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Bruchrechnung

Rechnen mit Dezimalbrüchen

Kommazahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

An der Kasse rechnest du längst mit , jetzt lernst du die Verfahren dahinter richtig: Addieren mit „Komma unter Komma", Multiplizieren mit dem Nachkommastellen-Trick und Dividieren mit der Kommaverschiebung. Danach kann dir keine Kommazahl mehr etwas vormachen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • addieren und subtrahieren (Komma unter Komma).

  • Dezimalbrüche multiplizieren, mit der Nachkommastellen-Regel.

  • Dezimalbrüche durch und durch Dezimalbrüche dividieren.

  • mit 10, 100, 1000 blitzschnell multiplizieren und dividieren (Kommaverschiebung).

Addieren und Subtrahieren

Beim Einkaufen addierst du Preise wie 12,45  12{,}45\;Euro und 3,80  3{,}80\;Euro im Kopf oder auf dem Kassenzettel. Schriftlich funktioniert das genauso wie bei , mit einer wichtigen Zusatzregel.

Komma unter Komma

Schreibe die Zahlen so untereinander, dass die Kommas genau untereinander stehen:

12,45+    3,8016,25\begin{array}{r} 12{,}45 \\ +\;\;3{,}80 \\ \hline 16{,}25 \end{array}

Warum das so wichtig ist

Beim schriftlichen Addieren rechnest du spaltenweise. Damit das Sinn ergibt, müssen in jeder Spalte gleiche Stellenwerte stehen: Zehntel zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel.

Nur das Komma zeigt dir, wo welche Stelle sitzt. Verrutscht es, addierst du zum Beispiel Zehntel zu Einern, und das Ergebnis ist völlig falsch.

Vergleich: Du würdest auch keine 33 Euro zu 4545 Cent addieren und 4848 Euro herausbekommen. Gleiches muss zu Gleichem.

Fehlende Stellen mit Nullen auffüllen

3,83{,}8 hat nur eine Nachkommastelle, 12,4512{,}45 hat zwei. Hänge eine Null an:

3,8=3,803{,}8 = 3{,}80

Das ändert den Wert nicht (Endnullen!), aber jede Spalte ist jetzt besetzt. Das macht das Rechnen übersichtlicher und verhindert Verrutscher.

Subtrahieren funktioniert genauso, auch dort Komma unter Komma und mit Nullen auffüllen.

Die Kontrolle: der Überschlag

Rechne vor oder nach der Aufgabe grob im Kopf: 12+4=1612 + 4 = 16. Dein Ergebnis 16,2516{,}25 passt dazu ✓

Ein findet Kommafehler sofort. Wäre versehentlich 160,25160{,}25 oder 1,6251{,}625 herausgekommen, würdest du es sofort merken.

Mal und geteilt durch 10, 100, 1000

Was passiert mit 3,453{,}45, wenn du es mit 100100 multiplizierst?

Beobachte zuerst

Rechne es in nach:

3,45=345100=3451003{,}45 = 3\frac{45}{100} = \frac{345}{100} 345100⋅100=345\frac{345}{100} \cdot 100 = 345

Das Ergebnis ist 345345, dieselben Ziffern wie vorher, nur das Komma ist verschwunden. Genauer: Es ist zwei Stellen nach rechts gewandert.

Warum das Komma wandert

Jede Ziffer rückt beim Multiplizieren mit 1010 eine Stelle „höher": Aus Zehnteln werden Einer, aus Einern Zehner. Beim Multiplizieren mit 100100 sind es zwei Stellen.

Statt alle Ziffern zu verschieben, verschiebt man einfach das Komma. Das ist dasselbe, nur weniger Schreibarbeit.

Sieh dir das in der Stellenwerttafel an (du kennst sie aus dem Kapitel „"). Die Ziffernfolge 33–44–55 bleibt unverändert, sie rückt nur geschlossen eine Spalte nach links, weil jede Ziffer zehnmal (bzw. hundertmal) mehr wert wird:

RechnungHZE,z (Zehntel)h (Hundertstel)
3,453{,}4533,4455
3,45⋅10=34,53{,}45 \cdot 10 = 34{,}53344,55
3,45⋅100=3453{,}45 \cdot 100 = 345334455

Von der Zahl aus gesehen ist das genau das „Kommawandern": Die Ziffern stehen still, das Komma rückt pro Zehnerschritt eine Stelle nach rechts.

RechnungKomma wandertBeispiel
⋅ 10\cdot\,1011 Stelle nach rechts3,45⋅10=34,53{,}45 \cdot 10 = 34{,}5
⋅ 100\cdot\,10022 Stellen nach rechts3,45⋅100=3453{,}45 \cdot 100 = 345
: 10:\,1011 Stelle nach links7,2:10=0,727{,}2 : 10 = 0{,}72
: 100:\,10022 Stellen nach links7,2:100=0,0727{,}2 : 100 = 0{,}072

Die Richtung merken

Verwechselst du die Richtung, wird das Ergebnis hundertmal zu groß oder zu klein. Diese Überlegung hilft:

  • Mit 1010 oder 100100 multiplizieren macht größer → das Komma muss nach rechts, damit die Zahl wächst.
  • Durch 1010 oder 100100 dividieren macht kleiner → das Komma muss nach links.

Beachte die Einschränkung auf 1010, 100100, 10001000. „Mal macht größer" gilt nicht allgemein: Multiplizierst du mit einer Zahl kleiner als 11, wird das Ergebnis kleiner, das siehst du weiter unten beim Multiplizieren zweier Kommazahlen.

Wenn Stellen fehlen, füllst du mit Nullen auf: 7,2:100=0,0727{,}2 : 100 = 0{,}072, vor der 77 musste eine Null ergänzt werden, damit das Komma zwei Stellen weit wandern konnte.

Zwei Dezimalbrüche multiplizieren

Wie rechnest du 2,4⋅1,52{,}4 \cdot 1{,}5? Hier hilft ein Trick: Du rechnest zuerst ohne Kommas und setzt es am Ende an die richtige Stelle.

So geht es

  1. Kommas weglassen und wie mit multiplizieren:
24⋅15=36024 \cdot 15 = 360

  1. Nachkommastellen beider Faktoren zählen: 2,42{,}4 hat eine, 1,51{,}5 hat eine, zusammen zwei.

  2. Im Ergebnis genauso viele Stellen abtrennen:

360  →  3,60360 \;\to\; 3{,}60

Warum das funktioniert

Der Trick ist keine Zauberei, dahinter steckt der vorige Abschnitt.

Aus 2,42{,}4 machst du 2424, indem du mit 1010 multiplizierst. Aus 1,51{,}5 machst du 1515 ebenso. Insgesamt hast du die Aufgabe also mit 10⋅10=10010 \cdot 10 = 100 multipliziert.

Damit das Ergebnis stimmt, musst du am Ende wieder durch 100100 teilen: und das heißt: Komma zwei Stellen nach links.

Deshalb zählst du die Nachkommastellen zusammen. Jede Stelle steht für eine Multiplikation mit 1010, die rückgängig gemacht werden muss.

Achtung: hier gilt „Komma unter Komma" nicht

Beim Multiplizieren stellst du die Zahlen nicht nach dem Komma untereinander. Das gilt nur für Plus und Minus.

Das ist die häufigste Verwechslung in diesem Kapitel. Merke dir:

  • Plus und Minus: Komma unter Komma.
  • Mal: Kommas ignorieren, am Ende Stellen abtrennen.

Der Überschlag als Kontrolle

2,42{,}4 ist etwa 22, 1,51{,}5 ist etwa 1,51{,}5, das Ergebnis muss also ungefähr 33 sein. Mit 3,603{,}60 passt das ✓

Hättest du das Komma falsch gesetzt (36,036{,}0 oder 0,360{,}36), würde der es sofort verraten.

Dividieren

Beim Teilen gibt es zwei Fälle, je nachdem, ob die Zahl, durch die du teilst, ein Komma hat.

Fall 1: Teilen durch eine natürliche Zahl

Das geht wie das schriftliche Dividieren aus Klasse 5. Du rechnest von links nach rechts, ganz normal.

Die einzige neue Regel: Sobald du im Dividenden das Komma überschreitest, setzt du auch im Ergebnis ein Komma.

9,6:4=2,49{,}6 : 4 = 2{,}4

Warum dort ein Komma steht: Vor dem Komma teilst du Einer, dahinter Zehntel. Bei 9,6:49{,}6 : 4 ergibt 9:4=29 : 4 = 2 Rest 11. Dieser eine übrig gebliebene Einer sind 1010 Zehntel; zusammen mit den vorhandenen 66 sind es 1616 Zehntel. Und 16:4=416 : 4 = 4, also 44 Zehntel.

Das Ergebnis besteht damit aus 22 Einern und 44 Zehnteln, und genau dazwischen gehört das Komma. Das Umbündeln ist dasselbe wie beim schriftlichen Teilen in Klasse 5, nur eine Stufe feiner.

Fall 2: Teilen durch einen Dezimalbruch

7,2:0,457{,}2 : 0{,}45

Durch eine zu teilen ist unangenehm. Also machen wir aus ihr eine .

Verschiebe das Komma in beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts, bis der keine Nachkommastellen mehr hat:

7,2:0,45  =  720:457{,}2 : 0{,}45 \;=\; 720 : 45

Hier waren es zwei Stellen (wegen der 4545 in 0,450{,}45).

Warum sich das Ergebnis dabei nicht ändert

Das ist der entscheidende Punkt: Du hast beide Zahlen mit 100100 multipliziert.

Denk an einen , eine Division ist ja nichts anderes:

7,20,45=7,2⋅1000,45⋅100=72045\frac{7{,}2}{0{,}45} = \frac{7{,}2 \cdot 100}{0{,}45 \cdot 100} = \frac{720}{45}

Das ist ! Und Erweitern ändert den Wert eines Bruchs nicht. Deshalb darfst du das Komma verschieben, solange du es in beiden Zahlen gleich weit tust.

Der häufigste Fehler ist, nur eine der beiden Zahlen zu verändern. Dann ist das Ergebnis um den Faktor 100100 falsch.

Kontrolle durch Rückrechnen

Jede Division lässt sich prüfen: Ergebnis mal Teiler muss den Ausgangswert ergeben.

16⋅0,45=7,2  ✓16 \cdot 0{,}45 = 7{,}2 \;\checkmark
Denk weiter: Warum ist Teilen durch null Komma fünf dasselbe wie Verdoppeln? Und was bedeutet dann Teilen durch null Komma zwei fünf?

Überlege erst selbst, bevor du weiterliest.

0,50{,}5 ist nur eine andere Schreibweise für 12\frac{1}{2}. Das ist einer der Grundwerte aus dem vorigen Kapitel. Und durch einen teilst du, indem du mit seinem multiplizierst:

:12  =  ⋅ 21  =  ⋅ 2: \frac{1}{2} \;=\; \cdot\, \frac{2}{1} \;=\; \cdot\, 2

Teilen durch 0,50{,}5 ist also Verdoppeln. Prüfe es mit der Kommaverschiebung aus diesem Kapitel:

7:0,5  =  70:5  =  14und7⋅2=14  ✓7 : 0{,}5 \;=\; 70 : 5 \;=\; 14 \qquad\text{und}\qquad 7 \cdot 2 = 14 \;\checkmark

Und 0,250{,}25? Das ist 14\frac{1}{4}, sein Kehrwert ist 44:

3:0,25  =  300:25  =  12und3⋅4=12  ✓3 : 0{,}25 \;=\; 300 : 25 \;=\; 12 \qquad\text{und}\qquad 3 \cdot 4 = 12 \;\checkmark

Teilen durch 0,250{,}25 heißt also vervierfachen.

Das passt zu dem, was du über Größen weißt: Teilen durch eine Zahl kleiner als 11 macht das Ergebnis größer, und jetzt kannst du sogar sagen, um welchen Faktor. Beide Kapitel beschreiben denselben Vorgang, einmal in Bruch- und einmal in Kommaschreibweise.

Addieren mit Auffüllen

Berechne: 27,6+4,85+0,32527{,}6 + 4{,}85 + 0{,}325

  1. 1

    Was fällt auf? Die drei Zahlen haben verschieden viele Nachkommastellen: eine, zwei und drei.

    So untereinandergeschrieben wäre es leicht, eine Spalte zu verwechseln. Deshalb füllen wir zuerst auf.

    vorweg: 28+5+0=3328 + 5 + 0 = 33. In dieser Größenordnung muss das Ergebnis liegen.

  2. 2

    Schritt 1: Auf gleich viele Nachkommastellen bringen. Die längste Zahl hat drei Stellen, also bekommen alle drei:

    27,6004,8500,32527{,}600 \qquad 4{,}850 \qquad 0{,}325

    Das ändert die Werte nicht, angehängte Endnullen sind erlaubt. Es macht nur jede Spalte sichtbar.

  3. 3

    Schritt 2: Komma unter Komma schreiben.

    27,6004,850+    0,325\begin{array}{r} 27{,}600 \\ 4{,}850 \\ +\;\;0{,}325 \\ \hline \end{array}

    Nur so stehen gleiche Stellenwerte untereinander: Tausendstel unter Tausendstel, Hundertstel unter Hundertstel und so weiter.

  4. 4

    Schritt 3: Von rechts nach links addieren. Spalte für Spalte, wie bei natürlichen Zahlen:

    • Tausendstel: 0+0+5=50 + 0 + 5 = 5
    • Hundertstel: 0+5+2=70 + 5 + 2 = 7
    • Zehntel: 6+8+3=176 + 8 + 3 = 17 → schreibe 77, Übertrag 11
  5. 5

    Schritt 4: Über das Komma hinweg weiterrechnen. Der Übertrag wandert in die Einerspalte:

    • Einer: 7+4+0+1⏟U¨bertrag=127 + 4 + 0 + \underbrace{1}_{\text{Übertrag}} = 12 → schreibe 22, Übertrag 11
    • Zehner: 2+1⏟U¨bertrag=32 + \underbrace{1}_{\text{Übertrag}} = 3
    27,6+4,85+0,325=32,77527{,}6 + 4{,}85 + 0{,}325 = 32{,}775

    Das Komma im Ergebnis steht genau unter den anderen Kommas. Das ergibt sich automatisch, wenn du sauber untereinander geschrieben hast.

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle mit dem Überschlag. Erwartet hatten wir etwa 3333, herausgekommen ist 32,77532{,}775 ✓

    Der Überschlag prüft vor allem das Komma. Ein Ergebnis wie 3,27753{,}2775 oder 327,75327{,}75 wäre sofort als falsch erkennbar.

27,6+4,85+0,325=32,77527{,}6 + 4{,}85 + 0{,}325 = 32{,}775

Zum Mitnehmen: Fülle mit Endnullen auf gleich viele Nachkommastellen auf, schreibe Komma unter Komma und rechne wie bei . Der Überschlag ist die schnellste Kontrolle für die Kommastelle.

Multiplizieren mit Nachkommastellen-Regel

Berechne: 0,35⋅2,40{,}35 \cdot 2{,}4

  1. 1

    Welche Regel gilt hier? Beim Multiplizieren wird nicht Komma unter Komma geschrieben. Das gilt nur für Plus und Minus.

    Stattdessen rechnest du ohne Kommas und setzt es am Ende richtig.

    vorweg: 0,350{,}35 ist etwa ein Drittel. Ein Drittel von 2,42{,}4 ist ungefähr 0,80{,}8. In dieser Größenordnung erwarten wir das Ergebnis.

  2. 2

    Schritt 1: Die Kommas weglassen und multiplizieren.

    35⋅24=84035 \cdot 24 = 840

    Zwischenrechnung: 35⋅24=35⋅20+35⋅4=700+140=84035 \cdot 24 = 35 \cdot 20 + 35 \cdot 4 = 700 + 140 = 840

    Diese Zahl ist noch nicht das Ergebnis. Sie ist viel zu groß. Das Komma fehlt noch.

  3. 3

    Schritt 2: Nachkommastellen zählen. Schau dir beide Faktoren an:

    • 0,350{,}35 hat zwei Nachkommastellen.
    • 2,42{,}4 hat eine Nachkommastelle.

    Zusammen sind das drei.

    Zähle immer beide Faktoren, nur einen zu betrachten ist ein häufiger Fehler.

  4. 4

    Schritt 3: Drei Stellen abtrennen. Vom Ergebnis 840840 trennst du von rechts drei Stellen ab:

    840  →  0,840840 \;\to\; 0{,}840

    Hier musste eine Null ergänzt werden: 840840 hat nur drei Ziffern, du brauchst aber drei Nachkommastellen und eine Stelle davor. Also schreibst du die 00 vor das Komma.

  5. 5

    Schritt 4: Aufräumen. Die Endnull darf jetzt weg, weil sie den Wert nicht ändert:

    0,840=0,840{,}840 = 0{,}84

    Beim Abtrennen musste sie aber mitgezählt werden, hättest du sie vorher weggelassen, wäre das Komma an der falschen Stelle gelandet.

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle mit dem Überschlag. Erwartet hatten wir etwa 0,80{,}8, herausgekommen ist 0,840{,}84 ✓

    Zweite Kontrolle: 0,350{,}35 ist kleiner als 11. Beim Multiplizieren mit einer Zahl kleiner als 11 muss das Ergebnis kleiner werden als der andere Faktor. Und tatsächlich: 0,84<2,40{,}84 < 2{,}4 ✓

0,35⋅2,4=0,840{,}35 \cdot 2{,}4 = 0{,}84

Zum Mitnehmen: Erst ohne Kommas rechnen, dann die Nachkommastellen beider Faktoren zusammenzählen und im Ergebnis so viele Stellen abtrennen. Beim Abtrennen zählen auch Endnullen mit.

Division durch einen Dezimalbruch

Berechne: 7,2:0,457{,}2 : 0{,}45

  1. 1

    Das Problem. Durch eine zu teilen ist unhandlich, das schriftliche Verfahren aus Klasse 5 funktioniert nur mit einer natürlichen Zahl als .

    Die Lösung: Wir formen die Aufgabe so um, dass der Teiler eine wird.

    vorweg: 0,450{,}45 ist knapp eine Hälfte, und durch eine Hälfte zu teilen heißt verdoppeln: 7,2⋅2=14,47{,}2 \cdot 2 = 14{,}4. Weil 0,450{,}45 etwas kleiner als eine Hälfte ist, passt es noch etwas öfter hinein. Das Ergebnis liegt also über 14,414{,}4.

  2. 2

    Schritt 1: Wie weit muss das Komma wandern? Schau nur auf den Teiler 0,450{,}45. Er hat zwei Nachkommastellen.

    Verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach rechts, wird daraus 4545, eine natürliche Zahl ✓

  3. 3

    Schritt 2: Das Komma in beiden Zahlen verschieben. Ganz wichtig: Beide Zahlen werden gleich behandelt.

    7,2  →  7200,45  →  457{,}2 \;\to\; 720 \qquad\qquad 0{,}45 \;\to\; 45

    Bei 7,27{,}2 musste eine Null angehängt werden, damit das Komma zwei Stellen weit wandern konnte: 7,2→72,→7207{,}2 \to 72{,} \to 720.

    7,2:0,45  =  720:457{,}2 : 0{,}45 \;=\; 720 : 45
  4. 4

    Schritt 3: Warum das erlaubt ist. Schreib die Division als :

    7,20,45=7,2⋅1000,45⋅100=72045\frac{7{,}2}{0{,}45} = \frac{7{,}2 \cdot 100}{0{,}45 \cdot 100} = \frac{720}{45}

    Das ist : und werden mit derselben Zahl multipliziert. Und Erweitern ändert den Wert nicht.

    Deshalb muss das Komma in beiden Zahlen gleich weit wandern. Verschiebst du nur eine, veränderst du das Ergebnis um den Faktor 100100.

  5. 5

    Schritt 4: Die Division ausrechnen. Jetzt teilst du zwei natürliche Zahlen:

    720:45=16720 : 45 = 16

    Zwischenrechnung: 45⋅10=45045 \cdot 10 = 450, Rest 270270. Und 45⋅6=27045 \cdot 6 = 270. Zusammen also 10+6=1610 + 6 = 16.

  6. 6

    Schritt 5: Die Probe. Jede Division prüfst du, indem du rückwärts multiplizierst, mit den ursprünglichen Zahlen:

    16⋅0,45=?16 \cdot 0{,}45 = ?

    Ohne Kommas: 16⋅45=72016 \cdot 45 = 720. Nachkommastellen: 00 bei 1616, 22 bei 0,450{,}45, also zwei abtrennen:

    720→7,20=7,2  ✓720 \to 7{,}20 = 7{,}2 \;\checkmark

    Genau der Ausgangswert.

  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle mit dem Überschlag. Erwartet hatten wir einen Wert über 14,414{,}4, herausgekommen ist 1616 ✓

    Und noch eine Einordnung: Das Ergebnis 1616 ist deutlich größer als der Ausgangswert 7,27{,}2. Das ist richtig, weil durch eine Zahl kleiner als 11 geteilt wurde.

7,2:0,45=167{,}2 : 0{,}45 = 16

Zum Mitnehmen: Verschiebe das Komma in beiden Zahlen so weit nach rechts, bis der Teiler eine natürliche Zahl ist. Das ist nichts anderes als Erweitern und ändert das Ergebnis nicht. Die Probe ist das Rückwärts-Multiplizieren.

Typischer Fehler

0,2⋅0,3=0,60{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}6

Nachkommastellen zählen! 2⋅3=62 \cdot 3 = 6, aber beide Faktoren haben je eine Nachkommastelle → im Ergebnis werden zwei abgetrennt: 0,060{,}06. Plausibel: 0,20{,}2 ist ein Fünftel, ein Fünftel von 0,30{,}3 muss deutlich kleiner sein als 0,30{,}3. Mal einer Zahl unter 1 verkleinert.

Übung 1

leicht

Berechne: a) 5,7+12,455{,}7 + 12{,}45 b) 20−7,3520 - 7{,}35 c) 3,6⋅103{,}6 \cdot 10 d) 48,1:10048{,}1 : 100

Tipp anzeigen

b) 20=20,0020 = 20{,}00 schreiben.

Lösung anzeigen

a) 18,1518{,}15

b) 20,00−7,35=12,6520{,}00 - 7{,}35 = 12{,}65

c) 3636

d) 0,4810{,}481

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) und b): Kommas untereinander

    Schriftlich rechnen mit Komma unter Komma; fehlende Stellen mit Nullen füllen. a) 5,70+12,45=18,155{,}70 + 12{,}45 = 18{,}15. b) 20,00−7,35=12,6520{,}00 - 7{,}35 = 12{,}65.

    5,70+12,45=18,155{,}70 + 12{,}45 = 18{,}15

  2. 2

    c) Mal 10: Komma wandert nach rechts

    3,6⋅10=363{,}6 \cdot 10 = 36, das Komma rückt eine Stelle nach rechts.

  3. 3

    d) Durch 100: Komma wandert nach links

    48,1:100=0,48148{,}1 : 100 = 0{,}481, das Komma rückt zwei Stellen nach links; vorn wird eine Null ergänzt.

Übung 2

mittel

Berechne: a) 1,25⋅0,81{,}25 \cdot 0{,}8 b) 5,4:0,65{,}4 : 0{,}6 c) 0,15⋅0,150{,}15 \cdot 0{,}15

Tipp anzeigen

a) 125⋅8=1000125 \cdot 8 = 1000. c) Vier Nachkommastellen insgesamt!

Lösung anzeigen

a) 125⋅8=1000125 \cdot 8 = 1000, 3 Nachkommastellen → 1,000=11{,}000 = 1

b) Komma je 1 Stelle: 54:6=954 : 6 = 9

c) 15⋅15=22515 \cdot 15 = 225, 4 Nachkommastellen → 0,02250{,}0225

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Ohne Komma multiplizieren, dann Stellen zählen

    125⋅8=1000125 \cdot 8 = 1000. Die Faktoren haben zusammen 2+1=32 + 1 = 3 Nachkommastellen, also drei Stellen setzen: 1,000=11{,}000 = 1.

    1,25⋅0,8=11{,}25 \cdot 0{,}8 = 1

  2. 2

    b) Division: Komma gleichsinnig verschieben

    5,4:0,65{,}4 : 0{,}6: Beide Zahlen mal 1010, aus der Aufgabe wird 54:6=954 : 6 = 9.

    5,4:0,6=54:6=95{,}4 : 0{,}6 = 54 : 6 = 9

  3. 3

    c) Quadrieren einer kleinen Dezimalzahl

    0,15⋅0,150{,}15 \cdot 0{,}15: 15⋅15=22515 \cdot 15 = 225; zusammen 44 Nachkommastellen → 0,02250{,}0225.

Übung 3

schwer

Benzin kostet 1,681{,}68 € pro Liter. Familie Kraus tankt für 6363 €. a) Wie viele Liter sind das? b) Beim letzten Mal kosteten 37,537{,}5 Liter zusammen 6060 €, war der Literpreis damals höher oder niedriger?

Tipp anzeigen

a) 63:1,6863 : 1{,}68: Komma verschieben. b) Literpreis = Gesamtpreis: Liter.

Lösung anzeigen

a) 63:1,68=6300:168=37,563 : 1{,}68 = 6300 : 168 = 37{,}5 Liter

b) 60:37,5=6000:3750=1,6060 : 37{,}5 = 6000 : 3750 = 1{,}60 € pro Liter, der Preis war niedriger (1,60<1,681{,}60 < 1{,}68).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Liter aus Gesamtpreis und Literpreis

    Gesamt durch Einzelpreis: 63:1,6863 : 1{,}68. Komma raus (beide mal 100100): 6300:168=37,56300 : 168 = 37{,}5 Liter.

    63:1,68=37,563 : 1{,}68 = 37{,}5

    Zwischenergebnis

    37,537{,}5 Liter

  2. 2

    b) Den alten Literpreis berechnen

    Damals: 6060 € für 37,537{,}5 Liter → Literpreis 60:37,5=6000:3750=1,6060 : 37{,}5 = 6000 : 3750 = 1{,}60 €.

    Zwischenergebnis

    1,601{,}60 €/l

  3. 3

    Vergleichen und antworten

    1,60<1,681{,}60 < 1{,}68: Der Literpreis war damals NIEDRIGER (um 88 Cent).

Zusammenfassung

Drei Verfahren, drei Regeln: Plus/Minus mit Komma unter Komma, Mal mit dem Nachkommastellen-Zähltrick, Geteilt mit der Kommaverschiebung bis zum natürlichen Divisor. Die Kommawanderung bei 10/100/1000 macht viele Rechnungen zu Kopfrechnungen, und der bleibt dein Sicherheitsnetz gegen Komma-Pannen.