Prozentrechnung: Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz

„20 % Rabatt!", „63 % der Schüler…", „3 % Zinsen": Prozente begegnen dir überall. In diesem Kapitel lernst du die drei Größen der Prozentrechnung kennen und wie du jede davon berechnen kannst, wenn die anderen beiden gegeben sind.

Durch Umstellen erhältst du die beiden anderen Formeln:

Merke dir am besten eine Formel und stelle die anderen bei Bedarf daraus um, so musst du nicht drei Formeln auswendig lernen.

Du kannst jede Prozentaufgabe auch mit dem Dreisatz lösen, dem Verfahren aus Klasse 6. Rechne zuerst aus, was $1\,\%$ ist, und multipliziere dann hoch.

Beispiel: $15\,\%$ von $240$ €.

Warum beide Wege dasselbe ergeben

Das ist kein Zufall: Prozentsatz und Prozentwert sind direkt proportional. Verdoppelst du den Prozentsatz, verdoppelt sich der Prozentwert, und genau für solche Zuordnungen ist der Dreisatz gemacht.

Du kannst es sogar in der Formel sehen. Aus Klasse 6 kennst du proportionale Zuordnungen als $y = k \cdot x$. Schreibe die Grundgleichung einmal so um:

Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist also nichts anderes als der Wert eines Prozents, genau die Zahl, die du beim Dreisatz im ersten Schritt ausrechnest. Formel und Dreisatz sind zwei Schreibweisen derselben Sache; nimm den Weg, der dir sicherer erscheint.

Für manche Prozentsätze brauchst du gar keinen Taschenrechner. Das ist kein Trick, den du auswendig lernen musst. Es folgt direkt daraus, was $p\,\%$ bedeutet.

Erinnere dich: $p\,\%$ ist nichts anderes als der Bruch $\dfrac{p}{100}$. Und manche dieser Brüche lassen sich kürzen, bis eine ganz einfache Rechnung übrig bleibt:

Lies das von rechts nach links: $50\,\%$ berechnen heißt halbieren. $25\,\%$ heißt durch $4$ teilen. $10\,\%$ heißt durch $10$ teilen: und durch $10$ teilen heißt beim Rechnen mit Komma einfach: das Komma eine Stelle nach links schieben.

Aus Bausteinen zusammensetzen

Richtig praktisch wird es, wenn du diese Bausteine kombinierst. Denn Prozentsätze darfst du addieren, solange sie sich auf denselben Grundwert beziehen:

• $5\,\%$ ist die Hälfte von $10\,\%$.
• $30\,\% = 3 \cdot 10\,\%$
• $15\,\% = 10\,\% + 5\,\%$
• $75\,\% = 50\,\% + 25\,\%$

Beispiel: $15\,\%$ von $80$ €. Erst $10\,\%$: das sind $8$ €. Davon die Hälfte sind $5\,\%$: also $4$ €. Zusammen: $8 + 4 = 12$ €. Ganz ohne Taschenrechner, und du merkst sofort, wenn ein Ergebnis unmöglich sein kann.

Bisher war der Prozentwert immer ein Teil des Ganzen, höchstens so groß wie der Grundwert. Kann ein Prozentsatz überhaupt größer als $100\,\%$ sein?

Ja. Und der Grund steckt wieder in der Bedeutung: $p\,\%$ heißt nur „$p$ Hundertstel". Bei $250\,\%$ sind das $\frac{250}{100} = 2{,}5$. Das ist eine völlig normale Zahl. Nichts verbietet, dass ein Ergebnis größer ist als der Grundwert, mit dem du vergleichst.

Das passiert immer dann, wenn etwas wächst. Schau dir das Bild unten an: Ein Verein hatte vor fünf Jahren $80$ Mitglieder und hat heute $200$.

Was ist hier der Grundwert? Der frühere Stand, mit dem wir vergleichen: $G = 80$. Dann rechnest du wie immer:

Der Verein hat heute also $250\,\%$ des früheren Mitgliederstands.

„um" oder „auf", ein winziges Wort, ein großer Unterschied

Genau hier passiert der häufigste Fehler. Vergleiche:

• Der Verein ist auf $250\,\%$ gewachsen. → Der neue Stand wird angegeben ($200$ Mitglieder).
• Der Verein ist um $150\,\%$ gewachsen. → Nur der Zuwachs wird angegeben ($200 - 80 = 120$ Mitglieder, und $\frac{120}{80} \cdot 100 = 150$).

Beide Sätze beschreiben dieselbe Veränderung! Der Zusammenhang ist einfach:

Deshalb lohnt sich beim Lesen einer Aufgabe die kurze Frage: Ist hier vom Zuwachs die Rede oder vom neuen Gesamtwert? Beim Sinken gilt dasselbe rückwärts: „um $20\,\%$ gesunken" bedeutet „auf $80\,\%$ gesunken".

Manche Anteile sind so klein, dass Prozentangaben unhandlich werden. Der Salzgehalt eines Wassers mit $0{,}035\,\%$, davon bekommt niemand eine Vorstellung. Für solche Fälle gibt es eine zweite Einheit.

Der Gedanke ist derselbe wie bei Prozent, nur mit einer größeren Vergleichszahl:

• Prozent heißt „von hundert": $1\,\% = \dfrac{1}{100}$
• Promille heißt „von tausend": $1\text{ Promille} = \dfrac{1}{1000}$

Weil du statt in Hundertstel in Tausendstel rechnest, wird die Formel fast gleich, nur die $100$ wird zur $1000$:

Beispiel: $3\text{ Promille}$ von $2\,000\,\text{g}$ sind $2\,000 \cdot \frac{3}{1000} = 6\,\text{g}$.

Der Zusammenhang zwischen beiden

Ein Tausendstel ist zehnmal kleiner als ein Hundertstel. Deshalb steckt in einem Prozent genau zehn Promille:

Zum Umrechnen musst du also nur mit $10$ multiplizieren oder durch $10$ teilen: $0{,}035\,\% = 0{,}35\text{ Promille}$, schon viel handlicher.

Wo dir Promille begegnet: bei Steigungen von Bahnstrecken ($5\text{ Promille}$ heißt $5\,\text{m}$ Anstieg auf $1\,000\,\text{m}$ Strecke), beim Salzgehalt von Wasser und bei der Blutalkoholkonzentration ($0{,}5\text{ Promille}$ bedeutet $0{,}5\,\text{g}$ Alkohol in $1\,000\,\text{g}$ Blut).