Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Mechanik

Kraftumformende Einrichtungen: Hebel, Rollen, Flaschenzug

Wie man mit wenig Kraft viel bewegt, und warum man dabei trotzdem nichts geschenkt bekommt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Mit einer Brechstange hebelt ein einzelner Mensch einen Stein aus dem Boden, den er niemals tragen könnte. Mit einem Flaschenzug zieht ein Kind eine Last hoch, für die sonst vier Erwachsene nötig wären.

Sieht aus wie Zauberei, ist aber ein Handel. Alle diese Einrichtungen geben dir und nehmen dir dafür Weg ab: Du musst weiter ziehen oder drücken. Was du am Ende einsetzt, bleibt dasselbe. Diese Erkenntnis heißt Goldene Regel der Mechanik und ist einer der ältesten Sätze der Physik.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, was eine kraftumformende Einrichtung leistet und was sie nicht leistet.

  • das Hebelgesetz anwenden und begründen, warum es so aussieht.

  • zwischen einseitigem und zweiseitigem Hebel unterscheiden.

  • die Wirkung von fester und loser Rolle sowie des Flaschenzugs beschreiben und berechnen.

  • die Goldene Regel der Mechanik formulieren und an Beispielen prüfen.

  • Alltagsgeräte als kraftumformende Einrichtungen erkennen.

Der zweiseitige Hebel

Ein Hebel ist ein starrer Körper, der um einen festen Punkt, den Drehpunkt, drehbar ist. Beim zweiseitigen Hebel liegen die beiden auf verschiedenen Seiten des Drehpunkts: Wippe, Schere, Zange, Brechstange.

Der Versuch am Hebelbalken zeigt schnell, worauf es ankommt. Man hängt links im Abstand l1l_1 die Kraft F1F_1 an und sucht rechts eine Kombination aus Abstand l2l_2 und Kraft F2F_2, bei der der Balken waagerecht bleibt:

F1F_1l1l_1F2F_2l2l_2F1⋅l1F_1 \cdot l_1F2⋅l2F_2 \cdot l_2
2 N20 cm4 N10 cm40 N·cm40 N·cm
2 N20 cm1 N40 cm40 N·cm40 N·cm
3 N15 cm5 N9 cm45 N·cm45 N·cm

Weder die Kräfte allein noch die Abstände allein sind gleich. Gleich ist immer nur das Produkt aus beiden. Damit steht das Hebelgesetz da:

F1⋅l1=F2⋅l2\boxed{F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2}

Das Produkt F⋅lF \cdot l heißt Drehmoment und beschreibt die Drehwirkung einer Kraft. Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente gleich groß sind.

Warum das Produkt und nicht die Summe? Anschaulich: Eine Kraft weit außen hat einen langen Hebelarm und dreht deshalb kräftiger als dieselbe Kraft nahe am Drehpunkt. Verdoppelt man den Abstand, verdoppelt sich die Drehwirkung, und genau das leistet eine Multiplikation. Der Versuch bestätigt das für alle geprüften Kombinationen.

🔴 Der Kraftarm ll wird immer senkrecht vom Drehpunkt zur Wirkungslinie der Kraft gemessen, nicht schräg am Balken entlang. Solange die Kräfte senkrecht am waagerechten Balken angreifen, ist das dasselbe; sobald schräg gezogen wird, nicht mehr.

DrehpunktF₁ = 10 NF₂ = 20 Nl₁ = 40 cml₂ = 20 cmZweiseitiger Hebel im GleichgewichtF₁ · l₁ = F₂ · l₂ → 10 N · 40 cm = 20 N · 20 cm

Die Hebelarme sind maßstäblich gezeichnet: l₁ ist doppelt so lang wie l₂, und genau deshalb genügt links die halbe . Rechne die Zeile unten nach, dann hast du das Hebelgesetz nicht auswendig gelernt, sondern nachgeprüft.

Der einseitige Hebel

Beim einseitigen Hebel greifen beide auf derselben Seite des Drehpunkts an. Beispiele: Schubkarre (Drehpunkt am Rad), Nussknacker, Flaschenöffner, dein Unterarm.

Das Hebelgesetz gilt unverändert, man muss nur die Abstände richtig vom Drehpunkt aus messen. Bei der Schubkarre sitzt die Last nahe am Rad (kurzer Lastarm) und die Hand weit weg (langer Kraftarm), deshalb spart man Kraft.

Beim Unterarm ist es umgekehrt und lehrreich: Der Bizeps setzt nur wenige Zentimeter hinter dem Ellenbogen an, die Hand ist rund 35 cm35\,\text{cm} entfernt. Der Muskel muss deshalb ein Vielfaches der Last aufbringen. Der Körper „verschwendet" hier Kraft, gewinnt aber Geschwindigkeit und Reichweite der Hand, und das war für unsere Vorfahren offenbar der wichtigere Vorteil.

Feste und lose Rolle

Eine feste Rolle ist an der Decke befestigt und dreht sich nur.

  • Kraftaufwand: unverändert, F=FGF = F_G.
  • Nutzen: Sie lenkt die um. Du kannst nach unten ziehen, statt nach oben zu heben, und dabei dein eigenes Gewicht einsetzen.
  • Weg: unverändert.

Eine lose Rolle hängt in der Schnur und wird mit angehoben.

  • Kraftaufwand: halbiert, F=FG2F = \frac{F_G}{2}.
  • Grund: Die Last hängt an zwei tragenden Schnurstücken, und jedes trägt die Hälfte.
  • Weg: verdoppelt. Um die Last um 1 m1\,\text{m} zu heben, musst du 2 m2\,\text{m} Seil einziehen, denn beide tragenden Stücke müssen sich um 1 m1\,\text{m} verkürzen.
feste Rolle20 NF = 20 NRichtung umgekehrtF gleich, s(Zug) = s(Hub)lose Rolle20 NF = 10 NKraft halbierts(Zug) = 2 · s(Hub)Kraft gespart heißt Weg bezahlt

Die feste Rolle ändert nur die Richtung, an der ändert sie nichts. Die lose Rolle halbiert die Kraft, dafür musst du das Seil doppelt so weit ziehen. Achte auf die zweite Zeile unter jedem Bild, dort steht der Weg.

Der Flaschenzug

Ein Flaschenzug kombiniert feste und lose Rollen. Entscheidend ist die Anzahl nn der tragenden Schnurstücke, also der Seilstücke, die an der beweglichen Rolle nach oben gehen:

F=FGnunds=n⋅hF = \frac{F_G}{n} \qquad \text{und} \qquad s = n \cdot h

Dabei ist hh die Hubhöhe der Last und ss die Länge des Seils, das du einziehen musst.

Bei n=4n = 4 brauchst du also nur ein Viertel der , musst aber viermal so viel Seil ziehen.

40 NF = 10 NFlaschenzug mit 4 tragenden Seilstücken4 tragendeSeilstückeEin Viertel der Kraft, vierfacher Weg

Zähle die gelb hervorgehobenen Seilstücke zwischen den Rollen: vier. Deshalb trägt jedes ein Viertel der Last. Die Zugseite rechts zählt nicht mit, an ihr ziehst du ja.

Die Goldene Regel der Mechanik

Multiplizieren wir bei jeder dieser Einrichtungen und Weg:

  • Lose Rolle: FG2⋅2h=FG⋅h\frac{F_G}{2} \cdot 2h = F_G \cdot h
  • Flaschenzug: FGn⋅n⋅h=FG⋅h\frac{F_G}{n} \cdot n \cdot h = F_G \cdot h
  • Hebel: F1⋅s1=F2⋅s2F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2 (die Wegverhältnisse entsprechen den Hebelarmen)

Immer dasselbe Ergebnis. Das ist die Goldene Regel der Mechanik:

Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.

Das Produkt F⋅sF \cdot s heißt Arbeit und ist die Größe, die tatsächlich erhalten bleibt. Sie wird in Klasse 8 ausführlich behandelt; hier genügt die Beobachtung, dass keine kraftumformende Einrichtung sie verringert.

Warum diese Regel so wichtig ist: Sie sagt voraus, dass es keine Maschine geben kann, die aus nichts einen Gewinn erzeugt. Über Jahrhunderte haben Erfinder versucht, ein „Perpetuum mobile" zu bauen. Alle sind gescheitert, und die Goldene Regel erklärt, warum das kein Zufall war.

Einschränkung, ehrlich gesagt: In der Praxis muss man sogar etwas mehr hineinstecken, weil in Lagern und Seilen Energie in Wärme umwandelt. Die Goldene Regel beschreibt den idealen Fall ohne Reibung; wie viel im echten Gerät ankommt, misst der Wirkungsgrad (Klasse 8).

Kraft mal Weg bleibt gleichKraftWegdirekt heben40 N60 cmlose Rolle20 N120 cmFlaschenzug (n = 4)10 N240 cm40 · 60 = 20 · 120 = 10 · 240 = 2400 N·cm

Drei Wege, dieselbe Last zu heben. Multipliziere in jeder Zeile mal Weg: Es kommt jedes Mal 2400 N·cm heraus. Kraft kannst du sparen, Arbeit nicht.

Kraftumformende Einrichtungen im Alltag

GerätPrinzipWas es bringt
Scherezweiseitiger Hebelgroße Schneidkraft
Nussknackereinseitiger HebelKraftverstärkung
Schubkarreeinseitiger HebelLast mit halber heben
FahrradbremseHebel + SeilzugHandkraft wird zur Bremskraft
KranFlaschenzugtonnenschwere Lasten
TürklinkeHebelSchloss mit wenig Kraft öffnen
SchraubenschlüsselHebelgroßes Drehmoment

Bei allen gilt dieselbe Bilanz: mehr Kraft, dafür mehr Weg, oder umgekehrt.

Hebelgesetz anwenden

Ein Stein wird mit einer 1,5 m1{,}5\,\text{m} langen Brechstange angehoben. Der Drehpunkt (ein untergelegter Klotz) liegt 20 cm20\,\text{cm} vom Stein entfernt. Der Stein drückt mit 900 N900\,\text{N} auf die Stange.

a) Welche muss am anderen Ende aufgebracht werden?

b) Um wie viel muss man das lange Ende herunterdrücken, damit sich der Stein um 4 cm4\,\text{cm} hebt?

c) Prüfe die Goldene Regel.

  1. 1

    a) Die beiden Hebelarme bestimmen. Der Drehpunkt teilt die Stange:

    l1=20 cm (Lastarm),l2=150 cm−20 cm=130 cm (Kraftarm)l_1 = 20\,\text{cm} \text{ (Lastarm)}, \qquad l_2 = 150\,\text{cm} - 20\,\text{cm} = 130\,\text{cm} \text{ (Kraftarm)}
  2. 2

    Hebelgesetz nach F2F_2 umstellen und einsetzen:

    F1⋅l1=F2⋅l2⇒F2=F1⋅l1l2F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2 \quad \Rightarrow \quad F_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{l_2} F2=900 N⋅20 cm130 cm≈138,5 NF_2 = \frac{900\,\text{N} \cdot 20\,\text{cm}}{130\,\text{cm}} \approx 138{,}5\,\text{N}

    Die Einheit cm kürzt sich weg, N bleibt übrig. Statt 900 N900\,\text{N} genügen also rund 139 N139\,\text{N}, ungefähr das, was ein Erwachsener bequem aufbringt.

  3. 3

    b) Die Wege verhalten sich wie die Hebelarme. Beide Enden drehen sich um denselben Winkel; wer weiter außen sitzt, legt dabei den längeren Weg zurück:

    s2s1=l2l1⇒s2=s1⋅l2l1=4 cm⋅13020=26 cm\frac{s_2}{s_1} = \frac{l_2}{l_1} \quad \Rightarrow \quad s_2 = s_1 \cdot \frac{l_2}{l_1} = 4\,\text{cm} \cdot \frac{130}{20} = 26\,\text{cm}
  4. 4

    c) Beide Produkte ausrechnen (in gleichen Einheiten, hier Meter):

    F1⋅s1=900 N⋅0,04 m=36 N mF_1 \cdot s_1 = 900\,\text{N} \cdot 0{,}04\,\text{m} = 36\,\text{N}\,\text{m} F2⋅s2=138,5 N⋅0,26 m≈36 N mF_2 \cdot s_2 = 138{,}5\,\text{N} \cdot 0{,}26\,\text{m} \approx 36\,\text{N}\,\text{m}

    Gleich. Die Goldene Regel ist bestätigt: Die Kraft ist auf ein Sechstel gesunken, der Weg auf das Sechsfache gestiegen.

F2≈139 NF_2 \approx 139\,\text{N}, Weg 26 cm26\,\text{cm}. Man spart etwa 85 %85\,\% der Kraft und zahlt mit dem sechsfachen Weg. Genau deshalb ist die Brechstange lang und der Klotz dicht am Stein.

Flaschenzug berechnen

Eine Last von 600 N600\,\text{N} soll mit einem Flaschenzug 3 m3\,\text{m} hoch gezogen werden. Der Flaschenzug hat vier tragende Schnurstücke.

a) Welche Zugkraft ist nötig?

b) Wie viel Seil muss eingezogen werden?

c) Vergleiche das Produkt aus und Weg mit dem direkten Heben.

d) In Wirklichkeit sind 170 N170\,\text{N} nötig. Erkläre.

  1. 1

    a) Die Last verteilt sich auf alle tragenden Schnurstücke. Bei vier Stücken trägt jedes ein Viertel:

    F=FGn=600 N4=150 NF = \frac{F_G}{n} = \frac{600\,\text{N}}{4} = 150\,\text{N}
  2. 2

    b) Jedes der vier Stücke muss sich um die Hubhöhe verkürzen, und die gesamte Verkürzung wandert in dein Seilende:

    s=n⋅h=4⋅3 m=12 ms = n \cdot h = 4 \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}
  3. 3

    c) Beide Produkte vergleichen:

    • Mit Flaschenzug: 150 N⋅12 m=1800 N m150\,\text{N} \cdot 12\,\text{m} = 1800\,\text{N}\,\text{m}
    • Direkt gehoben: 600 N⋅3 m=1800 N m600\,\text{N} \cdot 3\,\text{m} = 1800\,\text{N}\,\text{m}

    Identisch. Der Flaschenzug verteilt die Anstrengung auf eine längere Strecke, verringert sie aber nicht.

  4. 4

    d) Die Differenz sind 170 N−150 N=20 N170\,\text{N} - 150\,\text{N} = 20\,\text{N}, also gut 13 %13\,\% mehr als berechnet. Ursache ist die Reibung in den Rollenlagern und die Steifigkeit des Seils, das über jede Rolle gebogen und wieder gestreckt werden muss. Beides wandelt einen Teil der eingesetzten Energie in Wärme um.

    Diese Zusatzkraft ist unvermeidbar. Die Berechnung liefert deshalb immer einen unteren Grenzwert: weniger als 150 N150\,\text{N} geht garantiert nicht, mehr als 150 N150\,\text{N} ist die Realität.

a) 150 N150\,\text{N} b) 12 m12\,\text{m} c) beide Male 1800 N m1800\,\text{N}\,\text{m} d) und Seilsteifigkeit erklären die zusätzlichen 20 N20\,\text{N}.

Typischer Fehler

„Mit einem Flaschenzug mit vier Rollen brauche ich nur ein Viertel der ."

Fast richtig, aber die entscheidende Zahl ist verwechselt. Maßgeblich ist nicht die Anzahl der Rollen, sondern die Anzahl der tragenden Schnurstücke, also der Seilstücke, die an der beweglichen Rolle nach oben laufen.

Der Unterschied ist bedeutsam:

  • Eine feste Rolle spart überhaupt keine Kraft, sie lenkt nur um. Zählt man sie mit, rechnet man sich die Anlage besser, als sie ist.
  • Bei einem Flaschenzug mit zwei festen und zwei losen Rollen ist n=4n = 4, nicht n=2n = 2.
  • Auch der Weg richtet sich nach nn, nicht nach der Rollenzahl.

Die zuverlässige Methode: Zeichne den Seilverlauf und zähle alle Seilstücke, die an der beweglichen Rolle (also am Lastblock) nach oben gehen. Das Seilstück in deiner Hand zählt nur mit, wenn es ebenfalls nach oben geht.

Und noch etwas gehört dazu: Die Rechnung F=FGnF = \frac{F_G}{n} ist der Idealfall. Real braucht man wegen der etwas mehr, nie weniger.

Übung 1

leicht

Auf einer Wippe sitzt links ein Kind (F1=300 NF_1 = 300\,\text{N}) im Abstand 2,0 m2{,}0\,\text{m} vom Drehpunkt. Rechts sitzt ein Kind mit 400 N400\,\text{N}.

In welchem Abstand vom Drehpunkt muss es sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Tipp anzeigen

Hebelgesetz nach l2l_2 umstellen.

Lösung anzeigen
F1⋅l1=F2⋅l2⇒l2=F1⋅l1F2F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2 \quad \Rightarrow \quad l_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{F_2} l2=300 N⋅2,0 m400 N=1,5 ml_2 = \frac{300\,\text{N} \cdot 2{,}0\,\text{m}}{400\,\text{N}} = 1{,}5\,\text{m}

Kontrolle: Das schwerere Kind sitzt näher am Drehpunkt. Das passt zur Regel „längerer Arm gehört zur kleineren " und deckt sich mit dem, was jeder vom Spielplatz kennt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Hebel benennen

    Gegeben: links F1=300 NF_1 = 300\,\text{N} im Abstand l1=2,0 ml_1 = 2{,}0\,\text{m}, rechts F2=400 NF_2 = 400\,\text{N}. Gesucht: der Abstand l2l_2, bei dem Gleichgewicht herrscht. Alle Abstände zählen vom Drehpunkt aus.

  2. 2

    Das Hebelgesetz und warum es Produkte vergleicht

    Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Produkte aus Kraft und zugehörigem Abstand auf beiden Seiten gleich sind: F1⋅l1=F2⋅l2F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2.

  3. 3

    Nach dem gesuchten Abstand umstellen

    Gesucht ist l2l_2. Man teilt beide Seiten durch F2F_2 und erhält l2=F1⋅l1F2l_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{F_2}.

  4. 4

    Den Abstand berechnen

    Die gegebenen Werte einsetzen; Newton kürzt sich heraus, es bleiben Meter.

    l2=300 N⋅2,0 m400 N=1,5 ml_2 = \frac{300\,\text{N} \cdot 2{,}0\,\text{m}}{400\,\text{N}} = 1{,}5\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    l2=1,5 ml_2 = 1{,}5\,\text{m}

  5. 5

    Ergebnis deuten: die Spielplatz-Probe

    Das schwerere Kind sitzt näher am Drehpunkt. Das passt zur Regel „längerer Arm gehört zur kleineren Kraft" und zu dem, was jeder vom Spielplatz kennt.

Übung 2

mittel

Eine Schubkarre ist ein einseitiger Hebel. Der Drehpunkt liegt in der Radachse. Die Last (FG=500 NF_G = 500\,\text{N}) wirkt 50 cm50\,\text{cm} hinter der Achse, die Griffe sind 140 cm140\,\text{cm} von der Achse entfernt.

a) Welche muss man an den Griffen aufbringen?

b) Um wie viel heben sich die Griffe, wenn sich die Last um 10 cm10\,\text{cm} hebt?

c) Prüfe die Goldene Regel.

Tipp anzeigen

Bei der Schubkarre liegen beide Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts. Das Hebelgesetz gilt trotzdem unverändert.

Lösung anzeigen

a) F2=F1⋅l1l2=500 N⋅50 cm140 cm≈178,6 NF_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{l_2} = \frac{500\,\text{N} \cdot 50\,\text{cm}}{140\,\text{cm}} \approx 178{,}6\,\text{N}

Statt 500 N500\,\text{N} genügen rund 179 N179\,\text{N}, also gut ein Drittel.

b) Die Wege verhalten sich wie die Hebelarme:

s2=s1⋅l2l1=10 cm⋅14050=28 cms_2 = s_1 \cdot \frac{l_2}{l_1} = 10\,\text{cm} \cdot \frac{140}{50} = 28\,\text{cm}

c) F1⋅s1=500 N⋅0,10 m=50 N mF_1 \cdot s_1 = 500\,\text{N} \cdot 0{,}10\,\text{m} = 50\,\text{N}\,\text{m}

F2⋅s2=178,6 N⋅0,28 m≈50 N mF_2 \cdot s_2 = 178{,}6\,\text{N} \cdot 0{,}28\,\text{m} \approx 50\,\text{N}\,\text{m}

Beide Produkte stimmen überein, die Goldene Regel gilt auch hier. Kraft auf etwa ein Drittel, Weg auf knapp das Dreifache.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht an der Schubkarre

    Gegeben: Last F1=500 NF_1 = 500\,\text{N} im Abstand l1=50 cml_1 = 50\,\text{cm} von der Achse, Griffe bei l2=140 cml_2 = 140\,\text{cm}. Gesucht: a) die Griffkraft, b) der Weg der Griffe, c) die Prüfung der Goldenen Regel. Der Drehpunkt ist die Radachse.

  2. 2

    a) Hebelgesetz, auch beim einseitigen Hebel

    Es gilt unverändert F1⋅l1=F2⋅l2F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2. Die Griffkraft ist also umso kleiner, je länger der Griffarm im Vergleich zum Lastarm ist.

  3. 3

    a) Die nötige Griffkraft

    Nach F2F_2 umgestellt und eingesetzt. Weil die beiden Abstände in derselben Einheit stehen, kürzen sich die Zentimeter heraus. Es bleibt Newton.

    F2=F1⋅l1l2=500 N⋅50 cm140 cm≈178,6 NF_2 = \frac{F_1 \cdot l_1}{l_2} = \frac{500\,\text{N} \cdot 50\,\text{cm}}{140\,\text{cm}} \approx 178{,}6\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    F2≈179 NF_2 \approx 179\,\text{N} statt 500 N500\,\text{N}

  4. 4

    b) Die Wege verhalten sich wie die Hebelarme

    Der Griff sitzt weiter außen und beschreibt deshalb einen größeren Kreisbogen. Die Wege stehen im selben Verhältnis wie die Abstände: s2=s1⋅l2l1s_2 = s_1 \cdot \frac{l_2}{l_1}.

    s2=s1⋅l2l1=10 cm⋅14050=28 cms_2 = s_1 \cdot \frac{l_2}{l_1} = 10\,\text{cm} \cdot \frac{140}{50} = 28\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    s2=28 cms_2 = 28\,\text{cm}

  5. 5

    c) Für die Goldene Regel in Meter wechseln

    Das Produkt aus Kraft und Weg heißt Arbeit und wird in Newtonmeter angegeben. Dafür müssen die Wege in Metern stehen: 10 cm=0,10 m10\,\text{cm} = 0{,}10\,\text{m} und 28 cm=0,28 m28\,\text{cm} = 0{,}28\,\text{m}.

    s1=0,10 ms_1 = 0{,}10\,\text{m}, s2=0,28 ms_2 = 0{,}28\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    Wege in Metern: 0,10 m0{,}10\,\text{m} und 0,28 m0{,}28\,\text{m}.

  6. 6

    c) Ergebnis deuten: Kraft gespart, Arbeit nicht

    Beide Produkte stimmen überein: rund 50 N m50\,\text{N}\,\text{m} auf jeder Seite. Die Goldene Regel gilt also auch an der Schubkarre, die Kraft sinkt auf etwa ein Drittel, der Weg wächst auf knapp das Dreifache.

Übung 3

schwer

Auf einer Baustelle sollen 2400 N2400\,\text{N} um 5 m5\,\text{m} gehoben werden. Zur Verfügung stehen:

  • Variante A: ein Flaschenzug mit 6 tragenden Schnurstücken
  • Variante B: eine lose Rolle, kombiniert mit einem Hebel (Kraftarm 80 cm80\,\text{cm}, Lastarm 20 cm20\,\text{cm})

a) Berechne für A Zugkraft und Seillänge.

b) Berechne für B die nötige . (Erst die lose Rolle, dann der Hebel.)

c) Welche Variante braucht weniger Kraft, und was ist der Preis dafür?

d) Ein Arbeiter meint: „Nehmen wir Variante B, dann sparen wir auch Arbeit." Nimm Stellung.

Tipp anzeigen

b) Die lose Rolle halbiert die Kraft; diese halbierte Kraft ist dann die Last für den Hebel.

Lösung anzeigen

a) FA=2400 N6=400 N,sA=6⋅5 m=30 mF_A = \frac{2400\,\text{N}}{6} = 400\,\text{N}, \qquad s_A = 6 \cdot 5\,\text{m} = 30\,\text{m}

b) Schritt 1, lose Rolle: Sie halbiert die Kraft.

FRolle=2400 N2=1200 NF_{\text{Rolle}} = \frac{2400\,\text{N}}{2} = 1200\,\text{N}

Schritt 2, Hebel: Diese 1200 N1200\,\text{N} sind jetzt die Last am Hebel.

FB=1200 N⋅20 cm80 cm=300 NF_B = \frac{1200\,\text{N} \cdot 20\,\text{cm}}{80\,\text{cm}} = 300\,\text{N}

c) Variante B braucht weniger Kraft (300 N300\,\text{N} statt 400 N400\,\text{N}). Der Preis ist der Weg. Bei B wirken beide Einrichtungen zusammen und verlängern ihn um den Faktor 2⋅4=82 \cdot 4 = 8:

sB=8⋅5 m=40 ms_B = 8 \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}

Zur Kontrolle: 300 N⋅40 m=12000 N m300\,\text{N} \cdot 40\,\text{m} = 12000\,\text{N}\,\text{m}, und bei A ebenso 400 N⋅30 m=12000 N m400\,\text{N} \cdot 30\,\text{m} = 12000\,\text{N}\,\text{m}. Direkt gehoben: 2400 N⋅5 m=12000 N m2400\,\text{N} \cdot 5\,\text{m} = 12000\,\text{N}\,\text{m}. Alle drei gleich.

d) Die Aussage ist falsch. Keine kraftumformende Einrichtung spart Arbeit, das ist der Kern der Goldenen Regel. Variante B spart Kraft, verlangt dafür aber 40 m40\,\text{m} statt 30 m30\,\text{m} Seil.

Praktisch ist B sogar schlechter: Zwei hintereinandergeschaltete Geräte bedeuten zwei Reibungsverluste, also mehr Verlustarbeit als bei A. Wer wirklich Arbeit sparen will, muss die Last leichter machen oder weniger hoch heben. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht für beide Varianten

    Gemeinsam gegeben: Last 2400 N2400\,\text{N}, Hubhöhe 5 m5\,\text{m}. Variante A: Flaschenzug mit 66 tragenden Schnurstücken. Variante B: lose Rolle plus Hebel mit Kraftarm 80 cm80\,\text{cm} und Lastarm 20 cm20\,\text{cm}. Gesucht: Kräfte, Wege und ein Vergleich.

  2. 2

    Die beiden Gesetze der Geräte

    Ein Flaschenzug mit nn tragenden Schnurstücken teilt die Last auf diese nn Stücke auf: F=FGnF = \frac{F_G}{n}, und das Seil muss dafür nn-mal so weit gezogen werden. Der Hebel gehorcht F1⋅l1=F2⋅l2F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2.

  3. 3

    a) Variante A: Zugkraft und Seillänge

    Die Last wird durch die Zahl der tragenden Stücke geteilt, der Seilweg entsprechend vervielfacht.

    FA=2400 N6=400 NF_A = \frac{2400\,\text{N}}{6} = 400\,\text{N}; sA=6⋅5 m=30 ms_A = 6 \cdot 5\,\text{m} = 30\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    FA=400 NF_A = 400\,\text{N} bei sA=30 ms_A = 30\,\text{m}

  4. 4

    b) Variante B: erst die Rolle, dann der Hebel

    Die lose Rolle halbiert die Kraft auf 1200 N1200\,\text{N}. Diese halbierte Kraft ist anschließend die Last für den Hebel, der sie im Verhältnis 2080\frac{20}{80} weiter verkleinert.

    FRolle=2400 N2=1200 NF_{\text{Rolle}} = \frac{2400\,\text{N}}{2} = 1200\,\text{N}; FB=1200 N⋅20 cm80 cm=300 NF_B = \frac{1200\,\text{N} \cdot 20\,\text{cm}}{80\,\text{cm}} = 300\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    FB=300 NF_B = 300\,\text{N}

  5. 5

    c) Der Preis: der Weg bei Variante B

    Beide Geräte verlängern den Weg, und ihre Faktoren multiplizieren sich: 2⋅4=82 \cdot 4 = 8. Der Zugweg beträgt also das Achtfache der Hubhöhe.

    sB=2⋅4⋅5 m=40 ms_B = 2 \cdot 4 \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}; Kontrolle: 300 N⋅40 m=12000 N m=400 N⋅30 m300\,\text{N} \cdot 40\,\text{m} = 12000\,\text{N}\,\text{m} = 400\,\text{N} \cdot 30\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    sB=40 ms_B = 40\,\text{m}; überall 12000 N m12000\,\text{N}\,\text{m}

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: Variante B spart Kraft, aber keine Arbeit

    Die Aussage des Arbeiters ist falsch. Keine kraftumformende Einrichtung spart Arbeit. Das ist der Kern der Goldenen Regel. B spart Kraft (300 N300\,\text{N} statt 400 N400\,\text{N}), verlangt dafür aber 40 m40\,\text{m} statt 30 m30\,\text{m} Seil.

Zusammenfassung

Kraftumformende Einrichtungen verändern die nötige , nicht die nötige Arbeit. Beim Hebel zeigt der Versuch, dass nicht die Kräfte und nicht die Abstände gleich sind, sondern ihr Produkt: F1⋅l1=F2⋅l2F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2. Wer weiter außen angreift, braucht weniger Kraft und legt dafür den längeren Weg zurück. Die feste Rolle lenkt nur um, die lose halbiert die Kraft und verdoppelt den Weg, und beim Flaschenzug entscheidet die Zahl der tragenden Schnurstücke über beides. In jedem dieser Fälle bleibt das Produkt aus Kraft und Weg gleich, und genau das ist die Goldene Regel der Mechanik. Real braucht man wegen der sogar etwas mehr, nie weniger: Eine Maschine, die aus nichts einen Gewinn erzeugt, kann es nicht geben.