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Arithmetik / Zahlen

Natürliche Zahlen darstellen und ordnen

Große Zahlen lesen, schreiben, am Zahlenstrahl darstellen und sicher vergleichen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie viele Menschen leben in Deutschland? Ungefähr 84 000 00084\,000\,000, vierundachtzig Millionen! Solche riesigen Zahlen begegnen dir ständig: bei Einwohnerzahlen, Entfernungen im Weltall oder Klickzahlen im Internet. In diesem Kapitel lernst du, wie unser Zahlensystem aufgebaut ist, wie du auch die größten Zahlen sicher liest und schreibst, und wie du Zahlen blitzschnell vergleichst.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • natürliche Zahlen bis 1 Billion lesen und schreiben, mit Ziffern und als Zahlwort.

  • Zahlen in die Stellenwerttafel eintragen und daraus ablesen.

  • Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen und ablesen.

  • Zahlen ordnen und vergleichen mit den Zeichen <<, >> und ==.

  • große Zahlen kurz mit Zehnerpotenzen schreiben (z. B. 10610^6 für eine Million).

Womit wir zählen

Die Zahlen 0,1,2,3,4,…0, 1, 2, 3, 4, \ldots heißen natürliche Zahlen. Mit ihnen zählst du Dinge: Äpfel, Menschen, Sterne.

Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Das ist einfach die nächste Zahl. Der Nachfolger von 77 ist 88. Und (fast) jede Zahl hat einen Vorgänger, die Zahl davor: der Vorgänger von 77 ist 66. Nur die 00 hat keinen Vorgänger, kleiner geht es bei den natürlichen Zahlen nicht.

Warum es keine größte Zahl gibt

Diesen Satz hörst du oft. Aber warum stimmt er eigentlich?

Stell dir vor, jemand behauptet: „1 000 0001\,000\,000 ist die größte Zahl." Dann kannst du sofort widersprechen, du rechnest einfach 1 000 000+11\,000\,000 + 1 und hast eine größere.

Und genau das funktioniert immer: Welche Zahl dir auch genannt wird, du zählst eins weiter und bist darüber. Es kann also gar keine größte geben.

Merke dir den Gedanken: Nicht „das ist eben so", sondern du kannst zu jeder Zahl den Nachfolger bilden, und deshalb hört das Zählen nie auf.

Warum wir bündeln, und warum in Zehnern

Bevor es um große Zahlen geht, schauen wir uns an, wie unser Zahlensystem überhaupt entstanden ist. Denn es ist eine Erfindung, und eine ziemlich clevere.

Das Problem: Strichlisten werden unübersichtlich

Stell dir vor, du zählst die Autos, die an der Schule vorbeifahren, und machst für jedes einen Strich:

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII\text{IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII}

Wie viele sind das? Du müsstest jeden Strich einzeln nachzählen, und dich dabei fast sicher verzählen.

Die Lösung: bündeln

Deshalb macht man es anders: Immer wenn zehn Striche zusammengekommen sind, fasst du sie zu einem Bündel zusammen. Statt zehn einzelner Striche merkst du dir dann nur noch: „ein Bündel".

Aus den 2525 Strichen oben werden so: 2 Bündel und 5 einzelne Striche.

Und wenn du sehr lange zählst, hast du irgendwann zehn Bündel, die fasst du wieder zusammen, zu einem großen Bündel. Zehn große Bündel ergeben ein noch größeres, und so weiter.

Diese Bündel haben Namen, die du längst kennst:

  • ein Bündel aus 1010 Einern == ein Zehner
  • ein Bündel aus 1010 Zehnern == ein Hunderter
  • ein Bündel aus 1010 Hundertern == ein Tausender

Warum ausgerechnet zehn?

Man hätte auch zu Fünfern oder Zwölfern bündeln können, mathematisch geht das genauso gut. Dass wir Zehner nehmen, hat einen ganz einfachen Grund: Wir haben zehn Finger. An ihnen haben Menschen zuerst gezählt.

Weil in unserem System immer zu zehn gebündelt wird, heißt es Zehnersystem.

Vom Strichezählen zum Bündeln

einzeln gezähltgebündelt:immer 10 zusammen→2 Zehner und 5 Einer = 25

Links die 2525 Striche aus dem Text, beim Nachzählen verzählt man sich fast sicher. Rechts dieselben Striche gebündelt: Immer zehn zusammen ergeben einen Zehner, übrig bleiben 55 einzelne. Die Farben zeigen, wo die beiden Ziffern der 2525 herkommen: 22 Bündel, 55 Einzelne.

Prüfe dich: Warum bündeln wir beim Zählen überhaupt?

Weil man viele einzelne Striche nicht sicher erfassen kann, ohne sie einzeln nachzuzählen.

Fasst man je zehn zu einem Bündel zusammen, muss man nur noch Bündel und Reste zählen, bei 2525 Strichen also „2 Bündel und 5 einzelne" statt fünfundzwanzigmal zu zählen.

Probe an einer neuen Zahl: Bei 4747 Strichen sind es 44 Bündel und 77 einzelne, genau das schreibst du als 4747.

Nur zehn Ziffern, und trotzdem jede Zahl

Zum Schreiben brauchst du nur zehn Ziffern: 00 bis 99. Wie kommst du damit auf riesige Zahlen wie 8484 Millionen?

Der Trick ist das Bündeln aus dem letzten Abschnitt. Man muss die Bündel nur geschickt aufschreiben.

Die Stelle verrät die Bündelgröße

Statt „2 Zehner und 5 Einer" zu schreiben, schreibt man die Anzahlen einfach nebeneinander: 2525. Man muss dann nur noch wissen, welche Stelle für welche Bündelgröße steht, und die Reihenfolge ist immer dieselbe: ganz rechts die Einer, dann die Zehner, dann die Hunderter …

Dadurch ist dieselbe Ziffer an verschiedenen Stellen verschieden viel wert.

Schau dir die 33 in der Zahl 3 407 2563\,407\,256 an: Sie steht an der Millionenstelle und ist 3 000 0003\,000\,000 wert. Dieselbe 33 ganz rechts, an der Einerstelle, wäre nur 33 wert.

Warum ist jede Stelle genau zehnmal so viel wert wie ihre rechte Nachbarin? Weil du zum Bündeln immer zehn Stück zusammengefasst hast: Ein Zehner ist zehn Einer, ein Hunderter ist zehn Zehner.

Einer→Zehner→Hunderter→Tausender→…(immer ×10)\text{Einer} \to \text{Zehner} \to \text{Hunderter} \to \text{Tausender} \to \ldots \quad (\text{immer } \times 10)

Diese Idee heißt Stellenwertsystem. Genau deshalb reichen zehn Ziffern für jede noch so große Zahl.

Wofür die Null gebraucht wird

Jetzt zeigt sich, warum die 00 so wichtig ist. In 3 407 2563\,407\,256 gibt es keine Zehntausender. Ließe man die Stelle einfach weg, stünde da 3 47 2563\,47\,256, und alle Ziffern links davon würden auf die falsche Stelle rutschen.

Die 00 ist also kein „Nichts", sondern ein Platzhalter: Sie hält die Stelle frei, damit die anderen Ziffern dort stehen bleiben, wo sie hingehören.

Warum man in Dreierblöcken liest

Große Zahlen gliedert man von rechts in Dreierblöcke: 3 407 2563\,407\,256.

Der Grund steckt in den Namen: Nach den Einern kommen Zehner und Hunderter. Dann beginnt mit den Tausendern ein neuer Name. Und der wiederholt sich: Tausender, Zehntausender, Hunderttausender. Dann kommt die Million. Alle drei Stellen wechselt also der Name.

Deshalb liest du blockweise: 3 407 2563\,407\,256 ist „3 Millionen, 407 Tausend, 256".

Prüfe dich: Warum darf man die Null nicht einfach weglassen?

Weil sie eine Stelle freihält. Fällt sie weg, rutschen alle Ziffern links davon eine Stelle nach rechts und werden dadurch zehnmal weniger wert.

3 407 256ohne die Null→3 47 2563\,407\,256 \quad\text{ohne die Null}\quad \to \quad 3\,47\,256

Aus drei Millionen wären dreihunderttausend geworden. Die Null ist deshalb kein „Nichts", sondern ein Platzhalter.

Erkläre es selbst: Wie würdest du einem Mitschüler begründen, warum große Zahlen in Dreierblöcken gelesen werden?

Versuche es erst selbst, schreib deine Erklärung auf oder sag sie laut. Danach vergleichst du.

Eine mögliche Antwort: Nach den Einern kommen Zehner und Hunderter, dann beginnt mit den Tausendern ein neuer Name. Und der wiederholt sich: Tausender, Zehntausender, Hunderttausender. Dann kommt die Million.

Der Name wechselt also alle drei Stellen. Genau dort setzt man die Lücke, damit man beim Lesen sofort sieht, welcher Block welchen Namen trägt.

(Deine eigene Erklärung darf anders klingen, entscheidend ist, dass der Dreierschritt aus den Namen kommt und nicht willkürlich gewählt wurde.)

Kurz geschrieben: Zehnerpotenzen

1 000 0001\,000\,000 zu schreiben ist mühsam, und beim Nullenzählen verschreibt man sich leicht. Dafür gibt es eine Kurzschreibweise.

Wie sie entsteht

Du weißt schon: Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechte Nachbarin. Große runde Zahlen entstehen also dadurch, dass man immer wieder mit 1010 multipliziert:

10⋅10=10010⋅10⋅10=1 00010 \cdot 10 = 100 \qquad 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000

Statt die vielen 1010 hinzuschreiben, notiert man wie oft die 1010 als Faktor vorkommt, als kleine Hochzahl:

102=10⋅10=100103=10⋅10⋅10=1 00010^2 = 10 \cdot 10 = 100 \qquad 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000

Gelesen wird 10310^3 als „zehn hoch drei". Die Hochzahl heißt Exponent.

Warum der Exponent die Nullen zählt

Vielleicht ist dir aufgefallen: 103=1 00010^3 = 1\,000 hat genau drei Nullen. Das ist kein Zufall.

Jedes Mal, wenn du mit 1010 multiplizierst, rückt die Zahl eine Stelle nach links, und hinten kommt eine Null dazu. Multiplizierst du dreimal mit 1010, kommen also drei Nullen dazu:

1→10→100→1 0001 \to 10 \to 100 \to 1\,000

Deshalb gilt die praktische Merkregel: Der Exponent sagt dir, wie viele Nullen die Zahl hat.

106=1 000 000(sechs Nullen=eine Million)10^6 = 1\,000\,000 \quad (\text{sechs Nullen} = \text{eine Million})

So kannst du auch andere Zahlen kürzer schreiben: 4 000 000=4⋅1064\,000\,000 = 4 \cdot 10^6, dieselbe Zahl, nur kürzer.

je weiterlinks, destokleinerje weiterrechts, destogrößer0501003478

Auf der Zahlengeraden steht 34 weiter links als 78, also ist 34<7834 < 78. Weiter rechts bedeutet immer: größer.

Größer oder kleiner? Die Zahlengerade hilft

Auf der Zahlengeraden liegen alle Zahlen der Größe nach: Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist sie. Genau das siehst du im Bild oben, 3434 steht links von 7878, also ist 3434 kleiner.

Warum ist das so? Weil du dich beim Zählen immer nach rechts bewegst: Jeder Schritt nach rechts ist genau ein Schritt weiter beim Zählen, also 11 mehr. Wer weiter rechts steht, wurde später erreicht und ist damit größer.

Vergleichen ohne Zahlengerade

Zwei große Zahlen musst du dafür nicht erst aufzeichnen. Du vergleichst sie in zwei Schritten:

  1. Zähle die Stellen. Mehr Stellen bedeutet größere Zahl. So ist 98 765<123 45698\,765 < 123\,456, denn fünf Stellen sind weniger als sechs.
  2. Gleich viele Stellen? Dann vergleichst du von links Ziffer für Ziffer. Die erste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden, entscheidet.

Warum die Stellenanzahl vorgeht

Der erste Schritt sieht aus wie ein Trick, ist aber gut begründet.

Die größte fünfstellige Zahl ist 99 99999\,999. Die kleinste sechsstellige ist 100 000100\,000, und die ist bereits größer.

Jede sechsstellige Zahl ist also größer als jede fünfstellige, egal welche Ziffern dahinter kommen. Deshalb darfst du bei unterschiedlicher Stellenanzahl sofort entscheiden, ohne eine einzige Ziffer zu vergleichen.

Warum von links verglichen wird

Haben beide Zahlen gleich viele Stellen, beginnst du links. Auch das hat einen Grund: Links stehen die größten Bündel. Ein einziger Hunderter mehr wiegt schwerer als neun Zehner und neun Einer zusammen.

Sobald sich also die erste Ziffer unterscheidet, steht das Ergebnis fest, was rechts davon kommt, kann es nicht mehr umdrehen.

Zum Aufschreiben nutzt du die Zeichen << („ist kleiner als") und >> („ist größer als"). Kleine Merkhilfe: Die Spitze zeigt immer zur kleineren Zahl.

Prüfe dich: Warum ist eine fünfstellige Zahl immer kleiner als eine sechsstellige, auch wenn sie mit der größeren Ziffer beginnt?

Weil zuerst die Stellenanzahl entscheidet, nicht die erste Ziffer.

98 76598\,765 hat fünf Stellen, 123 456123\,456 hat sechs. Und jede sechsstellige Zahl ist größer als jede fünfstellige:

gro¨ßte fu¨nfstellige: 99 999kleinste sechsstellige: 100 000\text{größte fünfstellige: } 99\,999 \qquad \text{kleinste sechsstellige: } 100\,000

Erst wenn beide Zahlen gleich viele Stellen haben, vergleichst du von links Ziffer für Ziffer.

Eine große Zahl lesen und schreiben

Schreibe die Zahl 3 407 2563\,407\,256 als Zahlwort und bestimme den Wert der Ziffer 4.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben ist die Zahl 3 407 2563\,407\,256. Gesucht sind zwei Dinge: einmal das Zahlwort (die Zahl in Worten) und einmal der Wert einer bestimmten Ziffer.

    Bearbeite solche Aufgaben nacheinander, erst das eine, dann das andere.

  2. 2

    Schritt 1: In Dreierblöcke gliedern.

    Warum? Weil der Name der Bündel alle drei Stellen wechselt (Tausender, Millionen, …). Die Blöcke bildest du von rechts, denn rechts stehen die Einer:

    3∣407∣2563 \mid 407 \mid 256

    Der linke Block darf auch kürzer als drei Ziffern sein. Hier ist es nur eine.

  3. 3

    Schritt 2: Den Blöcken ihre Namen geben.

    Von rechts nach links heißen die Blöcke Einer, Tausender, Millionen:

    • 256256 → Einerblock
    • 407407 → Tausenderblock
    • 33 → Millionenblock

    Damit liest du: „3 Millionen, 407 Tausend, 256".

  4. 4

    Schritt 3: Das Zahlwort aufschreiben.

    Jetzt sprichst du die Blöcke einfach der Reihe nach aus, von links nach rechts:

    drei Millionen vierhundertsiebentausendzweihundertsechsundfünfzig

    Beachte: Im Deutschen wird das alles zusammengeschrieben, bis auf „Millionen".

  5. 5

    Schritt 4 (zweite Frage): Die Stelle der Ziffer 4 finden.

    Der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht. Zähle deshalb von rechts los, nicht von links:

    Einer →\to Zehner →\to Hunderter →\to Tausender →\to Zehntausender →\to Hunderttausender

    Die 44 ist die sechste Ziffer von rechts, steht also an der Hunderttausenderstelle.

  6. 6

    Schritt 5: Den Wert berechnen.

    An der Hunderttausenderstelle zählt jede Ziffer, wie viele Hunderttausender-Bündel da sind. Bei der 44 sind es vier:

    4⋅100 000=400 0004 \cdot 100\,000 = 400\,000

    Die Ziffer 44 ist hier also 400 000400\,000 wert, obwohl sie nur eine einzige Ziffer ist.

  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle.

    Prüfe am Zahlwort: Dort steht „vierhundertsiebentausend". Die 44 gehört zu „vierhunderttausend", also zu 400 000400\,000. ✓ Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

3 407 2563\,407\,256 heißt „drei Millionen vierhundertsiebentausendzweihundertsechsundfünfzig". Die Ziffer 44 steht an der Hunderttausenderstelle und hat den Wert 400 000400\,000.

Zahlen ordnen

Ordne die Zahlen der Größe nach, beginne mit der kleinsten:   98 765101 01098 756100 110\;98\,765 \quad 101\,010 \quad 98\,756 \quad 100\,110

  1. 1

    Was ist gesucht? Alle vier Zahlen sollen in eine Reihe, von der kleinsten zur größten.

    Vergleiche dabei nicht alle Zahlen wild durcheinander. Gehe stattdessen in zwei vor: erst grob nach der Stellenanzahl sortieren, dann innerhalb der Gruppen genau vergleichen.

  2. 2

    Schritt 1: Stellen zählen (grobe Sortierung).

    • 98 76598\,765 → 5 Stellen
    • 101 010101\,010 → 6 Stellen
    • 98 75698\,756 → 5 Stellen
    • 100 110100\,110 → 6 Stellen

    Jede fünfstellige Zahl ist kleiner als jede sechsstellige (die größte fünfstellige ist 99 99999\,999, die kleinste sechsstellige 100 000100\,000). Also stehen die beiden 5-stelligen auf jeden Fall vorn.

  3. 3

    Schritt 2: Die beiden fünfstelligen vergleichen.

    Gleich viele Stellen → jetzt von links Ziffer für Ziffer:

    98 76‾598 75‾698\,7\underline{6}5 \qquad 98\,7\underline{5}6

    9=99 = 9, 8=88 = 8, 7=77 = 7, noch keine Entscheidung. An der vierten Ziffer steht 66 gegen 55.

    Wegen 5<65 < 6 ist 98 75698\,756 die kleinere. Was danach kommt, spielt keine Rolle mehr.

  4. 4

    Schritt 3: Die beiden sechsstelligen vergleichen.

    101‾ 010100‾ 11010\underline{1}\,010 \qquad 10\underline{0}\,110

    1=11 = 1, 0=00 = 0, gleich. An der dritten Ziffer steht 11 gegen 00.

    Wegen 0<10 < 1 ist 100 110100\,110 die kleinere.

    Achtung, typische Falle: 100 110100\,110 endet auf die größeren Ziffern. Das täuscht, entschieden wird trotzdem links.

  5. 5

    Schritt 4: Beide Gruppen zusammensetzen.

    Zuerst die fünfstelligen (in der Reihenfolge aus Schritt 2), dann die sechsstelligen (aus Schritt 3):

    98 756<98 765<100 110<101 01098\,756 < 98\,765 < 100\,110 < 101\,010
  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle.

    Lies die Kette einmal durch: Wächst jede Zahl gegenüber der davor? Und stehen wirklich alle vier Zahlen aus der Aufgabe darin? ✓

98 756<98 765<100 110<101 01098\,756 < 98\,765 < 100\,110 < 101\,010

Mit Zehnerpotenzen schreiben

Schreibe 70 000 00070\,000\,000 mit einer Zehnerpotenz.

  1. 1

    Was ist gesucht? Dieselbe Zahl, nur kürzer geschrieben, als Produkt aus einer kleinen Zahl und einer Zehnerpotenz.

    Der Wert darf sich dabei natürlich nicht ändern. Du schreibst die Zahl nur anders auf.

  2. 2

    Schritt 1: Die Zahl in zwei Teile zerlegen.

    Vorn steht die 77, dahinter nur noch Nullen. Genau so zerlegst du:

    70 000 000=7⋅10 000 00070\,000\,000 = 7 \cdot 10\,000\,000

    Warum darfst du das? Weil 77 mal zehn Millionen genau siebzig Millionen ergibt, die 77 zählt einfach, wie viele Zehn-Millionen-Bündel es sind.

  3. 3

    Schritt 2: Die Nullen der Zahl zählen.

    10 000 000  →  1 mit 7 Nullen10\,000\,000 \;\to\; 1\text{ mit } 7 \text{ Nullen}

    Zähle sorgfältig, hier verzählt man sich leicht. Deshalb gliedert man ja in Dreierblöcke: 10∣000∣00010 \mid 000 \mid 000 sind 1+3+3=71 + 3 + 3 = 7 Stellen hinter der Eins.

  4. 4

    Schritt 3: Als Zehnerpotenz schreiben.

    Der Exponent zählt die Nullen, also:

    10 000 000=10710\,000\,000 = 10^7
  5. 5

    Schritt 4: Einsetzen.

    70 000 000=7⋅10770\,000\,000 = 7 \cdot 10^7
  6. 6

    Schritt 5: Probe.

    Rechne zurück: 107=10 000 00010^7 = 10\,000\,000, und 7⋅10 000 000=70 000 0007 \cdot 10\,000\,000 = 70\,000\,000. ✓

    Häufiger Fehler: 70 000 000=7⋅10870\,000\,000 = 7 \cdot 10^8. Dabei wurde die Null der 7070 mitgezählt. Zähle immer erst, nachdem du die Zahl in 7⋅…7 \cdot \ldots zerlegt hast.

70 000 000=7⋅10770\,000\,000 = 7 \cdot 10^7

Vom Zahlwort zur Ziffernschreibweise

Schreibe „dreihundertzwölftausendvierzig" mit Ziffern.

  1. 1

    Was ist gesucht? Diesmal geht es in die andere Richtung: Aus dem Wort soll die Ziffernfolge werden.

    Genau hier passieren die meisten Fehler, meistens, weil Nullen vergessen werden. Deshalb gehst du blockweise vor statt einfach loszuschreiben.

  2. 2

    Schritt 1: Das Wort in Blöcke zerlegen.

    Suche die Namen, die einen Block beenden: „…tausend" und „…millionen". Hier findest du nur „tausend":

    • dreihundertzwölftausend → Tausenderblock
    • vierzig → Einerblock
  3. 3

    Schritt 2: Den Tausenderblock als Zahl schreiben.

    „dreihundertzwölf" =312= 312.

    Dieser Block steht links: 312312 Tausender.

  4. 4

    Schritt 3: Den Einerblock als Zahl schreiben, und auffüllen.

    „vierzig" =40= 40. Das sind aber nur zwei Ziffern, und jeder Block hinter dem ersten braucht genau drei.

    Warum? Weil sonst die Stellen verrutschen: Ohne Auffüllen stünde 312 40312\,40, und die 33 säße plötzlich an der Zehntausenderstelle statt an der Hunderttausenderstelle.

    Also füllst du vorn mit einer Null auf: 040040.

  5. 5

    Schritt 4: Die Blöcke zusammensetzen.

    312∣040  ⟶  312 040312 \mid 040 \;\longrightarrow\; 312\,040
  6. 6

    Schritt 5: Gegenprobe.

    Lies deine Zahl wieder zurück: 312 040312\,040 → „312 Tausend, 40" → „dreihundertzwölftausendvierzig". ✓ Das ist genau die Vorgabe.

    Diese Rückwärtsprobe kostet zehn Sekunden und findet fast jeden Nullen-Fehler.

„dreihundertzwölftausendvierzig" =312 040= 312\,040

Typischer Fehler

„98 765>123 45698\,765 > 123\,456, weil die 9 am Anfang größer ist als die 1."

Zuerst die Stellenanzahl vergleichen! 98 76598\,765 hat nur 5 Stellen, 123 456123\,456 hat 6 Stellen, deshalb ist 123 456123\,456 größer, egal mit welcher Ziffer sie beginnt. Nur wenn beide Zahlen gleich viele Stellen haben, vergleichst du von links Ziffer für Ziffer.

Typischer Fehler

Die Zahl „dreihundertzwölftausendvierzig" wird als 312 40312\,40 oder 300 012 040300\,012\,040 geschrieben.

Richtig ist 312 040312\,040. Gehe Block für Block vor: „dreihundertzwölftausend" = 312312 im Tausenderblock, „vierzig" = 040040 im Einerblock. Jeder Block hat genau drei Stellen (fülle mit Nullen auf!). Vergessene Nullen sind der häufigste Fehler bei großen Zahlen.

Übung 1

leicht

Schreibe als Zahl: „fünf Millionen dreihunderttausendzwölf"

Tipp anzeigen

Drei Blöcke: Millionen | Tausender | Einer. Fülle jeden Block rechts vom ersten mit drei Ziffern.

Lösung anzeigen

Millionenblock: 5 · Tausenderblock: 300 · Einerblock: 012

Ergebnis: 5 300 0125\,300\,012

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Zahlwort in Blöcke zerlegen

    Große Zahlen liest man in Dreierblöcken: Millionen, Tausender, Einer. Das Zahlwort nennt „fünf Millionen", „dreihunderttausend" und „zwölf", das sind genau diese drei Blöcke.

  2. 2

    Jeden Block dreistellig aufschreiben

    Jeder Block außer dem ersten muss GENAU drei Ziffern haben, fehlende Stellen werden mit Nullen aufgefüllt: Millionen: 55 · Tausender: 300300 · Einer: 012012.

    5∣300∣0125 \mid 300 \mid 012

  3. 3

    Blöcke zusammensetzen und prüfen

    Die Blöcke hintereinander ergeben 5 300 0125\,300\,012. Probe durch Rückwärtslesen: 5 Millionen, 300 Tausender, 12 Einer, genau das Zahlwort.

    Zwischenergebnis

    5 300 0125\,300\,012

Übung 2

mittel

Setze das richtige Zeichen (<<, >> oder ==) ein:

a) 45 099  □  45 10145\,099 \;\square\; 45\,101 b) 7⋅105  □  698 0007 \cdot 10^5 \;\square\; 698\,000 c) 1 000 000  □  1061\,000\,000 \;\square\; 10^6

Tipp anzeigen

Schreibe die Zehnerpotenzen zuerst als Zahl aus.

Lösung anzeigen

a) 45 099<45 10145\,099 < 45\,101 (Hunderterstelle: 0<10 < 1)

b) 7⋅105=700 000>698 0007 \cdot 10^5 = 700\,000 > 698\,000

c) 1 000 000=1061\,000\,000 = 10^6 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Stellenweise von links vergleichen

    Gleich lange Zahlen vergleicht man Stelle für Stelle von links: 45 09945\,099 und 45 10145\,101 stimmen in 44 und 55 überein, an der Hunderterstelle steht 00 gegen 11, dort fällt die Entscheidung: 45 099<45 10145\,099 < 45\,101.

  2. 2

    b) Die Potenz erst ausrechnen

    7⋅1057 \cdot 10^5 heißt 7⋅100 000=700 0007 \cdot 100\,000 = 700\,000. Erst jetzt lässt sich vergleichen: 700 000>698 000700\,000 > 698\,000.

    7⋅105=700 0007 \cdot 10^5 = 700\,000

  3. 3

    c) Beide Schreibweisen entlarven

    10610^6 ist eine 11 mit 66 Nullen, also genau 1 000 0001\,000\,000. Beide Seiten sind dieselbe Zahl: Es gilt ==.

Übung 3

schwer

Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl genau in der Mitte zwischen 2 400 0002\,400\,000 und 2 500 0002\,500\,000? Gib außerdem Vorgänger und Nachfolger dieser Zahl an.

Tipp anzeigen

Die Mitte findest du, indem du den halben Abstand zur kleineren Zahl addierst.

Lösung anzeigen

Abstand: 2 500 000−2 400 000=100 0002\,500\,000 - 2\,400\,000 = 100\,000. Die Hälfte davon: 50 00050\,000.

Mitte: 2 400 000+50 000=2 450 0002\,400\,000 + 50\,000 = 2\,450\,000

Vorgänger: 2 449 9992\,449\,999 · Nachfolger: 2 450 0012\,450\,001

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Den Abstand der beiden Zahlen bestimmen

    Die Mitte liegt gleich weit von beiden Zahlen entfernt. Dafür brauchen wir zuerst den Abstand: 2 500 000−2 400 000=100 0002\,500\,000 - 2\,400\,000 = 100\,000.

    2 500 000−2 400 000=100 0002\,500\,000 - 2\,400\,000 = 100\,000

  2. 2

    Die halbe Strecke dazurechnen

    Die Hälfte von 100 000100\,000 ist 50 00050\,000. Von der kleineren Zahl aus die halbe Strecke weitergehen: 2 400 000+50 000=2 450 0002\,400\,000 + 50\,000 = 2\,450\,000.

    Zwischenergebnis

    2 450 0002\,450\,000

  3. 3

    Vorgänger und Nachfolger angeben

    Vorgänger heißt: genau 11 weniger. Nachfolger: genau 11 mehr. Also 2 449 9992\,449\,999 und 2 450 0012\,450\,001.

Alternative Lösungswege

Zusammenfassung

Unser Zehnersystem gibt jeder Ziffer je nach Stelle ihren Wert, deshalb kannst du mit nur zehn Ziffern jede noch so große Zahl schreiben. Große Zahlen liest du in Dreierblöcken, schreibst du kompakt mit Zehnerpotenzen und vergleichst du in zwei Schritten: erst Stellenanzahl, dann von links Ziffer für Ziffer.