Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Analysis

Ableitungsregeln: Potenz-, Faktor-, Summen- und Produktregel

Das Regelwerk zum Ableiten, von Polynomen bis zum Produkt zweier Funktionen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Jede Funktion mit dem Grenzwert abzuleiten wäre mühsam, zum Glück gibt es Regeln, die aus dem Grenzprozess ein mechanisches Rezept machen. Mit vier Regeln (, Faktor, Summe, Produkt) leitest du fast jede Funktion der Schulmathematik im Kopf ab. Dieses Kapitel ist dein Werkzeugkasten für die gesamte .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Potenzregel auch für rationale Exponenten anwenden (x\sqrt{x}, 1x\frac{1}{x}).

  • Faktor-, Summen- und Konstantenregel sicher einsetzen.

  • ganzrationale Funktionen (Polynome) vollständig .

  • die Produktregel auf Produkte zweier Funktionen anwenden.

Die Grundregeln im Überblick

Regelf(x)f(x)f′(x)f'(x)
Potenzregelxnx^nn⋅xn−1n \cdot x^{n-1}
Faktorregelc⋅g(x)c \cdot g(x)c⋅g′(x)c \cdot g'(x)
Summenregelg(x)+h(x)g(x) + h(x)g′(x)+h′(x)g'(x) + h'(x)
Konstantenregelcc00

Der wichtigste Kniff: erst umschreiben, dann ableiten

Die Potenzregel sieht zunächst nur nach Polynomen aus. Tatsächlich gilt sie für alle rationalen Exponenten, also auch für und . Und genau das macht sie so mächtig, denn aus Klasse 10 weißt du:

1xn=x−nxn=x1n\frac{1}{x^n} = x^{-n} \qquad\qquad \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Ein ehrliches Wort zur Begründung: Bewiesen ist die Potenzregel bisher nur für x2x^2 und x3x^3 (im letzten Kapitel). Dass sie auch für gebrochene und negative Exponenten stimmt, können wir hier noch nicht beweisen, dafür fehlen Werkzeuge. Den wichtigsten neuen Fall, x−1x^{-1}, rechnen wir unter dem Bild aber einmal komplett nach.

Deshalb lautet die Reihenfolge bei jeder solchen Aufgabe: erst in Potenzschreibweise bringen, dann die Potenzregel anwenden.

Beispiel Bruch:

f(x)=1x=x−1⇒f′(x)=−1⋅x−2=−1x2f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \qquad\Rightarrow\qquad f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

Beispiel Wurzel:

f(x)=x=x12⇒f′(x)=12x−12=12xf(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad\Rightarrow\qquad f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Prüfe das Ergebnis auf Plausibilität: Bei x\sqrt{x} ist die immer positiv (die Wurzelfunktion steigt) und wird für große xx immer kleiner (die Kurve verläuft immer flacher) ✓

Der häufigste Fehler: direkt „ableiten" zu wollen, ohne umzuschreiben. Für 1x\frac{1}{x} gibt es keine Regel: für x−1x^{-1} schon. Und Vorsicht beim Vorzeichen: Aus −1-1 wird der Exponent −1−1=−2-1-1 = -2, nicht 00.

Das Bild unten zeigt die Potenzregel am Beispiel f(x)=x2f(x) = x^2.

Potenzregel: (x²)' = 2x

xy-3-2-112-3-2-112345f=x²f'=2x

Die Potenzregel (xn)′=n xn−1\left(x^n\right)' = n\,x^{n-1} am Beispiel: aus f(x)=x2f(x)=x^2 (grün) wird f′(x)=2xf'(x)=2x (blau). Wo ff fällt (links), ist f′f' negativ; wo ff steigt (rechts), ist f′f' positiv; im Scheitel (x=0x=0) ist f′=0f'=0.

Denk weiter: Gilt die Potenzregel wirklich für negative Exponenten? Leite 1 durch x direkt über den Differenzenquotienten ab, wie bei x hoch 2. Was kommt heraus?

Rechne erst selbst, der Plan hat dieselben vier Schritte wie bei x2x^2: aufstellen, , , Grenzübergang.

Für f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} an einer Stelle x0≠0x_0 \neq 0:

f(x)−f(x0)x−x0=1x−1x0x−x0\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}}{x - x_0}

Den auf den bringen (Bruchrechnung aus Klasse 6):

1x−1x0=x0−xx⋅x0=−x−x0x⋅x0\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} = \frac{x_0 - x}{x \cdot x_0} = -\frac{x - x_0}{x \cdot x_0}

Jetzt lässt sich x−x0x - x_0 kürzen (erlaubt, denn x≠x0x \neq x_0), und der Ausdruck, der die Division durch null erzwang, ist verschwunden:

−1x⋅x0  ⟶  −1x02fu¨r x→x0-\frac{1}{x \cdot x_0} \;\longrightarrow\; -\frac{1}{x_0^2} \quad \text{für } x \to x_0

Die Potenzregel sagt dasselbe: (x−1)′=−1⋅x−2=−1x2\left(x^{-1}\right)' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} ✓ Für diesen Exponenten ist die Erweiterung damit nicht nur behauptet, sondern bewiesen, und statt der dritten hat diesmal der Hauptnenner das Kürzen möglich gemacht.

Deine Rechnung darf anders aufgeschrieben sein, entscheidend ist, dass x−x0x - x_0 frei wird und der Grenzwert −1x02-\frac{1}{x_0^2} lautet.

Die Produktregel

Bei Summen war es bequem: Man leitet einfach für Term ab. Liegt es da nicht nahe, bei einem Produkt genauso vorzugehen, also einfach beide Faktoren einzeln abzuleiten?

Warum das nicht funktioniert, mit Gegenbeweis

Prüfen wir die Vermutung an einem Beispiel, das wir schon anders lösen können. Nimm f(x)=x⋅xf(x) = x \cdot x. Das ist natürlich x2x^2, und die kennen wir: f′(x)=2xf'(x) = 2x.

Was läge bei „faktorweise ableiten" heraus? u=xu = x und v=xv = x, also u′=1u' = 1 und v′=1v' = 1:

u′⋅v′=1⋅1=1u' \cdot v' = 1 \cdot 1 = 1

Aber 1≠2x1 \neq 2x. Die Vermutung ist damit widerlegt, ein einziges Gegenbeispiel genügt.

Merke dir das: (u⋅v)′≠u′⋅v′(u \cdot v)' \neq u' \cdot v'. Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er in Klassenarbeiten fast immer geprüft wird.

Die richtige Regel

f=u⋅v⟹f′=u′⋅v+u⋅v′f = u \cdot v \qquad\Longrightarrow\qquad f' = u' \cdot v + u \cdot v'

Merkspruch: „Erster abgeleitet mal zweiter, plus erster mal zweiter abgeleitet."

Warum das plausibel ist

Stell dir ein vor, dessen Seiten uu und vv sich beide verändern. Seine ist u⋅vu \cdot v. Wie schnell wächst sie?

Es kommen zwei Beiträge zusammen: Wird uu länger, kommt ein Streifen der Höhe vv dazu, das liefert u′⋅vu' \cdot v. Wird gleichzeitig vv größer, kommt ein Streifen der Breite uu hinzu. Das ergibt u⋅v′u \cdot v'. Beide Beiträge zusammen sind die Änderung der Fläche.

Deshalb steht in der Regel ein Plus zwischen zwei Produkten, und deshalb reicht ein einzelnes Produkt nicht aus.

Die Probe an unserem Gegenbeispiel

f(x)=x⋅xf(x) = x \cdot x mit u=v=xu = v = x und u′=v′=1u' = v' = 1:

f′=1⋅x+x⋅1=2x  ✓f' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x \;\checkmark

Jetzt stimmt es mit der Potenzregel überein.

Ein weiteres Beispiel: f(x)=x2(3x−1)f(x) = x^2(3x - 1) mit u=x2u = x^2, v=3x−1v = 3x-1, also u′=2xu' = 2x, v′=3v' = 3:

f′=2x(3x−1)+x2⋅3=6x2−2x+3x2=9x2−2xf' = 2x(3x-1) + x^2 \cdot 3 = 6x^2 - 2x + 3x^2 = 9x^2 - 2x

Kontrolle durch Ausmultiplizieren: f(x)=3x3−x2f(x) = 3x^3 - x^2, abgeleitet 9x2−2x9x^2 - 2x ✓ Bei einfachen Produkten kannst du also immer gegenprüfen, bei x2⋅exx^2 \cdot e^x geht das später nicht mehr, dann brauchst du die Regel wirklich.

Wurzeln und Brüche ableiten

Leite ab: a) f(x)=xf(x) = \sqrt{x} b) g(x)=4x2g(x) = \dfrac{4}{x^2} c) h(x)=3x+1xh(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}

  1. 1

    Das gemeinsame Problem aller drei Aufgaben. Für und gibt es keine eigene Ableitungsregel. Die Potenzregel (xn)′=nxn−1\left(x^n\right)' = n x^{n-1} verlangt eine , und genau dahin müssen wir die zuerst .

    Die beiden Umschreibungen aus Klasse 10:

    xn=x1n1xn=x−n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \qquad\qquad \frac{1}{x^n} = x^{-n}

    Die Reihenfolge ist immer: erst umschreiben, dann .

  2. 2

    a) Umschreiben und ableiten.

    f(x)=x=x12f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

    Jetzt die Potenzregel: Exponent nach vorn, Exponent um 11 verringern.

    f′(x)=12x12−1=12x−12f'(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}

    Rechne den neuen Exponenten sorgfältig: 12−1=−12\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, nicht 12\frac{1}{2}.

  3. 3

    a) Zurückschreiben. Ein Ergebnis mit negativem Exponenten schreibt man üblicherweise wieder als Bruch:

    f′(x)=12⋅1x12=12xf'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

    Plausibilitätsprüfung: Die Wurzelfunktion steigt, also muss die Ableitung positiv sein ✓ Und sie verläuft für große xx immer flacher, tatsächlich wird 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} mit wachsendem xx immer kleiner ✓

  4. 4

    b) Erst den Bruch umschreiben, den Faktor stehen lassen.

    g(x)=4x2=4⋅x−2g(x) = \frac{4}{x^2} = 4 \cdot x^{-2}

    Die 44 bleibt nach der Faktorregel unverändert, die Potenzregel wirkt nur auf x−2x^{-2}:

    g′(x)=4⋅(−2)x−3=−8x−3=−8x3g'(x) = 4 \cdot (-2) x^{-3} = -8x^{-3} = -\frac{8}{x^3}

    Achte auf den Exponenten: −2−1=−3-2 - 1 = -3. Ein häufiger Fehler ist −1-1, weil man versehentlich addiert statt subtrahiert.

    Plausibilität: gg ist für x>0x > 0 fallend, also muss g′g' dort negativ sein, das Minus passt ✓

  5. 5

    c) Gliedweise vorgehen. Der Term besteht aus zwei Summanden, also darfst du dank Summenregel jeden einzeln behandeln, und beide hast du gerade schon gerechnet:

    • 3x=3x1/23\sqrt{x} = 3x^{1/2} → Ableitung 3⋅12x−1/2=32x3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}
    • 1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1} → Ableitung −1⋅x−2=−1x2-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
  6. 6

    c) Zusammensetzen.

    h′(x)=32x−1x2h'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}

    Beachte das Minus: Es entsteht aus der Ableitung von x−1x^{-1}, obwohl im Ausgangsterm ein Plus stand. Negative Exponenten erzeugen beim Ableiten regelmäßig Minuszeichen.

a) 12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}} · b) −8x3-\dfrac{8}{x^3} · c) 32x−1x2\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x^2}

Das Rezept: Wurzel oder Bruch → in Potenzschreibweise bringen → Potenzregel → Ergebnis wieder als Wurzel/Bruch schreiben. Und immer über das Vorzeichen der Ableitung prüfen, ob sie zum Verlauf der Funktion passt.

Produktregel anwenden

Leite mit der Produktregel ab: f(x)=(2x+1)(x2−3)f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)

  1. 1

    Woran erkennst du, dass die Produktregel nötig ist? Der besteht aus zwei Faktoren, die beide ein xx enthalten. Beide einzeln abzuleiten und zu multiplizieren wäre falsch. Das hatten wir mit dem Gegenbeispiel x⋅xx \cdot x gezeigt.

    (Hier könnte man auch ausmultiplizieren und dann . Wir nutzen die Produktregel, weil sie bei komplizierteren Funktionen der einzige Weg ist: und weil wir am Ende bequem gegenprüfen können.)

  2. 2

    Die beiden Faktoren benennen und einzeln ableiten. Schreibe sie sauber untereinander, das verhindert Verwechslungen:

    u=2x+1⇒u′=2u = 2x + 1 \qquad\Rightarrow\qquad u' = 2 v=x2−3⇒v′=2xv = x^2 - 3 \qquad\Rightarrow\qquad v' = 2x

    Beachte: Bei uu fällt die 11 weg (Konstante), bei vv die −3-3.

  3. 3

    Die Regel anwenden. Sie lautet „Erster abgeleitet mal zweiter, plus erster mal zweiter abgeleitet":

    f′=u′⋅v+u⋅v′=2⋅(x2−3)+(2x+1)⋅2xf' = u' \cdot v + u \cdot v' = 2 \cdot (x^2 - 3) + (2x + 1) \cdot 2x

    Setze Klammern, wo Summen multipliziert werden, sonst gehen beim Ausmultiplizieren Vorzeichen verloren.

  4. 4

    Beide Produkte ausmultiplizieren.

    2⋅(x2−3)=2x2−62 \cdot (x^2 - 3) = 2x^2 - 6 (2x+1)⋅2x=4x2+2x(2x + 1) \cdot 2x = 4x^2 + 2x
  5. 5

    Zusammenfassen. Gleichartige Glieder addieren:

    f′(x)=2x2−6+4x2+2x=6x2+2x−6f'(x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6
  6. 6

    Die Kontrolle, hier besonders lohnend. Bei einem Produkt aus Polynomen kannst du zuerst ausmultiplizieren und dann ableiten. Kommt dasselbe heraus, ist die Rechnung sicher richtig.

    f(x)=(2x+1)(x2−3)=2x3−6x+x2−3=2x3+x2−6x−3f(x) = (2x+1)(x^2-3) = 2x^3 - 6x + x^2 - 3 = 2x^3 + x^2 - 6x - 3

    Gliedweise ableiten:

    f′(x)=6x2+2x−6  ✓f'(x) = 6x^2 + 2x - 6 \;\checkmark

    Beide Wege stimmen überein.

f′(x)=6x2+2x−6f'(x) = 6x^2 + 2x - 6

Das Vorgehen: uu, vv, u′u' und v′v' getrennt aufschreiben → in die Regel einsetzen → ausmultiplizieren → zusammenfassen. Bei Polynom-Produkten immer über das Ausmultiplizieren gegenprüfen.

Polynom höheren Grades

Leite zweimal ab: f(x)=14x4−2x3+5x−7f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 5x - 7

  1. 1

    Was heißt „zweimal "? Du bildest zuerst f′f' und leitest dieses Ergebnis dann noch einmal ab. Das Ergebnis heißt f′′f'' und beschreibt, wie sich die ändert, du wirst sie bald für Krümmung und brauchen.

    Neue Regeln sind dafür nicht nötig: Man wendet dieselben zweimal an.

  2. 2

    Erste Ableitung, Summand für Summand.

    • 14x4\frac{1}{4}x^4: Exponent nach vorn → 14⋅4x3=x3\frac{1}{4} \cdot 4 x^3 = x^3 (die sich weg)
    • −2x3-2x^3: → −2⋅3x2=−6x2-2 \cdot 3x^2 = -6x^2
    • 5x5x: → 55
    • −7-7: → 00
  3. 3

    Erste Ableitung zusammensetzen.

    f′(x)=x3−6x2+5f'(x) = x^3 - 6x^2 + 5

    Kontrolle über den Grad: ff hatte Grad 44, also muss f′f' Grad 33 haben ✓ Und die Konstante −7-7 ist verschwunden, während aus 5x5x die Konstante 55 wurde.

  4. 4

    Zweite Ableitung, jetzt f′f' ableiten. Achtung: Ab hier ist f′f' die neue Ausgangsfunktion, ff spielt keine Rolle mehr.

    • x3x^3: → 3x23x^2
    • −6x2-6x^2: → −12x-12x
    • 55: → 00 (die Konstante fällt weg)
    f′′(x)=3x2−12xf''(x) = 3x^2 - 12x
  5. 5

    Der häufigste Fehler beim zweiten Ableiten: die Konstante aus f′f' stehen zu lassen. Die 55 war in f′f' ein Zahlenglied und verschwindet deshalb vollständig, genauso wie die −7-7 schon im ersten Schritt.

    Gradkontrolle: Grad 4→3→24 \to 3 \to 2. Jedes Ableiten senkt den Grad um genau 11 ✓

f′(x)=x3−6x2+5f'(x) = x^3 - 6x^2 + 5 und f′′(x)=3x2−12xf''(x) = 3x^2 - 12x

Merke: Mehrfaches Ableiten ist nur Wiederholung derselben Regeln. Kontrolliere jeden Durchgang über den Grad. Er muss jedes Mal um 11 sinken.

Typischer Fehler

[(2x+1)(x2−3)]′=2⋅2x=4x\left[(2x+1)(x^2-3)\right]' = 2 \cdot 2x = 4x, „einfach beide Faktoren und mal nehmen."

Das Produkt zweier Ableitungen ist falsch! Die Produktregel lautet u′v+uv′u'v + uv', nicht u′⋅v′u' \cdot v'. Kontrolle: Ausmultipliziert ist f=2x3+x2−6x−3f = 2x^3 + x^2 - 6x - 3, also f′=6x2+2x−6≠4xf' = 6x^2 + 2x - 6 \neq 4x. Bei einfachen Produkten ist Ausmultiplizieren die sichere Alternative, bei ex⋅sin⁡xe^x \cdot \sin x (später) geht das aber nicht mehr, dann ist die Produktregel Pflicht.

Übung 1

leicht

Leite ab: a) f(x)=x7f(x) = x^7 b) g(x)=5x3−2x2+8g(x) = 5x^3 - 2x^2 + 8 c) h(x)=1xh(x) = \frac{1}{x}

Tipp anzeigen

c) Als x−1x^{-1} schreiben.

Lösung anzeigen

a) 7x67x^6

b) 15x2−4x15x^2 - 4x

c) −x−2=−1x2-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Potenzregel pur

    (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}: Der Exponent springt als Faktor nach vorn und verringert sich um 1. f′(x)=7x6f'(x) = 7x^6.

  2. 2

    b) Summe mit Faktoren und Konstante

    g(x)=5x3−2x2+8g(x) = 5x^3 - 2x^2 + 8: gliedweise, 5⋅3x2=15x25 \cdot 3x^2 = 15x^2, −2⋅2x=−4x-2 \cdot 2x = -4x, Konstante 8→08 \to 0. g′(x)=15x2−4xg'(x) = 15x^2 - 4x.

    5⋅3x2−2⋅2x+0=15x2−4x5 \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 0 = 15x^2 - 4x

  3. 3

    c) 1/x als Potenz schreiben

    h(x)=1x=x−1h(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}: Potenzregel → h′(x)=−1⋅x−2=−1x2h'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

Übung 2

mittel

Leite ab: a) f(x)=6xf(x) = 6\sqrt{x} b) g(x)=x3(x−2)g(x) = x^3(x - 2) (Produktregel oder ausmultiplizieren)

Tipp anzeigen

a) x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}.

Lösung anzeigen

a) f′(x)=6⋅12x=3xf'(x) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}

b) Ausmultipliziert: g=x4−2x3⇒g′(x)=4x3−6x2g = x^4 - 2x^3 \Rightarrow g'(x) = 4x^3 - 6x^2 (Produktregel liefert dasselbe).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Wurzel als Potenz ableiten

    x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}: Potenzregel → (x1/2)′=12x−1/2=12x\left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. Mit Faktor: f′(x)=6⋅12x=3xf'(x) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}.

    6⋅12x−1/2=3x−1/26 \cdot \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2}

  2. 2

    b) Weg 1: Ausmultiplizieren

    g(x)=x3(x−2)=x4−2x3g(x) = x^3(x-2) = x^4 - 2x^3 → g′(x)=4x3−6x2g'(x) = 4x^3 - 6x^2.

  3. 3

    b) Weg 2: Produktregel als Gegenprobe

    u=x3u = x^3, u′=3x2u' = 3x^2; v=x−2v = x-2, v′=1v' = 1: g′=3x2(x−2)+x3=3x3−6x2+x3=4x3−6x2g' = 3x^2(x-2) + x^3 = 3x^3 - 6x^2 + x^3 = 4x^3 - 6x^2, identisch ✓.

    3x2(x−2)+x3=4x3−6x23x^2(x-2) + x^3 = 4x^3 - 6x^2

Übung 3

schwer

Gegeben f(x)=(x2+1)(2x−3)f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3). a) Leite mit der Produktregel ab. b) An welcher Stelle hat der Graph die 1? (Runde auf zwei Nachkommastellen.)

Tipp anzeigen

b) f′(x)=1f'(x) = 1 setzen und lösen.

Lösung anzeigen

a) u=x2+1u = x^2+1, u′=2xu' = 2x; v=2x−3v = 2x-3, v′=2v' = 2

f′=2x(2x−3)+(x2+1)⋅2=4x2−6x+2x2+2=6x2−6x+2f' = 2x(2x-3) + (x^2+1) \cdot 2 = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 6x + 2

b) 6x2−6x+2=1⇒6x2−6x+1=06x^2 - 6x + 2 = 1 \Rightarrow 6x^2 - 6x + 1 = 0; p-q nach Teilen durch 6: x2−x+16=0⇒x=0,5±0,25−0,16‾=0,5±0,289x^2 - x + \frac{1}{6} = 0 \Rightarrow x = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 - 0{,}1\overline{6}} = 0{,}5 \pm 0{,}289

x1≈0,79x_1 \approx 0{,}79, x2≈0,21x_2 \approx 0{,}21

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Produktregel ansetzen

    u=x2+1u = x^2 + 1, u′=2xu' = 2x; v=2x−3v = 2x - 3, v′=2v' = 2: f′(x)=2x(2x−3)+(x2+1)⋅2f'(x) = 2x(2x-3) + (x^2+1) \cdot 2.

  2. 2

    a) Zusammenfassen

    f′(x)=4x2−6x+2x2+2=6x2−6x+2f'(x) = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 6x + 2.

    4x2−6x+2x2+2=6x2−6x+24x^2 - 6x + 2x^2 + 2 = 6x^2 - 6x + 2

    Zwischenergebnis

    f′(x)=6x2−6x+2f'(x) = 6x^2 - 6x + 2

  3. 3

    b) Steigung 1: Gleichung an f' stellen

    „Steigung 1" heißt f′(x)=1f'(x) = 1: 6x2−6x+2=1⇒6x2−6x+1=06x^2 - 6x + 2 = 1 \Rightarrow 6x^2 - 6x + 1 = 0.

  4. 4

    b) Mit p-q-Formel lösen

    Durch 6 teilen: x2−x+16=0x^2 - x + \frac{1}{6} = 0; x1,2=0,5±0,25−0,16‾=0,5±0,083‾≈0,5±0,289x_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 - 0{,}1\overline{6}} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}08\overline{3}} \approx 0{,}5 \pm 0{,}289 → x1≈0,79x_1 \approx 0{,}79, x2≈0,21x_2 \approx 0{,}21.

    x1,2=0,5±0,289x_{1,2} = 0{,}5 \pm 0{,}289

Zusammenfassung

Die Grundregeln erschließen fast jede : Potenzregel (auch für und , erst als schreiben!), Faktor-, Summen- und Konstantenregel für Polynome. Die Produktregel (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' meistert Produkte, und niemals ist (uv)′=u′v′(uv)' = u'v'. Bei zwei Polynomen ist Ausmultiplizieren oft der schnellere Weg.