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Schwingungen und Wellen

Federschwinger und Fadenpendel

Warum die Schwingungsdauer eines Pendels nicht von der Masse abhängt und die eines Federschwingers sehr wohl.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Über dreihundert Jahre lang war ein Fadenpendel die genaueste Uhr der Welt. Erst im 20. Jahrhundert wurde es von Quarz und Atomuhren abgelöst.

Der Grund für diesen langen Erfolg steckt in einer Formel, die etwas Erstaunliches nicht enthält: die . Ob man eine Bleikugel oder einen Korken aufhängt, ändert an der nichts. Und die kommt auch nicht vor, jedenfalls solange sie klein bleibt.

Beim Federschwinger ist es genau umgekehrt: Dort hängt alles an der Masse. Warum das so ist und warum es so sein muss, klärt dieses Kapitel.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die des Federschwingers herleiten und anwenden.

  • die Schwingungsdauer des Fadenpendels angeben.

  • begründen, warum die beim Pendel herausfällt.

  • die Kleinwinkelnäherung als Voraussetzung erkennen.

  • den Ortsfaktor aus einer Pendelmessung bestimmen.

  • beide Systeme energetisch beschreiben.

Der Federschwinger

Eine mm hängt an einer Feder mit der DD. Lenkt man sie um yy aus, wirkt nach dem Hookeschen Gesetz die

F=−D⋅yF = -D \cdot y

Das ist genau das lineare Kraftgesetz. Der Federschwinger ist also von sich aus harmonisch, ohne jede Näherung.

Mit ω=Dm\omega = \sqrt{\frac{D}{m}} aus dem vorigen Kapitel folgt

T=2πmD\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}}

Was in der Formel steht:

  • Größere Masse bedeutet größere Trägheit, also langsamere .
  • Härtere Feder bedeutet stärkere Rückstellung, also schnellere Schwingung.

Was nicht darin steht: die . Ein weit ausgelenkter Federschwinger braucht für eine Schwingung genauso lange wie ein wenig ausgelenkter. Er legt zwar mehr Weg zurück, ist dabei aber entsprechend schneller.

🔴 Die Formel gilt auch für eine waagerecht liegende Feder. Beim senkrecht hängenden Schwinger verschiebt die nur die Ruhelage; um diese neue Ruhelage schwingt der Körper mit derselben Dauer. Die Gewichtskraft beeinflusst also die Ruhelage, nicht die .

Vierfach in der Wurzel heißt doppelt davorAusgangsfallm = 1, D = 1T · 1vierfache Massem = 4, D = 1T · 2vierfache Härtem = 1, D = 4T · 0,5T = 2π · √(m / D)Schwere Masse schwingt langsam, harte Feder schnell

Vierfache ergibt die doppelte , vierfache Federhärte die halbe, nicht das Vierfache und nicht ein Viertel. Der Grund steht in der Formel: m und D stehen unter der Wurzel. Wer das einmal an diesen Zahlen nachvollzogen hat, muss sich die Wirkungsrichtung nicht merken.

Das Fadenpendel

Eine mm hängt an einem Faden der Länge ℓ\ell. Lenkt man sie um den Winkel α\alpha aus, wirkt die rücktreibende Komponente der

F=−m gsin⁡αF = -m \, g \sin\alpha

🔴 Das ist kein lineares Kraftgesetz, denn sin⁡α\sin\alpha ist nicht proportional zu α\alpha. Streng genommen ein Fadenpendel also nicht harmonisch.

Für kleine Winkel gilt jedoch die Näherung

sin⁡α≈α(α im Bogenmaß)\sin\alpha \approx \alpha \qquad (\alpha \text{ im Bogenmaß})

Mit der Auslenkung s=ℓ⋅αs = \ell \cdot \alpha folgt

F≈−mgα=−mgℓ⋅sF \approx -m g \alpha = -\frac{m g}{\ell} \cdot s

und damit ein lineares Kraftgesetz mit D=mgℓD = \frac{mg}{\ell}.

Einsetzen in T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}:

T=2πm ℓm g=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{m \, \ell}{m \, g}} = \boxed{2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}}

Warum die Masse herausfällt

🔴 Die kürzt sich vollständig heraus. Der Grund ist derselbe wie beim freien Fall: Die rücktreibende ist hier die , und die ist der Masse proportional. Eine größere Masse wird also stärker zurückgetrieben, ist aber im selben Verhältnis träger.

Beim Federschwinger gilt das nicht: Dort kommt die Rückstellung von der Feder und hat mit der Masse nichts zu tun. Deshalb bleibt mm in der Formel stehen.

Der Unterschied auf einen Blick:

FederschwingerFadenpendel
Rückstellung durchFederGewichtskraft
TT hängt ab vonmm und DDℓ\ell und gg
Masse im Ergebnisjanein
Harmonischexaktnur für kleine Winkel
Warum die Masse herausfälltφF(G)rücktreibendF = m · g · sin φa = F / ma = g · sin φDas m steht oben undunten, es kürzt sich.Schwerer heißt träger.T = 2π · √(l / g)Gilt nur für kleine Winkel: sin φ ≈ φ.Nur Länge und Ortsfaktor bestimmen die Dauer

Rechts steht die ganze Begründung in drei Zeilen: Die rücktreibende ist proportional zur , aber die teilt diese Kraft durch dieselbe Masse. Deshalb kürzt sich m heraus. Anders gesagt: Eine schwere Kugel wird stärker gezogen, ist aber im selben Maß träger. Der Zusatz „nur für kleine Winkel“ ist keine Formsache: Die Näherung sin φ ≈ φ ist bei 5° auf 0,1 % genau, bei 45° schon um 10 % daneben.

Die Gültigkeitsgrenze

Die Kleinwinkelnäherung ist gut, solange α\alpha klein bleibt:

α\alphaFehler in TT
5°5°rund 0,05 %0{,}05\,\%
10°10°rund 0,2 %0{,}2\,\%
30°30°rund 1,7 %1{,}7\,\%
60°60°rund 7 %7\,\%

Bei größeren Winkeln das Pendel langsamer als die Formel angibt, weil die tatsächliche rücktreibende (sin⁡α\sin\alpha) kleiner ist als die genäherte (α\alpha).

In der Praxis rechnet man bis etwa 10°10° ohne Korrektur.

Der Ortsfaktor aus einer Pendelmessung

Stellt man T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} nach gg um:

g=4π2ℓT2g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}

Damit lässt sich der Ortsfaktor mit einem Faden, einem Gewicht und einer Uhr auf drei Stellen genau bestimmen. Genau so wurde jahrhundertelang die Abplattung der Erde nachgewiesen: Am Äquator ist gg kleiner als an den Polen, und ein Pendel dort messbar langsamer.

Messtipp: Man misst nicht eine, sondern etwa zwanzig Schwingungen und teilt. Der Zeitmessfehler verteilt sich dadurch auf zwanzig Perioden und wird zwanzigmal kleiner.

Energiebetrachtung

Für beide Systeme gilt dasselbe Muster:

Eges=Epot+Ekin=konstantE_{\text{ges}} = E_{\text{pot}} + E_{\text{kin}} = \text{konstant}
UmkehrpunktRuhelage
Federschwinger12Dy^2\frac{1}{2}D\hat{y}^212mvmax⁡2\frac{1}{2}mv_{\max}^2
Fadenpendelmghm g h12mvmax⁡2\frac{1}{2}mv_{\max}^2

Beim Pendel ist hh die Hubhöhe im Umkehrpunkt. Aus mgh=12mvmax⁡2mgh = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 folgt

vmax⁡=2ghv_{\max} = \sqrt{2gh}

🔴 Auch hier kürzt sich die heraus, aus demselben Grund wie oben. Das ist dieselbe Formel wie für einen frei fallenden Körper aus der Höhe hh, was nicht überrascht: Das Pendel fällt gewissermaßen auf einer .

Beide Formeln anwenden

a) Ein Federschwinger hat m=250 gm = 250\,\text{g} und D=40 NmD = 40\,\frac{\text{N}}{\text{m}}. Wie groß ist TT?

b) Wie ändert sich TT, wenn man die vervierfacht?

c) Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit T=2 sT = 2\,\text{s} beträgt (g=9,81 ms2g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2})?

d) Wie ändert sich seine auf dem Mond (gMond=1,62 ms2g_{\text{Mond}} = 1{,}62\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2})?

  1. 1

    a) T=2πmD=2π0,25 kg40 Nm=2π6,25⋅10−3 s2T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25\,\text{kg}}{40\,\frac{\text{N}}{\text{m}}}} = 2\pi\sqrt{6{,}25 \cdot 10^{-3}\,\text{s}^2}

    T=2π⋅0,079 s≈0,50 sT = 2\pi \cdot 0{,}079\,\text{s} \approx 0{,}50\,\text{s}

    Einheitenprobe: kgN/m=kg⋅mN=kg⋅m⋅s2kg⋅m=s2\frac{\text{kg}}{\text{N/m}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{N}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^2}{\text{kg} \cdot \text{m}} = \text{s}^2 ✓

  2. 2

    b) Da T∼mT \sim \sqrt{m}, bedeutet vierfache Masse

    Tneu=4⋅T=2T=1,0 sT_{\text{neu}} = \sqrt{4} \cdot T = 2T = 1{,}0\,\text{s}

    Die Schwingungsdauer verdoppelt sich, sie vervierfacht sich nicht. Die Wurzel dämpft die Wirkung ab.

  3. 3

    c) Nach ℓ\ell umstellen:

    T=2πℓg⇒ℓ=T2g4π2T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} \quad \Rightarrow \quad \ell = \frac{T^2 g}{4\pi^2} ℓ=(2 s)2⋅9,81 ms24π2=39,2439,48 m≈0,994 m\ell = \frac{(2\,\text{s})^2 \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{4\pi^2} = \frac{39{,}24}{39{,}48}\,\text{m} \approx 0{,}994\,\text{m}

    🔴 Ein Pendel von rund einem Meter Länge hat eine Schwingungsdauer von zwei Sekunden, braucht also für einen Hin- oder Hergang genau eine Sekunde. Das ist das Sekundenpendel, die Grundlage der klassischen Pendeluhr, und der Grund für die typische Bauhöhe von Standuhren.

  4. 4

    d) Auf dem Mond ist gg kleiner, das Pendel also langsamer:

    TMondTErde=gErdegMond=9,811,62=6,06≈2,46\frac{T_{\text{Mond}}}{T_{\text{Erde}}} = \sqrt{\frac{g_{\text{Erde}}}{g_{\text{Mond}}}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{1{,}62}} = \sqrt{6{,}06} \approx 2{,}46 TMond≈2,46⋅2 s≈4,9 sT_{\text{Mond}} \approx 2{,}46 \cdot 2\,\text{s} \approx 4{,}9\,\text{s}

    Eine Pendeluhr ginge auf dem Mond also erheblich nach, und zwar auf weniger als die Hälfte der . Man müsste den Pendelstab auf etwa 16 cm16\,\text{cm} kürzen, um wieder T=2 sT = 2\,\text{s} zu erreichen.

    🔴 Ein Federschwinger dagegen ginge auf dem Mond völlig unverändert, weil in T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} kein gg vorkommt. Nur die Ruhelage verschöbe sich, weil die Feder weniger stark gedehnt wird.

    Das ist der schärfste Unterschied zwischen beiden Systemen: Das Pendel misst gewissermaßen die Schwerkraft mit, der Federschwinger nicht. Deshalb benutzt man Pendel zur Bestimmung des Ortsfaktors und Federschwinger für Uhren, die überall gleich gehen sollen.

a) 0,50 s0{,}50\,\text{s} b) sie verdoppelt sich auf 1,0 s1{,}0\,\text{s} c) rund 0,99 m0{,}99\,\text{m} (Sekundenpendel) d) rund 4,9 s4{,}9\,\text{s}, die Uhr ginge deutlich nach.

Warum die Masse beim Pendel herausfällt

Ein Schüler behauptet: „Eine schwere Kugel muss schneller schwingen als eine leichte, denn sie wird stärker von der Erde angezogen."

Nimm Stellung und begründe, warum beim Federschwinger die dagegen sehr wohl eine Rolle spielt.

  1. 1

    Der erste Teil der Behauptung stimmt. Eine schwere Kugel wird tatsächlich stärker angezogen:

    F=−mgsin⁡αF = -m g \sin\alpha

    Verdoppelt man die Masse, verdoppelt sich die rücktreibende .

  2. 2

    Übersehen wird die Trägheit. Nach a=Fma = \frac{F}{m} ist die

    a=−mgsin⁡αm=−gsin⁡αa = \frac{-m g \sin\alpha}{m} = -g\sin\alpha

    Die Masse kürzt sich heraus. Die doppelte Kraft wirkt auf die doppelte Masse und erzeugt genau dieselbe Beschleunigung.

    Die schwere Kugel wird also stärker gezogen, ist aber im selben Verhältnis schwerer in Bewegung zu setzen. Beides gleicht sich exakt aus.

  3. 3

    Dasselbe kennst du vom freien Fall. Im Vakuum fallen Feder und Bleikugel gleich schnell, aus genau demselben Grund. Galilei zeigte das, und ein Fadenpendel ist im Kern ein Fall auf einer .

    Der tiefere Grund ist die Gleichheit von träger und schwerer Masse: Dieselbe Zahl, die die Trägheit bestimmt, bestimmt auch die . Diese Übereinstimmung ist keineswegs selbstverständlich; sie wurde mit immer höherer Genauigkeit geprüft und ist der Ausgangspunkt von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.

    T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}

    Die Formel enthält deshalb tatsächlich keine Masse, und der Versuch bestätigt es: Eine Bleikugel und ein Korken an gleich langen Fäden schwingen im Gleichtakt.

  4. 4

    Warum es beim Federschwinger anders ist.

    Dort kommt die Rückstellung nicht von der Gewichtskraft, sondern von der Feder:

    F=−D⋅yF = -D \cdot y

    In dieser Kraft kommt die Masse nicht vor. Sie hängt nur von der und der Auslenkung ab.

    Die Beschleunigung ist also

    a=−Dyma = \frac{-D y}{m}

    und hier kürzt sich nichts. Eine doppelt so schwere Masse erfährt dieselbe Kraft, ist aber doppelt so träge und wird deshalb nur halb so stark beschleunigt. Die wird langsamer:

    T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}

    🔴 Die entscheidende Frage lautet also immer: Ist die rücktreibende Kraft der Masse proportional?

    • Ja (Gewichtskraft): Masse kürzt sich heraus. → Fadenpendel
    • Nein (Federkraft): Masse bleibt stehen. → Federschwinger

    Eine Probe auf das Verständnis: Auf dem Mond schwingt ein Fadenpendel deutlich langsamer, ein Federschwinger dagegen unverändert. Wer den obigen Unterschied verstanden hat, kann das ohne Rechnung vorhersagen.

Die schwere Kugel wird stärker gezogen, ist aber im gleichen Verhältnis träger; beim Pendel kürzt sich die Masse deshalb heraus. Beim Federschwinger kommt die Rückstellung von der Feder und ist massenunabhängig, weshalb mm stehen bleibt.

Typischer Fehler

„Wenn ich das Pendel weiter auslenke, braucht es länger für eine , weil der Weg länger ist."

Die bleibt (bei kleinen Winkeln) gleich. In T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} kommt die nicht vor.

Warum der längere Weg nichts ausmacht: Bei größerer Auslenkung ist auch die rücktreibende größer. Das Pendel wird also stärker und ist unterwegs schneller. Der längere Weg und die höhere gleichen sich genau aus.

Der Nachweis im Versuch: Zwei gleich lange Pendel, eines mit 5°5°, eines mit 10°10° ausgelenkt, bleiben über viele Schwingungen im Takt. Das ist mit einfachen Mitteln überprüfbar.

Warum das historisch so wichtig war: Genau diese Eigenschaft (die Isochronie) machte das Pendel zur Uhr. Eine Pendeluhr läuft langsam ab, ihr Ausschlag wird kleiner, und trotzdem geht sie richtig. Wäre die Schwingungsdauer amplitudenabhängig, ginge jede Uhr mit nachlassender Feder falsch.

Galilei bemerkte diese Eigenschaft angeblich an einer schwingenden Kirchenlampe, deren Takt er mit seinem Puls verglich. Huygens baute 1656 die erste Pendeluhr, und über dreihundert Jahre lang war sie das genaueste Zeitmessgerät der Welt.

Die ehrliche Einschränkung: Streng gilt das nur bei kleinen Winkeln, denn dort steckt die Näherung sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha. Bei größeren Auslenkungen schwingt das Pendel tatsächlich langsamer:

AuslenkungAbweichung
10°10°+0,2 %+0{,}2\,\%
30°30°+1,7 %+1{,}7\,\%
60°60°+7 %+7\,\%

Bei 30°30° ginge eine Pendeluhr etwa 2525 Minuten am Tag nach. Deshalb arbeiten Pendeluhren mit sehr kleinen Ausschlägen von wenigen Grad.

Interessant: Die Vermutung des Schülers ist also nicht einfach falsch, sondern beschreibt genau den Effekt, der bei großen Winkeln tatsächlich auftritt. Falsch ist nur die Begründung und die Annahme, es gelte immer.

Übung 1

leicht

a) Ein Federschwinger hat m=0,4 kgm = 0{,}4\,\text{kg} und D=25 NmD = 25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}. Wie groß ist TT?

b) Wie groß ist die eines 50 cm50\,\text{cm} langen Fadenpendels?

c) Warum kommt beim Fadenpendel die nicht vor?

Tipp anzeigen

b) g=9,81 ms2g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

Lösung anzeigen

a) T=2πmD=2π0,4 kg25 Nm=2π0,016 s=2π⋅0,1265 s≈0,79 sT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}4\,\text{kg}}{25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}}} = 2\pi\sqrt{0{,}016}\,\text{s} = 2\pi \cdot 0{,}1265\,\text{s} \approx 0{,}79\,\text{s}

b) T=2πℓg=2π0,5 m9,81 ms2=2π0,051 s≈1,42 sT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5\,\text{m}}{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 2\pi\sqrt{0{,}051}\,\text{s} \approx 1{,}42\,\text{s}

c) Weil die rücktreibende die ist und diese der Masse proportional ist:

a=−mgsin⁡αm=−gsin⁡αa = \frac{-mg\sin\alpha}{m} = -g\sin\alpha

Eine größere Masse wird stärker zurückgetrieben, ist aber im selben Verhältnis träger. Beides hebt sich exakt auf, genau wie beim freien Fall.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Federschwinger und Fadenpendel

    a) m=0,4 kgm = 0{,}4\,\text{kg} und D=25 NmD = 25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}; gesucht die Schwingungsdauer. b) Fadenpendel mit ℓ=50 cm\ell = 50\,\text{cm} und g=9,81 ms2g = 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}. c) eine Begründung, warum beim Pendel die Masse fehlt.

  2. 2

    Zwei Schwingungsdauern mit verschiedenen Rückstellmechanismen

    Für den Federschwinger gilt T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}, für das Fadenpendel T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}. Beide folgen aus derselben allgemeinen Formel, nur mit verschiedener Rückstellgröße.

  3. 3

    a) und b) Beide Schwingungsdauern berechnen

    Jeweils die Wurzel bilden und mit 2π2\pi multiplizieren; die Pendellänge vorher in Meter umschreiben.

    T=2π0,4 kg25 Nm≈0,79 sT = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}4\,\text{kg}}{25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}}} \approx 0{,}79\,\text{s}; T=2π0,5 m9,81 ms2≈1,42 sT = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5\,\text{m}}{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \approx 1{,}42\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    T≈0,79 sT \approx 0{,}79\,\text{s} bzw. T≈1,42 sT \approx 1{,}42\,\text{s}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: warum die Pendelmasse herausfällt

    Weil die rücktreibende Kraft die Gewichtskraft ist und diese der Masse proportional ist: a=−mgsin⁡αm=−gsin⁡αa = \frac{-m g \sin\alpha}{m} = -g\sin\alpha. Eine größere Masse wird stärker zurückgetrieben, ist aber im selben Verhältnis träger.

Übung 2

mittel

a) Ein Pendel führt in 60 s60\,\text{s} genau 4242 aus. Bestimme daraus den Ortsfaktor, wenn ℓ=82 cm\ell = 82\,\text{cm} beträgt.

b) Warum misst man viele Schwingungen statt einer?

c) Wie ändert sich TT eines Federschwingers auf dem Mond? Begründe.

d) Bis zu welchem Winkel darf man die Pendelformel verwenden?

Tipp anzeigen

a) Erst TT bestimmen, dann g=4π2ℓT2g = \frac{4\pi^2\ell}{T^2}.

Lösung anzeigen

a) :

T=60 s42≈1,4286 sT = \frac{60\,\text{s}}{42} \approx 1{,}4286\,\text{s}

Ortsfaktor:

g=4π2ℓT2=4π2⋅0,82 m(1,4286 s)2=32,372,041 ms2≈9,86 ms2g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}82\,\text{m}}{(1{,}4286\,\text{s})^2} = \frac{32{,}37}{2{,}041}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 9{,}86\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Das liegt rund 0,5 %0{,}5\,\% über dem Tabellenwert von 9,81 ms29{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}, also im Rahmen der Messgenauigkeit eines einfachen Schulversuchs.

b) Weil sich der Zeitmessfehler dadurch auf viele Perioden verteilt.

Misst man eine einzelne Schwingung von etwa 1,4 s1{,}4\,\text{s} und liegt beim Starten und Stoppen um insgesamt 0,2 s0{,}2\,\text{s} daneben, beträgt der Fehler rund 14 %14\,\%.

Misst man 4242 Schwingungen (etwa 60 s60\,\text{s}), verteilt sich derselbe absolute Fehler auf 4242 Perioden. Der relative Fehler sinkt auf rund 0,3 %0{,}3\,\%, also auf ein Zweiundvierzigstel.

🔴 Das ist ein allgemeines Messprinzip: Wenn der Fehler an den Rändern der Messung entsteht (beim Starten und Stoppen), verkleinert man ihn, indem man den Messbereich vergrößert. Dasselbe steckt hinter langen Zählzeiten beim Geiger-Zähler und hinter langen Belichtungszeiten in der Astronomie.

Zweiter Messtipp: Man startet die Uhr beim Durchgang durch die Ruhelage, nicht am Umkehrpunkt. Dort ist das Pendel am schnellsten und der Zeitpunkt am genauesten zu treffen; am Umkehrpunkt verweilt es scheinbar und der Moment ist schlecht zu erkennen.

c) Sie ändert sich überhaupt nicht.

T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}

In dieser Formel kommt der Ortsfaktor nicht vor. Die Rückstellung liefert die Feder, und ihre ist eine Materialeigenschaft, die von der Schwerkraft unabhängig ist.

Was sich ändert: Die Ruhelage verschiebt sich. Auf dem Mond dehnt dieselbe die Feder nur etwa ein Sechstel so weit. Um diese neue Ruhelage schwingt der Körper aber mit unveränderter Schwingungsdauer.

🔴 Der Vergleich mit dem Pendel macht den Unterschied deutlich: Ein Fadenpendel schwingt auf dem Mond rund 2,52{,}5-mal langsamer, ein Federschwinger genau gleich. Wer das vorhersagen kann, hat den Unterschied zwischen den beiden Rückstellmechanismen verstanden.

Praktische Anwendung: Genau deshalb benutzt man in der Raumfahrt zur Massenbestimmung Schwingungsmessungen mit Federn. In der Schwerelosigkeit versagt jede Waage, weil sie misst. Ein Federschwinger misst dagegen die träge Masse und funktioniert dort unverändert. So wird auf der ISS das Körpergewicht der Besatzung bestimmt.

d) Die Formel beruht auf der Näherung sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha (Bogenmaß), die nur für kleine Winkel gilt.

AuslenkungFehler in TT
5°5°0,05 %0{,}05\,\%
10°10°0,2 %0{,}2\,\%
20°20°0,8 %0{,}8\,\%
30°30°1,7 %1{,}7\,\%
60°60°7 %7\,\%

In der Praxis rechnet man bis etwa 10°10° ohne Korrektur, dort liegt der Fehler unter der üblichen Messgenauigkeit eines Schulversuchs.

Bei größeren Winkeln schwingt das Pendel stets langsamer als berechnet, weil die tatsächliche rücktreibende (sin⁡α\sin\alpha) kleiner ist als die genäherte (α\alpha). Die Formel liefert dort also zu kleine Werte für TT.

Konsequenz für Pendeluhren: Sie arbeiten mit sehr kleinen Ausschlägen von wenigen Grad, damit die Isochronie erhalten bleibt. Zusätzlich sorgt eine Hemmung dafür, dass die über die Zeit möglichst konstant bleibt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Ortsfaktor-Messung

    Gegeben: 4242 Schwingungen in 60 s60\,\text{s} bei ℓ=82 cm\ell = 82\,\text{cm}. Gesucht: a) der Ortsfaktor, b) eine Begründung zur Messmethode, c) das Verhalten auf dem Mond, d) die Winkelgrenze.

  2. 2

    a) Die Pendelformel als Messvorschrift lesen

    Es gilt T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}. In dieser Beziehung stehen drei Größen, von denen zwei leicht messbar sind: Länge und Zeit. Also lässt sich die dritte, der Ortsfaktor, daraus bestimmen.

  3. 3

    a) Die Pendelformel nach dem Ortsfaktor umstellen

    Aus T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} folgt durch Quadrieren T2=4π2ℓgT^2 = \frac{4\pi^2\ell}{g} und damit g=4π2ℓT2g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}.

  4. 4

    a) Schwingungsdauer und Ortsfaktor

    Erst die Schwingungsdauer als Gesamtzeit durch Anzahl, dann in die umgestellte Formel einsetzen.

    T=60 s42≈1,4286 sT = \frac{60\,\text{s}}{42} \approx 1{,}4286\,\text{s}; g=4π2⋅0,82 m(1,4286 s)2≈9,86 ms2g = \frac{4\pi^2 \cdot 0{,}82\,\text{m}}{(1{,}4286\,\text{s})^2} \approx 9{,}86\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

    Zwischenergebnis

    g≈9,86 ms2g \approx 9{,}86\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

  5. 5

    b) Warum man viele Schwingungen misst

    Weil sich der Zeitmessfehler dadurch auf viele Perioden verteilt. Bei einer einzelnen Schwingung von 1,4 s1{,}4\,\text{s} und einem Fehler von 0,2 s0{,}2\,\text{s} wären das rund 14 %14\,\%; bei 4242 Schwingungen sinkt der relative Fehler auf rund 0,3 %0{,}3\,\%.

  6. 6

    c) und d) Ergebnis deuten: Mond und Winkelgrenze

    c) Die Schwingungsdauer des Federschwingers ändert sich auf dem Mond überhaupt nicht, in T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} kommt der Ortsfaktor nicht vor. Was sich ändert, ist die Ruhelage. d) Die Pendelformel beruht auf sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha; bis etwa 10°10° liegt der Fehler unter 0,2 %0{,}2\,\%.

Übung 3

schwer

a) Leite die Formel für das Fadenpendel her und benenne die Näherung.

b) Erkläre, warum ein Federschwinger exakt harmonisch ist, ein Fadenpendel aber nur näherungsweise.

c) Warum verschiebt beim senkrecht hängenden Federschwinger die nur die Ruhelage?

d) Warum konnten Pendel jahrhundertelang die genauesten Uhren sein?

Tipp anzeigen

a) Zerlege die Gewichtskraft in Komponenten.

Lösung anzeigen

a) Schritt 1: Rücktreibende . Bei Auslenkung um den Winkel α\alpha zerlegt man die Gewichtskraft in eine Komponente längs des Fadens (die der Faden aufnimmt) und eine senkrecht dazu:

F=−mgsin⁡αF = -m g \sin\alpha

Das Minuszeichen bedeutet, dass sie zur Ruhelage zurücktreibt.

Schritt 2: Die Näherung. Für kleine Winkel im Bogenmaß gilt

sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha

Dies ist die entscheidende Näherung, ohne die die Herleitung nicht funktioniert.

Schritt 3: Auf den Bogen umschreiben. Mit der Bogenlänge s=ℓαs = \ell\alpha, also α=sℓ\alpha = \frac{s}{\ell}:

F≈−mg⋅sℓ=−mgℓ⋅sF \approx -m g \cdot \frac{s}{\ell} = -\frac{m g}{\ell} \cdot s

Das ist ein lineares Kraftgesetz F=−DsF = -D s mit

D=mgℓD = \frac{m g}{\ell}

Schritt 4: In die allgemeine Formel einsetzen.

T=2πmD=2πmℓmg=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} = 2\pi\sqrt{\frac{m \ell}{m g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}

Die kürzt sich heraus, weil sie sowohl in der Trägheit als auch in der Rückstellgröße DD steckt.

b) Federschwinger: exakt. Das

F=−D⋅sF = -D \cdot s

ist von sich aus linear, ohne jede Näherung. Es gilt im gesamten elastischen Bereich der Feder. Der Federschwinger erfüllt die Bedingung für Harmonizität also exakt.

Fadenpendel: nur näherungsweise. Die rücktreibende Kraft

F=−mgsin⁡αF = -m g \sin\alpha

ist nicht proportional zu α\alpha, denn der Sinus wächst langsamer als sein Argument. Streng genommen ist die Pendelschwingung deshalb nicht harmonisch, und ihre hängt von der ab.

Erst die Näherung sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha für kleine Winkel macht sie harmonisch.

🔴 Die ehrliche Formulierung lautet also: Das Fadenpendel für kleine Auslenkungen näherungsweise harmonisch. Wer es ohne diesen Zusatz als harmonischen Oszillator bezeichnet, verschweigt die Voraussetzung.

Grenze der Elastizität: Auch beim Federschwinger gibt es eine Grenze. Überdehnt man die Feder, verlässt man den elastischen Bereich, das Hookesche Gesetz gilt nicht mehr, und die Feder wird bleibend verformt.

c) Weil eine konstante Zusatzkraft nur die Gleichgewichtslage verschiebt.

Hängt die Masse senkrecht, dehnt die Gewichtskraft die Feder zunächst um ein Stück s0s_0, bis Gleichgewicht herrscht:

mg=D⋅s0⟹s0=mgDm g = D \cdot s_0 \quad \Longrightarrow \quad s_0 = \frac{m g}{D}

Lenkt man nun um yy aus dieser neuen Ruhelage aus, gilt für die resultierende Kraft:

F=−D(s0+y)⏟Federkraft+mg⏟Gewichtskraft=−Ds0−Dy+Ds0=−DyF = \underbrace{-D(s_0 + y)}_{\text{Federkraft}} + \underbrace{m g}_{\text{Gewichtskraft}} = -D s_0 - D y + D s_0 = -D y

Die konstanten Anteile heben sich exakt auf. Übrig bleibt genau das ursprüngliche lineare Kraftgesetz.

Deshalb gilt für die senkrechte Feder dieselbe Formel wie für die waagerechte:

T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}

🔴 Allgemeine Einsicht: Eine konstante Kraft verschiebt bei einem linearen System nur die Ruhelage, ändert aber die Schwingungsdauer nicht. Das gilt für jedes harmonische System und ist ein nützliches Werkzeug: Man darf konstante Zusatzkräfte einfach in die Ruhelage einrechnen.

d) Vier Gründe, die zusammenwirken:

1. Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (Isochronie). Läuft die Uhr ab und wird der Ausschlag kleiner, geht sie trotzdem richtig. Ohne diese Eigenschaft wäre eine mechanische Uhr unbrauchbar.

2. Sie hängt nicht von der Masse ab. Verschmutzung, Abnutzung oder ein anderes Pendelgewicht ändern nichts.

3. Sie hängt nur von zwei sehr stabilen Größen ab: der Pendellänge und dem Ortsfaktor. Beide sind an einem festen Standort praktisch konstant.

4. Die Wurzel dämpft Fehler ab. Wegen T∼ℓT \sim \sqrt{\ell} führt eine Längenänderung von 0,2 %0{,}2\,\% nur zu einem Gangfehler von 0,1 %0{,}1\,\%. Kleine Ungenauigkeiten wirken sich also nur halb so stark aus.

Was in der Praxis noch nötig war:

  • Temperaturkompensation. Der Pendelstab dehnt sich bei aus und die Uhr geht nach. Deshalb baute man Rostpendel aus zwei Metallen mit verschiedener Ausdehnung oder Quecksilberpendel, die diesen Effekt ausgleichen.
  • Kleine Amplituden von wenigen Grad, damit die Kleinwinkelnäherung gilt.
  • Eine Hemmung, die dem Pendel bei jeder Schwingung genau die zuführt, die die entzieht, ohne seinen Takt zu stören.

Das erreichte Niveau: Die besten Pendeluhren des frühen 20. Jahrhunderts (Shortt-Uhren, in einem Vakuumgehäuse) erreichten eine Genauigkeit von einer Sekunde in mehreren Monaten. Sie waren so gut, dass mit ihnen erstmals Schwankungen der Erdrotation nachgewiesen wurden.

🔴 Abgelöst wurden sie erst durch Quarzuhren (ab den 1930er Jahren) und Atomuhren (ab 1955). Deren Prinzip ist aber dasselbe: ein Oszillator, dessen von möglichst wenigen und möglichst stabilen Größen abhängt. Beim Quarz sind es die elastischen Eigenschaften des Kristalls, bei der Atomuhr ein Energieübergang im Cäsiumatom.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    a) Die Pendelformel in vier Schritten herleiten

    1. Rücktreibende Kraft F=−mgsin⁡αF = -m g \sin\alpha (Komponente der Gewichtskraft senkrecht zum Faden). 2. Näherung sin⁡α≈α\sin\alpha \approx \alpha für kleine Winkel im Bogenmaß. 3. Mit der Bogenlänge s=ℓαs = \ell\alpha folgt F≈−mgℓ⋅sF \approx -\frac{m g}{\ell} \cdot s, also D=mgℓD = \frac{m g}{\ell}. 4. Einsetzen in T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} ergibt T=2πℓgT = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}.

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    b) Exakt beim Federschwinger, genähert beim Pendel

    Das Hookesche Gesetz F=−D⋅sF = -D \cdot s ist von sich aus linear, ohne jede Näherung, der Federschwinger erfüllt die Bedingung für Harmonizität exakt. Die Pendelkraft F=−mgsin⁡αF = -m g \sin\alpha ist dagegen nicht proportional zu α\alpha, denn der Sinus wächst langsamer als sein Argument.

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    c) Warum die Gewichtskraft beim senkrechten Federschwinger nur die Ruhelage verschiebt

    Die Gewichtskraft dehnt die Feder zunächst um s0=mgDs_0 = \frac{m g}{D}. Lenkt man um yy aus dieser neuen Ruhelage aus, gilt F=−D(s0+y)+mg=−Ds0−Dy+Ds0=−DyF = -D(s_0 + y) + m g = -D s_0 - D y + D s_0 = -D y, die konstanten Anteile heben sich exakt auf.

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    d) Ergebnis deuten: warum Pendel die besten Uhren waren

    Vier Gründe wirken zusammen: Isochronie (unabhängig von der Amplitude), Massenunabhängigkeit, Abhängigkeit von nur zwei sehr stabilen Größen (Länge und Ortsfaktor) und die Wurzel, die Fehler abdämpft, eine Längenänderung von 0,2 %0{,}2\,\% ergibt nur 0,1 %0{,}1\,\% Gangfehler.

Zusammenfassung

Der Federschwinger erfüllt das lineare Kraftgesetz exakt, weil das von sich aus linear ist, und seine hängt von und Federkonstante ab. Beim Fadenpendel ist die rücktreibende dagegen proportional zum Sinus des Auslenkwinkels und damit nicht linear, sodass erst die Näherung für kleine Winkel eine ergibt. In der daraus folgenden Formel kürzt sich die Masse vollständig heraus, weil die Rückstellung hier von der stammt und diese der Masse proportional ist, genau wie beim freien Fall. Bei beiden Systemen kommt die Amplitude nicht vor, und gerade diese Unabhängigkeit machte das Pendel über drei Jahrhunderte zur genauesten Uhr. Da sich die Schwingungsdauer eines Pendels aus Länge und Ortsfaktor ergibt, lässt sich umgekehrt aus einer Pendelmessung der Ortsfaktor bestimmen, während ein Federschwinger auf dem Mond unverändert schwingen würde.