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Bruchrechnung

Brüche multiplizieren und dividieren

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, und dividieren mit dem Kehrwert.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Die Hälfte von drei Vierteln einer Tafel Schokolade, wie viel ist das? „Die Hälfte von" bedeutet in der Mathematik: multiplizieren. Die gute Nachricht: Multiplizieren ist bei sogar einfacher als Addieren, kein nötig! Und Dividieren wird mit einem einzigen Trick zum Multiplizieren.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • mit und mit Brüchen multiplizieren.

  • „Anteil vom Anteil"-Aufgaben als Multiplikation erkennen.

  • durch Brüche dividieren, mit dem Kehrwert.

  • vor dem Multiplizieren , um mit kleinen Zahlen zu rechnen.

Bruch mal natürliche Zahl

Du isst dreimal je 25\frac{2}{5} einer Tafel Schokolade. Wie viel ist das zusammen?

Multiplizieren heißt mehrfach addieren

Das kennst du schon aus Klasse 5: 3⋅43 \cdot 4 bedeutet 4+4+44 + 4 + 4. Genau so funktioniert es mit :

25⋅3=25+25+25\frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}

Und Brüche mit gleichem addierst du, indem du die zusammenzählst:

=2+2+25=65= \frac{2 + 2 + 2}{5} = \frac{6}{5}

Was das für die Regel bedeutet

Schau dir an, was passiert ist: Aus dem Zähler 22 wurde 66, also 2⋅32 \cdot 3. Der Nenner blieb 55.

25⋅3=2⋅35=65=115\frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}

Nur der Zähler wird multipliziert, der Nenner bleibt.

Der Grund ist derselbe wie beim Addieren: Der Nenner sagt, wie groß ein Stück ist. Wenn du dreimal so viele Fünftel nimmst, werden die Stücke ja nicht kleiner. Es werden nur mehr.

Eine häufige Falle: Multipliziere nicht beide Zahlen. 2⋅35⋅3=615\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} wäre , und dabei ändert sich der Wert gar nicht. Beim Multiplizieren soll er sich aber ändern.

Bruch mal Bruch

Von einer Tafel Schokolade sind noch 34\frac{3}{4} übrig. Du isst die Hälfte davon. Wie viel der ganzen Tafel ist das?

Das Wort „von" ist der Schlüssel

„Die Hälfte von 34\frac{3}{4}", dieses kleine Wort „von" bedeutet in der Mathematik mal:

12⋅34\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

Das kennst du schon: „die Hälfte von 1010" ist 12⋅10=5\frac{1}{2} \cdot 10 = 5. Mit ist es genauso.

Was beim Halbieren passiert

Stell dir die drei Viertel als drei Stücke vor. Du sollst die Hälfte davon nehmen, also schneidest du jedes Stück in zwei Teile und nimmst von jedem eins.

Was ändert sich?

  • Aus 44 Vierteln werden durch das Halbieren 88 Achtel: Der verdoppelt sich, weil die Stücke halb so groß werden.
  • Von den ursprünglich 33 Stücken nimmst du je die Hälfte, also 33 Achtel.
12⋅34=38\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

Die Regel entsteht

Schau, woher die Zahlen kommen: Der neue 33 ist 1⋅31 \cdot 3, der neue Nenner 88 ist 2⋅42 \cdot 4.

ab⋅cd=a⋅cb⋅d(Za¨hler mal Za¨hler, Nenner mal Nenner)\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \qquad\text{(Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)}

Hier werden beide Zahlen multipliziert, anders als beim Addieren. Der Grund: Der zweite Bruch verändert diesmal wirklich die Stückgröße, nicht nur die Anzahl.

Im Bild unten siehst du denselben Gedanken noch einmal: Ein Drittel wird halbiert und ergibt ein Sechstel, genau nach der Regel 12⋅13=16\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Etwas Überraschendes

Bei ganzen Zahlen macht Multiplizieren die Zahl größer. Bei Brüchen ist das anders: 38\frac{3}{8} ist kleiner als 34\frac{3}{4}.

Das ist kein Fehler, sondern logisch, du hast ja nur einen Teil von etwas genommen. Immer wenn du mit einem Bruch kleiner als 11 multiplizierst, wird das Ergebnis kleiner.

1/31/6

„Mal" bei bedeutet ein Teil von einem Teil: die Hälfte von 13\tfrac{1}{3}. Halbierst du das eine Drittel, entsteht ein Sechstel, 12⋅13=16\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}. Kurz: mal Zähler, mal Nenner.

Kürzen vor dem Rechnen

Rechne 815⋅512\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{12}. Nach der Regel wären das 40180\frac{40}{180}, große Zahlen, und am Ende wartet mühsames .

Das geht einfacher.

Kürzen darf vorgezogen werden

Beim Multiplizieren landen alle oben und alle unten. Es ist also gleichgültig, ob du erst multiplizierst und dann kürzt oder umgekehrt.

Deshalb darfst du über Kreuz kürzen: jeder Zähler mit jedem Nenner.

23⋅34=2 13 1⋅3 14 2=12\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\cancel{2}^{\,1}}{\cancel{3}_{\,1}} \cdot \frac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{4}_{\,2}} = \frac{1}{2}

Hier wurde die 33 oben gegen die 33 unten gekürzt und die 22 oben gegen die 44 unten.

Warum das erlaubt ist

Schreib die Rechnung einmal ohne die Bruchstriche dazwischen:

23⋅34=2⋅33⋅4\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}

Jetzt siehst du es: Oben und unten steht jeweils ein Produkt. Kürzen heißt, oben und unten durch dieselbe Zahl zu teilen: und dabei ist es egal, in welchem der Faktoren die Zahl steht.

Das Ergebnis ist immer dasselbe. Vorher zu kürzen spart nur Arbeit.

Wichtig: nur beim Multiplizieren

Beim Addieren ist Kürzen über Kreuz streng verboten! Dort stehen oben keine Produkte, sondern eine Summe, und aus einer Summe darf man nicht einzelne Zahlen herauskürzen.

Merke dir: Über Kreuz kürzen gehört zum Malzeichen.

Erkläre es selbst: Beim Multiplizieren darfst du über Kreuz kürzen, beim Addieren nicht. Woran liegt das, und was ginge schief, wenn man es doch täte?

Formuliere es erst selbst, laut oder aufgeschrieben. Danach vergleichst du.

Der Unterschied steckt darin, was oben steht.

Beim Malzeichen steht oben ein Produkt:

23⋅34=2⋅33⋅4\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}

heißt, oben und unten durch dieselbe Zahl zu teilen. Ein Produkt teilst du durch 33, indem du einen seiner Faktoren durch 33 teilst: der Rest bleibt stehen. Deshalb funktioniert das Kürzen über Kreuz.

Beim Pluszeichen steht oben dagegen eine Summe:

34+23=912+812=1712\frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12}

Eine Summe teilst du nicht durch 33, indem du einen Summanden durch 33 teilst. 1717 lässt sich überhaupt nicht durch 33 teilen.

Und was ginge schief? Rechne es nach. Wer bei 34+23\frac{3}{4} + \frac{2}{3} die 33 oben gegen die 33 unten kürzt, erhält:

14+21=214\frac{1}{4} + \frac{2}{1} = 2\frac{1}{4}

Richtig sind aber 1712=1512\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}. Das falsche Ergebnis ist also fast doppelt so groß, und schon der Ergebnis-Check verrät es: Zu 34\frac{3}{4} kommt weniger als ein Ganzes dazu, mehr als 1341\frac{3}{4} kann gar nicht herauskommen.

Deine Erklärung darf anders klingen als diese. Sie sollte nur die beiden Wörter enthalten, auf die es ankommt: Produkt und Summe.

Dividieren: mal Kehrwert

Wie oft passt eine halbe Pizza in 66 Pizzen? Jede Pizza besteht aus zwei Hälften, sechs Pizzen also aus zwölf, die Antwort ist zwölfmal.

Aber welche Rechnung steckt dahinter? Es ist eine Division:

6:12=126 : \frac{1}{2} = 12

Und jetzt kommt das Merkwürdige: Beim Teilen ist etwas größer geworden.

Warum Teilen hier vergrößert

Das widerspricht dem, was du von ganzen Zahlen kennst. Dort macht Teilen kleiner.

Der Grund: Bei 6:26 : 2 fragst du „wie oft passt zwei in sechs?". Bei 6:126 : \frac{1}{2} fragst du „wie oft passt eine halbe in sechs?". Und weil halbe Pizzen klein sind, passen sie eben oft hinein.

Merke: Teilst du durch eine Zahl kleiner als 11, wird das Ergebnis größer.

Der Kehrwert

Schau dir die Rechnung noch einmal an. Aus 66 und 12\frac{1}{2} wurde 1212. Wie kommt man da hin?

6⋅2=126 \cdot 2 = 12

Statt durch 12\frac{1}{2} zu teilen, hast du mit 22 multipliziert. Und 22 ist genau der umgedrehte : 12\frac{1}{2} wird zu 21=2\frac{2}{1} = 2.

Diesen umgedrehten Bruch nennt man Kehrwert. Du bildest ihn, indem du und vertauschst:

27  ⟶  7213  ⟶  31=3\frac{2}{7} \;\longrightarrow\; \frac{7}{2} \qquad\qquad \frac{1}{3} \;\longrightarrow\; \frac{3}{1} = 3

Die Regel

ab:cd=ab⋅dc\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst.

Warum die Regel immer stimmt, nicht nur im Beispiel

Oben hast du ein Beispiel gerechnet (6:12=6⋅26 : \frac12 = 6 \cdot 2). Ein Beispiel kann aber Zufall sein. Deshalb prüfen wir die Regel jetzt allgemein, und zwar mit der Umkehrprobe, die du von jeder Division kennst.

Eine Division x=a:bx = a : b ist genau dann richtig, wenn x⋅b=ax \cdot b = a herauskommt. Setzen wir also das Ergebnis der Regel ein und schauen, ob die Probe aufgeht:

(ab⋅dc)⏟Ergebnis der Regel⋅  cd\underbrace{\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right)}_{\text{Ergebnis der Regel}} \cdot \; \frac{c}{d}

Beim Multiplizieren darfst du beliebig umsortieren (Kommutativ- und Assoziativgesetz), also stellen wir die hinteren beiden Brüche nebeneinander:

=ab⋅(dc⋅cd)= \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d}\right)

Und jetzt schau dir die Klammer an. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner ergibt dort d⋅cc⋅d\frac{d \cdot c}{c \cdot d}, oben und unten steht dasselbe, der Bruch ist also 11:

dc⋅cd=d⋅cc⋅d=1\frac{d}{c} \cdot \frac{c}{d} = \frac{d \cdot c}{c \cdot d} = 1

Ein Bruch mal sein Kehrwert ergibt immer 11. Damit bleibt von der ganzen Rechnung übrig:

=ab⋅1=ab  ✓= \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} \;\checkmark

Die Probe geht auf, und zwar für beliebige Zähler und Nenner, nicht nur für die Zahlen aus dem Pizzabeispiel. Deshalb dürfen wir die Regel wirklich immer anwenden.

Nur der zweite Bruch wird umgedreht, der erste bleibt, wie er ist. Das ist die häufigste Fehlerquelle: Wer beide umdreht oder den falschen erwischt, bekommt ein völlig anderes Ergebnis.

Eine Probe, die immer geht

Jede Division kannst du rückwärts prüfen. Bei 34:18=6\frac{3}{4} : \frac{1}{8} = 6 rechnest du zur Kontrolle:

6⋅18=68=34  ✓6 \cdot \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \;\checkmark

Du landest wieder beim Ausgangsbruch, die Division stimmt.

Messen: Wie oft passt eine Hälfte in sechs Ganze?

123456789101112

Sechs gleich große Streifen, jede Pizza besteht aus zwei Hälften. Zähle die nummerierten Hälften ab: Es sind 1212. Genau das rechnet 6:12=126 : \tfrac{1}{2} = 12, und weil eine Hälfte kleiner als 11 ist, passt sie öfter hinein, als es Pizzen gibt.

Anteil vom Anteil

Von einer Tafel Schokolade sind noch 34\frac{3}{4} übrig. Jonas isst die Hälfte davon. Welcher Anteil der ganzen Tafel ist das?

  1. 1

    Worauf bezieht sich was? Diese Frage entscheidet die ganze Aufgabe.

    • Die 34\frac{3}{4} beziehen sich auf die ganze Tafel.
    • Die „Hälfte" bezieht sich aber nicht auf die ganze Tafel, sondern nur auf den Rest.

    Gesucht ist am Ende wieder ein Anteil der ganzen Tafel.

    Vorüberlegung: Jonas isst weniger als 34\frac{3}{4}, denn er nimmt ja nur einen Teil davon. Das Ergebnis muss also kleiner als 34\frac{3}{4} sein.

  2. 2

    Schritt 1: Das Wort „von" übersetzen. In der Aufgabe steht „die Hälfte davon". Das kleine Wort „von" bedeutet in der Mathematik mal:

    die Ha¨lfte von 34  =  12⋅34\text{die Hälfte von } \frac{3}{4} \;=\; \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

    Diese Übersetzung ist der schwierigste Teil der Aufgabe. Ist sie erst einmal gemacht, ist der Rest reines Rechnen.

  3. 3

    Schritt 2: Die Regel anwenden. Bei „ mal Bruch" multiplizierst du mit Zähler und mit Nenner:

    12⋅34=1⋅32⋅4=38\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}
  4. 4

    Schritt 3: prüfen. Haben 33 und 88 einen gemeinsamen ?

    33 ist nur durch 11 und 33 teilbar, 88 nur durch 11, 22, 44 und 88. Gemeinsam ist nur die 11, der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.

  5. 5

    Schritt 4: Anschaulich nachvollziehen. Warum stimmt 38\frac{3}{8}?

    Die Tafel hat 44 Viertel, davon sind 33 übrig. Jonas halbiert jedes dieser Stücke und isst je die Hälfte.

    Durch das Halbieren wird aus jedem Viertel ein Achtel, die ganze Tafel besteht jetzt aus 88 Achteln. Und Jonas isst 33 davon.

    38  ✓\frac{3}{8} \;\checkmark
  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle. Zwei Prüfungen:

    Passt die Größe? 38\frac{3}{8} ist kleiner als 34\frac{3}{4} ✓, wie in der Vorüberlegung erwartet. (Vergleich: 34=68\frac{3}{4} = \frac{6}{8}, und 3<63 < 6.)

    Und was bleibt übrig? Wenn Jonas die Hälfte des Restes isst, muss die andere Hälfte übrig bleiben, also ebenfalls 38\frac{3}{8}. Zusammen: 38+38=68=34\frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} ✓ Genau der Rest, mit dem wir angefangen haben.

Jonas isst 38\frac{3}{8} der ganzen Tafel.

Zum Mitnehmen: Das Wort „von" bedeutet „mal". Achte bei solchen Aufgaben genau darauf, worauf sich ein Anteil bezieht, auf das Ganze oder auf einen Rest.

Mit Kürzen multiplizieren

Berechne möglichst geschickt: 815⋅512\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{12}

  1. 1

    Was heißt „möglichst geschickt"? Du sollst vor dem Multiplizieren . Rechnest du einfach drauflos, entstehen große Zahlen:

    8⋅515⋅12=40180\frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 12} = \frac{40}{180}

    Das ist nicht falsch, aber 40180\frac{40}{180} zu kürzen ist mühsam. Einfacher geht es, wenn du die Zahlen vorher klein machst.

  2. 2

    Schritt 1: Die erste Kürzungsmöglichkeit suchen. Beim Multiplizieren darfst du jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen.

    Schau dir die 88 (oben links) und die 1212 (unten rechts) an. Beide sind durch 44 :

    8:4=212:4=38 : 4 = 2 \qquad\qquad 12 : 4 = 3

    Aus 815⋅512\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{12} wird damit 215⋅53\frac{2}{15} \cdot \frac{5}{3}.

  3. 3

    Schritt 2: Die zweite Kürzungsmöglichkeit. Jetzt die 55 (oben rechts) und die 1515 (unten links). Beide sind durch 55 teilbar:

    5:5=115:5=35 : 5 = 1 \qquad\qquad 15 : 5 = 3

    Übrig bleibt:

    23⋅13\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}

    Beachte, dass hier „über Kreuz" gekürzt wurde, der Zähler des einen gegen den Nenner des anderen. Beim Multiplizieren ist das erlaubt, weil oben und unten jeweils Produkte stehen.

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    Schritt 3: Jetzt multiplizieren. Mit den kleinen Zahlen ist das leicht:

    23⋅13=2⋅13⋅3=29\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}
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    Schritt 4: Prüfen, ob noch gekürzt werden kann. 22 und 99 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 11, fertig.

    Das ist der Vorteil des Vorab-Kürzens: Wenn du vorher konsequent kürzt, ist das Ergebnis am Ende automatisch vollständig gekürzt.

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle über den langen Weg. Rechne zur Probe ohne Kürzen und kürze erst am Schluss:

    8⋅515⋅12=40180\frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 12} = \frac{40}{180}

    Beide Zahlen sind durch 2020 teilbar:

    40:20180:20=29  ✓\frac{40 : 20}{180 : 20} = \frac{2}{9} \;\checkmark

    Dasselbe Ergebnis, aber du musstest mit dreistelligen Zahlen hantieren und den Teiler 2020 finden. Deshalb lohnt sich das Kürzen vorher.

815⋅512=29\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{12} = \frac{2}{9}

Zum Mitnehmen: Kürze vor dem Multiplizieren über Kreuz, jeder gegen jeden . Das hält die Zahlen klein, und das Ergebnis ist am Ende schon fertig gekürzt. Beim Addieren ist das verboten!

Division durch einen Bruch

In einer Kanne sind noch 34\frac{3}{4} Liter Saft. Ein Glas fasst 18\frac{1}{8} Liter. Wie viele Gläser werden voll?

  1. 1

    Welche Rechenart passt hier? In der Aufgabe steckt die Frage: „Wie oft passt 18\frac{1}{8} in 34\frac{3}{4}?"

    Genau das ist eine Division:

    34:18\frac{3}{4} : \frac{1}{8}

    Vorüberlegung: Ein Achtel Liter ist eine kleine Menge. In 34\frac{3}{4} Liter passt das sicher mehrmals hinein, das Ergebnis wird also größer als 11 sein.

  2. 2

    Schritt 1: Den Kehrwert bilden. Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst.

    Der Kehrwert von 18\frac{1}{8} entsteht durch Vertauschen von und :

    18  ⟶  81\frac{1}{8} \;\longrightarrow\; \frac{8}{1}

    Nur der zweite Bruch wird umgedreht. Der erste (34\frac{3}{4}) bleibt unverändert.

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    Schritt 2: Aus der Division eine Multiplikation machen.

    34:18=34⋅81\frac{3}{4} : \frac{1}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{1}

    Das Rechenzeichen ändert sich mit, aus dem Geteiltzeichen wird ein Malzeichen. Wer den Kehrwert bildet, aber das Zeichen vergisst, rechnet etwas völlig anderes.

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    Schritt 3: Geschickt . Bevor du multiplizierst: Die 44 (unten links) und die 88 (oben rechts) sind beide durch 44 :

    4:4=18:4=24 : 4 = 1 \qquad\qquad 8 : 4 = 2 31⋅21\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1}
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    Schritt 4: Multiplizieren.

    3⋅21⋅1=61=6\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{6}{1} = 6

    Ein Bruch mit dem Nenner 11 ist eine ganze Zahl, hier also glatt 66.

  6. 6

    Schritt 5: Anschaulich prüfen. Stimmt das? Rechne 34\frac{3}{4} in Achtel um:

    34=68\frac{3}{4} = \frac{6}{8}

    Sechs Achtel Liter, und jedes Glas fasst ein Achtel Liter. Das reicht für genau 66 Gläser ✓

    Diese Umrechnung ist auch ein zweiter Lösungsweg: Wenn beide Brüche denselben Nenner haben, kannst du einfach die Zähler teilen (6:1=66 : 1 = 6).

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    Schritt 6: Antwortsatz und Einordnung.

    „Es werden 66 Gläser voll."

    Beachte: Das Ergebnis 66 ist größer als die Ausgangsmenge 34\frac{3}{4}, obwohl geteilt wurde. Das ist richtig so, weil durch eine Zahl kleiner als 11 geteilt wurde.

    Und ein Hinweis für Sachaufgaben: Wäre das Ergebnis 6,56{,}5 herausgekommen, wäre die Antwort trotzdem „66 volle Gläser", ein halbes Glas ist eben nicht voll. Bei Sachaufgaben musst du das Ergebnis immer noch einmal an der Wirklichkeit prüfen.

Es werden 6 Gläser voll.

Zum Mitnehmen: Durch einen teilst du mit seinem Kehrwert, und wandelst dabei das Geteilt- in ein Malzeichen um. Nur der zweite Bruch wird umgedreht. Teilen durch eine Zahl kleiner als 11 macht das Ergebnis größer.

Typischer Fehler

23:45=2⋅43⋅5\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}… oder war es 32⋅45\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5}? Irgendwas wird gekippt!

Gekippt wird nur der zweite (der Divisor), und aus „geteilt" wird „mal": 23:45=23⋅54=1012=56\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}. Merksatz: „Der erste bleibt, der zweite kippt, das Zeichen wird zum Mal."

Typischer Fehler

12⋅13\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}: „Erst 6 bilden: 36⋅26=636\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{6}{36}…"

Der Hauptnenner gehört zu Plus und Minus, nicht zu Mal! Beim Multiplizieren einfach direkt: 12⋅13=16\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. (Das Umweg-Ergebnis 636\frac{6}{36} ist zwar nach auch 16\frac{1}{6}, aber doppelte Arbeit und doppelte Fehlerchance.)

Übung 1

leicht

Berechne: a) 37⋅2\frac{3}{7} \cdot 2 b) 25⋅34\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} c) 56⋅65\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}

Tipp anzeigen

c) Was ergibt ein mal seinen Kehrwert?

Lösung anzeigen

a) 67\frac{6}{7}

b) 620=310\frac{6}{20} = \frac{3}{10}

c) 3030=1\frac{30}{30} = 1: Bruch mal Kehrwert ist immer 1.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Bruch mal ganze Zahl

    37⋅2\frac{3}{7} \cdot 2: Die ganze Zahl multipliziert nur den , aus 33 Siebteln werden 66 Siebtel: 67\frac{6}{7}.

  2. 2

    b) Bruch mal Bruch: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner

    25⋅34=2⋅35⋅4=620=310\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.

    25⋅34=620=310\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

  3. 3

    c) Bruch mal Kehrwert

    56⋅65=3030=1\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{30} = 1. Ein Bruch mal seinen Kehrwert ergibt IMMER 11.

Übung 2

mittel

Berechne: a) 49:23\frac{4}{9} : \frac{2}{3} b) 6:356 : \frac{3}{5} c) 710\frac{7}{10} von 250 g250\,\text{g}

Tipp anzeigen

a), b): Kehrwert! c): „von" = „mal".

Lösung anzeigen

a) 49⋅32=1218=23\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

b) 6⋅53=303=106 \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10

c) 710⋅250=175010=175 g\frac{7}{10} \cdot 250 = \frac{1750}{10} = 175\,\text{g}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Division als Mal-Kehrwert

    49:23=49⋅32=1218=23\frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.

  2. 2

    b) Ganze Zahl durch Bruch

    6:35=6⋅53=303=106 : \frac{3}{5} = 6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10.

  3. 3

    c) „von" heißt mal

    710\frac{7}{10} VON 250250 g: 710⋅250=175010=175\frac{7}{10} \cdot 250 = \frac{1750}{10} = 175 g.

Übung 3

schwer

Ein Rezept für 4 Personen braucht 34\frac{3}{4} Liter Milch. a) Wie viel Milch braucht man für 6 Personen? b) Wie viele Personen kann man mit 33 Litern Milch bekochen?

Tipp anzeigen

a) Erst Menge pro Person. b) Division!

Lösung anzeigen

a) Pro Person: 34:4=34⋅14=316\frac{3}{4} : 4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} Liter. Für 6: 6⋅316=1816=1186 \cdot \frac{3}{16} = \frac{18}{16} = 1\frac{1}{8} Liter.

b) 3:316=3⋅163=163 : \frac{3}{16} = 3 \cdot \frac{16}{3} = 16 Personen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Auf eine Person herunterrechnen

    34\frac{3}{4} Liter für 44 Personen, eine Person braucht 34:4=34⋅14=316\frac{3}{4} : 4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} Liter.

    34:4=34⋅14=316\frac{3}{4} : 4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}

    Zwischenergebnis

    316\frac{3}{16} Liter pro Person

  2. 2

    a) Auf 6 Personen hochrechnen

    Für 66 Personen: 6⋅316=1816=98=1186 \cdot \frac{3}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} Liter.

    Zwischenergebnis

    1181\frac{1}{8} Liter

  3. 3

    b) Wie viele Personen mit 3 Litern?

    „Wie oft passt 316\frac{3}{16} in 33?" ist eine Division: 3:316=3⋅163=163 : \frac{3}{16} = 3 \cdot \frac{16}{3} = 16 Personen.

Zusammenfassung

multiplizierst du direkt: mal Zähler, mal Nenner, „von" heißt dabei „mal", und vor dem Rechnen hält die Zahlen klein. Division ist Multiplikation mit dem Kehrwert: Der erste bleibt, der zweite kippt. Kein weit und breit. Der gehört zu Plus und Minus!