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Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktion

Vom Einheitskreis zur Welle: periodische Funktionen und das Bogenmaß.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Ebbe und Flut, dein Herzschlag, der Wechsel von Tag und Nacht, die Natur liebt Wiederholung. Die Mathematik der Wiederholung heißt Sinusfunktion: Aus dem Seitenverhältnis im wird am Einheitskreis eine unendliche Welle. Dazu gibt es ein neues Winkelmaß, mit dem die Oberstufe rechnet: das Bogenmaß.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • und am Einheitskreis für beliebige deuten.

  • zwischen Gradmaß und Bogenmaß umrechnen.

  • die Graphen von sin⁡(x)\sin(x) und cos⁡(x)\cos(x) mit Periode, Amplitude und beschreiben.

  • einfache Transformationen (a⋅sin⁡(bx)a \cdot \sin(bx)) deuten.

Der Einheitskreis: Sinus und Kosinus neu gedacht

Bisher waren und Seitenverhältnisse im rechtwinkligen . Diese Definition hat eine harte Grenze: In einem rechtwinkligen Dreieck ist jeder spitze kleiner als 90°90°. Was sin⁡120°\sin 120° oder sin⁡(−30°)\sin(-30°) bedeuten soll, lässt sich damit nicht sagen, solche Dreiecke gibt es nicht.

Trotzdem liefert der Taschenrechner für sin⁡120°\sin 120° einen Wert. Woher kommt der?

Die Idee: aus dem Dreieck wird ein Kreis

Zeichne einen mit dem 11 um den Ursprung, den Einheitskreis. Ein Punkt PP wandert auf diesem Kreis, und α\alpha ist der Winkel, um den er sich vom positiven xx-Achsenabschnitt aus gegen den Uhrzeigersinn gedreht hat.

Solange α\alpha spitz ist, bilden PP, der Ursprung und der Fußpunkt unter PP ein rechtwinkliges Dreieck. Seine ist der Radius, also 11. Damit gilt:

sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse=y1=ycos⁡α=Ankathete1=x\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{1} = y \qquad\qquad \cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{1} = x

Das ist der Kernsatz dieses Abschnitts: Auf dem Einheitskreis sind Sinus und Kosinus einfach die Koordinaten des Punktes.

cos⁡α=x-Koordinatesin⁡α=y-Koordinate\cos\alpha = x\text{-Koordinate} \qquad\qquad \sin\alpha = y\text{-Koordinate}

Warum das die Grenze sprengt

Ein Punkt kann sich beliebig weit drehen, über 90°90° hinaus, über 360°360°, auch rückwärts (negative Winkel). Und Koordinaten hat er dabei immer. Über diese neue Definition sind Sinus und Kosinus deshalb für jeden Winkel erklärt, auch wenn es kein passendes Dreieck mehr gibt.

Im zweiten Quadranten (90°90° bis 180°180°) ist die xx-Koordinate zum Beispiel negativ. Deshalb ist cos⁡120°\cos 120° negativ, während sin⁡120°\sin 120° (die yy-Koordinate) positiv bleibt. Genau das rechnet dein Taschenrechner aus.

Zwei Erkenntnisse, die direkt ablesbar sind

1. Warum liegen die Werte immer zwischen −1-1 und 11? Weil der Punkt auf einem Kreis mit Radius 11 läuft. Weiter als 11 kommt keine Koordinate vom Ursprung weg.

2. Der „trigonometrische ". Der Punkt P(x∣y)P(x \mid y) hat vom Ursprung den Abstand 11. Nach Pythagoras ist x2+y2=12x^2 + y^2 = 1^2, und mit unseren neuen Namen heißt das:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Diese Beziehung gilt für jeden Winkel und wird dich bis zum Abitur begleiten. Sie ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras auf dem Einheitskreis.

αcos αsin α1

Ein Punkt auf dem mit 11 unter dem α\alpha: Seine x-Koordinate ist cos⁡α\cos\alpha (blau), seine y-Koordinate sin⁡α\sin\alpha (grün). So sind und für jeden Winkel definiert, die Werte bleiben zwischen −1-1 und 11.

Denk weiter: Vom Winkel Alpha weißt du nur cos Alpha = 0,6. Kannst du sin Alpha ohne Taschenrechner bestimmen, und warum gibt es zwei mögliche Antworten?

Versuch es erst selbst, das Werkzeug ist der trigonometrische .

Für jeden gilt sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. Setze den bekannten Wert ein:

sin⁡2α+0,62=1⇒sin⁡2α=1−0,36=0,64\sin^2\alpha + 0{,}6^2 = 1 \qquad\Rightarrow\qquad \sin^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64

Jetzt kommt die Stelle, die du aus Klasse 9 kennst: Eine der Form s2=0,64s^2 = 0{,}64 hat zwei Lösungen:

sin⁡α=0,8odersin⁡α=−0,8\sin\alpha = 0{,}8 \qquad\text{oder}\qquad \sin\alpha = -0{,}8

Warum beide möglich sind, zeigt der Einheitskreis: Es gibt zwei Punkte auf dem mit der xx-Koordinate 0,60{,}6, einen im oberen Halbkreis (dort ist sin⁡α=+0,8\sin\alpha = +0{,}8) und sein Spiegelbild im unteren (dort −0,8-0{,}8). Die Angabe cos⁡α=0,6\cos\alpha = 0{,}6 verrät nur die Senkrechte, auf der der Punkt liegt, nicht, ob er oben oder unten steht. Erst eine Zusatzinformation entscheidet, etwa „α\alpha liegt zwischen 00 und π\pi" (oberer Halbkreis → +0,8+0{,}8).

Die Kontrolle: 0,62+0,82=0,36+0,64=10{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1 ✓, übrigens das alte 33-44-55-Muster, durch 55 geteilt.

Was du daraus mitnimmst: Mit sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 kommst du ohne Taschenrechner von einem der beiden Werte zum anderen, aber die Formel liefert nur den Betrag. Das Vorzeichen liest du am Kreis ab: oben positiv, unten negativ. Genau diese Arbeitsteilung (Rechnung + Lagebild) brauchst du in der Oberstufe ständig.

Das Bogenmaß, warum es eine zweite Winkeleinheit gibt

Die Einteilung in 360°360° ist willkürlich. Sie stammt aus Babylonien, vermutlich weil das Jahr ungefähr 360360 Tage hat und sich 360360 bequem teilen lässt. Mathematisch gibt es keinen Grund für ausgerechnet diese Zahl.

Deshalb benutzt man ab der Oberstufe ein Maß, das aus der Figur selbst kommt: das Bogenmaß.

Die Idee

Statt den in erfundenen Einheiten zu zählen, misst man die Länge des Kreisbogens, den der Punkt auf dem Einheitskreis zurücklegt.

Der des Einheitskreises beträgt u=2πr=2π⋅1=2πu = 2\pi r = 2\pi \cdot 1 = 2\pi. Eine volle Drehung entspricht also der Bogenlänge 2π2\pi:

360°  =^  2π180°  =^  π90°  =^  π260°  =^  π3360° \;\widehat{=}\; 2\pi \qquad 180° \;\widehat{=}\; \pi \qquad 90° \;\widehat{=}\; \frac{\pi}{2} \qquad 60° \;\widehat{=}\; \frac{\pi}{3}

Umrechnen

Beide Maße beschreiben dieselbe Drehung, nur in anderen Einheiten, wie Meter und Fuß. Umgerechnet wird mit dem über die halbe Drehung (180°  =^  π180° \;\widehat{=}\; \pi):

xrad=α180°⋅πα=xradπ⋅180°x_{\text{rad}} = \frac{\alpha}{180°} \cdot \pi \qquad\qquad \alpha = \frac{x_{\text{rad}}}{\pi} \cdot 180°

Beispiel: 45°=45180⋅π=π445° = \frac{45}{180} \cdot \pi = \frac{\pi}{4}.

Warum man sich diese Umstellung antut

Weil Winkel im Bogenmaß reine Zahlen sind, keine Einheit, kein Gradzeichen. Dadurch lassen sie sich mit anderen Zahlen verrechnen, und Funktionen wie f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x) bekommen dieselbe xx-Achse wie alle anderen Funktionen. In Klasse 11 kommt der eigentliche Grund dazu: Nur im Bogenmaß gilt die schöne Ableitungsregel (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x; im Gradmaß stünde dort ein hässlicher Zusatzfaktor.

Praktisch heißt das: Der Taschenrechner muss jetzt auf RAD stehen statt auf DEG. Prüfe es mit einem bekannten Wert: sin⁡(π)\sin(\pi) muss 00 ergeben. Kommt stattdessen 0,05480{,}0548 heraus, rechnet er noch in Grad.

Die Sinusfunktion: aus der Kreisbewegung wird eine Welle

Jetzt verbinden wir beides. Der Punkt läuft auf dem Einheitskreis, und wir tragen für jeden Drehwinkel xx (im Bogenmaß) seine yy-Koordinate, also sin⁡(x)\sin(x), nach oben auf.

Wie die Welle entsteht

Verfolge den Punkt gedanklich einmal herum:

DrehungPunkt steht …sin⁡(x)\sin(x)
00rechts00
π2\frac{\pi}{2} (90°90°)ganz oben11
π\pi (180°180°)links00
3π2\frac{3\pi}{2} (270°270°)ganz unten−1-1
2π2\pi (360°360°)wieder rechts00

Der yy-Wert steigt also von 00 auf 11, fällt auf −1-1 und kehrt zu 00 zurück. Genau das ist die berühmte Sinuswelle im Bild unten.

Die drei Eigenschaften, und woher sie kommen

1. Der Wertebereich ist [−1; 1][-1;\,1]. Weil der Kreisradius 11 ist, kann die yy-Koordinate nie darüber hinaus. Der größte Ausschlag heißt Amplitude, hier also 11.

2. Die Periode ist 2π2\pi. Nach einer vollen Drehung steht der Punkt wieder am Ausgangsort, und alles wiederholt sich exakt:

sin⁡(x+2π)=sin⁡(x)\sin(x + 2\pi) = \sin(x)

Eine solche Funktion heißt periodisch. Das ist der eigentliche Grund, warum diese Funktionen so wichtig sind: Alles, was sich regelmäßig wiederholt, lässt sich damit beschreiben: Schallwellen, Wechselstrom, Gezeiten, Jahreszeiten, Herzschlag.

3. Die markanten Punkte. bei 0,π,2π,…0, \pi, 2\pi, \ldots (dort ist der Punkt auf der xx-Achse), Maximum 11 bei π2\frac{\pi}{2}, Minimum −1-1 bei 3π2\frac{3\pi}{2}.

Und der Kosinus?

Der ist die xx-Koordinate desselben Punktes. Bei x=0x = 0 steht der Punkt ganz rechts, hat also die xx-Koordinate 11, die Kosinuskurve startet bei 11 statt bei 00.

Ansonsten ist es dieselbe Welle, nur um eine Vierteldrehung verschoben:

cos⁡(x)=sin⁡(x+π2)\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Das kannst du am nachprüfen: Dreh den Punkt um eine Vierteldrehung weiter, seine neue yy-Koordinate ist genau die alte xx-Koordinate. An der Startposition siehst du es sofort konkret: Bei x=0x = 0 ist die xx-Koordinate 11 (Punkt rechts), und eine Vierteldrehung später steht der Punkt oben mit der yy-Koordinate 11. Deshalb steht in der Formel x+π2x + \frac{\pi}{2}: Der eine Vierteldrehung später liefert den Kosinus von jetzt.

Sinus- und Kosinuswelle

xy123456-2-11sin xcos x

Trägt man sin⁡x\sin x (rot) über dem Bogenmaß auf, entsteht die Sinuswelle: Amplitude 11, Periode 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28, bei 0,π,2π0, \pi, 2\pi. Der (blau) ist dieselbe Welle, nur um π2\tfrac{\pi}{2} nach links verschoben, er startet bei 11.

Die Welle steuern: Amplitude und Periode

Eine reine Sinuswelle schwankt zwischen −1-1 und 11 und wiederholt sich nach 2π2\pi. Echte Vorgänge tun das selten in genau diesen Maßen: Ein Ton ist lauter oder leiser, eine Schwingung schneller oder langsamer. Deshalb braucht die Funktion zwei Stellschrauben:

f(x)=a⋅sin⁡(b⋅x)f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x)

Was aa macht: die Höhe

Der Faktor aa steht vor dem , wirkt also auf das Ergebnis. Jeder Funktionswert wird mit aa multipliziert, die Welle wird höher oder flacher.

f(x)=2sin⁡(x)⇒Werte zwischen −2 und 2f(x) = 2\sin(x) \quad\Rightarrow\quad \text{Werte zwischen } -2 \text{ und } 2

Der größte Ausschlag heißt Amplitude, sie beträgt ∣a∣|a|. Bei negativem aa wird die Welle zusätzlich an der xx-Achse gespiegelt, sie startet dann nach unten.

Wichtig: aa ändert die Periode nicht. Die Welle wird höher, nicht schneller.

Was bb macht: das Tempo

Der Faktor bb steht in der Klammer, wirkt also auf das xx, und damit auf die Geschwindigkeit, mit der die Welle durchlaufen wird.

Überlege dir das über die volle Periode: Eine ganze Welle ist durchlaufen, wenn der Klammerinhalt einmal von 00 bis 2π2\pi gelaufen ist:

b⋅x=2π⇒x=2πbb \cdot x = 2\pi \qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{2\pi}{b}

Die Periode ist also 2πb\frac{2\pi}{b}. Bei b=2b = 2 ist sie halb so lang, die Welle schwingt doppelt so schnell.

Und hier die klassische Verwechslung: Ein größeres bb macht die Welle enger, nicht breiter. Das wirkt zunächst verkehrt herum, ist aber dieselbe Regel wie bei f(x−d)f(x-d): Was innen an xx steht, wirkt in xx-Richtung immer umgekehrt zur Erwartung.

FunktionAmplitudePeriodeWirkung
sin⁡(x)\sin(x)112π2\piAusgangswelle
2sin⁡(x)2\sin(x)222π2\pidoppelt so hoch
sin⁡(2x)\sin(2x)11π\pidoppelt so schnell
−sin⁡(x)-\sin(x)112π2\pigespiegelt

Wo das gebraucht wird: Bei einem Ton ist die Amplitude die Lautstärke und die Periode die Tonhöhe, je kürzer die Periode, desto höher der Ton. Das Bild unten zeigt beide Effekte im Vergleich.

Amplitude und Periode

xy123456-2-11sin x2 sin xsin 2x

In f(x)=a⋅sin⁡(bx)f(x) = a\cdot\sin(b x) steuert aa die Amplitude (2sin⁡x2\sin x, grün, doppelt so hoch) und bb die Periode (sin⁡2x\sin 2x, blau, doppelt so schnell, Periode π\pi).

Grad und Bogenmaß

Rechne um: a) 60°60° ins Bogenmaß b) 3π4\frac{3\pi}{4} ins Gradmaß c) 270°270° ins Bogenmaß

  1. 1

    Worauf es bei allen drei Teilaufgaben ankommt. Grad und Bogenmaß sind zwei Einheiten für dieselbe Sache, wie Meter und Zentimeter. Zum Umrechnen brauchst du nur einen festen Bezugspunkt, und der ist:

    180°  =^  π180° \;\widehat{=}\; \pi

    Alles andere folgt daraus über den . Diese eine Zeile solltest du auswendig können; die Umrechnungsformeln kannst du dir daraus jederzeit selbst bauen.

  2. 2

    a) Von Grad ins Bogenmaß. Gefragt ist: Welcher Anteil von 180°180° sind 60°60°? Genau dieser Anteil von π\pi ist die Antwort.

    60°180°=13⇒13⋅π=π3\frac{60°}{180°} = \frac{1}{3} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}

    Als : π3≈1,05\frac{\pi}{3} \approx 1{,}05.

    Lass das Ergebnis stehen wie es ist. In der Oberstufe schreibt man Bogenmaße fast immer als von π\pi. Das ist exakt, während 1,051{,}05 ist.

  3. 3

    b) Zurück ins Gradmaß. Jetzt umgekehrt: 3π4\frac{3\pi}{4} ist der Anteil 34\frac{3}{4} von π\pi, also auch 34\frac{3}{4} von 180°180°.

    34⋅180°=135°\frac{3}{4} \cdot 180° = 135°

    Der praktische Kniff: Ersetze in 3π4\frac{3\pi}{4} einfach das π\pi durch 180°180°. Dann steht dort 3⋅180°4=135°\frac{3 \cdot 180°}{4} = 135°. Das funktioniert immer und spart das Formelsuchen.

  4. 4

    c) Noch einmal von Grad ins Bogenmaß.

    270°180°=32⇒32⋅π=3π2≈4,71\frac{270°}{180°} = \frac{3}{2} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{3}{2} \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71

    Plausibilitätskontrolle: 270°270° sind drei Viertel einer vollen Drehung. Die volle Drehung ist 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28, drei Viertel davon sind etwa 4,714{,}71 ✓

a) π3\frac{\pi}{3} · b) 135°135° · c) 3π2\frac{3\pi}{2}

Der Anker ist immer 180°=π180° = \pi. Von Grad ins Bogenmaß: durch 180°180° teilen, mit π\pi malnehmen. Zurück: das π\pi durch 180°180° ersetzen. Und die wichtigsten Werte lohnt es sich zu merken: 30°=π630° = \frac{\pi}{6}, 45°=π445° = \frac{\pi}{4}, 60°=π360° = \frac{\pi}{3}, 90°=π290° = \frac{\pi}{2}.

Werte am Einheitskreis

Bestimme ohne Taschenrechner: a) sin⁡(π)\sin(\pi) b) cos⁡(0)\cos(0) c) sin⁡(π2)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) d) cos⁡(π)\cos(\pi)

  1. 1

    Warum das ohne Taschenrechner geht. Am Einheitskreis sind und einfach die Koordinaten des Punktes:

    cos⁡(x)=x-Koordinatesin⁡(x)=y-Koordinate\cos(x) = x\text{-Koordinate} \qquad\qquad \sin(x) = y\text{-Koordinate}

    Bei den vier „Viertelpunkten" der Drehung liegt der Punkt genau auf einer Achse. Dort sind die Koordinaten 00, 11 oder −1-1. Man muss also nur wissen, wo der Punkt steht.

  2. 2

    Die vier Stationen einmal durchgehen. Gestartet wird rechts, gedreht wird gegen den Uhrzeigersinn:

    Drehungwo steht der Punkt?Koordinaten
    00rechts(1∣0)(1 \mid 0)
    π2\frac{\pi}{2} (90°90°)oben(0∣1)(0 \mid 1)
    π\pi (180°180°)links(−1∣0)(-1 \mid 0)
    3π2\frac{3\pi}{2} (270°270°)unten(0∣−1)(0 \mid -1)

    Diese Tabelle musst du dir nicht merken, du kannst sie in fünf Sekunden aus dem Kreisbild rekonstruieren.

  3. 3

    a) sin⁡(π)\sin(\pi). Bei π\pi ist eine halbe Drehung vollendet, der Punkt steht links: (−1∣0)(-1 \mid 0).

    Der Sinus ist die yy-Koordinate:

    sin⁡(π)=0\sin(\pi) = 0
  4. 4

    d) cos⁡(π)\cos(\pi), derselbe Punkt, aber die andere Koordinate. Der Kosinus ist die xx-Koordinate:

    cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1

    Hier zeigt sich der Vorteil des Einheitskreises: Im rechtwinkligen gäbe es keinen von 180°180°, und ein negativer Kosinuswert wäre unmöglich. Am ist beides selbstverständlich.

  5. 5

    b) cos⁡(0)\cos(0). Ohne Drehung steht der Punkt am Startpunkt rechts: (1∣0)(1 \mid 0). Die xx-Koordinate ist 11:

    cos⁡(0)=1\cos(0) = 1

    c) sin⁡(π2)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right). Eine Vierteldrehung bringt den Punkt nach oben: (0∣1)(0 \mid 1). Die yy-Koordinate ist 11:

    sin⁡(π2)=1\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1

    Das ist zugleich der größtmögliche Sinuswert, weiter als bis zum Kreisrand kommt der Punkt nicht.

a) 00 · b) 11 · c) 11 · d) −1-1

Das Vorgehen bei jedem solchen Wert: Wo steht der Punkt nach dieser Drehung? Dann die passende Koordinate ablesen, xx für Kosinus, yy für Sinus.

Transformation deuten

Beschreibe den Graphen von f(x)=3sin⁡(2x)f(x) = 3\sin(2x) im Vergleich zur normalen Sinuskurve.

  1. 1

    Zuerst die beiden Parameter zuordnen. Vergleiche mit der allgemeinen Form f(x)=a⋅sin⁡(b⋅x)f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x):

    a=3b=2a = 3 \qquad\qquad b = 2

    Und jetzt die entscheidende Unterscheidung: Das aa steht außen (vor dem ), das bb steht innen (in der Klammer beim xx). Außen wirkt in yy-Richtung, innen in xx-Richtung.

  2. 2

    Was a=3a = 3 bewirkt. Jeder Funktionswert wird verdreifacht. Die normale Sinuskurve schwankt zwischen −1-1 und 11, diese also zwischen −3-3 und 33.

    Amplitude=∣a∣=3Wertebereich [−3; 3]\text{Amplitude} = |a| = 3 \qquad\qquad \text{Wertebereich } [-3;\, 3]

    Die Welle wird also dreimal so hoch.

  3. 3

    Was b=2b = 2 bewirkt. Der Faktor wirkt auf das xx, also auf das Tempo. Die Periode berechnest du mit

    Periode=2πb=2π2=π\text{Periode} = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{2} = \pi

    Die Welle wiederholt sich also schon nach π\pi statt nach 2π2\pi, sie schwingt doppelt so schnell.

    Achte auf die Richtung: Ein größeres bb macht die Welle enger, nicht breiter. Das wirkt zunächst verkehrt, ist aber die übliche Regel für alles, was innen am xx steht.

  4. 4

    Was sich nicht ändert. Beide Parameter verschieben die Kurve nicht: Sie startet weiterhin im Ursprung und hat ihre weiterhin bei den der halben Periode. Es fehlt ja auch kein Summand, der eine Verschiebung bewirken könnte.

    Kontrolle mit einem Wert: Bei x=π4x = \frac{\pi}{4} ist 2x=π22x = \frac{\pi}{2}, also sin⁡(2x)=1\sin(2x) = 1 und damit f(π4)=3f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3. Der erste Hochpunkt liegt bei π4\frac{\pi}{4}, bei der normalen Sinuskurve läge er erst bei π2\frac{\pi}{2}, also doppelt so weit rechts ✓

Der Graph ist eine dreimal so hohe und doppelt so schnelle Sinuswelle: Wertebereich [−3; 3][-3;\,3], Periode π\pi, unverschoben.

Die Leitfrage bei jeder Transformation: Steht der Parameter außen (wirkt auf yy, wie erwartet) oder innen (wirkt auf xx, umgekehrt zur Erwartung)?

Typischer Fehler

Taschenrechner: sin⁡(30)=−0,988\sin(30) = -0{,}988… „Mathebuch sagt aber 0,50{,}5?!"

Der Rechner stand im RAD-Modus und hat sin⁡(30 rad)\sin(30\,\text{rad}) berechnet, fast 5 volle Kreisrunden! Für 30°30° brauchst du den DEG-Modus (oder rechnest 30°=π630° = \frac{\pi}{6} um). In der Oberstufe ist RAD Standard: Modus-Check wird zur Routine: sin⁡(30°)=0,5\sin(30°) = 0{,}5 bzw. sin⁡(π6)=0,5\sin(\frac{\pi}{6}) = 0{,}5.

Übung 1

leicht

Rechne um: a) 45°45° und 120°120° ins Bogenmaß b) π6\frac{\pi}{6} und 2π2\pi ins Gradmaß

Tipp anzeigen

180°=π180° = \pi.

Lösung anzeigen

a) 45°=π445° = \frac{\pi}{4};   120°=2π3\;120° = \frac{2\pi}{3}

b) π6=30°\frac{\pi}{6} = 30°;   2π=360°\;2\pi = 360°

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Umrechnungsidee: 180° = π

    Bogenmaß misst den als BOGENLÄNGE am Einheitskreis: Der Halbkreis hat Länge π\pi, also 180°=π180° = \pi. Daraus: Grad → Bogenmaß mal π180°\frac{\pi}{180°}, zurück mal 180°π\frac{180°}{\pi}.

  2. 2

    a) Grad → Bogenmaß

    45°=45180π=π445° = \frac{45}{180}\pi = \frac{\pi}{4} und 120°=120180π=2π3120° = \frac{120}{180}\pi = \frac{2\pi}{3}.

    45180=14,120180=23\frac{45}{180} = \frac{1}{4}, \quad \frac{120}{180} = \frac{2}{3}

  3. 3

    b) Bogenmaß → Grad

    π6=180°6=30°\frac{\pi}{6} = \frac{180°}{6} = 30° und 2π=2⋅180°=360°2\pi = 2 \cdot 180° = 360°.

Übung 2

mittel

Gib für f(x)=0,5sin⁡(x)f(x) = 0{,}5 \sin(x) und g(x)=sin⁡(4x)g(x) = \sin(4x) jeweils Amplitude und Periode an.

Tipp anzeigen

asin⁡(bx)a\sin(bx): Amplitude ∣a∣|a|, Periode 2πb\frac{2\pi}{b}.

Lösung anzeigen

ff: Amplitude 0,50{,}5, Periode 2π2\pi (halb so hohe Welle)

gg: Amplitude 11, Periode 2π4=π2\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} (viermal so schnell)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Rollen von a und b in a·sin(bx)

    Der Faktor VOR dem (a) ist die Amplitude, halbe Höhe der Welle. Der Faktor IM Argument (b) staucht die Zeitachse: Periode =2πb= \frac{2\pi}{b}.

  2. 2

    f(x) = 0,5·sin(x) analysieren

    a=0,5a = 0{,}5, b=1b = 1: Amplitude 0,50{,}5, Periode 2π1=2π\frac{2\pi}{1} = 2\pi, eine halb so hohe, gleich schnelle Welle.

  3. 3

    g(x) = sin(4x) analysieren

    a=1a = 1, b=4b = 4: Amplitude 11, Periode 2π4=π2\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, volle Höhe, aber viermal so schnell.

    2π4=π2\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Übung 3

schwer

Die Höhe einer Gondel im Riesenrad: h(t)=20+15sin⁡(t)h(t) = 20 + 15\sin(t) (Meter; tt im Bogenmaß). a) Zwischen welchen Höhen pendelt die Gondel? b) Auf welcher Höhe sitzt die Achse, wie groß ist der Radradius? c) Zu welchem tt (im ersten Umlauf) ist die Gondel am höchsten?

Tipp anzeigen

pendelt zwischen −1 und 1.

Lösung anzeigen

a) sin⁡\sin zwischen −1-1 und 11: Höhe zwischen 20−15=520 - 15 = 5 m und 20+15=3520 + 15 = 35 m.

b) Achse (Mittellage): 2020 m; = Amplitude = 1515 m.

c) Maximum, wenn sin⁡(t)=1\sin(t) = 1: bei t=π2t = \frac{\pi}{2}.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Extremhöhen aus dem Sinusbereich

    sin⁡(t)\sin(t) pendelt zwischen −1-1 und 11, also pendelt h(t)=20+15sin⁡(t)h(t) = 20 + 15\sin(t) zwischen 20−15=520 - 15 = 5 m und 20+15=3520 + 15 = 35 m.

  2. 2

    b) Mittellage und Amplitude deuten

    Die 2020 ist die Mittellage → Achsenhöhe 2020 m. Die 1515 ist die Amplitude → Radius 1515 m.

  3. 3

    c) Höchststand: sin(t) = 1

    Maximal wird hh, wenn sin⁡(t)=1\sin(t) = 1, im ersten Umlauf bei t=π2t = \frac{\pi}{2}; dort ist h=35h = 35 m.

    h ⁣(π2)=20+15⋅1=35h\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 20 + 15 \cdot 1 = 35

Zusammenfassung

Am Einheitskreis werden (y) und (x) zu Funktionen für alle , gemessen im Bogenmaß mit dem Anker 180°=π180° = \pi. Die Sinuswelle hat Amplitude 1 und Periode 2π2\pi, der Kosinus ist ihre verschobene Zwillingsschwester. Mit asin⁡(bx)a\sin(bx) steuerst du Höhe und Tempo der Welle, das Modell für alles, was schwingt.