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Schwingungen und Wellen

Die harmonische Schwingung

Warum manche Schwingungen genau sinusförmig verlaufen, welche Bedingung dahintersteckt und wie man sie beschreibt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Warum sieht die Kurve eines Pendels genauso aus wie die Netzspannung aus der Steckdose, wie ein reiner Ton und wie die Bewegung eines Kolbens im Motor?

Diese Vorgänge haben physikalisch nichts miteinander zu tun. Trotzdem gehorchen sie derselben Funktion, der Sinusfunktion. Das ist kein Zufall und auch keine Näherung, die man zufällig gewählt hätte.

Dahinter steckt eine einzige Bedingung an die rücktreibende . Ist sie erfüllt, ist der Verlauf zwangsläufig sinusförmig, gleichgültig worum es sich handelt.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • eine und ihre Kenngrößen beschreiben.

  • das lineare Kraftgesetz als Bedingung für Harmonizität erkennen.

  • die Zeit-Ort-Funktion aufstellen und auswerten.

  • und im Verlauf einordnen.

  • den Energieaustausch während einer Schwingung beschreiben.

  • gedämpfte und erzwungene Schwingungen unterscheiden.

Grundbegriffe

Eine ist eine zeitlich periodische Bewegung um eine Ruhelage. Damit sie entsteht, braucht es

  1. eine rücktreibende , die immer zur Ruhelage zurückzeigt, und
  2. Trägheit, die den Körper über die Ruhelage hinausschießen lässt.

Ohne die Trägheit käme der Körper einfach zur Ruhe; ohne die rücktreibende Kraft bliebe er, wo er ist.

Kenngrößen:

GrößeBedeutungEinheit
y^\hat{y}größte Auslenkungm
TTDauer einer vollen Schwingungs
f=1Tf = \frac{1}{T}Schwingungen je SekundeHz
Kreisfrequenz ω=2πf\omega = 2\pi fRechengröße1s\frac{1}{\text{s}}

Die Bedingung für eine harmonische Schwingung

Eine heißt harmonisch, wenn die rücktreibende der Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet ist.

F=−D⋅y\boxed{F = -D \cdot y}

Das ist das lineare Kraftgesetz. Das Minuszeichen bedeutet: Die Kraft zeigt immer zur Ruhelage.

🔴 Diese eine Bedingung entscheidet alles. Ist sie erfüllt, ist der Verlauf zwangsläufig sinusförmig; ist sie verletzt, schwingt der Körper zwar, aber nicht harmonisch.

Warum daraus gerade der Sinus folgt, lässt sich anschaulich zeigen: Projiziert man eine gleichförmige auf eine Gerade, so ergibt sich genau eine Sinuskurve, und die zur Kreisbahn gehörige liefert nach der Projektion genau eine Kraft der Form F=−DyF = -Dy. Beide Beschreibungen sind also dasselbe.

Deshalb heißt ω\omega Kreis, obwohl nichts kreist.

Die Kraft zeigt immer zur RuhelagePfeillängen maßstäblich zur Auslenkung.nach untendoppelt so weit:doppelte KraftF = 0in Ruhelagenach obendoppelt so weit:doppelte KraftF = −D · yGenau diese Kraft macht die Schwingung harmonisch

Die Pfeile sind maßstäblich: Bei doppelter Auslenkung sind sie doppelt so lang, und sie zeigen immer zur Ruhelage hin. Genau diese beiden Eigenschaften stecken im Minuszeichen von F = −D · y. Ohne sie käme keine Sinuslinie heraus, sondern irgendeine andere periodische Bewegung.

Die Zeit-Ort-Funktion

y(t)=y^⋅sin⁡(ωt)\boxed{y(t) = \hat{y} \cdot \sin(\omega t)}

(bei Start in der Ruhelage; startet man im Umkehrpunkt, steht dort ein Kosinus)

Daraus folgen:

v(t)=y^ ω⋅cos⁡(ωt),a(t)=−y^ ω2⋅sin⁡(ωt)=−ω2⋅y(t)v(t) = \hat{y}\,\omega \cdot \cos(\omega t), \qquad a(t) = -\hat{y}\,\omega^2 \cdot \sin(\omega t) = -\omega^2 \cdot y(t)

🔴 Die letzte Beziehung ist bemerkenswert: Die ist der Auslenkung proportional und entgegengerichtet. Das ist genau das lineare Kraftgesetz, geteilt durch die . Beide Aussagen sind gleichwertig.

Die drei Größen im Vergleich:

OrtAuslenkungBeschleunigung
Ruhelagenullmaximalnull
Umkehrpunktmaximalnullmaximal

Das ist zunächst überraschend: Im Umkehrpunkt steht der Körper still und wird trotzdem am stärksten beschleunigt. Der Grund: Dort ist die rücktreibende am größten, weil die Auslenkung am größten ist.

Zwei Größen genügen zur BeschreibungZeit tAuslenkung yAmplitude APeriodendauer TRuhelagef = 1 / TT = 0,5 s bedeutet f = 2 Hz.Wie weit und wie oft

Die Zeit-Ort-Funktion ist genau diese Kurve. und sind ihre beiden Parameter: A dehnt sie nach oben, T in die Breite. Aus T folgt über ω = 2π/T die Kreisfrequenz, die in der Funktionsgleichung steht.

Die Energie

Während der pendelt die zwischen zwei Formen hin und her:

  • Im Umkehrpunkt: gesamte Energie als potentielle Energie (Spannenergie, Lageenergie).
  • In der Ruhelage: gesamte Energie als kinetische Energie.

Die Summe bleibt konstant (ohne ):

Eges=12Dy^2=12mvmax⁡2E_{\text{ges}} = \frac{1}{2} D \hat{y}^2 = \frac{1}{2} m v_{\max}^2

🔴 Die Gesamtenergie wächst mit dem Quadrat der . Doppelte Amplitude bedeutet vierfache Energie. Deshalb ist eine doppelt so hohe Meereswelle viermal so zerstörerisch, und deshalb braucht ein doppelt so lauter Ton die vierfache Energie.

Gedämpfte Schwingung

In der Realität wirkt . Die nimmt ab, und zwar exponentiell: In gleichen Zeitabständen sinkt sie auf denselben Bruchteil.

Bemerkenswert: Die ändert sich dabei kaum. Ein Pendel gegen Ende genauso schnell wie am Anfang, nur mit kleinerem Ausschlag. Genau deshalb eignen sich Pendel als Uhren.

Erzwungene Schwingung und Resonanz

Regt man ein schwingfähiges System periodisch an, es mit der Erregerfrequenz, nicht mit seiner eigenen.

Stimmen beide überein, wird die sehr groß: .

GenutztGefährlich
Musikinstrumente (Resonanzkörper)Brücken bei Gleichschritt
Radioempfänger ()Bauwerke bei Erdbeben
Mikrowelle (Wassermoleküle)Maschinen bei kritischer Drehzahl
KernspintomografieFahrzeugteile bei bestimmten Drehzahlen

Die Dämpfung entscheidet, wie groß die Amplitude wird: Bei geringer Dämpfung kann sie so anwachsen, dass das System zerstört wird (Resonanzkatastrophe). Deshalb werden Brücken mit Schwingungstilgern versehen, und deshalb dürfen Soldaten nicht im Gleichschritt über Brücken marschieren.

Am größten bei der EigenfrequenzAmplitude über der Erregerfrequenz.EigenfrequenzErregerfrequenzkaum gedämpftmittelstark gedämpftOhne Dämpfung wüchse die Amplitude unbegrenzt.Dämpfung senkt die Spitze und verbreitert sie

Drei Dämpfungen in einem Diagramm. Vergleiche nicht nur die Höhe der Spitzen, sondern auch ihre Breite: Stärkere Dämpfung senkt die Spitze und verbreitert sie zugleich. Ohne jede Dämpfung würde die bei der Eigenfrequenz unbegrenzt wachsen. Das ist die Resonanzkatastrophe, und das ist der Grund, warum man Dämpfung meistens absichtlich einbaut.

Eine Schwingung auswerten

Ein Körper harmonisch mit y^=8 cm\hat{y} = 8\,\text{cm} und T=0,4 sT = 0{,}4\,\text{s}.

a) Wie groß sind und Kreisfrequenz?

b) Stelle die Zeit-Ort-Funktion auf (Start in der Ruhelage).

c) Wo befindet sich der Körper nach 0,1 s0{,}1\,\text{s}?

d) Wie groß ist die maximale , und wo tritt sie auf?

  1. 1

    a) f=1T=10,4 s=2,5 Hzf = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}4\,\text{s}} = 2{,}5\,\text{Hz}

    ω=2πf=2π⋅2,5 1s≈15,7 1s\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2{,}5\,\frac{1}{\text{s}} \approx 15{,}7\,\frac{1}{\text{s}}
  2. 2

    b) y(t)=y^sin⁡(ωt)=0,08 m⋅sin⁡(15,7 1s⋅t)y(t) = \hat{y}\sin(\omega t) = 0{,}08\,\text{m} \cdot \sin\left(15{,}7\,\frac{1}{\text{s}} \cdot t\right)

  3. 3

    c) Einsetzen von t=0,1 st = 0{,}1\,\text{s}:

    y=0,08 m⋅sin⁡(15,7⋅0,1)=0,08 m⋅sin⁡(1,57)y = 0{,}08\,\text{m} \cdot \sin(15{,}7 \cdot 0{,}1) = 0{,}08\,\text{m} \cdot \sin(1{,}57)

    Das Argument ist im Bogenmaß zu nehmen: 1,57≈π21{,}57 \approx \frac{\pi}{2}, also sin⁡(1,57)=1\sin(1{,}57) = 1.

    y=0,08 m=8 cmy = 0{,}08\,\text{m} = 8\,\text{cm}

    Kontrolle über die Anschauung: 0,1 s0{,}1\,\text{s} ist genau ein Viertel der . Startet der Körper in der Ruhelage, erreicht er nach einem Viertel der Periode gerade den ersten Umkehrpunkt. ✓

    🔴 Achte auf das Bogenmaß. Der Taschenrechner muss auf RAD stehen. Rechnet man versehentlich in Grad, ergibt sin⁡(1,57°)≈0,027\sin(1{,}57°) \approx 0{,}027, also praktisch null statt des Maximums.

  4. 4

    d) vmax⁡=y^⋅ω=0,08 m⋅15,7 1s≈1,26 msv_{\max} = \hat{y} \cdot \omega = 0{,}08\,\text{m} \cdot 15{,}7\,\frac{1}{\text{s}} \approx 1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Sie tritt beim Durchgang durch die Ruhelage auf.

    Begründung: Aus v(t)=y^ωcos⁡(ωt)v(t) = \hat{y}\omega\cos(\omega t) ist vv maximal, wenn cos⁡(ωt)=±1\cos(\omega t) = \pm 1, also wenn sin⁡(ωt)=0\sin(\omega t) = 0, und das ist genau in der Ruhelage.

    Energetisch verstanden: In der Ruhelage ist die gesamte als kinetische Energie vorhanden, weil die potentielle null ist. Dort ist die Geschwindigkeit deshalb am größten.

    Im Umkehrpunkt ist es genau umgekehrt: alle Energie potentiell, Geschwindigkeit null, aber maximal, weil die rücktreibende dort am größten ist.

    Diese Gegenläufigkeit ist der Kern jeder Schwingung: Wo die Geschwindigkeit groß ist, ist die Beschleunigung null, und umgekehrt.

a) f=2,5 Hzf = 2{,}5\,\text{Hz}, ω≈15,7 1s\omega \approx 15{,}7\,\frac{1}{\text{s}} b) y(t)=0,08 m⋅sin⁡(15,7 t)y(t) = 0{,}08\,\text{m}\cdot\sin(15{,}7\,t) c) 8 cm8\,\text{cm}, also im Umkehrpunkt d) 1,26 ms1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}} in der Ruhelage.

Warum gerade der Sinus

Erkläre, warum aus dem linearen Kraftgesetz F=−DyF = -Dy zwingend eine sinusförmige Bewegung folgt, und warum so viele ganz verschiedene Vorgänge derselben Kurve gehorchen.

  1. 1

    Schritt 1: Was das Kraftgesetz für die bedeutet.

    Mit F=m⋅aF = m \cdot a und F=−DyF = -D y folgt

    a=−Dm⋅ya = -\frac{D}{m} \cdot y

    Die Beschleunigung ist also der Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet. Gesucht ist eine Bewegung, deren Beschleunigung sich genau so verhält.

  2. 2

    Schritt 2: Die Sinusfunktion erfüllt das.

    Für y(t)=y^sin⁡(ωt)y(t) = \hat{y}\sin(\omega t) ergibt sich

    v(t)=y^ ωcos⁡(ωt),a(t)=−y^ ω2sin⁡(ωt)v(t) = \hat{y}\,\omega\cos(\omega t), \qquad a(t) = -\hat{y}\,\omega^2\sin(\omega t)

    Der letzte Ausdruck ist aber gerade −ω2⋅y(t)-\omega^2 \cdot y(t):

    a(t)=−ω2⋅y(t)a(t) = -\omega^2 \cdot y(t)

    Vergleicht man mit Schritt 1, folgt

    ω2=Dm⟹ω=Dm\omega^2 = \frac{D}{m} \qquad \Longrightarrow \qquad \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}

    Die Sinusfunktion erfüllt die Bedingung also, und nebenbei fällt die Kreisfrequenz mit ab.

  3. 3

    Schritt 3: Der anschauliche Zugang über den Kreis.

    Lässt man einen Punkt gleichförmig auf einem Kreis mit Radius y^\hat{y} umlaufen und projiziert ihn auf eine Gerade, so ist seine Projektion

    y(t)=y^sin⁡(ωt)y(t) = \hat{y}\sin(\omega t)

    Die zur gehörige zeigt stets zum Mittelpunkt und hat konstanten Betrag. Projiziert man auch sie, erhält man eine Kraft, die zur Projektionsmitte zeigt und dem projizierten Abstand proportional ist, also genau F=−DyF = -Dy.

    🔴 Die harmonische ist damit nichts anderes als die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung. Deshalb heißt ω\omega Kreisfrequenz, obwohl beim Federschwinger nichts kreist, und deshalb tauchen Sinus und Kosinus überhaupt auf.

  4. 4

    Schritt 4: Warum so viele verschiedene Vorgänge dazugehören.

    In der Herleitung wurde nirgends benutzt, worum es sich handelt. Gebraucht wurde nur, dass die rücktreibende Größe proportional zur Auslenkung ist.

    Diese Bedingung ist in sehr vielen Systemen erfüllt:

    SystemRücktreibende Größe
    FederschwingerFederkraft F=−DsF = -Ds
    Fadenpendel (kleine Winkel)Hangabtriebskraft
    Kondensatorspannung
    SchallwelleDruckunterschied
    MolekülschwingungBindungskraft

    Der tiefere Grund ist bemerkenswert: Nahezu jede rücktreibende Kraft ist für kleine Auslenkungen näherungsweise linear. Mathematisch ist das die erste Näherung einer beliebigen Funktion in der Nähe eines Minimums.

    Deshalb schwingt fast jedes System um seine Ruhelage zunächst harmonisch, solange die Auslenkung klein bleibt. Die harmonische Schwingung ist damit kein Sonderfall, sondern der Normalfall kleiner Störungen in der ganzen Physik.

    Und deshalb lohnt sich dieses Kapitel besonders: Was du hier lernst, gilt für Pendel, Töne, Wechselstrom, Lichtwellen, Atomschwingungen und Bauwerksschwingungen gleichermaßen.

    Wo die Näherung endet: Wird die Auslenkung zu groß, gilt das lineare Kraftgesetz nicht mehr. Ein Fadenpendel schwingt bei 60°60° Auslenkung merklich langsamer als bei 5°5°, und eine überdehnte Feder verhält sich nicht mehr harmonisch.

Aus F=−DyF = -Dy folgt a=−Dmya = -\frac{D}{m}y, und genau das erfüllt die Sinusfunktion mit ω=Dm\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}. Da nahezu jede rücktreibende für kleine Auslenkungen linear ist, gilt dieselbe Beschreibung für ganz verschiedene Vorgänge.

Typischer Fehler

„Im Umkehrpunkt ist die null, weil der Körper dort stillsteht."

Im Umkehrpunkt ist die Beschleunigung maximal, nicht null. Null ist dort nur die .

Der Denkfehler: Geschwindigkeit und Beschleunigung werden gleichgesetzt. Sie sind aber verschiedene Größen, und in einer verhalten sie sich sogar gegenläufig.

a(t)=−ω2⋅y(t)a(t) = -\omega^2 \cdot y(t)

Die Beschleunigung ist der Auslenkung proportional, nicht der Geschwindigkeit. Wo die Auslenkung am größten ist, also im Umkehrpunkt, ist auch die Beschleunigung am größten.

Physikalisch: Im Umkehrpunkt ist die Feder am stärksten gespannt, die rücktreibende also maximal. Nach a=Fma = \frac{F}{m} ist damit auch die Beschleunigung maximal. Genau deshalb kehrt der Körper dort so schnell wieder um.

Die vollständige Übersicht:

AuslenkungGeschwindigkeitBeschleunigungKraft
Ruhelagenullmaximalnullnull
Umkehrpunktmaximalnullmaximalmaximal

Ein Bild dazu: Wirf einen Ball senkrecht hoch. Am höchsten Punkt steht er einen Augenblick still, aber die Schwerkraft wirkt dort ungeschmälert weiter. Stünde die Beschleunigung dort still, bliebe der Ball in der Luft hängen.

Woher der Irrtum kommt: Aus der Alltagssprache, in der „beschleunigen" schneller werden bedeutet. Physikalisch ist Beschleunigung jede Änderung der Geschwindigkeit, also auch das Abbremsen und das Umkehren der Richtung.

Zur Kontrolle bei Aufgaben: Prüfe, ob Geschwindigkeit und Beschleunigung in deiner Antwort gegenläufig sind. Ist eine maximal, muss die andere null sein.

Übung 1

leicht

a) Eine hat T=0,5 sT = 0{,}5\,\text{s}. Wie groß sind ff und ω\omega?

b) Was bedeutet „harmonisch"?

c) Wo ist die maximal, wo die ?

Tipp anzeigen

a) ω=2πf\omega = 2\pi f.

Lösung anzeigen

a) f=1T=10,5 s=2 Hzf = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5\,\text{s}} = 2\,\text{Hz}

ω=2πf=2π⋅2 1s≈12,6 1s\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2\,\frac{1}{\text{s}} \approx 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}}

b) Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn die rücktreibende der Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet ist:

F=−D⋅yF = -D \cdot y

Dann verläuft die Bewegung sinusförmig.

c) Die Geschwindigkeit ist in der Ruhelage maximal (dort ist die gesamte kinetisch).

Die Beschleunigung ist im Umkehrpunkt maximal (dort ist die Auslenkung und damit die rücktreibende Kraft am größten).

Beide sind gegenläufig: Wo die eine maximal ist, ist die andere null.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Frequenz und Kreisfrequenz

    a) T=0,5 sT = 0{,}5\,\text{s}; gesucht sind und Kreisfrequenz. b) fragt nach der Bedeutung von „harmonisch", c) nach den Orten größter Geschwindigkeit und Beschleunigung.

  2. 2

    Die Bedingung für eine harmonische Schwingung

    Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn die rücktreibende Kraft der Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet ist: F=−D⋅yF = -D \cdot y. Dann und nur dann verläuft die Bewegung sinusförmig.

  3. 3

    a) Frequenz und Kreisfrequenz aus der Periodendauer

    Die Frequenz ist der Kehrwert der , die Kreisfrequenz das 2π2\pi-Fache der Frequenz.

    f=10,5 s=2 Hzf = \frac{1}{0{,}5\,\text{s}} = 2\,\text{Hz}; ω=2π⋅2 1s≈12,6 1s\omega = 2\pi \cdot 2\,\frac{1}{\text{s}} \approx 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    f=2 Hzf = 2\,\text{Hz}, ω≈12,6 1s\omega \approx 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: Geschwindigkeit und Beschleunigung sind gegenläufig

    Die Geschwindigkeit ist in der Ruhelage maximal, weil dort die gesamte Energie kinetisch ist. Die Beschleunigung ist im Umkehrpunkt maximal, weil dort die Auslenkung und damit die rücktreibende Kraft am größten sind.

Übung 2

mittel

a) Ein Körper mit y^=5 cm\hat{y} = 5\,\text{cm} und f=4 Hzf = 4\,\text{Hz}. Wie groß ist vmax⁡v_{\max}?

b) Wie ändert sich die , wenn man die verdoppelt?

c) Warum bleibt die bei einer gedämpften Schwingung nahezu gleich, und warum ist das wichtig?

d) Was versteht man unter ? Nenne ein nützliches und ein gefährliches Beispiel.

Tipp anzeigen

a) vmax⁡=y^ωv_{\max} = \hat{y}\omega.

Lösung anzeigen

a) ω=2πf=2π⋅4 1s≈25,1 1s\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 4\,\frac{1}{\text{s}} \approx 25{,}1\,\frac{1}{\text{s}}

vmax⁡=y^⋅ω=0,05 m⋅25,1 1s≈1,26 msv_{\max} = \hat{y} \cdot \omega = 0{,}05\,\text{m} \cdot 25{,}1\,\frac{1}{\text{s}} \approx 1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

b) Die Energie ist dem Quadrat der Amplitude proportional:

E=12Dy^2E = \frac{1}{2}D\hat{y}^2

Bei doppelter Amplitude wird sie also viermal so groß.

Praktische Folgen: Eine doppelt so hohe Meereswelle trägt die vierfache Energie und ist entsprechend zerstörerischer. Ein doppelt so großer Ausschlag einer Lautsprechermembran verlangt die vierfache .

c) Die Frequenz einer harmonischen Schwingung ergibt sich aus ω=Dm\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}, hängt also nur von Rückstellgröße und ab, nicht von der Amplitude.

entzieht dem System Energie und verkleinert dadurch die Amplitude, ändert aber weder DD noch mm. Die Frequenz bleibt deshalb (bei schwacher Dämpfung) praktisch unverändert.

🔴 Warum das wichtig ist: Genau darauf beruht die Pendeluhr. Das Pendel schwingt gegen Ende einer Aufziehperiode mit kleinerem Ausschlag, aber mit derselben Frequenz, sodass die Uhr weiterhin richtig geht.

Wäre die Frequenz amplitudenabhängig, ginge jede mechanische Uhr mit nachlassender Federkraft langsamer, und die Zeitmessung wäre über Jahrhunderte unmöglich gewesen.

(Bei starker Dämpfung sinkt die Frequenz geringfügig, und bei sehr starker Dämpfung schwingt das System gar nicht mehr, sondern kriecht in die Ruhelage zurück.)

d) Resonanz liegt vor, wenn die Frequenz eines periodischen Erregers mit der Eigenfrequenz des schwingfähigen Systems übereinstimmt. Dann wird bei jedem Zyklus im richtigen Moment Energie zugeführt, und die Amplitude wächst stark an.

Nützlich: Der Resonanzkörper einer Gitarre oder Geige. Die schwingende Saite allein bewegt zu wenig Luft und wäre kaum hörbar. Der Korpus wird durch sie zum Mitschwingen angeregt und überträgt die Energie viel wirksamer an die Luft.

Ebenso: der im Radio (er verstärkt genau eine Sendefrequenz), die Mikrowelle (regt Wassermoleküle an) und die Kernspintomografie.

Gefährlich: Die Resonanzkatastrophe. Bei geringer Dämpfung kann die Amplitude so stark anwachsen, dass das System zerstört wird.

Deshalb dürfen Soldaten nicht im Gleichschritt über Brücken marschieren, und deshalb erhielt die Londoner Millennium Bridge nach ihrer Eröffnung im Jahr 2000 nachträglich Schwingungstilger: Fußgänger hatten unbewusst im Takt der Brückenschwingung zu gehen begonnen und diese dadurch verstärkt.

Ebenso müssen Maschinen kritische Drehzahlen rasch durchfahren, und Bauwerke in Erdbebengebieten werden gezielt so ausgelegt, dass ihre Eigenfrequenz nicht im Bereich typischer Bebenfrequenzen liegt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Maximalgeschwindigkeit und Energie

    a) gibt y^=5 cm\hat{y} = 5\,\text{cm} und f=4 Hzf = 4\,\text{Hz}; gesucht ist die größte . b) fragt nach der Energie bei doppelter Amplitude, c) nach der Frequenz bei Dämpfung, d) nach Resonanz.

  2. 2

    Maximalgeschwindigkeit und Energie einer harmonischen Schwingung

    Es gilt vmax⁡=y^⋅ωv_{\max} = \hat{y} \cdot \omega und E=12Dy^2E = \frac{1}{2} D \hat{y}^2: Die Geschwindigkeit wächst linear mit der Amplitude, die Energie quadratisch.

  3. 3

    a) und b) Größte Geschwindigkeit und Energie bei doppelter Amplitude

    Erst die Kreisfrequenz, dann das Produkt mit der Amplitude in Metern; in b) genügt der Faktor aus dem Quadrat.

    ω=2π⋅4 1s≈25,1 1s\omega = 2\pi \cdot 4\,\frac{1}{\text{s}} \approx 25{,}1\,\frac{1}{\text{s}}; vmax⁡=0,05 m⋅25,1 1s≈1,26 msv_{\max} = 0{,}05\,\text{m} \cdot 25{,}1\,\frac{1}{\text{s}} \approx 1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    vmax⁡≈1,26 msv_{\max} \approx 1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; Energie vierfach bei doppelter Amplitude.

  4. 4

    c) Warum die Dämpfung die Frequenz kaum ändert

    Die Frequenz ergibt sich aus ω=Dm\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}, hängt also nur von Rückstellgröße und Masse ab, nicht von der Amplitude. Reibung entzieht Energie und verkleinert die Amplitude, ändert aber weder DD noch mm.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: Resonanz als Nutzen und als Gefahr

    Resonanz liegt vor, wenn die Frequenz eines periodischen Erregers mit der Eigenfrequenz des Systems übereinstimmt. Dann wird bei jedem Zyklus im richtigen Moment Energie zugeführt und die Amplitude wächst stark an.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum aus F=−DyF = -Dy eine sinusförmige Bewegung folgt.

b) Zeige, dass ω=Dm\omega = \sqrt{\frac{D}{m}} gilt.

c) Beschreibe den Energieaustausch während einer vollen und begründe E∼y^2E \sim \hat{y}^2.

d) Warum ist die harmonische Schwingung in der Physik so allgegenwärtig, obwohl das lineare Kraftgesetz eine sehr spezielle Bedingung ist?

Tipp anzeigen

b) Vergleiche a=−Dmya = -\frac{D}{m}y mit a=−ω2ya = -\omega^2 y.

Lösung anzeigen

a) Aus F=maF = ma und F=−DyF = -Dy folgt

a=−Dm⋅ya = -\frac{D}{m} \cdot y

Gesucht ist also eine Bewegung, deren der Auslenkung proportional und entgegengerichtet ist.

Die Sinusfunktion leistet genau das: Für y(t)=y^sin⁡(ωt)y(t) = \hat{y}\sin(\omega t) ist

v(t)=y^ωcos⁡(ωt),a(t)=−y^ω2sin⁡(ωt)=−ω2y(t)v(t) = \hat{y}\omega\cos(\omega t), \qquad a(t) = -\hat{y}\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2 y(t)

Die Beschleunigung ist also tatsächlich zur Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet.

Anschaulich entspricht das der Projektion einer gleichförmigen auf eine Gerade: Auch die projizierte ist dem projizierten Abstand proportional und zur Mitte gerichtet. Deshalb heißt ω\omega Kreisfrequenz.

b) Vergleich der beiden Ausdrücke für die Beschleunigung:

Aus dem Kraftgesetz: a=−Dm⋅ya = -\frac{D}{m} \cdot y

Aus der Sinusbewegung: a=−ω2⋅ya = -\omega^2 \cdot y

Beide müssen für dieselbe Bewegung gelten, also

ω2=Dm⟹ω=Dm\omega^2 = \frac{D}{m} \qquad \Longrightarrow \qquad \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}

und damit

T=2πω=2πmDT = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}

Was diese Formel aussagt:

  • Größere bedeutet größere Trägheit, also langsamere Schwingung. ✓
  • Härtere Feder (größeres DD) bedeutet stärkere Rückstellung, also schnellere Schwingung. ✓
  • Die kommt nicht vor. Die ist von der Auslenkung unabhängig, was die Voraussetzung für Uhren ist.

c) Der Ablauf einer vollen Schwingung:

Positionpotentielle kinetische Energie
Umkehrpunkt rechtsmaximalnull
Ruhelage (nach links)nullmaximal
Umkehrpunkt linksmaximalnull
Ruhelage (nach rechts)nullmaximal
Umkehrpunkt rechtsmaximalnull

Die Energie pendelt also zweimal je Periode vollständig zwischen beiden Formen hin und her. Die Summe bleibt konstant (ohne ):

Eges=12Dy^2=12mvmax⁡2E_{\text{ges}} = \frac{1}{2}D\hat{y}^2 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2

Warum E∼y^2E \sim \hat{y}^2?

Im Umkehrpunkt ist die gesamte Energie als Spannenergie gespeichert. Für die Spannarbeit gilt

E=12Dy^2E = \frac{1}{2}D\hat{y}^2

Der Grund für das Quadrat: Die rücktreibende wächst linear mit der Auslenkung, die ist die Fläche unter der Kraft-Weg-Geraden, also eine Dreiecksfläche. Dasselbe Argument kennst du vom .

Praktische Folge: Doppelte Amplitude bedeutet vierfache Energie, nicht doppelte. Deshalb ist eine doppelt so hohe viermal so zerstörerisch, und deshalb wächst der Energiebedarf eines Lautsprechers mit dem Quadrat des Membranhubs.

d) Weil das lineare Kraftgesetz für kleine Auslenkungen fast immer näherungsweise gilt.

Betrachte ein beliebiges System in einer stabilen Ruhelage. Stabil bedeutet, dass jede Auslenkung eine rücktreibende Kraft hervorruft. Über die Form dieser Kraft ist damit noch nichts gesagt; sie kann kompliziert sein.

Für kleine Auslenkungen lässt sich aber jede solche Kraft näherungsweise durch ihre erste Näherung ersetzen, und die ist linear. Anschaulich: In der Nähe eines Minimums sieht jede Kurve wie eine Parabel aus, und die zugehörige Kraft wie eine Gerade.

Deshalb schwingt fast alles zunächst harmonisch:

SystemWarum linear
Fadenpendelfür kleine Winkel ist sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha
Federschwinger im elastischen Bereich
Atome im KristallBindungspotential nahe dem Minimum
Kondensatorspannung proportional zur
Schallwelle proportional zur Dichteänderung

🔴 Der Schluss daraus ist weitreichend: Die harmonische Schwingung ist kein exotischer Sonderfall, sondern der Normalfall kleiner Störungen in praktisch jedem physikalischen System. Deshalb tauchen Sinus und Kosinus überall in der Physik auf, von der Mechanik über die Elektrodynamik bis zur Quantenphysik.

Und deshalb ist es sinnvoll, hier gründlich zu arbeiten: Was du an der Feder lernst, gilt unverändert für Töne, Wechselstrom, Lichtwellen und Molekülschwingungen.

Wo die Näherung endet, ehrlich benannt: Bei großen Auslenkungen wird die Kraft nichtlinear. Ein Fadenpendel bei 60°60° schwingt merklich langsamer als bei 5°5°, eine überdehnte Feder verhält sich nicht mehr harmonisch, und stark angeregte Systeme zeigen ein deutlich reicheres Verhalten. Die Grenze der Näherung ist damit zugleich der Einstieg in ein eigenes Gebiet der Physik.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    a) Warum aus dem linearen Kraftgesetz eine Sinusbewegung folgt

    Aus F=maF = ma und F=−DyF = -Dy folgt a=−Dm⋅ya = -\frac{D}{m} \cdot y, gesucht ist also eine Bewegung, deren Beschleunigung der Auslenkung proportional und entgegengerichtet ist. Die Sinusfunktion leistet genau das: Für y(t)=y^sin⁡(ωt)y(t) = \hat{y}\sin(\omega t) ist a(t)=−y^ω2sin⁡(ωt)=−ω2y(t)a(t) = -\hat{y}\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2 y(t).

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    b) Die Kreisfrequenz aus Rückstellgröße und Masse

    Aus dem Kraftgesetz folgt a=−Dmya = -\frac{D}{m} y, aus der Sinusbewegung a=−ω2ya = -\omega^2 y. Beide müssen für dieselbe Bewegung gelten, also ω2=Dm\omega^2 = \frac{D}{m} und damit ω=Dm\omega = \sqrt{\frac{D}{m}} sowie T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}.

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    c) Der Energieaustausch und das Quadrat der Amplitude

    Die Energie pendelt zweimal je Periode vollständig zwischen potentieller und kinetischer Form: maximal potentiell an beiden Umkehrpunkten, maximal kinetisch bei beiden Ruhelagendurchgängen. Die Summe bleibt konstant: Eges=12Dy^2=12mvmax⁡2E_{\text{ges}} = \frac{1}{2}D\hat{y}^2 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2.

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    d) Ergebnis deuten: warum fast alles harmonisch schwingt

    Weil das lineare Kraftgesetz für kleine Auslenkungen fast immer näherungsweise gilt. Betrachte ein System in einer stabilen Ruhelage: Jede Auslenkung ruft eine rücktreibende Kraft hervor, und für kleine Auslenkungen lässt sich jede solche Kraft durch ihre erste Näherung ersetzen, und die ist linear.

Zusammenfassung

Eine entsteht aus dem Zusammenspiel einer rücktreibenden mit der Trägheit des Körpers und wird durch , und beschrieben. Harmonisch heißt sie genau dann, wenn die rücktreibende Kraft der Auslenkung proportional und ihr entgegengerichtet ist, und aus dieser einen Bedingung folgt zwingend ein sinusförmiger Verlauf mit einer Kreisfrequenz, die sich aus Rückstellgröße und ergibt. Geschwindigkeit und Beschleunigung verhalten sich dabei gegenläufig: In der Ruhelage ist die Geschwindigkeit maximal und die Beschleunigung null, im Umkehrpunkt genau umgekehrt. Die Energie pendelt zwischen potentieller und kinetischer Form hin und her, bleibt in der Summe konstant und wächst mit dem Quadrat der Amplitude. Da nahezu jede rücktreibende Kraft für kleine Auslenkungen näherungsweise linear ist, beschreibt dasselbe Modell Pendel, Töne, Wechselstrom und Molekülschwingungen gleichermaßen.