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Bruchrechnung

Brüche addieren und subtrahieren

Gleichnamige und ungleichnamige Brüche sicher addieren und subtrahieren.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine halbe Pizza plus eine viertel Pizza, wie viel ist das zusammen? Mit kannst du das exakt ausrechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du Brüche addierst und subtrahierst: erst mit gleichem , dann mit verschiedenen Nennern.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • gleichnamige addieren und subtrahieren.

  • ungleichnamige Brüche über den Hauptnenner addieren und subtrahieren.

  • mit gemischten Zahlen rechnen.

  • Ergebnisse und auf Plausibilität prüfen.

Brüche mit gleichem Nenner

Du hast 18\frac{1}{8} einer Pizza, dein Freund hat 38\frac{3}{8}. Wie viel habt ihr zusammen?

Denk in Stücken, nicht in Brüchen

Übersetze die Aufgabe in normale Sprache: Du hast ein Achtelstück, dein Freund hat drei Achtelstücke. Zusammen sind das vier Achtelstücke.

Mehr ist es nicht, du hast einfach Stücke gezählt:

18+38=48\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8}

Warum der Nenner stehen bleibt

Das ist die Stelle, an der die meisten Fehler passieren. Warum wird aus 8+88 + 8 nicht 1616?

Weil der keine Anzahl ist. Er sagt dir, wie groß ein Stück ist, nämlich ein Achtel. Und diese Größe ändert sich beim Zusammenlegen nicht: Ein Achtelstück bleibt ein Achtelstück, egal wie viele du davon einsammelst.

Der dagegen zählt die Stücke, und die werden tatsächlich mehr.

Ein Vergleich hilft: Wenn du 11 Euro und 33 Euro zusammenlegst, hast du 44 Euro, nicht 44 „Doppeleuro". Die Einheit bleibt, nur die Anzahl wächst. Der Nenner ist genau so eine Einheit.

ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}

Subtrahieren geht genauso

Beim Abziehen zählst du Stücke weg statt dazu:

57−37=27\frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}

Fünf Siebtelstücke minus drei Siebtelstücke sind zwei Siebtelstücke.

Ein letzter Schritt zum Schluss

Schau dir das Ergebnis von oben noch einmal an: 48\frac{4}{8}. Das ist richtig, aber nicht die schönste Form. Zähler und Nenner haben den gemeinsamen 44:

48=12\frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Kürze dein Ergebnis immer, wenn es geht. In Klassenarbeiten wird das erwartet. Im Bild unten siehst du beides: vier Achtel eingefärbt, und das ist genau die Hälfte.

1/83/84/8

Gleicher heißt: gleich große Teile. Dann zählst du einfach die eingefärbten Achtel zusammen, 18+38=48\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{4}{8}. Der Nenner (88) bleibt, nur die werden addiert.

Brüche mit verschiedenen Nennern

Jetzt wird es interessant. Was ist 13+14\frac{1}{3} + \frac{1}{4}?

Warum du hier nicht einfach zählen kannst

Beim letzten Abschnitt hast du Stücke gezählt, weil alle gleich groß waren. Hier ist das anders: Ein Drittel ist größer als ein Viertel.

Du hast also ein großes und ein kleines Stück. „Zwei Stücke" zu sagen, wäre keine sinnvolle Antwort, welche Größe hätten die denn?

Das ist wie beim Rechnen mit Größen: 11 Meter ++ 11 Zentimeter ist nicht 22 von irgendetwas. Du musst erst auf dieselbe Einheit umrechnen.

Die Lösung: gleich große Stücke herstellen

Genau das machst du mit dem aus dem vorigen Kapitel. Du suchst eine Stückgröße, die zu beiden passt.

Drittel und Viertel lassen sich beide in Zwölftel zerlegen:

13=41214=312\frac{1}{3} = \frac{4}{12} \qquad\qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}

Jetzt sind alle Stücke gleich groß, und du kannst wieder einfach zählen:

412+312=712\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

Damit ist auch die Frage vom Anfang beantwortet: Halbe und Viertel lassen sich beide in Viertel zerlegen, eine Hälfte ist genau zwei Viertel.

12+14=24+14=34\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Eine halbe plus eine viertel Pizza sind also drei Viertel.

Wie du den passenden Nenner findest

Der gemeinsame heißt Hauptnenner. Er muss durch beide Nenner sein.

Am besten nimmst du die kleinste solche Zahl, das kleinste gemeinsame . Dann bleiben die Zahlen handlich.

So gehst du vor:

  1. Prüfe zuerst den einfachen Fall: Ist der größere Nenner schon durch den kleineren teilbar? Bei 14\frac{1}{4} und 38\frac{3}{8} ist das so, 88 ist durch 44 teilbar. Dann ist der größere Nenner selbst der Hauptnenner.
  2. Sonst zähle die Vielfachen auf, bis eine Zahl in beiden Reihen vorkommt. Bei 33 und 44: 3,6,9,123, 6, 9, \boldsymbol{12} und 4,8,124, 8, \boldsymbol{12}.
  3. Im Notfall: Die beiden Nenner multiplizieren klappt immer (3⋅4=123 \cdot 4 = 12). Manchmal werden die Zahlen dabei unnötig groß, aber falsch ist es nie.

Der Ablauf im Überblick

Hauptnenner suchen  →  beide Bru¨che erweitern  →  Za¨hler addieren  →  ku¨rzen\text{Hauptnenner suchen} \;\to\; \text{beide Brüche erweitern} \;\to\; \text{Zähler addieren} \;\to\; \text{kürzen}

Und wenn am Ende ein unechter Bruch dasteht, wandelst du ihn noch in eine gemischte Zahl um.

Erst gleich große Stücke, dann zählen

1/31/44/123/12

Oben das Problem: Ein Drittel und ein Viertel sind verschieden groß, solche Stücke kannst du nicht einfach zusammenzählen. Unten dieselben Anteile in Zwölfteln: 13=412\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{12} und 14=312\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{12}. Jetzt sind alle Stücke gleich groß, und Zählen ergibt 412+312=712\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}=\tfrac{7}{12}.

Gemischte Zahlen addieren

In Sachaufgaben triffst du oft auf gemischte Zahlen: „2342\frac{3}{4} Liter und 1121\frac{1}{2} Liter". Dafür gibt es zwei Wege: beide sind richtig.

Weg 1: Ganze und Brüche getrennt

Eine gemischte Zahl bedeutet ja „Ganze plus ". Also darfst du die beiden Teile einzeln zusammenzählen:

Erst die Ganzen:

2+1=32 + 1 = 3

Dann die Brüche (hier musst du gleichnamig machen):

34+12=34+24=54\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}

Achtung, jetzt kommt der Punkt, an dem viele stolpern: 54\frac{5}{4} ist größer als 11. Da steckt also noch ein ganzes Stück drin, das zu den Ganzen dazugehört:

54=114\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} Ergebnis: 3+114=414\text{Ergebnis: } 3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}

Diesen Übertrag darfst du nicht vergessen. Eine gemischte Zahl wie 3543\frac{5}{4} wäre keine saubere Antwort.

Weg 2: alles in unechte Brüche

Der zweite Weg vermeidet den Übertrag. Du wandelst beide Zahlen zuerst in unechte Brüche um:

234=114112=32=642\frac{3}{4} = \frac{11}{4} \qquad\qquad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4}

Dann addierst du ganz normal:

114+64=174=414\frac{11}{4} + \frac{6}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}

Dasselbe Ergebnis ✓

Welchen Weg solltest du nehmen?

  • Weg 1 ist schneller, wenn die Ganzen groß sind (bei 1213+71412\frac{1}{3} + 7\frac{1}{4} willst du nicht mit Dritteln von 1212 hantieren).
  • Weg 2 ist sicherer, weil der Übertrag nicht vergessen werden kann, und beim Multiplizieren später ohnehin Pflicht.

Probiere beide aus und nimm den, mit dem du dich sicherer fühlst.

Gemischte Zahlen subtrahieren

Beim Abziehen geht Weg 1 genauso, solange der Bruchteil vorn groß genug ist:

334−114=(3−1)+(34−14)=224=2123\frac{3}{4} - 1\frac{1}{4} = (3-1) + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}

Wenn der Bruchteil vorn nicht reicht

Jetzt dreh die Aufgabe um:

314−1343\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}

Die Ganzen sind kein Problem. Aber bei den stehst du vor 14−34\frac{1}{4} - \frac{3}{4}, von einem Viertel kannst du keine drei Viertel wegnehmen. (Zahlen unter null lernst du erst in Klasse 7 kennen.)

Heißt das, die Aufgabe geht nicht? Nein. Schau dir die beiden Zahlen an: 3143\frac{1}{4} ist deutlich größer als 1341\frac{3}{4}, es muss also etwas übrig bleiben. Nur der Weg stimmt noch nicht.

Ein Ganzes zerschneiden

Der entscheidende Gedanke: Du hast ja noch ganze Stücke übrig. Nimm dir eines davon und zerschneide es in Viertel.

Ein Ganzes sind genau vier Viertel:

1=441 = \frac{4}{4}

Aus den drei Ganzen werden dadurch zwei Ganze, und der Bruchteil wächst um vier Viertel:

314=2+44+14=2543\frac{1}{4} = 2 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{5}{4}

Der Wert hat sich dabei nicht geändert, du hast dieselbe Menge nur anders aufgeteilt. Zur Kontrolle: 254=2+114=3142\frac{5}{4} = 2 + 1\frac{1}{4} = 3\frac{1}{4} ✓

Jetzt reicht der Bruchteil, und du rechnest wie gewohnt:

254−134=(2−1)+(54−34)=124=1122\frac{5}{4} - 1\frac{3}{4} = (2-1) + \left(\frac{5}{4} - \frac{3}{4}\right) = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}

Diese Idee kennst du aus Klasse 5. Beim schriftlichen Subtrahieren war die obere Ziffer manchmal zu klein, dann hast du dir einen Zehner von der Nachbarstelle geholt und in zehn Einer aufgelöst. Hier ist es genau dasselbe, nur mit einer anderen Bündelgröße: ein Ganzes wird zu vier Vierteln.

Woran du vorher erkennst, welcher Fall vorliegt

Vergleiche die beiden Bruchteile, bevor du rechnest:

  • Ist der Bruchteil vorn größer oder gleich dem hinteren, rechnest du direkt.
  • Ist er kleiner, zerschneidest du zuerst ein Ganzes.

Haben die Bruchteile verschiedene , machst du sie dafür zuerst gleichnamig, sonst kannst du sie gar nicht vergleichen.

Weg 2 spart die Fallunterscheidung

Über unechte Brüche entfällt diese Überlegung:

314=134134=743\frac{1}{4} = \frac{13}{4} \qquad\qquad 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} 134−74=64=32=112\frac{13}{4} - \frac{7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}

Dasselbe Ergebnis ✓

Beim Subtrahieren ist das oft der bequemere Weg, weil du gar nicht erst prüfen musst, ob der Bruchteil reicht. Sind die Ganzen aber groß, gilt weiter, was oben steht: Dann werden die unechten Brüche unhandlich, und ein einziges Ganzes zu zerschneiden ist die kleinere Rechnung.

Ein Ganzes zerschneiden, die Fläche bleibt gleich

1111/4114/41/4

Oben 3143\tfrac{1}{4}: drei Ganze und ein Viertel. Unten dieselbe Menge nach dem Zerschneiden: Ein Ganzes wurde in 44\tfrac{4}{4} zerteilt, die gefärbte ist gleich geblieben, nur die Trennstriche sind dazugekommen. Jetzt liegen 44+14=54\tfrac{4}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4} in Vierteln bereit, und davon lassen sich 34\tfrac{3}{4} wegnehmen.

Denk weiter: Wann lohnt es sich, gemischte Zahlen vor dem Rechnen in unechte Brüche umzuwandeln, und wann ist das eher unpraktisch? Denk dir zu beiden Fällen ein eigenes Beispiel aus.

Denk dir die beiden Beispiele erst selbst aus. Entscheidend sind zwei Dinge: wie groß die Ganzen sind und ob die Bruchteile zusammen über 11 kommen (beim Abziehen: ob der Bruchteil vorn ausreicht).

Eher unpraktisch, wenn die Ganzen groß sind. Zum Beispiel:

2018+51420\frac{1}{8} + 5\frac{1}{4}

Als unechte wären das 1618\frac{161}{8} und 214\frac{21}{4}, mit solchen Zahlen rechnet niemand gern. Getrennt geht es im Kopf: 20+5=2520 + 5 = 25, dazu 18+28=38\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}, also 253825\frac{3}{8}. Ein Übertrag kann hier gar nicht auftreten, weil beide Bruchteile klein sind.

Es lohnt sich, wenn beide Bruchteile fast ein Ganzes sind. Zum Beispiel:

156+2341\frac{5}{6} + 2\frac{3}{4}

Hier ist der Übertrag sicher, denn 56+34=1912\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{19}{12} ist größer als 11. Wer ihn vergisst, schreibt 37123\frac{7}{12} statt 47124\frac{7}{12}. Über die unechten Brüche kann das nicht passieren:

2212+3312=5512=4712\frac{22}{12} + \frac{33}{12} = \frac{55}{12} = 4\frac{7}{12}

Beim Subtrahieren kommt ein zweiter Grund dazu: Über unechte Brüche musst du gar nicht erst prüfen, ob der Bruchteil vorn ausreicht, das Zerschneiden eines Ganzen entfällt.

Deine Beispiele dürfen ganz anders aussehen. Prüfe sie an diesen zwei Fragen: Werden die unechten Brüche unhandlich? Und reichen die Bruchteile für die Rechnung, die du vorhast?

Ungleichnamige Brüche addieren

Berechne 14+56\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6}.

  1. 1

    Was ist hier anders? Die sind verschieden (44 und 66). Viertel und Sechstel sind unterschiedlich große Stücke, du kannst sie nicht direkt zusammenzählen.

    Der Plan: Erst beide auf gleich große Stücke bringen, dann addieren.

    Vorüberlegung: 56\frac{5}{6} ist fast ein Ganzes, und 14\frac{1}{4} kommt noch dazu. Das Ergebnis wird also größer als 11 sein.

  2. 2

    Schritt 1: Den Hauptnenner finden. Gesucht ist die kleinste Zahl, die durch 44 und durch 66 ist.

    Prüfe zuerst den einfachen Fall: Ist 66 durch 44 teilbar? Nein.

    Also zählst du die auf:

    • Vielfache von 44: 4,8,12,16,…4, 8, \boldsymbol{12}, 16, \ldots
    • Vielfache von 66: 6,12,18,…6, \boldsymbol{12}, 18, \ldots

    Der Hauptnenner ist 1212.

  3. 3

    Schritt 2: Den ersten Bruch erweitern. Von 44 auf 1212 kommst du mit dem Faktor 33 (denn 4⋅3=124 \cdot 3 = 12).

    Erweitere beide Zahlen des Bruchs:

    14=1⋅34⋅3=312\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}
  4. 4

    Schritt 3: Den zweiten Bruch erweitern. Von 66 auf 1212 brauchst du den Faktor 22:

    56=5⋅26⋅2=1012\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}

    Jeder Bruch hat seinen eigenen Faktor, hier 33 und 22. Das ist kein Widerspruch: Beide Brüche landen beim selben Nenner 1212.

  5. 5

    Schritt 4: Jetzt addieren. Beide Brüche haben denselben Nenner, du kannst also die Zähler zusammenzählen:

    312+1012=1312\frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}
  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis prüfen und umformen. Kannst du kürzen? 1313 ist eine und 1212 ist nicht durch 1313 teilbar, also nein.

    Aber: Der Zähler ist größer als der Nenner. Das ist ein unechter Bruch, und den schreibt man besser als gemischte Zahl:

    13:12=1 Rest 1⟹1312=111213 : 12 = 1 \text{ Rest } 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}
  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle. Zwei Prüfungen:

    Stimmt die Vorhersage? Wir hatten erwartet, dass das Ergebnis größer als 11 ist. 11121\frac{1}{12} ist es ✓

    Ist es größer als beide Summanden? Beim Addieren positiver Zahlen muss das Ergebnis größer sein als jeder einzelne Summand. 1112>561\frac{1}{12} > \frac{5}{6} ✓ und >14> \frac{1}{4} ✓

    Diese zweite Kontrolle entlarvt den häufigsten Bruchrechen-Fehler: Wer Zähler und Nenner addiert, käme hier auf 610\frac{6}{10}, und das wäre kleiner als 56\frac{5}{6}. Unmöglich.

14+56=1312=1112\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}

Der Ablauf: Hauptnenner suchen → beide Brüche (jeder mit seinem eigenen Faktor) → addieren → prüfen → unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln.

Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Berechne a) 58+18\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{8} und b) 79−49\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9}.

  1. 1

    Was fällt bei beiden Aufgaben auf? Die sind jeweils gleich (88 und 88, dann 99 und 99).

    Das ist der einfache Fall: Alle Stücke sind gleich groß, du musst sie nur zählen. Kein nötig.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Die Zähler zusammenzählen. Fünf Achtelstücke und ein Achtelstück ergeben sechs Achtelstücke:

    58+18=5+18=68\frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5+1}{8} = \frac{6}{8}

    Der Nenner bleibt 88, die Stückgröße ändert sich beim Zusammenlegen nicht.

  3. 3

    Schritt 2: Kürzen prüfen. Das Ergebnis 68\frac{6}{8} ist richtig, aber noch nicht fertig. Haben 66 und 88 einen gemeinsamen ?

    Beide sind gerade, also geht es mit 22:

    6:28:2=34\frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

    33 und 44 haben keinen gemeinsamen Teiler mehr, jetzt ist der vollständig gekürzt.

  4. 4

    Schritt 3: Ergebnis a) prüfen. Ist 34\frac{3}{4} plausibel?

    Du hast zu 58\frac{5}{8} (etwas mehr als die Hälfte) noch ein kleines Stück addiert. Das Ergebnis muss also größer als 58\frac{5}{8}, aber kleiner als 11 sein.

    34=68\frac{3}{4} = \frac{6}{8} liegt genau dazwischen ✓

  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Die Zähler abziehen. Von sieben Neuntelstücken nimmst du vier weg:

    79−49=7−49=39\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9}

    Auch hier bleibt der Nenner 99 unverändert.

  6. 6

    Schritt 5: Wieder kürzen. Sind 33 und 99 durch dieselbe Zahl teilbar? Ja, durch 33:

    3:39:3=13\frac{3 : 3}{9 : 3} = \frac{1}{3}
  7. 7

    Schritt 6: Ergebnis b) prüfen. Beim Abziehen muss das Ergebnis kleiner werden als der Ausgangswert.

    13\frac{1}{3} ist kleiner als 79\frac{7}{9} ✓ (Zum Vergleich: 13=39\frac{1}{3} = \frac{3}{9}, und 3<73 < 7.)

    Ein häufiger Fehler wäre hier gewesen, auch die Nenner abzuziehen: 7−49−9=30\frac{7-4}{9-9} = \frac{3}{0}. Das wäre verboten, durch 00 darf man nicht teilen.

a) 58+18=68=34\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} · b) 79−49=39=13\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}

Zum Mitnehmen: Bei gleichen Nennern rechnest du nur mit den ; der Nenner bleibt unverändert. Prüfe am Ende immer, ob du kannst. Das wird oft vergessen.

Gemischte Zahlen addieren

Ein Rezept braucht 2342\frac{3}{4} Liter Wasser und 1121\frac{1}{2} Liter Milch. Wie viel Flüssigkeit ist das zusammen?

  1. 1

    Angaben ordnen. Gegeben sind zwei gemischte Zahlen, gesucht ist ihre Summe:

    234+1122\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}

    Vorüberlegung: Grob sind das etwa 33 und 1,51{,}5 Liter, zusammen ungefähr 4,54{,}5 Liter. In dieser Größenordnung muss das Ergebnis liegen.

  2. 2

    Schritt 1: Den Rechenweg wählen. Es gibt zwei Wege. Wir nehmen den ersten (Ganze und Brüche getrennt) und prüfen am Ende mit dem zweiten.

    Warum dieser Weg? Die Ganzen sind hier klein, das lässt sich gut im Kopf rechnen.

  3. 3

    Schritt 2: Die Ganzen addieren.

    2+1=32 + 1 = 3

    Diese 33 merkst du dir. Sie ist noch nicht das Endergebnis.

  4. 4

    Schritt 3: Die Brüche gleichnamig machen. Jetzt der Bruchteil: 34+12\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.

    Die sind verschieden. Prüfe den einfachen Fall: Ist 44 durch 22 ? Ja, also ist 44 der Hauptnenner, und nur der zweite Bruch muss werden:

    12=1⋅22⋅2=24\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}
  5. 5

    Schritt 4: Die Brüche addieren.

    34+24=54\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}

    Achtung. Hier kommt der wichtige Punkt dieser Aufgabe. Der ist größer als der Nenner. In diesen Fünf-Vierteln steckt also noch ein ganzer Liter:

    54=114\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}
  6. 6

    Schritt 5: Alles zusammensetzen. Zu den 33 Ganzen aus Schritt 2 kommt jetzt noch das ganze Stück aus dem Bruchteil dazu:

    3+114=4143 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}

    Diesen Übertrag zu vergessen ist der häufigste Fehler bei gemischten Zahlen. Als Ergebnis 3543\frac{5}{4} stehen zu lassen, wäre nicht falsch gerechnet, aber unsauber aufgeschrieben.

  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle über den zweiten Weg. Rechne dieselbe Aufgabe mit unechten Brüchen. Das ist eine echte Gegenprobe, weil der Weg ganz anders verläuft:

    234=2⋅4+34=114112=1⋅2+12=32=642\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \qquad 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} 114+64=174\frac{11}{4} + \frac{6}{4} = \frac{17}{4} 17:4=4 Rest 1⟹174=414  ✓17 : 4 = 4 \text{ Rest } 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} \;\checkmark

    Beide Wege liefern dasselbe.

  8. 8

    Schritt 7: Einheit und Antwortsatz. Die Aufgabe fragt nach einer Flüssigkeitsmenge, also gehört die Einheit Liter dazu.

    „Zusammen sind es 4144\frac{1}{4} Liter Flüssigkeit."

    Und der Überschlag von oben? Wir hatten etwa 4,54{,}5 Liter erwartet, herausgekommen sind 4,254{,}25 Liter ✓ Das passt gut zusammen.

Zusammen sind es 4144\frac{1}{4} Liter.

Zum Mitnehmen: Bei gemischten Zahlen kannst du Ganze und getrennt addieren, aber prüfe am Ende, ob im Bruchteil noch ein Ganzes steckt und rechne es zu den Ganzen dazu. Wer sicher gehen will, wandelt vorher alles in unechte Brüche um.

Gemischte Zahlen subtrahieren

In einem Krug sind 3143\frac{1}{4} Liter Saft. Du gießt 1231\frac{2}{3} Liter in eine Kanne um. Wie viel Saft bleibt im Krug?

  1. 1

    Angaben ordnen. Im Krug sind 3143\frac{1}{4} Liter, abgegossen werden 1231\frac{2}{3} Liter. Gesucht ist der Rest:

    314−1233\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3}

    Vorüberlegung: 3143\frac{1}{4} ist gut 33 Liter, 1231\frac{2}{3} ist knapp 22 Liter. Es müsste also ungefähr anderthalb Liter übrig bleiben.

  2. 2

    Schritt 1: Die Bruchteile gleichnamig machen. Die sind verschieden (44 und 33). Viertel und Drittel sind unterschiedlich große Stücke, so kannst du sie weder voneinander abziehen noch vergleichen.

    Prüfe den einfachen Fall: Ist 44 durch 33 ? Nein. Also zählst du die auf:

    • Vielfache von 44: 4,8,12,…4, 8, \boldsymbol{12}, \ldots
    • Vielfache von 33: 3,6,9,12,…3, 6, 9, \boldsymbol{12}, \ldots

    Der Hauptnenner ist 1212:

    14=31223=812\frac{1}{4} = \frac{3}{12} \qquad\qquad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} 314−123=3312−18123\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3} = 3\frac{3}{12} - 1\frac{8}{12}
  3. 3

    Schritt 2: Reicht der Bruchteil vorn? Jetzt haben beide Bruchteile denselben Nenner, also entscheidet der :

    3<83 < 8

    Von drei Zwölfteln kannst du keine acht Zwölftel wegnehmen. Der Bruchteil reicht nicht, du musst erst ein Ganzes zerschneiden.

    Diese Prüfung gehört vor jede Subtraktion gemischter Zahlen. Wer sie überspringt, zieht die Bruchteile leicht in der falschen Richtung voneinander ab.

  4. 4

    Schritt 3: Ein Ganzes in Zwölftel zerschneiden. Ein Ganzes sind genau zwölf Zwölftel:

    1=12121 = \frac{12}{12}

    Nimm eines der drei Ganzen und schreibe es als Bruchteil um. Aus 33 Ganzen werden 22, und der Bruchteil wächst um zwölf Zwölftel:

    3312=2+1212+312=215123\frac{3}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{3}{12} = 2\frac{15}{12}

    Kontrolle, dass sich der Wert nicht geändert hat: 21512=2+1312=33122\frac{15}{12} = 2 + 1\frac{3}{12} = 3\frac{3}{12} ✓

  5. 5

    Schritt 4: Jetzt subtrahieren. Ganze und Bruchteile getrennt:

    Die Ganzen: 2−1=12 - 1 = 1

    Die Brüche: 1512−812=712\dfrac{15}{12} - \dfrac{8}{12} = \dfrac{7}{12}

    314−123=17123\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3} = 1\frac{7}{12}
  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis aufräumen. Zwei Prüfungen gehören immer dazu:

    Kannst du ? 77 ist eine , und 1212 ist nicht durch 77 teilbar, also nein.

    Ist der Bruchteil echt? 7<127 < 12, der Bruchteil ist also kleiner als ein Ganzes. Die gemischte Zahl ist damit sauber geschrieben.

  7. 7

    Schritt 6: Gegenprobe über den zweiten Weg. Rechne dieselbe Aufgabe über unechte Brüche, der Weg verläuft ganz anders, deshalb ist es eine echte Kontrolle:

    314=134=3912123=53=20123\frac{1}{4} = \frac{13}{4} = \frac{39}{12} \qquad\qquad 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} = \frac{20}{12} 3912−2012=1912\frac{39}{12} - \frac{20}{12} = \frac{19}{12} 19:12=1 Rest 7⟹1912=1712  ✓19 : 12 = 1 \text{ Rest } 7 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12} \;\checkmark

    Hier war kein Zerschneiden nötig. Das ist der Vorteil dieses Wegs beim Abziehen.

  8. 8

    Schritt 7: Einheit und Antwortsatz. Gefragt war eine Flüssigkeitsmenge, also gehört Liter dazu.

    „Im Krug bleiben 17121\frac{7}{12} Liter Saft."

    Und der von oben? Erwartet hatten wir ungefähr anderthalb Liter. 712\frac{7}{12} ist etwas mehr als die Hälfte, das Ergebnis liegt also knapp darüber ✓

Im Krug bleiben 17121\frac{7}{12} Liter Saft.

Zum Mitnehmen: Beim Subtrahieren gemischter Zahlen kommt ein Schritt dazu, den es beim Addieren nicht gibt: Prüfe zuerst, ob der Bruchteil vorn ausreicht. Wenn nicht, zerschneidest du ein Ganzes in Bruchteile, genau wie beim Borgen in Klasse 5. Über unechte entfällt diese Prüfung.

Typischer Fehler

12+13=25\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}. Hier wurden und addiert.

Nenner werden beim Addieren niemals addiert! Der Nenner sagt nur, in wie viele Teile das Ganze zerlegt ist. Richtig: Hauptnenner 6 bilden, 12=36\frac{1}{2} = \frac{3}{6} und 13=26\frac{1}{3} = \frac{2}{6}, also 36+26=56\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}. Plausibilitätscheck: 25\frac{2}{5} wäre kleiner als 12\frac{1}{2}, beim Addieren von etwas Positivem muss das Ergebnis aber größer werden!

Übung 1

leicht

Berechne 29+59\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}.

Tipp anzeigen

Die sind gleich, addiere nur die .

Lösung anzeigen

29+59=2+59=79\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{2+5}{9} = \dfrac{7}{9}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Nenner vergleichen

    Beide haben den Nenner 99, sie sind gleichnamig. Neuntel und Neuntel sind gleich große Stücke, wir dürfen direkt addieren.

  2. 2

    Nur die Zähler addieren

    22 Neuntel plus 55 Neuntel sind 77 Neuntel: 29+59=2+59=79\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}. Der Nenner bleibt.

    29+59=79\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{7}{9}

    Zwischenergebnis

    79\dfrac{7}{9}

  3. 3

    Ergebnis prüfen

    ? 77 ist prim, 9=3⋅39 = 3 \cdot 3, kein gemeinsamer , fertig. Plausibel? 79\frac{7}{9} ist knapp unter 11, und 29+59\frac{2}{9} + \frac{5}{9} sollte knapp unter 99=1\frac{9}{9} = 1 liegen ✓.

Übung 2

mittel

Berechne 23−14\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}.

Tipp anzeigen

Der Hauptnenner von 3 und 4 ist 12.

Lösung anzeigen

: 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12} und 14=312\frac{1}{4} = \frac{3}{12}

812−312=512\dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Wir sollen 14\frac{1}{4} von 23\frac{2}{3} abziehen. Die beiden haben verschiedene (33 und 44): Drittel und Viertel sind verschieden große Stücke eines Ganzen. Verschieden große Stücke kann man nicht direkt voneinander abziehen. Wie viel übrig bleibt, lässt sich erst sagen, wenn alle Stücke gleich groß geschnitten sind.

  2. 2

    Gemeinsamen Nenner finden

    Wir suchen eine Stückgröße, in der sich Drittel und Viertel ausdrücken lassen. Das klappt mit jedem gemeinsamen von 33 und 44, am einfachsten mit dem kleinsten: 1212. In Zwölfteln lassen sich beide Brüche schreiben.

    Typischer Fehler: minus Zähler und Nenner minus Nenner. Das ergäbe 2−13−4=1−1=−1\frac{2-1}{3-4} = \frac{1}{-1} = -1. Ein Blick auf die Aufgabe zeigt sofort, dass das nicht stimmen kann: Wir ziehen von 23\frac{2}{3} nur ein Viertel ab, das Ergebnis kann nicht −1-1 sein.

  3. 3

    Beide Brüche auf Zwölftel erweitern

    Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht, denn die Stücke werden zwar feiner, dafür sind es entsprechend mehr. 23\frac{2}{3} erweitern wir mit 44, 14\frac{1}{4} mit 33.

    23=2⋅43⋅4=81214=1⋅34⋅3=312\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12} \qquad \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{3}{12}

    Zwischenergebnis

    812−312\dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12}

  4. 4

    Zähler subtrahieren

    Jetzt sind alle Stücke gleich groß (Zwölftel). Deshalb ziehen wir nur die Anzahl der Stücke voneinander ab: 8−3=58 - 3 = 5 Stücke. Die Stückgröße bleibt gleich, der Nenner 1212 ändert sich nicht.

    812−312=8−312\dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{8-3}{12}

    Zwischenergebnis

    512\dfrac{5}{12}

  5. 5

    Ergebnis prüfen

    Lässt sich 512\frac{5}{12} noch ? 55 ist eine und 1212 ist nicht durch 55 , der Bruch ist also fertig gekürzt. Plausibel? 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12} ist etwas mehr als die Hälfte (612\frac{6}{12}). Wir ziehen 312\frac{3}{12} ab und landen mit 512\frac{5}{12} knapp unter der Hälfte. Das passt zusammen.

Übung 3

schwer

Berechne a) 534−2145\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} und b) 413−1564\frac{1}{3} - 1\frac{5}{6}.

Tipp anzeigen

b) Vergleiche zuerst die beiden Bruchteile, reicht der vordere aus?

Lösung anzeigen

a) Die sind gleich, und 34\frac{3}{4} ist größer als 14\frac{1}{4}, der Bruchteil vorn reicht, du kannst direkt rechnen:

534−214=(5−2)+(34−14)=324=3125\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} = (5-2) + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) = 3\frac{2}{4} = 3\frac{1}{2}

b) Erst gleichnamig machen (Hauptnenner 66): 13=26\frac{1}{3} = \frac{2}{6}, also 426−1564\frac{2}{6} - 1\frac{5}{6}.

Vergleich: 2<52 < 5, der Bruchteil vorn reicht nicht. Zerschneide ein Ganzes (1=661 = \frac{6}{6}):

426=3+66+26=3864\frac{2}{6} = 3 + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = 3\frac{8}{6} 386−156=(3−1)+(86−56)=236=2123\frac{8}{6} - 1\frac{5}{6} = (3-1) + \left(\frac{8}{6} - \frac{5}{6}\right) = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}
Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Ganze und Bruchteile getrennt anschauen

    Bei 534−2145\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} sind die Nenner gleich und 34>14\frac{3}{4} > \frac{1}{4}, der vordere Bruchteil reicht. Also getrennt rechnen: Ganze minus Ganze, Bruchteil minus Bruchteil.

    534−214=324=3125\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} = 3\frac{2}{4} = 3\frac{1}{2}

  2. 2

    b) Gleichnamig machen

    Bei 413−1564\frac{1}{3} - 1\frac{5}{6} sind die Nenner verschieden. Hauptnenner 66: 13=26\frac{1}{3} = \frac{2}{6}, die Aufgabe wird zu 426−1564\frac{2}{6} - 1\frac{5}{6}.

    Zwischenergebnis

    426−1564\frac{2}{6} - 1\frac{5}{6}

  3. 3

    b) Ein Ganzes zerschneiden

    Jetzt zeigt der Vergleich: 26<56\frac{2}{6} < \frac{5}{6}, der Bruchteil reicht NICHT. Wir wechseln ein Ganzes in Sechstel: 426=3+66+26=3864\frac{2}{6} = 3 + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = 3\frac{8}{6}.

  4. 4

    b) Getrennt abziehen und prüfen

    386−156=(3−1)+(86−56)=236=2123\frac{8}{6} - 1\frac{5}{6} = (3-1) + (\frac{8}{6} - \frac{5}{6}) = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}. Probe grob: 413≈4,34\frac{1}{3} \approx 4{,}3 minus 156≈1,81\frac{5}{6} \approx 1{,}8 ergibt ≈2,5\approx 2{,}5 ✓.

Alternative Lösungswege

Zusammenfassung

Gleichnamige addierst du direkt über die . Ungleichnamige Brüche bringst du zuerst auf den Hauptnenner. Am Ende immer prüfen: Kann ich ? Ist der Bruch unecht und soll als gemischte Zahl geschrieben werden?