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Geometrie

Kreisumfang und Kreisfläche

Die Kreiszahl π und die Formeln für Umfang und Flächeninhalt des Kreises.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Miss den einer Dose und teile ihn durch ihren . Es kommt immer ungefähr 3,143{,}14 heraus. Bei jeder Dose, jedem Rad, jedem des Universums! Diese magische Konstante heißt π\pi (Pi), und mit ihr erobern wir die rundeste aller Figuren: Umfang, und alles dazwischen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, was die Kreiszahl π\pi bedeutet.

  • (u=πd=2πru = \pi d = 2\pi r) und (A=πr2A = \pi r^2) berechnen.

  • die Formeln nach rr oder dd umstellen.

  • Kreisringe und Kreisausschnitte berechnen.

Die Kreiszahl π

Bei jedem ist das Verhältnis von zu dieselbe Zahl:

π=ud=3,14159…\pi = \frac{u}{d} = 3{,}14159\ldots

π\pi ist irrational, unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster. Für Rechnungen nutzt du die π\pi-Taste, zum reicht π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

Warum bei jedem Kreis dieselbe Zahl herauskommt

Das ist der eigentlich erstaunliche Teil: und du kannst ihn selbst nachprüfen.

Nimm eine Konservendose, einen Teller und ein Fahrradrad. Miss bei jedem den Umfang mit einer Schnur und den Durchmesser mit dem Lineal. Teile dann Umfang durch Durchmesser.

Bei allen dreien kommt ungefähr 3,143{,}14 heraus. Egal wie groß der Kreis ist.

Warum? Weil alle Kreise dieselbe Form haben: Ein großer Kreis ist nichts anderes als ein vergrößerter kleiner.

Und beim Vergrößern werden alle Längen mit demselben Faktor multipliziert, die gerade Strecke durch die Mitte genauso wie die krumme Randlinie. Machst du einen Kreis doppelt so groß, wird also beides doppelt so lang: der Durchmesser und der Umfang. Im Quotienten sich dieser Faktor wieder weg, und deshalb kommt bei jedem Kreis dieselbe Zahl heraus. Genau diese Konstante nennt man π\pi.

So kannst du dir das vorstellen, ein Beweis ist es nicht. Dass sich auch eine krumme Linie beim Vergrößern genauso verhält wie eine gerade, lässt sich in Klasse 8 nicht sauber begründen; das Werkzeug dafür heißt Ähnlichkeit und kommt in Klasse 9. Nachmessen kannst du es aber jederzeit, genau dafür steht die Bastelanleitung oben.

Was „irrational" bedeutet

π\pi lässt sich nicht als zweier ganzer Zahlen schreiben. Die Nachkommastellen hören nie auf und wiederholen sich nie.

Deshalb steht π\pi in Ergebnissen oft einfach stehen (u=5πu = 5\pi). Das ist der exakte Wert. Sobald du 3,143{,}14 einsetzt, rundest du.

Für die Praxis: Rechne mit der π\pi-Taste und runde erst am Ende. Rundest du zwischendurch, summieren sich die Ungenauigkeiten.

Prüfe dich: Warum kommt bei jedem Kreis dieselbe Zahl heraus, wenn man den Umfang durch den Durchmesser teilt: beim Teller genauso wie beim Fahrradrad?

Versuch es erst aus dem Kopf.

Weil alle dieselbe Form haben. Ein großer Kreis ist nichts anderes als ein vergrößerter kleiner. Es gibt keine „andere Sorte" Kreis.

Und beim Vergrößern werden alle Längen mit demselben Faktor multipliziert. Machst du einen Kreis dreimal so groß, dann wird der dreimal so lang und der dreimal so lang.

Der entscheidende Schritt ist die Kürzung. Nenne den Vergrößerungsfaktor kk. Aus uu und dd werden k⋅uk \cdot u und k⋅dk \cdot d, und im Quotienten fällt kk wieder heraus:

k⋅uk⋅d=ud\frac{k \cdot u}{k \cdot d} = \frac{u}{d}

Der Quotient kann sich also gar nicht ändern. Genau das leistet ein Verhältnis: Es misst die Form, nicht die Größe.

Ehrlich bleiben: Dass sich auch die krumme Randlinie beim Vergrößern genauso verhält wie die gerade Strecke durch die Mitte, ist hier nur anschaulich klar. Sauber begründen kann man es erst mit der Ähnlichkeit in Klasse 9, nachmessen kannst du es jederzeit selbst.

Der Umfang

u=π⋅d=2πru = \pi \cdot d = 2\pi r

Beide Formeln sagen dasselbe, denn d=2rd = 2r (siehe Bild).

dM

Der dd geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand, der rr nur bis zur Mitte: d=2rd = 2r. Damit sind u=π⋅d=2πru = \pi \cdot d = 2\pi r dieselbe Formel.

Die Kreisfläche

A=π⋅r2A = \pi \cdot r^2

Plausibel gemacht (siehe Herleitung unten): Zerschneide den in viele schmale „Tortenstücke" und lege sie abwechselnd auf/ab nebeneinander. Es entsteht näherungsweise ein .

Warum ist dieses Rechteck nur u2\tfrac{u}{2} breit und nicht uu? Weil die Bögen abwechselnd nach oben und nach unten zeigen: Die eine Hälfte des Kreisrands bildet die obere Kante, die andere Hälfte die untere. Jede Kante ist also halb so lang wie der ganze :

u2=2πr2=πr\frac{u}{2} = \frac{2\pi r}{2} = \pi r

Die Höhe des Rechtecks ist der rr, jedes Tortenstück ist ja rr lang. Damit gilt A=πr⋅r=πr2A = \pi r \cdot r = \pi r^2.

Wichtig: In der Umfangsformel steckt rr einfach, in der Flächenformel quadratisch. Doppelter Radius heißt doppelter Umfang, aber vierfache !

≈π · rr

Zerschneidest du den in viele schmale Sektoren und legst sie abwechselnd auf und ab, entsteht näherungsweise ein mit der Breite u2=πr\tfrac{u}{2} = \pi r und der Höhe rr. Also A=πr⋅r=πr2A = \pi r \cdot r = \pi r^2.

Kreisring und Kreisausschnitt

Kreisring (großer minus kleiner Kreis):   A=πR2−πr2=π(R2−r2)\;A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)

Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel α\alpha, der Anteil α360°\tfrac{\alpha}{360°} vom ganzen Kreis:

AAusschnitt=α360°⋅πr2bBogen=α360°⋅2πrA_{\text{Ausschnitt}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 \qquad\quad b_{\text{Bogen}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r

Warum in beiden Formeln derselbe Bruch steht

Der ganze Kreis hat 360°360°. Ein Ausschnitt mit 90°90° ist deshalb genau ein Viertel davon:

90°360°=14\frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}

Und ein Viertel des Kreises hat auch ein Viertel der und ein Viertel des . Der α360°\frac{\alpha}{360°} ist also einfach der Anteil, den dein Stück vom ganzen Kreis ausmacht.

Deshalb nimmst du ihn mal die Gesamtfläche, wenn du die Ausschnittsfläche willst, und mal den Gesamtumfang, wenn du die Bogenlänge willst.

Denk an eine Pizza: Ein Achtel Pizza hat ein Achtel der Fläche und ein Achtel des Randes.

Umfang und Fläche

Ein kreisrunder Gartenteich hat den r=2,5 mr = 2{,}5\,\text{m}. Berechne und (runde auf zwei Nachkommastellen).

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: r=2,5 mr = 2{,}5\,\text{m}. Gesucht: Umfang uu und Fläche AA.

    Kläre zuerst den Unterschied: Der Umfang ist die Randlänge (etwa für eine Einfassung), die Fläche ist die Wasseroberfläche. Das sind verschiedene Größen mit verschiedenen Einheiten.

  2. 2

    Schritt 1: Erwartung bilden ().

    Rechne grob mit π≈3\pi \approx 3:

    u≈2⋅3⋅2,5=15A≈3⋅6,25≈19u \approx 2 \cdot 3 \cdot 2{,}5 = 15 \qquad A \approx 3 \cdot 6{,}25 \approx 19

    An diesen Werten prüfst du gleich deine Rechnung.

  3. 3

    Schritt 2: Umfang berechnen.

    u=2πr=2⋅π⋅2,5 m=5π mu = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 2{,}5\,\text{m} = 5\pi\,\text{m}

    5π5\pi ist der exakte Wert. Erst jetzt wird :

    u≈15,71 mu \approx 15{,}71\,\text{m}
  4. 4

    Schritt 3: Fläche berechnen, auf die Reihenfolge achten.

    A=πr2A = \pi r^2

    Zuerst quadrieren, dann mit π\pi multiplizieren. In πr2\pi r^2 gehört das nur zum rr, nicht zu πr\pi r:

    r2=2,52=6,25r^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25 A=π⋅6,25 m2≈19,63 m2A = \pi \cdot 6{,}25\,\text{m}^2 \approx 19{,}63\,\text{m}^2
  5. 5

    Schritt 4: Die Einheiten prüfen.

    • Umfang: m\text{m}, eine Länge ✓
    • Fläche: m2\text{m}^2, eine Fläche ✓

    Beim Umfang wurde rr einfach verwendet, bei der Fläche quadratisch. Genau das spiegelt die Einheit wider.

  6. 6

    Schritt 5: Gegen den Überschlag prüfen.

    Erwartet: 1515 und 1919. Berechnet: 15,7115{,}71 und 19,6319{,}63 ✓

    Beide liegen leicht darüber, logisch, denn π\pi ist etwas größer als 33.

u≈15,71 mu \approx 15{,}71\,\text{m} · A≈19,63 m2A \approx 19{,}63\,\text{m}^2

Rückwärts: Radius aus dem Umfang

Ein Fahrradreifen hat den u=2,20 mu = 2{,}20\,\text{m}. Welchen hat das Rad (in cm, )?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: u=2,20 mu = 2{,}20\,\text{m}. Gesucht: der Durchmesser dd, in Zentimetern.

    Diesmal ist das Ergebnis der Formel bekannt und eine der Eingangsgrößen gesucht. Die Formel muss also umgestellt werden.

  2. 2

    Schritt 1: Die passende Formel wählen.

    Gesucht ist der Durchmesser, also nimmst du die Fassung mit dd:

    u=π⋅du = \pi \cdot d

    (Mit u=2πru = 2\pi r ginge es auch, dann bekämst du den und müsstest ihn noch verdoppeln.)

  3. 3

    Schritt 2: Nach dd umstellen.

    dd wird mit π\pi multipliziert. Also teilst du beide Seiten durch π\pi:

    u=πd∣  :πd=uπ\begin{aligned} u &= \pi d &&|\; :\pi \\[2pt] d &= \frac{u}{\pi} \end{aligned}
  4. 4

    Schritt 3: Einsetzen und ausrechnen.

    d=2,20 mπ≈0,7003 md = \frac{2{,}20\,\text{m}}{\pi} \approx 0{,}7003\,\text{m}

    Rechne mit der π\pi-Taste, nicht mit 3,143{,}14, sonst weicht das Ergebnis schon in der zweiten Stelle ab.

  5. 5

    Schritt 4: In die verlangte Einheit umwandeln.

    Gefragt war in Zentimetern:

    0,7003 m=70,03 cm≈70 cm0{,}7003\,\text{m} = 70{,}03\,\text{cm} \approx 70\,\text{cm}
  6. 6

    Schritt 5: Probe und Plausibilität.

    Probe: π⋅0,70 m≈2,20 m\pi \cdot 0{,}70\,\text{m} \approx 2{,}20\,\text{m} ✓

    Und der Realitätscheck: Ein Fahrradrad mit 70 cm70\,\text{cm} Durchmesser entspricht etwa der gängigen 2828-Zoll-Größe. Das passt ✓

    Merke dir die Größenordnung: Der Umfang ist immer gut dreimal so groß wie der Durchmesser. 2,20 m2{,}20\,\text{m} Umfang können also nur zu rund 0,7 m0{,}7\,\text{m} Durchmesser gehören.

Der Durchmesser beträgt d≈70 cmd \approx 70\,\text{cm}.

Kreisausschnitt (Pizza-Mathematik)

Eine Pizza mit 32 cm32\,\text{cm} wird in 88 gleiche Stücke geschnitten. Welche und welche Randlänge (Kruste) hat ein Stück?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: d=32 cmd = 32\,\text{cm}, 88 gleiche Stücke. Gesucht: Fläche und Bogenlänge eines Stücks.

    Erster Schritt bei jeder Kreisaufgabe: Prüfe, ob der Durchmesser oder der gegeben ist. Fast alle Formeln brauchen den Radius.

  2. 2

    Schritt 1: Den Radius bestimmen.

    r=d2=32 cm2=16 cmr = \frac{d}{2} = \frac{32\,\text{cm}}{2} = 16\,\text{cm}

    Diesen Schritt zu überspringen ist der häufigste Fehler des Kapitels, er vervierfacht die Fläche.

  3. 3

    Schritt 2: Den Anteil bestimmen.

    Acht gleiche Stücke bedeuten: Jedes ist ein Achtel des .

    α360°=18(denn α=360°:8=45°)\frac{\alpha}{360°} = \frac{1}{8} \qquad (\text{denn } \alpha = 360° : 8 = 45°)
  4. 4

    Schritt 3: Die Fläche des ganzen Kreises berechnen.

    A=πr2=π⋅162=256π≈804,2 cm2A = \pi r^2 = \pi \cdot 16^2 = 256\pi \approx 804{,}2\,\text{cm}^2
  5. 5

    Schritt 4: Den Achtel-Anteil nehmen.

    AStu¨ck=18⋅256π=32π≈100,5 cm2A_{\text{Stück}} = \frac{1}{8} \cdot 256\pi = 32\pi \approx 100{,}5\,\text{cm}^2
  6. 6

    Schritt 5: Die Kruste, jetzt mit dem .

    Die Kruste ist der Bogen, also ein Achtel des Kreisumfangs:

    u=2πr=32π≈100,5 cmu = 2\pi r = 32\pi \approx 100{,}5\,\text{cm} b=18⋅32π=4π≈12,6 cmb = \frac{1}{8} \cdot 32\pi = 4\pi \approx 12{,}6\,\text{cm}
  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle und ein Hinweis.

    Achtmal 100,5 cm2100{,}5\,\text{cm}^2 ergibt wieder rund 804 cm2804\,\text{cm}^2 ✓ und achtmal 12,6 cm12{,}6\,\text{cm} rund 100,5 cm100{,}5\,\text{cm} ✓

    Wichtig zum Schluss: Die Zahlen 100,5100{,}5 tauchen zweimal auf, einmal als Fläche in cm2\text{cm}^2, einmal als Umfang in cm\text{cm}. Das ist Zufall dieser Maße und kein Zusammenhang. Achte deshalb immer auf die Einheit.

Ein Stück hat A≈100,5 cm2A \approx 100{,}5\,\text{cm}^2 Fläche und b≈12,6 cmb \approx 12{,}6\,\text{cm} Kruste.

Typischer Fehler

mit d=10 cmd = 10\,\text{cm}: „A=π⋅102≈314 cm2A = \pi \cdot 10^2 \approx 314\,\text{cm}^2."

In der Flächenformel steht der : r=d2=5r = \frac{d}{2} = 5, also A=π⋅25≈78,5 cm2A = \pi \cdot 25 \approx 78{,}5\,\text{cm}^2. Wer den Durchmesser quadriert, bekommt die vierfache ! Erste Handlung bei jeder Kreisaufgabe: klären, ob rr oder dd gegeben ist, und notfalls halbieren.

Übung 1

leicht

Berechne und eines mit r=4 cmr = 4\,\text{cm} (runde auf eine Nachkommastelle).

Tipp anzeigen

u=2πru = 2\pi r, A=πr2A = \pi r^2.

Lösung anzeigen

u=8π≈25,1 cmu = 8\pi \approx 25{,}1\,\text{cm}

A=16π≈50,3 cm2A = 16\pi \approx 50{,}3\,\text{cm}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Umfang mit der π-Formel

    u=2πr=2⋅π⋅4=8π≈25,1u = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25{,}1 cm.

  2. 2

    Fläche mit der r²-Formel

    A=πr2=π⋅16=16π≈50,3 cm2A = \pi r^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi \approx 50{,}3\,\text{cm}^2.

    A=π⋅42=16πA = \pi \cdot 4^2 = 16\pi

  3. 3

    Runden und Einheiten kontrollieren

    Auf eine Nachkommastelle: 8π=25,13…≈25,18\pi = 25{,}13\ldots \approx 25{,}1 cm und 16π=50,26…≈50,3 cm216\pi = 50{,}26\ldots \approx 50{,}3\,\text{cm}^2. Länge in cm, Fläche in cm² ✓.

Übung 2

mittel

Ein hat den A=78,5 cm2A = 78{,}5\,\text{cm}^2. Berechne seinen (mit π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

Tipp anzeigen

r2=Aπr^2 = \frac{A}{\pi}, dann die Zahl suchen, deren das ergibt.

Lösung anzeigen

r2=78,53,14=25r^2 = \frac{78{,}5}{3{,}14} = 25

r=5 cmr = 5\,\text{cm} (denn 52=255^2 = 25)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Flächenformel rückwärts

    A=πr2A = \pi r^2 nach r2r^2 umgestellt: r2=Aπ=78,53,14r^2 = \frac{A}{\pi} = \frac{78{,}5}{3{,}14}.

  2. 2

    r² ausrechnen

    78,53,14=7850314=25\frac{78{,}5}{3{,}14} = \frac{7850}{314} = 25, also r2=25r^2 = 25.

    78,5:3,14=2578{,}5 : 3{,}14 = 25

    Zwischenergebnis

    r2=25r^2 = 25

  3. 3

    Von r² zu r

    Gesucht ist die positive Zahl mit r⋅r=25r \cdot r = 25: r=5r = 5 cm (Längen sind positiv).

Übung 3

schwer

Eine Zielscheibe besteht aus einem inneren (r=5 cmr = 5\,\text{cm}) und einem Ring außen herum (Außenradius R=10 cmR = 10\,\text{cm}). a) Berechne beide . b) Welche Fläche ist größer, und um wie viel?

Tipp anzeigen

Ring: π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2).

Lösung anzeigen

a) Innen: π⋅25≈78,5 cm2\pi \cdot 25 \approx 78{,}5\,\text{cm}^2 · Ring: π(100−25)=75π≈235,6 cm2\pi(100 - 25) = 75\pi \approx 235{,}6\,\text{cm}^2

b) Der Ring ist dreimal so groß wie der Innenkreis (75π75\pi vs. 25π25\pi): Differenz 50π≈157,1 cm250\pi \approx 157{,}1\,\text{cm}^2. Obwohl er „nur" doppelt so weit hinausreicht!

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Innenkreis berechnen

    Innen: A=πr2=π⋅25=25π≈78,5 cm2A = \pi r^2 = \pi \cdot 25 = 25\pi \approx 78{,}5\,\text{cm}^2.

    Zwischenergebnis

    25π25\pi

  2. 2

    a) Ringfläche als Differenz

    Der Ring ist Großkreis minus Innenkreis: A=πR2−πr2=π(100−25)=75π≈235,6 cm2A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(100 - 25) = 75\pi \approx 235{,}6\,\text{cm}^2.

    π(102−52)=75π\pi(10^2 - 5^2) = 75\pi

  3. 3

    b) Vergleichen, gegen die Intuition

    75π75\pi gegen 25π25\pi: Der Ring ist DREIMAL so groß wie der Innenkreis; Differenz 50π≈157,1 cm250\pi \approx 157{,}1\,\text{cm}^2.

Zusammenfassung

π verbindet und aller (u=πd=2πru = \pi d = 2\pi r), die wächst quadratisch mit dem (A=πr2A = \pi r^2). Ausschnitte sind Winkelanteile (α360°\frac{\alpha}{360°}), Ringe Differenzen zweier Kreise. Und der wichtigste Reflex: erst klären, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist.