt 2: Auch bei $C^{*}$ sitzt ein rechter Winkel. $C^{*}$ liegt ja auf dem Thaleskreis, und für Punkte auf dem Kreis haben wir den rechten Winkel oben bewiesen.

Schritt 3: Beide Punkte sind derselbe Fußpunkt. Jetzt vergleiche:

• Bei $C$ ist der Winkel $90°$, also steht $\overline{BC}$ senkrecht auf der Geraden durch $A$ und $C$.
• Bei $C^{*}$ ist der Winkel ebenfalls $90°$, also steht $\overline{BC^{*}}$ senkrecht auf derselben Geraden.

Beide Male ist es das Lot von $B$ auf dieselbe Gerade. Und durch einen Punkt gibt es zu einer Geraden genau eine Senkrechte, also auch nur einen Fußpunkt. Deshalb muss $C^{*} = C$ sein.

Damit liegt $C$ auf dem Thaleskreis. Das war zu zeigen.

Wofür man den Satz benutzt

Beide Richtungen sind nützlich, aber für verschiedene Aufgaben:

• Hinrichtung („$C$ auf dem Halbkreis $\Rightarrow$ rechter Winkel"): Du brauchst ein rechtwinkliges Dreieck über einer gegebenen Strecke? Zeichne den Thaleskreis und nimm irgendeinen Punkt darauf.
• Umkehrung („rechter Winkel $\Rightarrow$ $C$ auf dem Halbkreis"): Du suchst alle Punkte, von denen aus eine Strecke „unter $90°$ erscheint"? Das ist genau der Thaleskreis.

Damit lässt sich sogar eine Tangente konstruieren, die Frage darunter führt dich Schritt für Schritt hin.