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Geometrie

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Winkel und Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit sin, cos und tan berechnen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie hoch ist ein Turm, wenn du nur seine Entfernung und den Blickwinkel zur Spitze kennst? Mit dem allein kommst du hier nicht weiter, du brauchst die Trigonometrie. Sinus, Kosinus und Tangens verbinden und Seitenverhältnisse im rechtwinkligen .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Gegenkathete, Ankathete und aus Sicht eines identifizieren.

  • Seiten mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

  • Winkel mit den Umkehrfunktionen bestimmen.

  • Vermessungsaufgaben (Höhen, , Neigungswinkel) lösen.

Warum Pythagoras hier nicht mehr reicht

Im rechtwinkligen kennst du bereits ein starkes Werkzeug: den . Er hat aber eine klare Grenze, er verbindet nur Seiten miteinander. Von weiß er nichts.

Schau dir die Turmaufgabe aus der Einführung an: Du stehst 50 m50\,\text{m} vom Turm entfernt und misst den Blickwinkel zur Spitze, etwa 38°38°. Gegeben sind also eine Seite und ein Winkel, und Pythagoras braucht zwei Seiten. Er kann hier nichts ausrichten.

Was fehlt, ist eine Brücke zwischen Winkel und Seite

Genau diese Brücke baut die Trigonometrie (griechisch für „Dreiecksmessung"). Ihr Grundgedanke lässt sich in einem Satz sagen:

In einem rechtwinkligen Dreieck legt ein spitzer Winkel die Verhältnisse der Seiten fest.

Nicht die Längen (die können beliebig groß sein) sondern ihre Verhältnisse zueinander. Warum das so ist, sehen wir gleich. Zuerst brauchen wir Namen für die Seiten.

Die Seiten bekommen neue Namen, je nachdem, von wo du schaust

Aus Klasse 9 kennst du zwei Bezeichnungen: (gegenüber dem rechten , die längste Seite) und (die beiden Seiten am rechten Winkel).

Für die Trigonometrie reicht das nicht mehr. Denn jetzt betrachten wir das aus Sicht eines bestimmten spitzen Winkels α\alpha, und aus dieser Sicht sind die beiden Katheten nicht gleichwertig:

  • Die Gegenkathete von α\alpha liegt dem Winkel gegenüber. Sie berührt ihn nicht.
  • Die Ankathete von α\alpha liegt am Winkel an. Sie ist einer seiner beiden Schenkel.
  • Die Hypotenuse bleibt, was sie war, der andere Schenkel von α\alpha, gegenüber dem rechten Winkel.

Und jetzt die Stelle, an der die meisten Fehler passieren: Diese Namen hängen davon ab, welchen Winkel du betrachtest. Schaust du im selben Dreieck auf den anderen spitzen Winkel β\beta, tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen! Nur die Hypotenuse bleibt immer dieselbe.

Deshalb gilt als feste Reihenfolge: erst den Winkel festlegen, dann die Seiten benennen. Wer die Namen ans Dreieck klebt statt an den Winkel, setzt später zwangsläufig falsch ein.

Das Bild unten zeigt die drei Seiten aus Sicht von α\alpha.

αAnkatheteGegen-katheteHypotenuse

Aus Sicht des α\alpha: die (rot, gegenüber dem rechten Winkel), die Gegenkathete (grün, gegenüber α\alpha) und die Ankathete (blau, an α\alpha anliegend). Diese Farben tauchen gleich in allen drei Verhältnissen wieder auf.

Der Kerngedanke: das Verhältnis hängt nur vom Winkel ab

Jetzt kommt die Aussage, auf der die gesamte Trigonometrie steht. Sie klingt zunächst unglaublich:

Zeichne irgendein rechtwinkliges mit dem α=38°\alpha = 38°. Egal wie groß oder klein du es zeichnest, das Verhältnis GegenkatheteHypotenuse\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ist immer dieselbe Zahl.

Warum ist das so?

Der Grund steckt in der aus Klasse 9. Nimm zwei rechtwinklige Dreiecke, die beide den Winkel α\alpha enthalten. Dann stimmen bereits zwei Winkel überein: der rechte Winkel und α\alpha. Und zwei gleiche Winkel genügen, die Dreiecke sind ähnlich.

Ähnlich heißt: Das größere Dreieck ist das kk-fache des kleineren. Jede Seite ist mit demselben Faktor kk gestreckt. Was passiert dann mit dem Verhältnis?

GegenkathetegroßHypotenusegroß=k⋅Gegenkathetekleink⋅Hypotenuseklein=GegenkathetekleinHypotenuseklein\frac{\text{Gegenkathete}_{\text{groß}}}{\text{Hypotenuse}_{\text{groß}}} = \frac{k \cdot \text{Gegenkathete}_{\text{klein}}}{k \cdot \text{Hypotenuse}_{\text{klein}}} = \frac{\text{Gegenkathete}_{\text{klein}}}{\text{Hypotenuse}_{\text{klein}}}

Der Faktor kk steht oben und unten, er sich vollständig weg. Das Verhältnis bleibt also gleich, egal wie groß das Dreieck ist.

Was das praktisch bedeutet

Wenn das Verhältnis nur vom Winkel abhängt, kann man es ein für alle Mal ausrechnen und in einer Tabelle speichern. Genau das ist im Taschenrechner hinterlegt: Er kennt zu jedem Winkel das zugehörige Verhältnis. Vor der Zeit der Taschenrechner schlug man diese Werte in gedruckten Tabellen nach.

Und deshalb kannst du einen Turm vermessen, ohne ihn zu besteigen: Du misst einen Winkel, der Taschenrechner liefert das Verhältnis, und aus dem Verhältnis und einer bekannten Seite folgt die gesuchte.

Die drei Seitenverhältnisse

Aus drei Seiten lassen sich verschiedene Paare bilden. Drei dieser Verhältnisse haben eigene Namen bekommen. Es sind genau die, die man in der Praxis braucht:

sin⁡α=GegenkatheteHypotenusecos⁡α=AnkatheteHypotenusetan⁡α=GegenkatheteAnkathete\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Gesprochen: Sinus, Kosinus und Tangens von α\alpha. Die drei Bilder unten zeigen für jedes Verhältnis, welche beiden Seiten beteiligt sind.

Die Merkhilfe

Nimm die Anfangsbuchstaben in der Reihenfolge /:

Sin=GHCos=AHTan=GA\textbf{S}\text{in} = \frac{\textbf{G}}{\textbf{H}} \qquad \textbf{C}\text{os} = \frac{\textbf{A}}{\textbf{H}} \qquad \textbf{T}\text{an} = \frac{\textbf{G}}{\textbf{A}}

Im Englischen entsteht daraus das bekannte Kunstwort SOH-CAH-TOA.

Woran du erkennst, welches der drei du brauchst

Das ist die eigentliche Denkleistung bei jeder Aufgabe. Gehe immer gleich vor:

  1. Markiere den , um den es geht.
  2. Benenne die drei Seiten aus seiner Sicht.
  3. Schau, welche zwei Seiten in der Aufgabe vorkommen, die eine gegebene und die eine gesuchte.
  4. Nimm das Verhältnis, in dem genau diese beiden stehen.
gegeben + gesuchtnimm
Gegenkathete und sin⁡\sin
Ankathete und Hypotenusecos⁡\cos
Gegenkathete und Ankathetetan⁡\tan

Ein nützlicher Nebenbefund: Weil die Hypotenuse die längste Seite ist, sind Zähler und Nenner bei sin⁡\sin und cos⁡\cos nie größer als 11. Kommt bei dir sin⁡α=1,4\sin\alpha = 1{,}4 heraus, ist etwas schiefgelaufen. Beim Tangens gibt es diese Grenze nicht: Sobald α\alpha größer als 45°45° ist, ist die Gegenkathete länger als die Ankathete, der wird größer als 11 und wächst mit steilerem Winkel immer weiter.

Zwei Zugaben, die sich später auszahlen

Die drei Verhältnisse hängen zusammen. Teile sin⁡α\sin\alpha durch cos⁡α\cos\alpha:

sin⁡αcos⁡α=  GKH    AKH  =GKAK=tan⁡α\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\;\frac{\text{GK}}{\text{H}}\;}{\;\frac{\text{AK}}{\text{H}}\;} = \frac{\text{GK}}{\text{AK}} = \tan\alpha

Die Hypotenuse sich weg: der Tangens ist also Sinus durch Kosinus. Wer zwei der drei Werte kennt, hat damit auch den dritten.

Und ein Blick an die Ränder (als Gedankenexperiment, ein echtes rechtwinkliges braucht spitze Winkel): Lässt du α\alpha immer weiter gegen 90°90° wachsen, richtet sich die Gegenkathete auf und wird fast so lang wie die Hypotenuse, sin⁡α\sin\alpha nähert sich der 11. Lässt du α\alpha gegen 0°0° schrumpfen, legt sich die Ankathete an die Hypotenuse an, cos⁡α\cos\alpha nähert sich der 11. Deshalb setzt man sin⁡90°=1\sin 90° = 1 und cos⁡0°=1\cos 0° = 1. Im Kapitel über die trigonometrischen Funktionen wird daraus mit dem Einheitskreis eine saubere Definition für beliebige Winkel.

αAnkatheteGegen-katheteHypotenuse

sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}, hervorgehoben sind die beiden beteiligten Seiten: Gegenkathete (grün) und (rot).

αAnkatheteGegen-katheteHypotenuse

cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos\alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}: Ankathete (blau) und Hypotenuse (rot).

αAnkatheteGegen-katheteHypotenuse

tan⁡α=GegenkatheteAnkathete\tan\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}, hier ohne Hypotenuse: nur Gegenkathete (grün) und Ankathete (blau).

Erkläre es selbst: Alpha und Beta sind die beiden spitzen Winkel desselben Dreiecks. Begründe ohne Taschenrechner: sin Beta = cos Alpha. Und was bringt dir das?

Versuch es erst selbst, du brauchst nur den Rollentausch aus dem Benennungs-Abschnitt.

Dort stand: Wechselst du im selben von α\alpha zu β\beta, tauschen Gegen- und Ankathete ihre Rollen. Die Gegenkathete von β\beta ist also genau die Ankathete von α\alpha. Es ist dieselbe Seite, nur aus anderer Sicht benannt. Und die bleibt für beide dieselbe.

Jetzt setze einfach in die Definitionen ein:

sin⁡β=Gegenkathete von βHypotenuse=Ankathete von αHypotenuse=cos⁡α\sin\beta = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} = \cos\alpha

Kein Taschenrechner nötig, nur zweimal dieselbe Seite, einmal aus jeder Perspektive. (Und weil im rechtwinkligen Dreieck α+β=90°\alpha + \beta = 90° gilt, kannst du dasselbe auch so schreiben: cos⁡α=sin⁡(90°−α)\cos\alpha = \sin(90° - \alpha).)

Probe mit dem Taschenrechner: cos⁡35°≈0,8192\cos 35° \approx 0{,}8192 und sin⁡55°≈0,8192\sin 55° \approx 0{,}8192, identisch ✓

Was dir das bringt, drei Dinge:

  1. Eine eingebaute Kontrolle: Hast du in einer Aufgabe beide spitzen berechnet, müssen sich Sinus und Kosinus kreuzweise entsprechen. Tun sie es nicht, sind die vertauscht, genau der Fehler, vor dem der Benennungs-Abschnitt warnt.
  2. Ein zweiter Rechenweg: Jede Kosinus-Aufgabe lässt sich als Sinus-Aufgabe mit dem anderen Winkel lösen (und umgekehrt). Wenn du unsicher bist, welche Kathete die richtige ist, rechne testweise über den anderen Winkel, kommt dasselbe heraus, stimmt deine Benennung.
  3. Der Name erklärt sich: „Kosinus" kommt von complementi sinus: „Sinus des Ergänzungswinkels". Genau das hast du eben bewiesen.

Winkel berechnen, die Rückrichtung

Bisher war der gegeben und eine Seite gesucht. Oft ist es umgekehrt: Du kennst zwei Seiten und willst wissen, wie steil etwas ist, die Neigung einer Rampe, den Steigungswinkel einer Straße, den Blickwinkel zur Turmspitze.

Der Gedanke

Aus den beiden Seiten berechnest du zuerst das Verhältnis. Zum Beispiel

sin⁡α=35=0,6\sin\alpha = \frac{3}{5} = 0{,}6

Jetzt kennst du den Sinuswert und suchst den Winkel, der dazu gehört. Du brauchst also die Umkehrung des Sinus, dieselbe Idee wie und .

sin⁡α=0,6⟹α=sin⁡−1(0,6)≈36,9°\sin\alpha = 0{,}6 \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}9°

Auf dem Taschenrechner findest du diese Funktionen über SHIFT (oder 2nd) und dann sin, cos bzw. tan; auf dem Display steht meist sin⁡−1\sin^{-1} oder asin.

Vorsicht bei der Schreibweise: sin⁡−1\sin^{-1} ist nicht 1sin⁡\frac{1}{\sin}. Die hochgestellte −1-1 bedeutet hier „Umkehrfunktion", nicht „". Das ist eine unglückliche, aber übliche Notation.

Zwei Dinge, die schiefgehen können

1. Der falsche Modus. Der Taschenrechner muss auf DEG (Grad) stehen. Steht er auf RAD oder GRAD, bekommst du sinnlose Zahlen. Prüfe das mit einem Wert, den du kennst: sin⁡30°\sin 30° muss genau 0,50{,}5 ergeben. Kommt etwas anderes heraus, stimmt der Modus nicht.

2. Zu früh . Rechne mit den vollen Nachkommastellen weiter und runde erst das Endergebnis. Wer sin⁡35°≈0,57\sin 35° \approx 0{,}57 statt 0,57360{,}5736 verwendet, sammelt Fehler an.

Kontrolle für jedes Ergebnis: In einem rechtwinkligen sind beide spitzen Winkel zusammen 90°90°. Bekommst du für einen davon mehr als 90°90°, ist etwas falsch, und wenn du beide berechnest, müssen sie sich zu 90°90° ergänzen.

Seite berechnen

In einem rechtwinkligen ist α=35°\alpha = 35° und die c=10 cmc = 10\,\text{cm}. Berechne die Gegenkathete aa von α\alpha (runde auf zwei Nachkommastellen).

  1. 1

    Zuerst die Angaben sortieren, und zwar aus Sicht des α\alpha. Das ist bei jeder trigonometrischen Aufgabe der erste Schritt:

    • gegeben: der Winkel α=35°\alpha = 35°
    • gegeben: die Hypotenuse c=10 cmc = 10\,\text{cm}
    • gesucht: die Gegenkathete aa (sie liegt α\alpha gegenüber)
  2. 2

    Welches der drei Verhältnisse passt? Beteiligt sind Gegenkathete und Hypotenuse. Genau diese beiden stehen im Sinus:

    sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse=ac\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}

    Kosinus scheidet aus (er bräuchte die Ankathete), Tangens ebenfalls (er kennt die Hypotenuse nicht).

  3. 3

    Nach der gesuchten Größe umstellen. Das aa steht im , geteilt durch cc. Also multiplizieren wir beide Seiten mit cc:

    sin⁡α=ac∣  ⋅ca=c⋅sin⁡α\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{a}{c} &&|\; \cdot c \\ a &= c \cdot \sin\alpha \end{aligned}
  4. 4

    Werte einsetzen.

    a=10 cm⋅sin⁡35°a = 10\,\text{cm} \cdot \sin 35°
  5. 5

    Den Sinuswert bestimmen. Der Taschenrechner (im DEG-Modus!) liefert

    sin⁡35°≈0,5736\sin 35° \approx 0{,}5736

    Kurze Plausibilitätsprüfung: Der Wert liegt zwischen 00 und 11. Das muss so sein, denn die Gegenkathete ist immer kürzer als die Hypotenuse.

  6. 6

    Ausrechnen.

    a≈10⋅0,5736=5,736a \approx 10 \cdot 0{,}5736 = 5{,}736

    auf zwei Nachkommastellen: a≈5,74a \approx 5{,}74.

  7. 7

    Einheit und Kontrolle. Die Hypotenuse war in Zentimetern gegeben, und wir haben sie mit einer reinen Verhältniszahl multipliziert, das Ergebnis ist also in Zentimetern: a≈5,74 cma \approx 5{,}74\,\text{cm}.

    Kontrolle: 5,74 cm5{,}74\,\text{cm} ist kürzer als die Hypotenuse 10 cm10\,\text{cm} ✓ Und weil 35°35° kleiner als 45°45° ist, muss die Gegenkathete kürzer sein als die Ankathete, bei genau 45°45° wären beide gleich lang, und unterhalb davon ist die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere. Die Ankathete ist hier 10⋅cos⁡35°≈8,19 cm10 \cdot \cos 35° \approx 8{,}19\,\text{cm}, und tatsächlich ist 5,74<8,195{,}74 < 8{,}19 ✓

Die Gegenkathete ist a≈5,74 cma \approx 5{,}74\,\text{cm} lang.

Das Vorgehen bei jeder Seitenberechnung: Winkel markieren → Seiten aus seiner Sicht benennen → das Verhältnis wählen, in dem die gegebene und die gesuchte Seite vorkommen → umstellen → einsetzen.

Wie hoch ist der Turm?

Du stehst 50 m50\,\text{m} von einem Turm entfernt und misst zur Turmspitze einen Blickwinkel von 38°38°. Dein Auge befindet sich 1,60 m1{,}60\,\text{m} über dem Boden. Wie hoch ist der Turm?

  1. 1

    Zuerst eine Skizze, und die Erkenntnis, dass das Auge nicht am Boden ist. Zeichne den Turm senkrecht, den Boden waagerecht und deine Blicklinie schräg nach oben.

    Das rechtwinklige entsteht auf Augenhöhe: Von deinem Auge geht die waagerechte Strecke zum Turm (50 m50\,\text{m}), von dort senkrecht nach oben zur Spitze, und die Blicklinie schließt das Dreieck.

    Wichtig: Dieses Dreieck liefert nur den Teil des Turms oberhalb deiner Augenhöhe. Die 1,60 m1{,}60\,\text{m} bis zum Auge müssen am Ende dazuaddiert werden. Genau diesen Schritt vergessen die meisten.

  2. 2

    Angaben aus Sicht des α=38°\alpha = 38° sortieren. Der Winkel liegt an deinem Auge:

    • Die 50 m50\,\text{m} zum Turm liegen am Winkel an → Ankathete.
    • Die gesuchte Höhe über Augenhöhe liegt dem Winkel gegenüber → Gegenkathete. Nennen wir sie h1h_1.
    • Die Blicklinie wäre die Hypotenuse. Sie kommt in der Aufgabe nicht vor.
  3. 3

    Welches Verhältnis? Beteiligt sind Gegenkathete und Ankathete, die Hypotenuse brauchen wir nicht. Das ist der Tangens:

    tan⁡α=GegenkatheteAnkathete=h150 m\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{h_1}{50\,\text{m}}
  4. 4

    Umstellen und einsetzen. Beide Seiten mit 5050 multiplizieren:

    h1=50 m⋅tan⁡38°h_1 = 50\,\text{m} \cdot \tan 38°

    Der Taschenrechner (DEG!) liefert tan⁡38°≈0,7813\tan 38° \approx 0{,}7813:

    h1≈50⋅0,7813=39,065 mh_1 \approx 50 \cdot 0{,}7813 = 39{,}065\,\text{m}
  5. 5

    Jetzt die Augenhöhe ergänzen. Der Turm reicht vom Boden bis zur Spitze, unser Dreieck begann aber erst auf 1,60 m1{,}60\,\text{m}:

    hTurm=h1+1,60 m≈39,07+1,60=40,67 mh_{\text{Turm}} = h_1 + 1{,}60\,\text{m} \approx 39{,}07 + 1{,}60 = 40{,}67\,\text{m}
  6. 6

    Einheit und Plausibilität. Alle Längen waren in Metern, also ist auch das Ergebnis in Metern.

    Ist das realistisch? Bei 45°45° wäre der Turm (über Augenhöhe) genau so hoch wie die Entfernung, also 50 m50\,\text{m}. Unser Winkel ist kleiner als 45°45°, also muss die Höhe kleiner als 50 m50\,\text{m} sein ✓ Rund 41 m41\,\text{m} entsprechen etwa einem Kirchturm, plausibel.

Der Turm ist etwa 40,7 m40{,}7\,\text{m} hoch.

Zwei Dinge, die diese Aufgabe lehrt: Der Tangens ist das Werkzeug, wenn die weder gegeben noch gesucht ist. Und bei Messungen aus Augenhöhe gehört die Standhöhe des Beobachters immer zum Schluss dazu.

Wie steil ist die Rampe?

Eine Rollstuhlrampe überwindet auf 6 m6\,\text{m} waagerechter Strecke einen Höhenunterschied von 0,48 m0{,}48\,\text{m}. Berechne den Steigungswinkel. Vorschrift: Rampen dürfen höchstens 6°6° steil sein, ist sie zulässig?

  1. 1

    Angaben sortieren. Gegeben sind zwei Seiten, gesucht ist ein . Das ist die Rückrichtung aus dem letzten Abschnitt.

    Aus Sicht des Steigungswinkels α\alpha (er liegt unten, wo die Rampe beginnt):

    • die waagerechte Strecke 6 m6\,\text{m} liegt am Winkel an → Ankathete
    • die Höhe 0,48 m0{,}48\,\text{m} liegt gegenüber → Gegenkathete
  2. 2

    Welches Verhältnis? Gegen- und Ankathete sind beteiligt, die (die schräge Rampenfläche) kommt nicht vor. Also der Tangens:

    tan⁡α=GegenkatheteAnkathete=0,48 m6 m\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{0{,}48\,\text{m}}{6\,\text{m}}
  3. 3

    Das Verhältnis ausrechnen. Die Einheiten sich weg: ein Verhältnis ist eine reine Zahl:

    tan⁡α=0,486=0,08\tan\alpha = \frac{0{,}48}{6} = 0{,}08

    Nebenbei: 0,08=8 %0{,}08 = 8\,\%. Das ist genau die Steigungsangabe, die auf Verkehrsschildern steht. Prozentsteigung ist nichts anderes als der Tangenswert.

  4. 4

    Jetzt die Umkehrfunktion anwenden. Wir kennen den Tangenswert und suchen den Winkel:

    α=tan⁡−1(0,08)\alpha = \tan^{-1}(0{,}08)

    Auf dem Taschenrechner: SHIFT, dann tan, dann 0,080{,}08, im DEG-Modus.

    α≈4,57°\alpha \approx 4{,}57°
  5. 5

    Die eigentliche Frage beantworten. Gefragt war nicht nur der Winkel, sondern ob die Rampe zulässig ist:

    4,57°<6°  ✓4{,}57° < 6° \;\checkmark

    Die Rampe hält die Vorschrift ein.

  6. 6

    Kontrolle. Bei kleinen Winkeln ist der Tangenswert ungefähr so groß wie der Winkel im Bogenmaß, grob gilt: 8 %8\,\% entsprechen knapp 5°5°. Unser Ergebnis passt in diese Größenordnung ✓ Ein Winkel von etwa 4,6°4{,}6° ist außerdem eine sehr flache Neigung, was für eine Rollstuhlrampe genau richtig ist.

Der Steigungswinkel beträgt α≈4,6°\alpha \approx 4{,}6°, die Rampe ist zulässig (Grenze: 6°6°).

Merke für Steigungsaufgaben: Zwei Seiten gegeben, Winkel gesucht → Verhältnis bilden → Umkehrfunktion. Und Prozentsteigung ist immer der Tangenswert, nicht der Winkel selbst.

Typischer Fehler

sin⁡30°\sin 30° wird in den Taschenrechner eingegeben, heraus kommt −0,988-0{,}988 statt 0,50{,}5.

Der Taschenrechner stand im Bogenmaß-Modus (RAD) statt im Grad-Modus (DEG)! Prüfe vor jeder Rechnung die Anzeige. Schnelltest: sin⁡30°\sin 30° muss genau 0,50{,}5 ergeben. Zweiter häufiger Fehler: Gegen- und Ankathete verwechseln. Sie hängen davon ab, welchen du betrachtest. Zeichne im Zweifel eine Skizze und markiere den Winkel.

Übung 1

leicht

Bestimme den α\alpha mit sin⁡α=0,5\sin\alpha = 0{,}5.

Tipp anzeigen

Nutze die Umkehrfunktion sin⁡−1\sin^{-1}.

Lösung anzeigen

α=sin⁡−1(0,5)=30°\alpha = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Frage umdrehen: vom Wert zum Winkel

    Gegeben ist der Sinuswert (0,50{,}5), gesucht der Winkel, die Umkehrfrage. Dafür gibt es die Umkehrfunktion sin⁡−1\sin^{-1} (Taste „arcsin"/„sin⁻¹").

  2. 2

    Auswerten

    Die Umkehrfunktion liefert den Winkel zum Sinuswert 0,50{,}5: α=sin⁡−1(0,5)=30°\alpha = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°.

    sin⁡−1(0,5)=30°\sin^{-1}(0{,}5) = 30°

  3. 3

    Plausibilität und Modus prüfen

    Kontrolle vorwärts: sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5 ✓. Und der Winkel liegt zwischen 0°0° und 90°90°, passend für ein rechtwinkliges Dreieck.

Übung 2

mittel

Eine 5 m5\,\text{m} lange Leiter lehnt mit einem von 70°70° zum Boden an einer Wand. In welcher Höhe berührt sie die Wand (runde auf zwei Nachkommastellen)?

Tipp anzeigen

Die Leiter ist die , die Höhe die Gegenkathete des 70°-Winkels.

Lösung anzeigen

h=5⋅sin⁡70°≈5⋅0,9397≈4,70 mh = 5 \cdot \sin 70° \approx 5 \cdot 0{,}9397 \approx 4{,}70\,\text{m}

Die Leiter berührt die Wand in etwa 4,70 m4{,}70\,\text{m} Höhe.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das rechtwinklige Dreieck der Leiter

    Wand senkrecht zum Boden → rechtwinkliges : Leiter = Hypotenuse (55 m), Bodenwinkel 70°70°, gesuchte Wandhöhe = GEGENkathete dieses Winkels.

  2. 2

    Sinus wählen und aufstellen

    Gegenkathete und Hypotenuse → Sinus: sin⁡70°=h5\sin 70° = \frac{h}{5}, also h=5⋅sin⁡70°h = 5 \cdot \sin 70°.

  3. 3

    Ausrechnen und einordnen

    h=5⋅0,9397≈4,70h = 5 \cdot 0{,}9397 \approx 4{,}70 m, die Leiter berührt die Wand in etwa 4,704{,}70 m Höhe.

    5⋅sin⁡70°≈4,705 \cdot \sin 70° \approx 4{,}70

    Zwischenergebnis

    h≈4,70h \approx 4{,}70 m

Zusammenfassung

Sinus, Kosinus und Tangens sind Seitenverhältnisse im rechtwinkligen , immer aus Sicht des betrachteten . Seite gesucht: passendes Verhältnis aufstellen und umstellen. Winkel gesucht: Umkehrfunktion nutzen. Und immer an den DEG-Modus denken!