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Schwingungen und Wellen

Schwingungen als periodische Bewegungen

Kenngrößen einer Schwingung, das Weg-Zeit-Diagramm und die ständige Energieumwandlung im Pendel.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine Pendeluhr, eine Gitarrensaite, ein Federschwinger, ein Herzschlag, ein Quarz in der Armbanduhr: alles Bewegungen, die sich in gleichen Zeitabschnitten wiederholen.

Solche Vorgänge nennt man Schwingungen, und sie sind so verbreitet, dass sich eine eigene Beschreibungssprache lohnt. Wer sie einmal beherrscht, kann Uhren, Musikinstrumente, Erdbebenwellen, Wechselstrom und sogar das Licht mit denselben Größen erfassen. Dieses Kapitel ist deshalb die Grundlage für alles, was in der Oberstufe über folgt.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • eine Schwingung als periodische Bewegung definieren.

  • die Kenngrößen Elongation, Amplitude, Periodendauer und Frequenz bestimmen.

  • das Weg-Zeit-Diagramm einer Schwingung deuten.

  • die Energieumwandlungen während einer Schwingung beschreiben.

  • die Bedingungen für das Zustandekommen einer Schwingung benennen.

  • Dämpfung und Resonanz an Beispielen erklären.

Was eine Schwingung ist

Eine Schwingung ist eine Bewegung, bei der sich ein Körper periodisch um eine Ruhelage hin und her bewegt.

Damit eine Schwingung überhaupt zustande kommt, müssen drei Bedingungen erfüllt sein:

  1. Es gibt eine Ruhelage, in der keine resultierende wirkt.
  2. Bei Auslenkung wirkt eine rücktreibende Kraft zur Ruhelage hin.
  3. Der Körper hat Trägheit, überschwingt also die Ruhelage.

Fehlt Punkt 2, kehrt der Körper nicht zurück. Fehlt Punkt 3, bliebe er in der Ruhelage stehen. Erst beides zusammen ergibt das Hin und Her.

Man unterscheidet:

  • Mechanische Schwingungen: Pendel, Feder, Saite, Stimmgabel.
  • Elektromagnetische Schwingungen: Schwingkreis, Wechselstrom (Klasse 11).

Die Kenngrößen

GrößeZeichenBedeutungEinheit
Elongationyyaugenblickliche Auslenkung aus der Ruhelagem
Amplitudey^\hat{y}größte Auslenkungm
PeriodendauerTTDauer einer vollständigen Schwingungs
FrequenzffAnzahl der Schwingungen je SekundeHz
f=1TT=1ff = \frac{1}{T} \qquad T = \frac{1}{f}

🔴 Eine vollständige Schwingung ist der Weg von einem Punkt bis zur nächsten Wiederholung in gleicher Bewegungsrichtung, also einmal hin und zurück. Wer nur den Weg von links nach rechts zählt, halbiert die Periodendauer.

Die Einheit Hertz: 1 Hz=1s1\,\text{Hz} = \frac{1}{\text{s}}, also eine Schwingung je Sekunde.

Größenordnungen:

VorgangFrequenz
Sekundenpendel0,5 Hz0{,}5\,\text{Hz}
Herzschlagetwa 1 Hz1\,\text{Hz}
Netzwechselspannung50 Hz50\,\text{Hz}
Kammerton a'440 Hz440\,\text{Hz}
Hörbereich Mensch16 Hz16\,\text{Hz} bis 20 kHz20\,\text{kHz}
Uhrenquarz32768 Hz32768\,\text{Hz}
Zwei Größen genügen zur BeschreibungZeit tAuslenkung yAmplitude APeriodendauer TRuhelagef = 1 / TT = 0,5 s bedeutet f = 2 Hz.Wie weit und wie oft

Zwei Größen genügen, um eine Schwingung zu beschreiben und beide liest man direkt aus dem Diagramm ab. Die Amplitude ist der größte Abstand von der Ruhelage, die Periodendauer der waagerechte Abstand zwischen zwei gleichen Zuständen. Achte darauf: von Berg zu Berg, nicht von Berg zu Tal.

Das Weg-Zeit-Diagramm

Trägt man die Elongation über der Zeit auf, ergibt sich bei einer harmonischen Schwingung eine Sinuskurve.

Aus dem Diagramm liest man ab:

  • Die Amplitude als größter Ausschlag nach oben oder unten.
  • Die Periodendauer als Abstand zwischen zwei gleichartigen Punkten, etwa zwei Maxima.
  • Die Stellen, an denen der Körper am schnellsten ist: dort, wo die Kurve am steilsten verläuft, also beim Durchgang durch die Ruhelage.
  • Die Umkehrpunkte: dort ist die Kurve waagerecht, die also null.

🔴 Beachte: Am Umkehrpunkt ist die Auslenkung maximal und die Geschwindigkeit null, in der Ruhelage genau umgekehrt. Das ist dieselbe Denkfigur wie beim (Klasse 9): Ein Maximum einer Größe ist die Stelle, an der sie sich nicht ändert.

Energie in der Schwingung

Beim Fadenpendel wandelt sich die ständig ineinander um:

OrtLageenergieBewegungsenergie
Umkehrpunktmaximalnull
Ruhelagenull (Bezugsniveau)maximal
dazwischenteilsteils

Ohne bleibt die Summe konstant, das ist der Energieerhaltungssatz aus Klasse 8.

Beim Federschwinger ist es dasselbe Spiel, nur mit Spannenergie statt Lageenergie.

🔴 Die Energie wechselt zweimal je Periode vollständig hin und her, während die Auslenkung nur einmal durchläuft. Der Grund: Energie hängt vom Quadrat ab, deshalb ist sie an beiden Umkehrpunkten gleich groß.

Die Energie pendelt, die Summe steht stillUmkehrpunktRuhelageUmkehrpunktgleiche GesamthöheSpannenergieBewegungsenergieDieselbe Aussage wie beim Pendel

Vergleiche die Höhe der drei Balken, nicht ihre Farben: Sie ist überall gleich. Das ist derselbe Erhaltungssatz wie beim Pendel in Klasse 8, nur mit der Feder statt der Höhe als Speicher. Was wandert, ist allein die Trennlinie zwischen den beiden Formen.

Dämpfung

In Wirklichkeit wird die Amplitude immer kleiner: Luftwiderstand und in der Aufhängung wandeln mechanische in um. Man nennt das Dämpfung.

  • Schwach gedämpft: viele Schwingungen, langsam abnehmende Amplitude (Pendel).
  • Stark gedämpft: wenige Schwingungen (Feder im Wasser).
  • Aperiodischer Grenzfall: keine Schwingung mehr, der Körper kehrt möglichst schnell in die Ruhelage zurück. Genau darauf sind Stoßdämpfer ausgelegt.

Wichtig: Die Periodendauer ändert sich durch schwache Dämpfung praktisch nicht. Nur die Amplitude nimmt ab. Genau deshalb ging eine Pendeluhr auch dann richtig, wenn sie langsam auslief.

Die Amplitude nimmt ab, die Dauer nichtTTDie Energie wird durch Reibung zu Wärme.Kleiner werden heißt nicht langsamer werden

Achte auf die beiden T-Markierungen unten: Sie sind gleich lang, obwohl die Schwingung dazwischen deutlich kleiner geworden ist. Kleiner werden heißt nicht langsamer werden, die Periodendauer bleibt bei schwacher Dämpfung praktisch unverändert. Die ist nicht verschwunden, sondern durch zu geworden.

Resonanz

Regt man ein schwingungsfähiges System periodisch von außen an, hängt die Amplitude stark von der Anregungsfrequenz ab. Trifft die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz des Systems, wird die Amplitude besonders groß. Das heißt Resonanz.

Erwünscht: Schaukel anschieben, Musikinstrument (Resonanzkörper), Radioempfänger (Abstimmung auf eine Sendefrequenz), Mikrowelle.

Gefährlich: Ein Weinglas kann durch einen Ton seiner Eigenfrequenz zerspringen. Brücken können sich durch gleichmäßige Schritte oder Wind aufschaukeln; deshalb müssen Soldaten auf Brücken den Gleichschritt aufgeben, und deshalb prüft man Bauwerke auf ihre Eigenfrequenzen.

Genaueres zu Resonanz und zu den Formeln für die Schwingungsdauer folgt in Klasse 11.

Kenngrößen aus einer Messung

Ein Pendel führt in 30 s30\,\text{s} genau 2020 vollständige Schwingungen aus. Die größte Auslenkung beträgt 8 cm8\,\text{cm}.

a) Berechne Periodendauer und Frequenz.

b) Gib die Amplitude an.

c) Warum misst man 2020 Schwingungen statt einer einzigen?

d) Wie groß ist die Elongation nach einer halben Periode?

  1. 1

    a) Periodendauer ist die Zeit je Schwingung:

    T=30 s20=1,5 sT = \frac{30\,\text{s}}{20} = 1{,}5\,\text{s}

    Frequenz:

    f=1T=11,5 s≈0,67 Hzf = \frac{1}{T} = \frac{1}{1{,}5\,\text{s}} \approx 0{,}67\,\text{Hz}
  2. 2

    b) Die Amplitude ist die größte Auslenkung aus der Ruhelage:

    y^=8 cm\hat{y} = 8\,\text{cm}

    🔴 Nicht zu verwechseln mit der Gesamtstrecke zwischen den beiden Umkehrpunkten; die beträgt 16 cm16\,\text{cm}, also das Doppelte der Amplitude.

  3. 3

    c) Um den Messfehler zu verkleinern. Beim Starten und Stoppen der Uhr macht man jedes Mal einen Fehler von vielleicht 0,2 s0{,}2\,\text{s}.

    • Bei einer Schwingung von 1,5 s1{,}5\,\text{s} wären das über 13 %13\,\% Fehler.
    • Bei zwanzig Schwingungen verteilt sich derselbe absolute Fehler auf 30 s30\,\text{s}, also unter 0,7 %0{,}7\,\%, und beim Teilen durch 2020 wird er entsprechend klein.

    Das ist ein allgemein nützliches Messprinzip: Viele Wiederholungen messen und teilen verkleinert den Einfluss des Ablesefehlers, ohne dass man ein besseres Messgerät braucht.

  4. 4

    d) Nach einer halben Periode (0,75 s0{,}75\,\text{s}) ist das Pendel am entgegengesetzten Umkehrpunkt.

    Die Elongation beträgt dort −8 cm-8\,\text{cm}, also die volle Amplitude auf der anderen Seite. Das Vorzeichen sagt die Richtung.

    Nach einer ganzen Periode wäre es wieder bei +8 cm+8\,\text{cm}, und zwar mit derselben Bewegungsrichtung wie zu Beginn. Genau das ist die Definition der Periodendauer.

a) T=1,5 sT = 1{,}5\,\text{s}, f≈0,67 Hzf \approx 0{,}67\,\text{Hz} b) y^=8 cm\hat{y} = 8\,\text{cm} c) zur Verkleinerung des Messfehlers d) −8 cm-8\,\text{cm}.

Energie im Fadenpendel

Ein Pendelkörper (m=0,2 kgm = 0{,}2\,\text{kg}) wird um 12 cm12\,\text{cm} angehoben und losgelassen (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}).

a) Beschreibe die Energieumwandlungen einer vollen Schwingung.

b) Berechne die maximale in der Ruhelage.

c) Wie groß ist die Bewegungsenergie auf halber Höhe?

d) Nach einiger Zeit erreicht das Pendel nur noch 9 cm9\,\text{cm}. Wie viel wurde umgewandelt, und wohin?

  1. 1

    a) Vier Abschnitte je Schwingung:

    1. Umkehrpunkt rechts: maximale Lageenergie, keine Bewegungsenergie.
    2. Weg zur Ruhelage: Lageenergie wird in Bewegungsenergie umgewandelt.
    3. Ruhelage: keine Lageenergie, maximale Bewegungsenergie, größte Geschwindigkeit.
    4. Weg zum linken Umkehrpunkt: Bewegungsenergie wird zurück in Lageenergie umgewandelt.

    Danach läuft alles rückwärts. Die Energie wechselt also zweimal je Periode vollständig die Form.

  2. 2

    b) Energieerhaltung ansetzen. Die gesamte Lageenergie wird zu Bewegungsenergie:

    mgh=12mv2m g h = \frac{1}{2} m v^2

    Die kürzt sich heraus:

    v=2gh=2⋅10 ms2⋅0,12 m=2,4 ms≈1,55 msv = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}12\,\text{m}} = \sqrt{2{,}4}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}55\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Bemerkenswert: Die Geschwindigkeit hängt nicht von der Masse ab, genau wie beim freien Fall.

  3. 3

    c) Auf halber Höhe (h=6 cmh = 6\,\text{cm}) ist die Hälfte der Lageenergie umgewandelt:

    Eges=mgh=0,2⋅10⋅0,12 J=0,24 JE_{\text{ges}} = m g h = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}12\,\text{J} = 0{,}24\,\text{J} Epot=0,2⋅10⋅0,06 J=0,12 JE_{\text{pot}} = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}06\,\text{J} = 0{,}12\,\text{J} Ekin=0,24−0,12=0,12 JE_{\text{kin}} = 0{,}24 - 0{,}12 = 0{,}12\,\text{J}

    Halbe Höhe bedeutet also genau halbe-halbe. Die Geschwindigkeit ist dort allerdings nicht halb so groß, sondern 0,5≈71 %\sqrt{0{,}5} \approx 71\,\% der Höchstgeschwindigkeit, wegen des Quadrats.

  4. 4

    d) Neue Gesamtenergie:

    E=0,2⋅10⋅0,09 J=0,18 JE = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}09\,\text{J} = 0{,}18\,\text{J}

    Umgewandelt: 0,24−0,18=0,06 J0{,}24 - 0{,}18 = 0{,}06\,\text{J}, also 25 %25\,\%.

    Wohin: in thermische Energie, durch Luftwiderstand entlang der Bahn und in der Aufhängung, dazu ein kleiner Anteil Schall. Das ist die Dämpfung.

    🔴 Bemerkenswert dabei: Die Periodendauer bleibt praktisch unverändert, obwohl die Amplitude um ein Viertel gesunken ist. Genau deshalb waren Pendeluhren über Jahrhunderte die genauesten Uhren: Der Gang hängt nicht davon ab, wie weit das Pendel ausschlägt.

a) ständiger Wechsel zwischen Lage- und Bewegungsenergie b) 1,55 ms1{,}55\,\frac{\text{m}}{\text{s}} c) je 0,12 J0{,}12\,\text{J} d) 0,06 J0{,}06\,\text{J} als , bei nahezu unveränderter Periodendauer.

Typischer Fehler

„Eine Schwingung ist der Weg vom linken zum rechten Umkehrpunkt."

Das ist nur eine halbe Schwingung. Eine vollständige Periode umfasst den Weg hin und zurück, bis der Körper wieder in derselben Lage und mit derselben Bewegungsrichtung ist.

Der Test: Nach einer vollen Periode muss sich der Zustand exakt wiederholen. Am rechten Umkehrpunkt bewegt sich das Pendel gerade nach links, am linken nach rechts. Diese beiden Zustände sind also nicht gleich, obwohl die Auslenkung dem Betrag nach übereinstimmt.

Die Folge des Fehlers: Man halbiert die Periodendauer und verdoppelt dadurch die Frequenz. Bei einem Sekundenpendel käme statt 2 s2\,\text{s} eine Periodendauer von 1 s1\,\text{s} heraus.

Zuverlässige Zählweise beim Messen: Zähle die Durchgänge durch die Ruhelage in derselben Richtung. Von einem solchen Durchgang bis zum nächsten vergeht genau eine Periode. Die Ruhelage eignet sich dafür besonders gut, weil das Pendel dort am schnellsten ist und der Zeitpunkt sich genau bestimmen lässt.

Am Umkehrpunkt ist es umgekehrt: Dort ist das Pendel langsam und verweilt scheinbar, weshalb sich der genaue Zeitpunkt schlecht ablesen lässt.

Dieselbe Verwechslung gibt es bei der Wechselspannung: Ein Polwechsel ist nicht eine Periode. Bei 50 Hz50\,\text{Hz} gibt es 100100 Nulldurchgänge je Sekunde, aber nur 5050 vollständige Perioden.

Übung 1

leicht

a) Ein Federschwinger führt in 12 s12\,\text{s} 3030 Schwingungen aus. Berechne TT und ff.

b) Eine Stimmgabel hat f=440 Hzf = 440\,\text{Hz}. Wie groß ist die Periodendauer?

c) Nenne die drei Bedingungen für eine Schwingung.

Tipp anzeigen

b) T=1fT = \frac{1}{f}.

Lösung anzeigen

a) T=12 s30=0,4 sf=10,4 s=2,5 HzT = \frac{12\,\text{s}}{30} = 0{,}4\,\text{s} \qquad f = \frac{1}{0{,}4\,\text{s}} = 2{,}5\,\text{Hz}

b) T=1440 Hz≈0,00227 s=2,27 msT = \frac{1}{440\,\text{Hz}} \approx 0{,}00227\,\text{s} = 2{,}27\,\text{ms}

c) 1. Eine Ruhelage, in der keine resultierende wirkt. 2. Eine rücktreibende Kraft, die bei Auslenkung zur Ruhelage hin wirkt. 3. Trägheit des Körpers, sodass er über die Ruhelage hinausschwingt.

Ohne die zweite Bedingung kehrt der Körper nicht zurück, ohne die dritte bliebe er in der Ruhelage stehen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Periodendauer und Frequenz

    a) 3030 Schwingungen in 12 s12\,\text{s}, gesucht TT und ff. b) Stimmgabel mit f=440 Hzf = 440\,\text{Hz}, gesucht TT. c) die drei Bedingungen für eine Schwingung.

  2. 2

    Periodendauer und Frequenz als Kehrwerte

    Die Periodendauer ist die Zeit für eine Schwingung, die Frequenz die Anzahl je Sekunde. Beide sind Kehrwerte: T=1fT = \frac{1}{f} und f=1Tf = \frac{1}{T}.

  3. 3

    a) und b) Die drei Werte berechnen

    In a) erst die Gesamtzeit durch die Anzahl, dann den Kehrwert; in b) direkt den Kehrwert der Frequenz.

    T=12 s30=0,4 sT = \frac{12\,\text{s}}{30} = 0{,}4\,\text{s}; f=10,4 s=2,5 Hzf = \frac{1}{0{,}4\,\text{s}} = 2{,}5\,\text{Hz}; T=1440 Hz≈0,00227 sT = \frac{1}{440\,\text{Hz}} \approx 0{,}00227\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    T=0,4 sT = 0{,}4\,\text{s}, f=2,5 Hzf = 2{,}5\,\text{Hz}; T≈2,27 msT \approx 2{,}27\,\text{ms}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: die drei Bedingungen einer Schwingung

    Erstens eine Ruhelage, in der keine resultierende Kraft wirkt. Zweitens eine rücktreibende Kraft, die bei Auslenkung zur Ruhelage hin wirkt. Drittens Trägheit, sodass der Körper über die Ruhelage hinausschwingt.

Übung 2

mittel

Ein Weg-Zeit-Diagramm zeigt eine Sinuskurve mit größtem Ausschlag 5 cm5\,\text{cm} und einem Abstand von 0,8 s0{,}8\,\text{s} zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima.

a) Bestimme Amplitude, Periodendauer und Frequenz.

b) Wie groß ist die Elongation nach 0,4 s0{,}4\,\text{s}, wenn der Körper bei t=0t = 0 im Maximum war?

c) An welchen Stellen ist die am größten, an welchen null?

d) Wie ändert sich das Diagramm bei stärkerer Dämpfung?

Tipp anzeigen

c) Wo ist die Kurve am steilsten?

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a) y^=5 cm\hat{y} = 5\,\text{cm}, T=0,8 sT = 0{,}8\,\text{s}, f=10,8 s=1,25 Hzf = \frac{1}{0{,}8\,\text{s}} = 1{,}25\,\text{Hz}

b) 0,4 s0{,}4\,\text{s} ist eine halbe Periode. Der Körper ist deshalb am entgegengesetzten Umkehrpunkt:

y=−5 cmy = -5\,\text{cm}

c) Am größten ist die Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Ruhelage (y=0y = 0). Dort verläuft die Kurve am steilsten, die Elongation ändert sich also am schnellsten.

Null ist sie an den Umkehrpunkten (y=±5 cmy = \pm 5\,\text{cm}). Dort ist die Kurve waagerecht, die Elongation ändert sich momentan nicht.

Das ist dieselbe Denkfigur wie beim hochgeworfenen Ball im höchsten Punkt.

d) Die Amplitude nimmt von Schwingung zu Schwingung ab; die Sinuskurve läuft in einer sich verengenden Hüllkurve aus.

Die Periodendauer bleibt bei schwacher Dämpfung praktisch gleich, die Nulldurchgänge liegen also weiter in denselben Abständen.

Bei sehr starker Dämpfung kommt es gar nicht mehr zu einem Hin und Her: Der Körper kriecht in die Ruhelage zurück, ohne sie zu überschreiten. Diesen Fall nutzen Stoßdämpfer, damit ein Auto nach einem Schlagloch nicht nachwippt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Diagramm ablesen

    Gegeben: größter Ausschlag 5 cm5\,\text{cm} und ein Abstand von 0,8 s0{,}8\,\text{s} zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima. Gesucht: Amplitude, Periodendauer, Frequenz, die Elongation nach 0,4 s0{,}4\,\text{s} sowie zwei Deutungen.

  2. 2

    Was die drei Kenngrößen im Diagramm bedeuten

    Die Amplitude y^\hat{y} ist der größte Ausschlag aus der Ruhelage, die Periodendauer TT die Zeit für eine vollständige Schwingung, und die Frequenz ist ihr Kehrwert: f=1Tf = \frac{1}{T}.

  3. 3

    a) Amplitude, Periodendauer und Frequenz

    Die Amplitude ist der größte Ausschlag, die Periodendauer der Abstand der Maxima, die Frequenz deren Kehrwert.

    T=0,8 sT = 0{,}8\,\text{s}; f=10,8 s=1,25 Hzf = \frac{1}{0{,}8\,\text{s}} = 1{,}25\,\text{Hz}

    Zwischenergebnis

    y^=5 cm\hat{y} = 5\,\text{cm}, T=0,8 sT = 0{,}8\,\text{s}, f=1,25 Hzf = 1{,}25\,\text{Hz}

  4. 4

    b) Die Elongation nach einer halben Periode

    0,4 s0{,}4\,\text{s} sind genau eine halbe Periode. Der Körper ist deshalb am entgegengesetzten Umkehrpunkt: y=−5 cmy = -5\,\text{cm}.

  5. 5

    c) und d) Geschwindigkeit im Diagramm und die Wirkung der Dämpfung

    c) Am größten ist die Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Ruhelage, wo die Kurve am steilsten verläuft; null ist sie an den Umkehrpunkten, wo die Kurve waagerecht ist. d) Bei Dämpfung nimmt die Amplitude von Schwingung zu Schwingung ab, die Periodendauer bleibt bei schwacher Dämpfung praktisch gleich.

Übung 3

schwer

a) Erkläre, warum die zweimal je Periode vollständig umgewandelt wird, die Auslenkung aber nur einmal durchläuft.

b) Warum waren Pendeluhren über Jahrhunderte so genau, obwohl die Amplitude ständig abnimmt?

c) Erkläre die Resonanzkatastrophe an einem Beispiel und nenne eine technische Gegenmaßnahme.

d) Warum dürfen Soldaten auf Brücken nicht im Gleichschritt marschieren?

Tipp anzeigen

a) Denke an das Quadrat in den Energieformeln.

Lösung anzeigen

a) Die Auslenkung yy durchläuft je Periode einmal alle Werte: von +y^+\hat{y} über 00 nach −y^-\hat{y} und zurück.

Die Energie hängt jedoch vom Quadrat ab (Epot∼y2E_{\text{pot}} \sim y^2 beim Federschwinger, Ekin∼v2E_{\text{kin}} \sim v^2). Ein Quadrat ist für +y^+\hat{y} und −y^-\hat{y} gleich groß.

An beiden Umkehrpunkten ist die potentielle Energie deshalb maximal, an beiden Ruhelagendurchgängen die kinetische. Der Energiewechsel findet also zweimal je Periode vollständig statt.

Praktisch bedeutsam ist das beim Schwingkreis (Klasse 11): Auch dort ist die doppelt so schnell periodisch wie die .

b) Weil die Periodendauer nicht von der Amplitude abhängt (bei kleinen Auslenkungen). Ein Pendel schwingt langsam ausschwingend genauso lange für eine Periode wie mit vollem Ausschlag.

Diese Eigenschaft entdeckte Galilei; sie heißt Isochronismus. Sie macht das Pendel zum idealen Zeitnormal: Eine langsam nachlassende Amplitude verstellt die Uhr nicht.

Das Gewicht der Uhr liefert nur so viel Energie nach, dass die Dämpfung ausgeglichen wird und das Pendel überhaupt weiterläuft. Es steuert nicht den Takt.

(Zur Ehrlichkeit: Bei großen Auslenkungen gilt der Isochronismus nicht mehr genau, deshalb schwingen Uhrpendel nur wenige Grad weit.)

c) Beispiel Weinglas. Jedes Glas hat eine Eigenfrequenz, die man hört, wenn man es anschlägt. Singt oder spielt man genau diesen Ton laut genug, wird das Glas periodisch mit seiner Eigenfrequenz angeregt. Jede Anregung kommt genau im richtigen Moment und vergrößert die Amplitude weiter, bis das Material reißt.

Bauwerke: Die Tacoma-Narrows-Brücke geriet 1940 durch Wind in immer stärkere Schwingungen und stürzte ein. Die Millennium Bridge in London musste 2000 kurz nach der Eröffnung gesperrt werden, weil Fußgänger sie unbeabsichtigt aufschaukelten.

Gegenmaßnahmen:

  • Dämpfer einbauen, die Schwingungsenergie in umwandeln (Millennium Bridge wurde nachgerüstet).
  • Schwingungstilger: eine zusätzliche gekoppelte , die gegenphasig schwingt (in Wolkenkratzern üblich).
  • Eigenfrequenz verschieben, sodass sie außerhalb der zu erwartenden Anregung liegt.

d) Weil gleichmäßige Schritte eine periodische Anregung mit fester Frequenz sind. Trifft sie die Eigenfrequenz der Brücke, addieren sich die Anregungen und die Amplitude wächst mit jedem Schritt.

Historisch belegt ist der Einsturz der Broughton Suspension Bridge 1831 in England unter marschierenden Soldaten. Seitdem lautet die Vorschrift, auf Brücken den Gleichschritt aufzuheben: Ungleichmäßige Schritte enthalten keine einheitliche Frequenz, die Anregungen heben sich teilweise auf, und es kann sich nichts aufschaukeln.

Dieselbe Überlegung erklärt, warum große Menschenmengen auf Tribünen gefährlich werden können, wenn sie im Takt springen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Warum die Energie zweimal je Periode wechselt

    Die Auslenkung yy durchläuft je Periode einmal alle Werte: von +y^+\hat{y} über 00 nach −y^-\hat{y} und zurück. Die Energie hängt jedoch vom Quadrat ab, und ein Quadrat ist für +y^+\hat{y} und −y^-\hat{y} gleich groß.

  2. 2

    b) Warum Pendeluhren trotz abnehmender Amplitude genau gehen

    Weil die Periodendauer nicht von der Amplitude abhängt (bei kleinen Auslenkungen). Ein Pendel schwingt langsam ausschwingend genauso lange für eine Periode wie mit vollem Ausschlag.

  3. 3

    c) Die Resonanzkatastrophe und was dagegen hilft

    Jedes Glas hat eine Eigenfrequenz. Regt man es genau mit dieser an, kommt jede Anregung im richtigen Moment und vergrößert die Amplitude weiter, bis das Material reißt. Bei Bauwerken geschah dasselbe an der Tacoma-Narrows-Brücke (1940) und an der Londoner Millennium Bridge (2000).

  4. 4

    d) Ergebnis deuten: warum der Gleichschritt aufgehoben wird

    Weil gleichmäßige Schritte eine periodische Anregung mit fester Frequenz sind. Trifft sie die Eigenfrequenz der Brücke, addieren sich die Anregungen und die Amplitude wächst mit jedem Schritt. Historisch belegt ist der Einsturz der Broughton Suspension Bridge 1831 unter marschierenden Soldaten.

Zusammenfassung

Eine Schwingung ist eine periodische Bewegung um eine Ruhelage und kommt nur zustande, wenn eine rücktreibende und Trägheit zusammenwirken. Beschrieben wird sie durch Elongation, Amplitude, Periodendauer und Frequenz, wobei eine vollständige Periode den Weg hin und zurück umfasst. Im Weg-Zeit-Diagramm zeigt sich eine Sinuskurve, aus der man Amplitude und Periodendauer direkt abliest; an den Umkehrpunkten ist die Auslenkung maximal und die null, in der Ruhelage genau umgekehrt. Während einer Schwingung wandelt sich Lage- oder Spannenergie fortwährend in Bewegungsenergie um und zurück, und zwar zweimal je Periode, weil die vom Quadrat abhängt. führt zur Dämpfung, die zwar die Amplitude verkleinert, die Periodendauer aber kaum verändert. Trifft eine äußere Anregung die Eigenfrequenz, entsteht Resonanz, die man am Musikinstrument nutzt und an Brücken fürchtet.