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Zuordnungen und ihre Darstellungen
Weg und Zeit, Menge und Preis: Zusammenhänge in Tabelle, Graph und Worten.
Benötigte Grundlagen
Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.
Einführung
Je länger die Fahrt, desto weiter der Weg. Je mehr Brötchen, desto höher der Preis. Je später der Tag, desto wärmer (oder kälter). Überall hängen Größen voneinander ab, die Mathematik nennt das Zuordnungen. Hier lernst du ihre drei Sprachen: Worte, Tabellen und Graphen, und wie du zwischen ihnen übersetzt.
Das kannst du nach diesem Kapitel
Zuordnungen in Alltagssituationen erkennen und beschreiben (Weg–Zeit, Menge–Preis, Zeit–Temperatur …).
Zuordnungen als Wertetabelle und als Graph darstellen.
zwischen verbaler Beschreibung, Tabelle und Graph wechseln.
Graphen interpretieren: Wo steigt, fällt, stagniert etwas?
Was ist eine Zuordnung?
Eine Zuordnung verbindet zwei Größen: Jedem Wert der ersten Größe wird ein Wert der zweiten zugeordnet. Man schreibt sie mit einem Pfeil:
(Die Preise sind hier in Euro angegeben.)
Die drei Darstellungsformen
1. Verbale Beschreibung: „Ein Brötchen kostet Cent. Der Preis wächst mit jedem weiteren Stück um Cent."
2. Wertetabelle:
| Anzahl | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Preis (€) | 0,40 | 0,80 | 2,00 | 4,00 |
3. Graph: Jedes Wertepaar wird ein Punkt im , erste Größe auf der -Achse, zweite auf der -Achse. Das Bild unten zeigt das an einem Beispiel mit runderen Zahlen.
Jede Form hat Stärken: Worte erklären den Zusammenhang, die Tabelle liefert exakte Werte, der Graph zeigt den Verlauf auf einen Blick.
Ein zweites Beispiel mit Zahlen: Hier wird jedem Wert sein Doppeltes zugeordnet, , , . Jedes Wertepaar wird zu einem Punkt; so macht der Graph den Verlauf einer Zuordnung auf einen Blick sichtbar.
Graphen richtig lesen
- Steigt der Graph → die zweite Größe wächst.
- Fällt er → sie nimmt ab.
- Waagerecht → sie bleibt konstant (z. B. Temperatur nachts unverändert).
Verbinden oder nicht? Punkte darfst du nur verbinden, wenn Zwischenwerte sinnvoll sind: bei einer Temperaturkurve ja (auch um Uhr gab es eine Temperatur), bei „Anzahl Brötchen Preis" eigentlich nicht ( Brötchen kauft niemand).
Die Faustregel dahinter
Frage dich: Gibt es die Zwischenwerte in Wirklichkeit?
- Ja → verbinden. Zeit, Länge, Temperatur, Gewicht laufen stufenlos; zwischen zwei Messpunkten existieren unendlich viele Werte.
- Nein → nur Punkte zeichnen. Anzahlen von Dingen springen von auf , dazwischen ist nichts.
Warum das mehr als Formsache ist: Eine durchgezogene Linie behauptet, dass es Zwischenwerte gibt. Bei „Anzahl Kinobesucher Einnahmen" würde die Linie also ablesbar machen, was Besucher einbringen, eine Aussage, die keinen Sinn ergibt.
Prüfe dich: Der Graph kann etwas, was eine Wertetabelle nicht kann. Was ist das, und wovon hängt ab, ob du es überhaupt nutzen darfst?
Versuch es erst aus dem Kopf.
Was der Graph kann: Er liefert dir Werte, die nie gemessen wurden.
- Zwischen den Punkten: Bei der Kerze stand Minuten in keiner Tabellenspalte, am Graphen liest du trotzdem etwa cm ab.
- Über die Punkte hinaus: Verlängerst du die Linie, kannst du sogar abschätzen, wann die Kerze ganz heruntergebrannt ist.
In der Tabelle stehen nur die gemessenen Paare, mehr gibt sie nicht her. Genau das ist die Stärke des Graphen gegenüber den beiden anderen Sprachen.
Und wovon hängt es ab? Davon, ob die Zwischenwerte in Wirklichkeit existieren, also von genau der Frage, die auch über das Verbinden entscheidet.
- Zeit, Länge, Temperatur, Gewicht laufen stufenlos → ablesen erlaubt.
- Anzahlen springen von auf → nicht ablesen. Zwischen zwei Punkten steht dort nichts, was man ablesen könnte; Eiskugeln gibt es nicht.
Der Zusammenhang in einem Satz: Die Linie ist die Erlaubnis zum Ablesen, und du darfst sie nur ziehen, wenn es die Zwischenwerte wirklich gibt.
Von der Tabelle zum Graphen
Ein Kerzenexperiment: Nach dem Anzünden wird die Kerzenhöhe gemessen. Stelle die Tabelle als Graph dar und beschreibe den Verlauf.
| Zeit (min) | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| Höhe (cm) | 20 | 17 | 14 | 11 |
- 1
Was wird welcher Achse zugeordnet? Die Zuordnung lautet „Zeit Höhe", die Zeit ist also die erste Größe.
- -Achse (waagerecht): Zeit in Minuten
- -Achse (senkrecht): Höhe in Zentimetern
Die Reihenfolge ist nicht beliebig: Die erste Größe der Zuordnung kommt immer nach rechts, die zugeordnete nach oben.
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Schritt 1: Die Achsen einteilen. Schau dir die Wertebereiche an:
- Zeit: bis min → eine Einteilung in -er Schritten passt.
- Höhe: bis cm → eine Einteilung in -er oder -er Schritten passt.
Beschrifte beide Achsen mit Größe und Einheit, ohne das ist ein Graph nicht lesbar.
- 3
Schritt 2: Die Wertepaare als Punkte eintragen. Jede Tabellenspalte wird ein Punkt:
Lies die Klammer so: erst der -Wert (nach rechts), dann der -Wert (nach oben).
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Schritt 3: Verbinden, oder nicht? Hier die entscheidende Überlegung: Gibt es Zwischenwerte?
Ja. Auch nach Minuten hatte die Kerze eine bestimmte Höhe. Wir haben sie nur nicht gemessen. Die Zeit läuft stufenlos.
Also dürfen die Punkte verbunden werden.
- 5
Schritt 4: Den Verlauf beschreiben. Der Graph fällt, die Höhe nimmt mit der Zeit ab. Das passt zur Sache: Die Kerze brennt herunter.
Wie schnell? Vergleiche die Abstände:
Jedes Mal cm pro Minuten. Der Abfall ist immer gleich groß, deshalb liegen alle Punkte auf einer Geraden.
- 6
Schritt 5: Aus dem Graphen etwas Neues ablesen. Genau dafür lohnt sich die Darstellung:
Wie hoch ist die Kerze nach Minuten? Zwischen und cm, also etwa cm.
Wann ist sie ganz heruntergebrannt? Verlängere die Gerade gedanklich bis zur -Achse: Von cm bei min braucht es noch knapp Minuten bis auf , also nach ungefähr Minuten insgesamt.
Solche Vorhersagen sind der eigentliche Nutzen eines Graphen, in der Tabelle stehen sie nicht.
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Schritt 6: Kontrolle. Prüfe zwei Dinge:
Liegen alle vier Punkte auf einer Linie? Ja ✓. Das muss so sein, weil der Abfall konstant cm pro min beträgt.
Passt die Richtung zur Sachlage? Eine brennende Kerze wird kürzer, der Graph muss also fallen ✓ Ein steigender Graph wäre sofort als falsch erkennbar.
Die vier Punkte , , und liegen auf einer fallenden Geraden: Die Kerze wird pro Minuten um cm kürzer.
Zum Mitnehmen: Erste Größe nach rechts, zugeordnete nach oben. Verbinden ist erlaubt, wenn Zwischenwerte real existieren, und der fertige Graph erlaubt Ablesungen, die in der Tabelle fehlen.
Einen Graphen erzählen
Der Graph von Bens Schulweg zeigt die Entfernung von zu Hause: erst steil steigend, dann 5 Minuten waagerecht, dann flacher steigend bis zur Schule. Was ist passiert?
- 1
Was zeigt der Graph? Auf der -Achse steht die Entfernung von zu Hause, auf der -Achse die Zeit.
Das ist wichtig zu klären: Der Graph zeigt nicht, wo Ben ist, sondern wie weit weg er ist. Und die Steigung verrät, wie schnell er sich entfernt.
Graph Bedeutung steigt steil entfernt sich schnell steigt flach entfernt sich langsam waagerecht Entfernung bleibt gleich - 2
Schritt 1: Den ersten Abschnitt deuten. „Steil steigend" heißt: Die Entfernung wächst schnell.
Ben bewegt sich zügig von zu Hause weg: er läuft schnell oder fährt vielleicht mit dem Rad.
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Schritt 2: Den waagerechten Abschnitt deuten. Hier liegt der interessanteste Teil der Aufgabe.
Waagerecht bedeutet: Die Entfernung ändert sich nicht, Minuten lang bleibt Ben gleich weit von zu Hause entfernt.
Am wahrscheinlichsten: Er steht still. Vielleicht wartet er an der Ampel, an der Bushaltestelle oder auf einen Freund.
Ein häufiger Deutungsfehler: „Waagerecht heißt, er geht gleichmäßig weiter." Das stimmt nicht, dann würde die Entfernung ja weiter wachsen, der Graph also steigen.
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Schritt 3: Den dritten Abschnitt deuten. „Flacher steigend" heißt: Die Entfernung wächst wieder, aber langsamer als am Anfang.
Ben geht weiter, aber gemächlicher. Vielleicht ist er außer Puste, oder er geht jetzt mit dem Freund zusammen und die beiden trödeln.
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Schritt 4: Die Geschichte zusammensetzen.
„Ben startet zu Hause und läuft zunächst schnell los. Nach einiger Zeit hält er Minuten an, etwa an einer Ampel oder um auf jemanden zu warten. Danach setzt er seinen Weg langsamer fort, bis er die Schule erreicht."
- 6
Schritt 5: Eine Kontrollüberlegung. Prüfe, ob deine Geschichte zu jedem Abschnitt passt.
Wäre Ben umgekehrt und nach Hause zurückgegangen, müsste der Graph irgendwo fallen: die Entfernung würde kleiner. Das tut er aber nirgends.
Also war Ben durchgehend auf dem Hinweg ✓ Diese Prüfung schützt davor, in die Geschichte Dinge hineinzulesen, die der Graph gar nicht hergibt.
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Schritt 6: Was der Graph nicht verrät. Zwei Dinge lassen sich nicht ablesen:
- Welchen Weg Ben genommen hat. Der Graph zeigt nur die Entfernung, nicht die Richtung: Ben könnte auch einen Bogen gelaufen sein.
- Warum er angehalten hat. Die Minuten Pause sind Tatsache, der Grund ist Vermutung.
Bei solchen Aufgaben ist das die Kunst: genau so viel erzählen, wie der Graph hergibt, und Vermutungen als Vermutungen kennzeichnen.
Ben läuft zuerst schnell los, macht dann Minuten Pause (Entfernung bleibt konstant) und geht anschließend langsamer weiter bis zur Schule.
Zum Mitnehmen: Die Steigung erzählt die Geschichte, steil bedeutet schnell, flach langsam, waagerecht Stillstand. Ein fallender Abschnitt würde bedeuten, dass er zurückgeht.
Typischer Fehler
Im Graphen „Anzahl Eiskugeln ↦ Preis" werden die Punkte zu einer durchgezogenen Linie verbunden und der Preis für 2,7 Kugeln abgelesen.
Zwischenwerte müssen im Sachzusammenhang existieren! Eiskugeln gibt es nur ganzzahlig, der Wert „2,7 Kugeln" ist sinnlos, auch wenn die Linie ihn hergibt. Entscheide vor dem Verbinden: Sind Zwischenwerte real (Zeit, Temperatur, Füllmenge) oder nicht (Anzahl Personen, Stückzahlen)?
Übung 1
leicht
Eine Gärtnerei verkauft Erde für 3 € pro Sack. Lege eine Wertetabelle für 1, 2, 3, 5 und 10 Säcke an.
Tipp anzeigen
Preis = Anzahl mal 3 €.
Lösung anzeigen
| Säcke | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Preis (€) | 3 | 6 | 9 | 15 | 30 |
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
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Die Zuordnungsvorschrift erkennen
Jedem Sack-Anzahl-Wert wird ein Preis zugeordnet: Anzahl Anzahl €.
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Wertetabelle füllen
Für Säcke: €.
Zwischenergebnis
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Die Proportionalität festhalten
Doppelte Säcke, doppelter Preis; alle Quotienten Preis/Anzahl sind : Die Zuordnung ist mit €/Sack.
Übung 2
mittelDie Wassertiefe eines Planschbeckens: Von 14:00 bis 14:10 steigt sie gleichmäßig von 0 auf 30 cm, bleibt bis 16:00 konstant, und sinkt danach bis 16:30 gleichmäßig auf 0. Skizziere den Graphen und beschreibe, was real passiert.
Tipp anzeigen
Drei Abschnitte: steigend, waagerecht, fallend.
Lösung anzeigen
Graph: Gerade von auf , waagerecht bis , fallende Gerade bis .
Geschichte: 10 Minuten einlaufen lassen, knapp 2 Stunden planschen, dann in 30 Minuten abpumpen/auslaufen lassen.
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
- 1
Die drei Phasen aus dem Text lesen
Phase 1: – steigt die Tiefe gleichmäßig cm. Phase 2: bis konstant cm. Phase 3: bis gleichmäßig zurück auf .
- 2
Den Graphen stückweise zeichnen
Achsen: Zeit (waagerecht), Tiefe in cm (senkrecht). Gerade von nach , waagerechtes Stück bis , fallende Gerade bis .
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Den Graphen als Geschichte erzählen
Real: Minuten Wasser einlaufen lassen, knapp zwei Stunden Planschen bei vollem Becken, dann in Minuten abpumpen oder auslaufen lassen.
Übung 3
schwerBei welchen Zuordnungen dürfen die Punkte im Graphen verbunden werden? Begründe. a) Zeit ↦ Körpergröße eines Kindes b) Anzahl Kinobesucher ↦ Einnahmen c) Fahrzeit ↦ zurückgelegter Weg d) Schuhgröße ↦ Anzahl der Kinder mit dieser Größe
Tipp anzeigen
Existieren Zwischenwerte in der Realität?
Lösung anzeigen
a) Ja, die Größe wächst kontinuierlich, jeder Zeitpunkt hat eine Größe.
b) Nein, halbe Besucher gibt es nicht (Linie höchstens als Lesehilfe).
c) Ja, auch nach 12,5 Minuten wurde ein Weg zurückgelegt.
d) Nein. Das ist eher ein Säulendiagramm: Schuhgrößen sind feste Kategorien.
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
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Das Kriterium: Gibt es Zwischenwerte?
Verbinden ist erlaubt, wenn JEDER Zwischenwert auf der Rechtsachse einen Sinn hat, die Linie behauptet ja für jeden Punkt dazwischen einen Wert.
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a) und c): kontinuierliche Größen
a) Körpergröße über der Zeit: Ja, das Kind hat zu JEDEM Zeitpunkt eine Größe, das Wachsen läuft ohne Sprünge. c) Weg über der Fahrzeit: Ja, auch nach Minuten ist ein Weg zurückgelegt.
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b) und d): diskrete Größen
b) Kinobesucher: Nein, halbe Besucher gibt es nicht; höchstens eine gestrichelte Linie als Lesehilfe. d) Schuhgröße Kinderzahl: Nein. Schuhgrößen sind feste Kategorien, hier passt ein Säulendiagramm.
Zusammenfassung
Zuordnungen verbinden zwei Größen () und sprechen drei Sprachen: Worte, Tabelle, Graph. Der Graph zeigt den Verlauf (steigend, fallend, konstant) und seine Steilheit das Tempo der Änderung. Verbunden wird nur, wenn Zwischenwerte real existieren. Das Übersetzen zwischen den Darstellungen ist die Kernkompetenz für alles, was mit Funktionen kommt.