Federpendel

Das Federpendel (Federschwinger) ist neben dem Fadenpendel der zweite Grundschwinger der Physik: Eine Masse hängt an einer Feder und schwingt vertikal um ihre Ruhelage. Seine Periodendauer gehorcht $T = 2\pi\sqrt{m/D}$: mehr Masse verlangsamt, härtere Feder beschleunigt, und die Amplitude spielt keine Rolle. Der Versuch misst den Takt und prüft alle drei Aussagen.

Der Federschwinger ist der Modellfall der harmonischen Schwingung schlechthin: Sein lineares Rückstellgesetz $F = -D \cdot y$ (Hooke!) erzeugt exakt die Sinusschwingung, auf der die gesamte Schwingungs- und Wellenlehre aufbaut. Wer $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ am realen Pendel geprüft hat, besitzt zudem das Gegenstück zum Fadenpendel: Dort regiert die Länge, hier das Paar Masse und Federhärte, und in beiden Fällen fällt die Amplitude heraus.

Der Federschwinger wurde mit Hookes Gesetz (1676) berechenbar und ist seither das Standardmodell der Schwingungslehre; sein schwerkraftfreier Takt macht ihn bis heute nützlich: Auf der ISS bestimmen Astronauten ihre Körpermasse mit einem Federschwinger-Stuhl.

Lass das Federpendel (0,25 kg an der 25-N/m-Feder) mit kleiner Amplitude schwingen, miss dreimal die Zeit für 20 Schwingungen und vergleiche die Periodendauer mit der Formelvorhersage.

Woher die Formel kommt (Plausibilisierung): Die Rückstellkraft wächst mit der Auslenkung ($F = -Dy$, Hooke), die Trägheit mit der Masse. Ein härteres D beschleunigt stärker zurück (schnellerer Takt), ein größeres m folgt träger (langsamerer Takt). Das Verhältnis $m/D$ bestimmt also das Tempo, und die vollständige Rechnung der Oberstufe liefert den Vorfaktor $2\pi$ samt Wurzel. Auffällig ist, dass $g$ fehlt: Die Schwerkraft verschiebt nur die Ruhelage (die Feder hängt vorgedehnt), am Hin- und Herschwingen um diese Lage ändert sie nichts.

Die Zahlenvorhersage:

Für 20 Schwingungen also rund $12{,}6\ \mathrm{s}$: bequem messbar, und die Reaktionszeit fällt auf ein Zwanzigstel zusammen (Strategie des Fadenpendels).

Feder mit eingehängter Masse am Stativ; senkrecht anzupfen (etwa 3 cm nach unten ziehen und loslassen), nicht seitlich: Pendelbewegungen quer würden die Zählung stören.

Federpendel in Ruhelage und in beiden Umkehrlagen; die Ruhelage (vorgedehnte Feder) als Nulllinie der Schwingung markiert.

Aufbau: Schraubenfeder (D = 25 N/m, aus dem Hooke-Experiment bekannt) am Stativ, Hakenmassen 100 bis 400 g, Stoppuhr, Maßstab für die Amplitudenkontrolle.

Schritt 1: Masse einhängen, Ruhelage abwarten.

Schritt 2: Etwa 3 cm nach unten auslenken, loslassen; nach zwei Einschwing-Perioden am unteren Umkehrpunkt „null“ starten und 20 Schwingungen zählen.

Schritt 3: Dreimal messen, Mittelwert bilden.

Periodendauer:

Formelvergleich: Der Messwert trifft die Vorhersage $0{,}63\ \mathrm{s}$ exakt. Die Formel besteht mit der unabhängig (im Hooke-Experiment!) bestimmten Federkonstante. Zwei Experimente stützen sich gegenseitig, ohne dass eine Größe angepasst wurde: die stärkste Form der Bestätigung.

Umkehrbar als Messverfahren: $D = 4\pi^2 m/T^2 = 4\pi^2 \cdot 0{,}25/0{,}63^2 \approx 24{,}9\ \mathrm{N/m}$. Das Pendel misst seine eigene Feder auf ein halbes Prozent genau, schneller als jede Hooke-Messreihe. Und nach m aufgelöst wird es zur Waage, die keine Schwerkraft braucht.

Das Federpendel schwingt mit $T = 0{,}63\ \mathrm{s}$, exakt wie $2\pi\sqrt{m/D}$ mit der unabhängig gemessenen Federkonstante vorhersagt. Die Formel ist bestätigt und als Messverfahren für D oder m nutzbar.

Neben der bekannten Zeitmess-Streuung hat das Federpendel eine eigene systematische Feinheit: