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Analysis

Flächenberechnungen mit Integralen

Echte Flächeninhalte bestimmen, mit Nullstellen und zwischen zwei Graphen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Das bestimmte liefert eine bilanz, aber was, wenn du den echten Flächeninhalt willst, bei dem sich nichts wegheben darf? Und wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven? Diese Fragen lösen wir jetzt: mit als Teilungsstellen und der Differenz zweier Funktionen. Damit wird das Integral zum präzisen Flächenmesser.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Unterschied zwischen Integralwert und verstehen.

  • Flächen zwischen Graph und x-Achse mit Nullstellen-Zerlegung korrekt berechnen.

  • die Fläche zwischen zwei Graphen über das Differenzintegral bestimmen.

  • Schnittstellen als Integrationsgrenzen ermitteln.

Warum das Integral nicht immer die Fläche misst

Im vorigen Kapitel hast du gesehen, dass ein bestimmtes negativ werden kann, wenn der Graph unter der xx-Achse verläuft. Ein kann das nie sein, eine Fläche von −23-\frac23 Quadratmetern gibt es nicht. Dahinter steckt kein Rechenfehler, sondern ein Bedeutungsunterschied, den wir jetzt sauber auseinandernehmen.

Ein Bild aus dem Alltag: Kontostand und Umsatz

Stell dir ein Konto vor. In einem Monat gehen 500 € ein, im nächsten gehen 500 € ab.

  • Der Kontostand hat sich am Ende um 500−500=0500 - 500 = 0 Euro verändert. Das ist eine Bilanz: Zugänge und Abgänge verrechnen sich.
  • Der Umsatz beträgt trotzdem 500+500=1000500 + 500 = 1000 Euro. Das ist die Gesamtbewegung: Hier zählt jeder Betrag positiv, unabhängig von der Richtung.

Beide Zahlen sind richtig, sie beantworten nur verschiedene Fragen. Genau dieses Paar gibt es auch beim Integral:

  • Das bestimmte Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx ist die Bilanz. Flächenstücke oberhalb der Achse zählen positiv, Stücke unterhalb negativ.
  • Der Flächeninhalt AA ist die Gesamtbewegung. Jedes Stück zählt positiv.

Woher das Minuszeichen rechnerisch kommt

Das ist keine willkürliche Vereinbarung, sondern folgt zwingend aus der Konstruktion des Integrals. Erinnere dich an die aus dem vorigen Kapitel: Jedes hatte die Breite Δx\Delta x und die Höhe f(x)f(x), sein Flächenbeitrag war das Produkt f(x)⋅Δxf(x) \cdot \Delta x.

Liegt der Graph unter der Achse, ist f(x)f(x) negativ. Damit wird auch das Produkt negativ:

f(x)⏟< 0⋅Δx⏟> 0<0\underbrace{f(x)}_{<\,0} \cdot \underbrace{\Delta x}_{>\,0} < 0

Die Rechtecke hängen sozusagen nach unten und werden deshalb abgezogen. Das Integral kann also gar nicht anders, als solche Stücke negativ zu zählen.

Der entscheidende Unterschied an einem Beispiel

Nimm f(x)=x3f(x) = x^3 zwischen x=−1x = -1 und x=2x = 2. Die Bilanz ist schnell berechnet:

∫−12x3 dx=[14x4]−12=4−14=154=3,75\int_{-1}^{2} x^3\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^{2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75

Der Flächeninhalt ist aber größer, wie du gleich sehen wirst: 4,254{,}25. Die Differenz von genau 0,50{,}5 ist das Stück links der Null, das zweimal fehlt, einmal, weil es abgezogen statt addiert wurde.

Die Leitfrage bei jeder Aufgabe lautet deshalb: Ist nach dem Integral gefragt (dann rechne einfach durch) oder nach dem Flächeninhalt (dann musst du gleich mehr tun)?

Fläche mit Vorzeichenwechsel bei x³

xy1-22468f(x)=x³a=−1b=2

Der Graph von f(x)=x3f(x)=x^3 verläuft auf [−1;0][-1;0] unter der x-Achse und auf [0;2][0;2] darüber. Deshalb ist die in zwei unterschiedlich eingefärbten Teilflächen dargestellt. Für den echten Flächeninhalt zählen beide Teile positiv: ∣−14∣+∣4∣=4,25\left|-\frac14\right| + |4| = 4{,}25 Flächeneinheiten (nicht der reine Integralwert 154\frac{15}{4}).

Der Fahrplan: an den Nullstellen zerlegen

Wir wissen jetzt, warum sich etwas wegheben kann. Damit lässt sich das Verfahren selbst entwickeln, statt es auswendig zu lernen.

Die Idee: dort trennen, wo das Vorzeichen kippt

Das Wegheben passiert nur, wenn ein Teil des Graphen oben und ein anderer unten liegt. Wenn wir das Intervall so zerschneiden, dass innerhalb jedes Teilstücks der Graph vollständig auf einer Seite bleibt, kann sich dort nichts mehr aufheben. Jedes Teilintegral ist dann entweder ganz positiv oder ganz negativ, und mit dem Betrag machen wir daraus die gesuchte positive Größe.

Wo genau müssen wir schneiden? An den Stellen, an denen der Graph die Seite wechselt. Der Graph einer Funktion, wie sie in der Schule vorkommt, verläuft ohne Sprünge. Um von oben nach unten zu gelangen, muss er die xx-Achse also überqueren, und auf der Achse gilt f(x)=0f(x) = 0.

Das sind genau die . Die Schnittstellen fallen uns damit nicht vom Himmel; sie sind die einzigen Kandidaten für einen Vorzeichenwechsel.

Daraus entsteht der Fahrplan

  1. Nullstellen bestimmen: f(x)=0f(x) = 0 lösen und prüfen, welche Lösungen im Intervall [a;b][a;b] liegen. Nullstellen außerhalb sind für diese Aufgabe bedeutungslos.
  2. Teilintervalle bilden: Die gefundenen Nullstellen zerlegen [a;b][a;b] in Abschnitte, in denen der Graph die Seite nicht mehr wechselt.
  3. Einzeln : über jedes Teilintervall für sich.
  4. Beträge addieren: Erst der Betrag macht aus der Bilanz die .
A=∣∫ax1f(x) dx∣+∣∫x1x2f(x) dx∣+…+∣∫xnbf(x) dx∣A = \left|\int_{a}^{x_1} f(x)\,dx\right| + \left|\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx\right| + \ldots + \left|\int_{x_n}^{b} f(x)\,dx\right|

Ein häufiges Missverständnis vorweg

Der Betrag gehört um jedes Teilintegral einzeln, nicht um die Summe am Ende. Schreibt man

∣∫ax1f dx+∫x1bf dx∣,\left|\int_{a}^{x_1} f\,dx + \int_{x_1}^{b} f\,dx\right|,

hat man nichts gewonnen: Innerhalb des Betrags heben sich die Teile weiterhin auf, und man erhält wieder nur die Bilanz. Die Beträge müssen vor dem Addieren gezogen werden.

Sonderfall, der Arbeit spart: Hat ff im Intervall gar keine Nullstelle, liegt der Graph vollständig auf einer Seite. Dann gibt es nichts zu zerlegen, und der Flächeninhalt ist einfach der Betrag des einen Integrals.

Fläche zwischen zwei Graphen: die Streifen-Idee

Bisher ging es um die zwischen einem Graphen und der xx-Achse. Häufig wird aber nach der Fläche gefragt, die zwei Graphen einschließen, etwa der linsenförmige Bereich zwischen zwei .

Warum wir dafür nichts Neues brauchen

Zurück zur Konstruktion des : Wir haben die Fläche in schmale senkrechte Streifen zerlegt und deren Inhalte aufsummiert. Bei einem Streifen unter einer Kurve war die Höhe der Funktionswert f(x)f(x), weil der Streifen von der Achse bis zum Graphen reichte.

Jetzt reicht der Streifen nicht bis zur Achse, sondern nur vom unteren bis zum oberen Graphen. Seine Höhe ist deshalb der Abstand der beiden Funktionswerte an dieser Stelle:

Ho¨he des Streifens=f(x)−g(x)(f oben,g unten)\text{Höhe des Streifens} = f(x) - g(x) \qquad (f \text{ oben}, g \text{ unten})

Der Rest des Gedankens bleibt unverändert: Streifenfläche =(f(x)−g(x))⋅Δx= \big(f(x)-g(x)\big)\cdot \Delta x, alle Streifen aufsummieren, Streifen immer schmaler werden lassen, und aus der Summe wird das Integral:

A=∫ab(f(x)−g(x)) dxobere minus untere FunktionA = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \qquad \textbf{obere minus untere Funktion}

Die Formel ist also kein neues Werkzeug, sondern dieselbe Streifen-Idee mit einer anderen Höhe.

Woher kommen die Grenzen?

Bei der Fläche unter einer Kurve waren aa und bb meist in der Aufgabe genannt. Bei einer eingeschlossenen Fläche steht dort oft nichts, und das ist kein Versehen: Die Fläche wird ja gerade von den Graphen selbst begrenzt. Sie beginnt und endet dort, wo sich die beiden Kurven treffen, wo also die Streifenhöhe auf null schrumpft.

Die Grenzen sind deshalb die Schnittstellen, und die findest du wie gewohnt durch Gleichsetzen:

f(x)=g(x)f(x) = g(x)

Fläche zwischen zwei Parabeln

xy-3-11-6-4-224f(x)=−x²+4g(x)=x²−4x=−2x=2

Zwischen den Schnittstellen x=−2x=-2 und x=2x=2 liegt ff überall oberhalb von gg, die getönte ist das der Differenz f(x)−g(x)f(x)-g(x) und ergibt genau 643≈21,3\frac{64}{3}\approx 21{,}3 Flächeneinheiten.

Warum die Lage zur x-Achse dabei egal ist

Bei der unter einer Kurve mussten wir sorgfältig auf das Vorzeichen achten. Bei der Fläche zwischen zwei Kurven spielt es dagegen keine Rolle, ob die Graphen über, unter oder quer über der xx-Achse verlaufen. Das ist so praktisch, dass es eine Begründung verdient, sonst wirkt es wie eine unverständliche Ausnahme.

Das Verschiebungs-Argument

Verschiebe beide Graphen gemeinsam um denselben Betrag cc nach oben. Anschaulich ändert sich die eingeschlossene Fläche dabei nicht: Die ganze Figur wandert nur nach oben, sie wird weder gedehnt noch gestaucht.

Und rechnerisch? Die neuen Funktionen sind f(x)+cf(x)+c und g(x)+cg(x)+c. Ihre Differenz ist:

(f(x)+c)−(g(x)+c)=f(x)−g(x)+c−c=f(x)−g(x)\big(f(x)+c\big) - \big(g(x)+c\big) = f(x) - g(x) + c - c = f(x) - g(x)

Das cc fällt vollständig heraus. Die Streifenhöhe ist nach der Verschiebung exakt dieselbe wie vorher, und damit auch die Fläche.

Was das bedeutet

Wähle cc so groß, dass beide Graphen im betrachteten Bereich vollständig oberhalb der xx-Achse liegen. Dort ist die Fläche zwischen ihnen die Differenz zweier gewöhnlicher Flächen unter Kurven, die größere minus die kleinere, und alle Vorzeichensorgen sind verschwunden. Weil die Rechnung durch das Verschieben aber unverändert bleibt, gilt das Ergebnis genauso für die ursprüngliche Lage.

Deshalb gilt: Bei der Fläche zwischen zwei Graphen brauchst du die von ff und gg gar nicht. Entscheidend ist allein, welcher Graph oben liegt, also das Vorzeichen der Differenz f(x)−g(x)f(x)-g(x), nicht das Vorzeichen von ff oder gg selbst.

Wenn die Rollen wechseln

Der vorige Abschnitt hat eine Bedingung enthalten, die leicht überlesen wird: „ff oben, gg unten". Was passiert, wenn das nicht auf dem ganzen Intervall gilt?

Ein Beispiel, an dem man den Fehler sieht

Nimm f(x)=x3f(x) = x^3 und g(x)=xg(x) = x. Gleichsetzen liefert die Schnittstellen:

x3=x  ⟺  x3−x=0  ⟺  x (x2−1)=0  ⟹  x=−1,  x=0,  x=1x^3 = x \;\Longleftrightarrow\; x^3 - x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x\,(x^2-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\; x = 0,\; x = 1

Drei Schnittstellen, also zwei eingeschlossene Teilflächen. Wer nun einfach von −1-1 bis 11 durchintegriert, erhält:

∫−11(x3−x) dx=[x44−x22]−11=(14−12)−(14−12)=0\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac14 - \frac12\right) - \left(\frac14 - \frac12\right) = 0

Das Ergebnis 00 behauptet, es gebe gar keine , obwohl in der Zeichnung deutlich zwei Flächenstücke zu sehen sind.

Die Erklärung

An einem Schnittpunkt tauschen die beiden Graphen ihre Rollen. Prüfe es mit je einem Testpunkt:

  • Bei x=−0,5x = -0{,}5: f(−0,5)=−0,125f(-0{,}5) = -0{,}125 und g(−0,5)=−0,5g(-0{,}5) = -0{,}5. Wegen −0,125>−0,5-0{,}125 > -0{,}5 liegt ff oben, die Differenz f−gf-g ist positiv.
  • Bei x=0,5x = 0{,}5: f(0,5)=0,125f(0{,}5) = 0{,}125 und g(0,5)=0,5g(0{,}5) = 0{,}5. Jetzt liegt gg oben, die Differenz f−gf-g ist negativ.

Damit ist es dasselbe Problem wie ganz am Anfang, nur eine Ebene höher: Nicht ff wechselt das Vorzeichen, sondern die Differenz f−gf-g. Und ein Vorzeichenwechsel bedeutet wieder Wegheben.

Die Regel, die daraus folgt

Zerlege an jeder Schnittstelle, die im betrachteten Bereich liegt, und addiere die Beträge:

A=∣∫−10(f−g) dx∣+∣∫01(f−g) dx∣A = \left|\int_{-1}^{0} \big(f-g\big)\,dx\right| + \left|\int_{0}^{1} \big(f-g\big)\,dx\right|

Das ist exakt derselbe Gedanke wie bei der Fläche unter einer Kurve. Dort waren die Trennstellen die von ff, hier sind es die Nullstellen von f−gf-g, also die Schnittstellen. Zwei Schnittstellen sind unkritisch; ab drei musst du zerlegen.

Rollenwechsel: x³ und x

xy-2-11-2-11f(x)=x³g(x)=xS₁(−1|−1)S₂(0|0)S₃(1|1)

Drei Schnittpunkte, zwei eingeschlossene Teilflächen, und die unterschiedliche Färbung zeigt den Grund: Links von x=0x=0 verläuft f(x)=x3f(x)=x^3 oberhalb der Geraden, rechts davon unterhalb. Die Rollen „oben" und „unten" tauschen an jedem Schnittpunkt. Wer hier von −1-1 bis 11 in einem Zug integriert, erhält 00, die beiden Teile heben sich exakt auf, obwohl sichtbar vorhanden ist.

Prüfe dich: Beim Gleichsetzen zweier Funktionen erhältst du drei Schnittstellen. Warum darfst du nicht in einem Zug durchintegrieren, und wie gehst du stattdessen vor?

Weil die Rollen wechseln. An der mittleren Schnittstelle tauschen die Graphen Ober- und Unterseite, die Differenz f−gf-g wechselt dort ihr Vorzeichen. Beim Durchintegrieren heben sich die Teilstücke deshalb gegenseitig auf: Im Beispiel oben kam exakt 00 heraus, obwohl zwei Flächenstücke deutlich zu sehen sind.

Das Vorgehen: an jeder inneren Schnittstelle trennen, jedes Teilintegral einzeln berechnen und erst dann die Beträge addieren.

Merkhilfe zum Zählen: Bei zwei Schnittstellen gibt es keine innere Trennstelle, dazwischen liegt durchgehend derselbe Graph oben, ein genügt. Ab drei Schnittstellen wechseln die Rollen, und die Zerlegung ist Pflicht.

Kontrolle: stimmt das Ergebnis überhaupt?

Flächenaufgaben bestehen aus vielen Einzelschritten, und ein Vorzeichenfehler in der Mitte fällt beim Nachrechnen kaum auf. Diese drei Kontrollen kosten wenig Zeit und finden fast jeden Fehler.

1. Das Vorzeichen

Ein ist immer positiv. Ein negatives Endergebnis bedeutet fast sicher eines von beiden: Obere und untere Funktion sind vertauscht, oder ein Betrag wurde vergessen. Beides ist schnell repariert, aber nur, wenn man es bemerkt.

2. Die Größenordnung mit einem Rechteck abschätzen

Lege gedanklich ein um die Fläche, das sie gerade eben umschließt. Sein Inhalt ist eine Obergrenze: Die krumm begrenzte Fläche kann nicht größer sein als das Rechteck, in dem sie steckt.

Beispiel: Die Linse zwischen f(x)=−x2+4f(x)=-x^2+4 und g(x)=x2−4g(x)=x^2-4 liegt zwischen x=−2x=-2 und x=2x=2 (Breite 44) sowie zwischen y=−4y=-4 und y=4y=4 (Höhe 88). Das umschließende Rechteck hat den Inhalt 4⋅8=324 \cdot 8 = 32. Ein Ergebnis von 643≈21,3\frac{64}{3} \approx 21{,}3 ist damit plausibel; ein Ergebnis von 5050 wäre sofort als falsch entlarvt.

3. Die Skizze

Eine schnelle Skizze beantwortet drei Fragen auf einen Blick, an denen die meisten Fehler entstehen: Gibt es im Intervall? Welcher Graph liegt oben? Wechseln die Rollen irgendwo?

Zeichne sie, bevor du rechnest, nicht danach. Nach der Rechnung neigt man dazu, in der Skizze das zu sehen, was das Ergebnis nahelegt.

Fläche mit Vorzeichenwechsel

Berechne den zwischen f(x)=x3f(x) = x^3 und der x-Achse über [−1;2][-1; 2].

  1. 1

    Was ist gefragt: oder Fläche? In der Aufgabe steht „Flächeninhalt". Das ist die entscheidende Weiche: Wir dürfen also nicht einfach von −1-1 bis 22 durchintegrieren, sondern müssen prüfen, ob sich Teile wegheben.

    Angaben ordnen: f(x)=x3f(x) = x^3, Intervall [−1;2][-1;2], gesucht ist AA.

  2. 2

    Schritt 1: Skizze im Kopf, wo liegt der Graph? f(x)=x3f(x) = x^3 ist die kubische Grundfunktion: Für negative xx sind die Werte negativ, für positive xx positiv.

    Konkret nachgerechnet: f(−1)=(−1)3=−1f(-1) = (-1)^3 = -1 (unter der Achse), f(2)=23=8f(2) = 2^3 = 8 (über der Achse).

    Der Graph wechselt im Intervall also die Seite: Zerlegen ist nötig.

  3. 3

    Schritt 2: Nullstellen bestimmen. Die Trennstellen sind genau dort, wo der Graph die Achse überquert:

    x3=0  ⟹  x=0x^3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

    x=0x=0 liegt zwischen −1-1 und 22, ist also relevant. Damit zerfällt das Intervall in zwei Teile:

    • [−1; 0][-1;\,0]: hier liegt der Graph unter der Achse
    • [0; 2][0;\,2]: hier liegt er über der Achse
  4. 4

    Schritt 3: , einmal für beide Teile. Nach der Potenzregel rückwärts (Exponent um 11 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen):

    F(x)=14x4F(x) = \frac{1}{4}x^4

    Probe: F′(x)=44x3=x3F'(x) = \frac{4}{4}x^3 = x^3 ✓

  5. 5

    Schritt 4: Erstes Teilintegral über [−1;0][-1;0]:

    ∫−10x3 dx=[14x4]−10=14⋅04⏟= 0−14⋅(−1)4⏟= 14=−14\int_{-1}^{0} x^3\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^{0} = \underbrace{\frac{1}{4}\cdot 0^4}_{=\,0} - \underbrace{\frac{1}{4}\cdot(-1)^4}_{=\,\frac14} = -\frac{1}{4}

    Achtung bei (−1)4(-1)^4: Der Exponent ist gerade, das Ergebnis also +1+1 und nicht −1-1.

    Das Minuszeichen im Ergebnis ist hier kein Fehler, sondern die erwartete Bestätigung: Der Graph liegt in diesem Teil unter der Achse.

  6. 6

    Schritt 5: Zweites Teilintegral über [0;2][0;2]:

    ∫02x3 dx=[14x4]02=14⋅16−0=4\int_{0}^{2} x^3\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = \frac{1}{4}\cdot 16 - 0 = 4

    Positiv, auch das passt zur Lage oberhalb der Achse.

  7. 7

    Schritt 6: Beträge bilden und addieren. Jetzt kommt der Schritt, der Bilanz in Fläche verwandelt:

    A=∣−14∣+∣4∣=14+4=174=4,25A = \left|-\frac{1}{4}\right| + \left|4\right| = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} = 4{,}25

    Die Einheit: Flächeninhalte im werden in Flächeneinheiten (FE) angegeben, da die Achsen keine physikalische Einheit tragen.

  8. 8

    Schritt 7: Kontrolle, der Vergleich, um den es in dieser Aufgabe geht. Berechne zum Vergleich das Integral in einem Zug:

    ∫−12x3 dx=[14x4]−12=4−14=154=3,75\int_{-1}^{2} x^3\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^{2} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75

    Die beiden Zahlen unterscheiden sich um genau 0,50{,}5. Das ist zweimal das Stück von 14\frac14, das links der Null liegt: einmal, weil es abgezogen wurde, und einmal, weil es hätte addiert werden müssen.

    Plausibilität: Der Flächeninhalt 4,254{,}25 ist größer als die Bilanz 3,753{,}75. Das muss so sein, denn beim Flächeninhalt zählt jedes Stück positiv mit.

A=4,25A = 4{,}25 FE

Zum Mitnehmen: Der reine Integralwert 154=3,75\frac{15}{4} = 3{,}75 wäre hier die falsche Antwort, er verrechnet das Stück unter der Achse gegen das darüber. Die Frage „Gibt es im Intervall?" entscheidet, ob zerlegt werden muss.

Fläche zwischen zwei Kurven

Berechne die , die f(x)=−x2+4f(x) = -x^2 + 4 und g(x)=x2−4g(x) = x^2 - 4 einschließen.

  1. 1

    Was fällt an der Aufgabenstellung auf? Es sind keine Integrationsgrenzen angegeben. Das ist kein fehlender Hinweis, sondern die Aussage „einschließen": Die Fläche wird von den beiden Kurven selbst begrenzt. Die Grenzen müssen wir also erst finden. Es sind die Schnittstellen.

    Angaben: f(x)=−x2+4f(x) = -x^2+4 (nach unten geöffnete , Scheitel bei (0∣4)(0|4)), g(x)=x2−4g(x) = x^2-4 (nach oben geöffnet, Scheitel bei (0∣−4)(0|-4)).

  2. 2

    Schritt 1: Schnittstellen durch Gleichsetzen.

    −x2+4=x2−4-x^2 + 4 = x^2 - 4

    Alle xx- auf eine Seite, die Zahlen auf die andere:

    4+4=x2+x2  ⟹  8=2x2  ⟹  x2=4  ⟹  x=±24 + 4 = x^2 + x^2 \;\Longrightarrow\; 8 = 2x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2

    Beide Vorzeichen mitnehmen, das Vergessen der negativen ist hier der häufigste Fehler. Die Grenzen sind a=−2a = -2 und b=2b = 2.

  3. 3

    Schritt 2: Welche Funktion liegt oben? Das entscheidet über das Vorzeichen der Differenz, also darüber, ob am Ende eine positive Zahl herauskommt.

    Setze einen Testpunkt zwischen den Schnittstellen ein, am besten x=0x = 0:

    f(0)=4g(0)=−4f(0) = 4 \qquad g(0) = -4

    Wegen 4>−44 > -4 liegt ff oben. Weil es nur zwei Schnittstellen gibt, kann sich das dazwischen auch nicht mehr ändern. Es ist kein Zerlegen nötig.

  4. 4

    Schritt 3: Differenz bilden, sorgfältig klammern. Die Streifenhöhe ist „oben minus unten":

    f(x)−g(x)=(−x2+4)−(x2−4)f(x) - g(x) = \big(-x^2+4\big) - \big(x^2-4\big)

    Beim Auflösen der zweiten Klammer dreht das Minus beide Vorzeichen:

    =−x2+4−x2+4=−2x2+8= -x^2 + 4 - x^2 + 4 = -2x^2 + 8

    Kontrolle des Ergebnisses: Bei x=0x=0 liefert die Differenz 88, und tatsächlich ist der Abstand zwischen f(0)=4f(0)=4 und g(0)=−4g(0)=-4 genau 88 ✓

  5. 5

    Schritt 4: der Differenz. Gliedweise:

    ∫−2x2 dx=−2⋅x33=−23x3∫8 dx=8x\int -2x^2\,dx = -2\cdot\frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3}x^3 \qquad \int 8\,dx = 8x H(x)=−23x3+8xH(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 8x

    Probe: H′(x)=−2x2+8H'(x) = -2x^2 + 8 ✓

  6. 6

    Schritt 5: Grenzen einsetzen.

    H(2)=−23⋅8+16=−163+16=−16+483=323H(2) = -\frac{2}{3}\cdot 8 + 16 = -\frac{16}{3} + 16 = \frac{-16 + 48}{3} = \frac{32}{3} H(−2)=−23⋅(−8)+(−16)=163−16=16−483=−323H(-2) = -\frac{2}{3}\cdot(-8) + (-16) = \frac{16}{3} - 16 = \frac{16 - 48}{3} = -\frac{32}{3}

    Bei (−2)3=−8(-2)^3 = -8 aufpassen: ungerader Exponent, das Minus bleibt erhalten.

  7. 7

    Schritt 6: Subtrahieren, oben minus unten.

    A=H(2)−H(−2)=323−(−323)=323+323=643≈21,3A = H(2) - H(-2) = \frac{32}{3} - \left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \approx 21{,}3

    Das doppelte Minus macht aus der Differenz eine Summe, hier verlieren viele einen Faktor 22.

  8. 8

    Schritt 7: Kontrolle mit dem umschließenden Rechteck. Die Linse liegt zwischen x=−2x=-2 und x=2x=2 (Breite 44) und zwischen y=−4y=-4 und y=4y=4 (Höhe 88):

    ARechteck=4⋅8=32A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 8 = 32

    Unser Ergebnis 643≈21,3\frac{64}{3} \approx 21{,}3 ist kleiner als 3232 ✓ und füllt davon etwa zwei Drittel. Das passt gut zu der bauchigen Linsenform in der Zeichnung. Außerdem ist es positiv, wie es für einen Flächeninhalt sein muss ✓

A=643≈21,3A = \dfrac{64}{3} \approx 21{,}3 FE

Der Ablauf jeder Aufgabe dieses Typs: Schnittstellen durch Gleichsetzen → Testpunkt: wer liegt oben? → „oben minus unten" → Ergebnis am umschließenden plausibilisieren.

Fläche bei wechselnder Rolle

Berechne den Inhalt der , die f(x)=x3f(x) = x^3 und g(x)=xg(x) = x einschließen.

  1. 1

    Warum diese Aufgabe anders ist. Auf den ersten Blick sieht sie aus wie die vorige: zwei Funktionen, Fläche dazwischen. Der Unterschied zeigt sich erst beim Gleichsetzen, und wer ihn übersieht, erhält als Flächeninhalt eine glatte 00.

    Angaben: f(x)=x3f(x) = x^3, g(x)=xg(x) = x; gesucht ist die eingeschlossene Fläche AA.

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    Schritt 1: Schnittstellen bestimmen.

    x3=x  ⟹  x3−x=0x^3 = x \;\Longrightarrow\; x^3 - x = 0

    Nicht durch xx teilen! Das würde die Lösung x=0x = 0 vernichten. Stattdessen :

    x (x2−1)=0x\,(x^2 - 1) = 0

    Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist:

    x=0oderx2−1=0  ⟹  x=±1x = 0 \qquad\text{oder}\qquad x^2 - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1

    Drei Schnittstellen: x=−1x = -1, x=0x = 0, x=1x = 1.

  3. 3

    Schritt 2: Was bedeuten drei Schnittstellen? Zwischen je zwei benachbarten Schnittstellen liegt ein eigenes Flächenstück, hier also zwei Stücke: eines über [−1;0][-1;0], eines über [0;1][0;1].

    An der mittleren Schnittstelle x=0x=0 berühren sich die Graphen und tauschen die Rollen: Wer vorher oben war, ist danach unten. Genau dort müssen wir trennen.

  4. 4

    Schritt 3: Testpunkte, wer liegt wo oben?

    Für [−1;0][-1;0] nehmen wir x=−0,5x = -0{,}5:

    f(−0,5)=−0,125g(−0,5)=−0,5f(-0{,}5) = -0{,}125 \qquad g(-0{,}5) = -0{,}5

    Wegen −0,125>−0,5-0{,}125 > -0{,}5 liegt ff oben. (Bei negativen Zahlen ist die kleinere Zahl weiter unten, −0,5-0{,}5 liegt tiefer als −0,125-0{,}125.)

    Für [0;1][0;1] nehmen wir x=0,5x = 0{,}5:

    f(0,5)=0,125g(0,5)=0,5f(0{,}5) = 0{,}125 \qquad g(0{,}5) = 0{,}5

    Jetzt liegt gg oben. Die Rollen haben tatsächlich getauscht ✓

  5. 5

    Schritt 4: der Differenz f−gf - g. Wir rechnen beide Teile mit derselben Differenz x3−xx^3 - x und korrigieren die Vorzeichen am Ende über die Beträge, das spart eine zweite Stammfunktion:

    H(x)=14x4−12x2H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2

    Probe: H′(x)=x3−xH'(x) = x^3 - x ✓

  6. 6

    Schritt 5: Erstes Teilstück über [−1;0][-1;0]:

    H(0)=0H(0) = 0 H(−1)=14⋅(−1)4−12⋅(−1)2=14−12=−14H(-1) = \frac{1}{4}\cdot(-1)^4 - \frac{1}{2}\cdot(-1)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} ∫−10(x3−x) dx=0−(−14)=14\int_{-1}^{0} (x^3-x)\,dx = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}

    Positiv, passend dazu, dass hier ff oben liegt ✓

  7. 7

    Schritt 6: Zweites Teilstück über [0;1][0;1]:

    H(1)=14−12=−14H(1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} ∫01(x3−x) dx=H(1)−H(0)=−14−0=−14\int_{0}^{1} (x^3-x)\,dx = H(1) - H(0) = -\frac{1}{4} - 0 = -\frac{1}{4}

    Negativ, passend dazu, dass hier gg oben liegt und wir trotzdem f−gf-g gerechnet haben ✓

  8. 8

    Schritt 7: Beträge addieren.

    A=∣14∣+∣−14∣=14+14=12=0,5A = \left|\frac{1}{4}\right| + \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5

    Zum Vergleich, worum es in dieser Aufgabe geht: Ohne Zerlegung ergäbe sich

    ∫−11(x3−x) dx=14+(−14)=0.\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx = \frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right) = 0.

    Die beiden gleich großen Stücke hätten sich exakt aufgehoben.

  9. 9

    Schritt 8: Kontrolle. Zwei unabhängige Prüfungen:

    Symmetrie: Beide Teilintegrale haben den Betrag 14\frac14. Das ist kein Zufall, f(x)=x3f(x)=x^3 und g(x)=xg(x)=x sind beide punktsymmetrisch zum Ursprung, also muss die linke Teilfläche genauso groß sein wie die rechte. Die Rechnung bestätigt das ✓

    Größenordnung: Wie hoch ist jedes Teilstück höchstens? Der Abstand der Graphen ist ∣f−g∣=∣x3−x∣|f - g| = |x^3 - x|, und seinen größten Wert findest du wie in einer Extremwertaufgabe: Die von x−x3x - x^3 ist 1−3x21 - 3x^2, sie wird null bei x=±13x = \pm\frac{1}{\sqrt3}, und dort beträgt der Abstand 233≈0,38\frac{2}{3\sqrt3} \approx 0{,}38. Jedes Teilstück passt also in ein der Breite 11 und der Höhe 0,380{,}38, mehr als 0,380{,}38 FE kann es nicht haben. Unsere Teilstücke haben je 14=0,25\frac14 = 0{,}25 FE, das passt ✓

A=12=0,5A = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 FE

Die Lehre aus dieser Aufgabe: Zähle nach dem Gleichsetzen immer die Schnittstellen. Bei zwei Schnittstellen kannst du in einem Zug ; ab drei wechseln die Rollen, und du musst an jeder inneren Schnittstelle trennen und die Beträge addieren.

Typischer Fehler

zwischen f(x)=x3f(x) = x^3 und der x-Achse über [−1;2][-1;2]: „einfach ∫−12x3 dx=154\int_{-1}^2 x^3\,dx = \frac{15}{4}."

Das ist der Integralwert, nicht der Flächeninhalt! Weil x3x^3 auf [−1;0][-1;0] unter der Achse liegt, hebt sich ein Teil der Fläche weg. Für den echten Flächeninhalt musst du bei der (x=0x = 0) trennen und die Beträge der Teilintegrale addieren: 14+4=4,25≠154=3,75\frac{1}{4} + 4 = 4{,}25 \neq \frac{15}{4} = 3{,}75. Bei jeder Flächenaufgabe zuerst fragen: „Gibt es Nullstellen im Intervall?"

Übung 1

leicht

Berechne den zwischen f(x)=x2f(x) = x^2 und der x-Achse über [0;3][0; 3].

Tipp anzeigen

Keine im Inneren → = Fläche.

Lösung anzeigen

∫03x2 dx=[13x3]03=9\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^3 = 9 FE (Graph liegt ganz über der Achse).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Lage des Graphen prüfen

    f(x)=x2≥0f(x) = x^2 \ge 0 überall, auf [0;3][0;3] liegt der Graph vollständig ÜBER der x-Achse. Dann ist der Flächeninhalt direkt das Integral.

  2. 2

    Integral auswerten

    ∫03x2 dx=[13x3]03=273−0=9\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9.

    13⋅27=9\frac{1}{3} \cdot 27 = 9

    Zwischenergebnis

    A=9A = 9 FE

  3. 3

    Mit Einheit antworten

    Der Flächeninhalt beträgt 99 FE (Flächeneinheiten).

Übung 2

mittel

Berechne den zwischen f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 und der x-Achse über [0;3][0; 3].

Tipp anzeigen

bei x=2x = 2; auf [0;2][0;2] liegt der Graph unter der Achse.

Lösung anzeigen

Nullstelle: x=2x = 2. F(x)=13x3−4xF(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x.

∫02f dx=(83−8)−0=−163\int_0^2 f\,dx = (\frac{8}{3} - 8) - 0 = -\frac{16}{3}; ∫23f dx=(9−12)−(83−8)=−3+163=73\int_2^3 f\,dx = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}

A=163+73=233≈7,67A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67 FE

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Nullstelle im Intervall finden

    f(x)=x2−4=0⇒x=±2f(x) = x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2; im Intervall [0;3][0;3] liegt die Nullstelle x=2x = 2. Dort wechselt ff das Vorzeichen: negativ auf [0;2][0;2], positiv auf [2;3][2;3].

  2. 2

    Beide Teilintegrale berechnen

    F(x)=13x3−4xF(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x: ∫02f dx=(83−8)−0=−163\int_0^2 f\,dx = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - 0 = -\frac{16}{3} und ∫23f dx=(9−12)−(83−8)=−3+163=73\int_2^3 f\,dx = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}.

    F(2)=83−8=−163,F(3)=−3F(2) = \tfrac{8}{3} - 8 = -\tfrac{16}{3}, \quad F(3) = -3

  3. 3

    Beträge addieren

    A=∣−163∣+73=163+73=233≈7,67A = \left|-\frac{16}{3}\right| + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67 FE.

Übung 3

schwer

Berechne die , die die f(x)=x2f(x) = x^2 und die Gerade g(x)=x+2g(x) = x + 2 einschließen.

Tipp anzeigen

Schnittstellen aus x2=x+2x^2 = x + 2; welche Funktion ist oben?

Lösung anzeigen

Schnittstellen: x2=x+2⇒x2−x−2=(x−2)(x+1)=0⇒x=−1,2x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, 2.

Testpunkt x=0x = 0: g(0)=2>f(0)=0g(0) = 2 > f(0) = 0 → Gerade gg ist oben.

A=∫−12(x+2−x2) dx=[12x2+2x−13x3]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=103−(−76)=276=4,5A = \int_{-1}^2 (x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^2 = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{27}{6} = 4{,}5 FE

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Schnittstellen der beiden Graphen

    Gleichsetzen: x2=x+2⇒x2−x−2=(x−2)(x+1)=0⇒x=−1x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = -1 und x=2x = 2, die Grenzen der eingeschlossenen Fläche.

    (x−2)(x+1)=0(x - 2)(x + 1) = 0

  2. 2

    Wer liegt oben? Differenzfunktion bilden

    Testpunkt x=0x = 0: g(0)=2>f(0)=0g(0) = 2 > f(0) = 0 → die Gerade liegt oben. Integriert wird „oben minus unten": ∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx.

  3. 3

    Integral auswerten

    [12x2+2x−13x3]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=103−(−76)=276=4,5\left[\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{2} = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4{,}5 FE.

    103−(−76)=276\tfrac{10}{3} - \left(-\tfrac{7}{6}\right) = \tfrac{27}{6}

    Zwischenergebnis

    A=4,5A = 4{,}5 FE

Zusammenfassung

Integralwert und sind verschieden: Für den echten Flächeninhalt zerlegst du an den und addierst die Beträge der Teilintegrale. Die Fläche zwischen zwei Graphen ist das von „oben minus unten" zwischen den Schnittstellen. Eine Skizze und der Nullstellen-Check verhindern die häufigsten Fehler, und Flächeninhalte sind stets positiv.