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Optik

Beugung am Gitter und am Einzelspalt

Warum viele Spalte schärfere Linien liefern, wie ein Spektrometer arbeitet und wieso ein einzelner Spalt Minima erzeugt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Mit einem lässt sich die des Lichts bestimmen, aber die Streifen sind breit und verwaschen. Nimmt man statt zwei Spalten tausend, werden aus den Streifen schmale, scharfe Linien.

Genau das leistet ein optisches Gitter, und damit wird aus einem Demonstrationsversuch ein Präzisionsinstrument. Mit ihm hat man die Zusammensetzung der Sonne bestimmt, das Element Helium entdeckt, bevor man es auf der Erde kannte, und die Ausdehnung des Universums nachgewiesen.

Der Einzelspalt dagegen führt auf eine überraschende Frage: Wie kann eine einzige Öffnung mit sich selbst ?

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Gittergleichung anwenden.

  • begründen, warum viele Spalte schärfere Maxima liefern.

  • die Gitterkonstante aus der Strichzahl bestimmen.

  • die Arbeitsweise eines Spektrometers erklären.

  • die Minima am Einzelspalt herleiten.

  • Gitter, und Einzelspalt unterscheiden.

Das optische Gitter

Ein Gitter besteht aus sehr vielen gleich weit voneinander entfernten Spalten. Der Abstand benachbarter Spalte heißt Gitterkonstante gg.

Angegeben wird meist die Strichzahl NN je Millimeter oder Zentimeter. Daraus folgt

g=1Ng = \frac{1}{N}

Beispiel: 570570 Striche je Millimeter ergeben g=1 mm570≈1,75 µmg = \frac{1\,\text{mm}}{570} \approx 1{,}75\,\text{µm}.

Die Bedingung für Maxima ist dieselbe wie beim , denn auch hier entscheidet der benachbarter Spalte:

sin⁡αk=k⋅λg\boxed{\sin\alpha_k = \frac{k \cdot \lambda}{g}}

🔴 Weil gg beim Gitter sehr klein ist, werden die Winkel groß. Die Kleinwinkelnäherung sin⁡α≈tan⁡α\sin\alpha \approx \tan\alpha ist dann nicht mehr zulässig; man muss mit sin⁡α\sin\alpha rechnen und den Winkel messen oder über

tan⁡αk=ake\tan\alpha_k = \frac{a_k}{e}

bestimmen.

Gitter (viele Spalte)n = -2n = -1n = 0n = 1n = 2HelligkeitDieselben Orte, aber viel schmaler und schärferHauptmaxima: sin α_n = n · λ / b

Die Maxima liegen an denselben Orten wie beim , sind aber viel schmaler. Nur deshalb lässt sich mit einem Gitter genau messen. Beide Bilder benutzen dieselbe Skala, der Vergleich stimmt also.

Warum viele Spalte schärfere Linien liefern

Beim ergibt sich ein weicher Übergang von hell nach dunkel. Beim Gitter sind die Maxima schmal und scharf, dazwischen ist es fast vollständig dunkel.

Der Grund: Bei der Maximumbedingung sind alle Spalte gleichphasig und verstärken sich. Weicht man nur ein wenig vom Maximum ab, so weichen die Beiträge der einzelnen Spalte immer weiter voneinander ab, und bei tausend Spalten findet sich zu fast jedem Beitrag ein gegenphasiger, der ihn auslöscht.

🔴 Je mehr Spalte, desto schärfer die Linien. Das ist der Grund, warum ein Gitter dem Doppelspalt als Messinstrument weit überlegen ist: Man kann Winkel und damit sehr genau bestimmen.

Zugleich werden die Maxima heller, weil das Licht aus vielen Spalten in wenigen scharfen Richtungen gebündelt wird.

Das Spektrometer

Weißes Licht wird am Gitter in seine Farben zerlegt, denn nach sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g} hat jede ihre eigene Richtung.

  • Nullte Ordnung: weiß (alle Farben zusammen).
  • Höhere Ordnungen: Spektren, innen blau, außen rot.

🔴 Beachte den Unterschied zum Prisma: Dort liegt Rot innen und Blau außen, weil die anders von der Wellenlänge abhängt. Ein Gitter kehrt die Reihenfolge um und liefert außerdem gleichmäßig verteilte, berechenbare Winkel.

Anwendung: Spektralanalyse. Jedes chemische Element sendet und absorbiert Licht bei ganz bestimmten Wellenlängen (Kapitel ). Mit einem Gitterspektrometer lassen sich diese Linien messen und damit Elemente identifizieren, auch in Sternen.

So wurde Helium 1868 im Sonnenspektrum entdeckt, fast dreißig Jahre bevor man es auf der Erde fand; sein Name kommt von helios, der Sonne.

Beugung am Einzelspalt

Auch ein einzelner Spalt erzeugt ein Muster: ein sehr breites, helles Hauptmaximum in der Mitte und daneben schwächere Nebenmaxima, getrennt durch Minima.

Wie kann ein Spalt mit sich selbst ? Nach dem huygensschen Prinzip geht von jedem Punkt der Spaltöffnung eine Elementarwelle aus. Diese unzähligen überlagern sich.

Herleitung der Minima. Teile den Spalt der Breite bb gedanklich in zwei Hälften. Zu jedem Punkt der oberen Hälfte gibt es einen Punkt der unteren Hälfte im Abstand b2\frac{b}{2}. Beträgt der Gangunterschied dieser Paare gerade λ2\frac{\lambda}{2}, löschen sie sich paarweise aus, und der gesamte Spalt liefert Dunkelheit:

b2sin⁡α=λ2⟹bsin⁡α=λ\frac{b}{2}\sin\alpha = \frac{\lambda}{2} \quad \Longrightarrow \quad b \sin\alpha = \lambda

Allgemein (Teilung in 2k2k Streifen):

sin⁡αk=k⋅λb,k=1,2,3,…\boxed{\sin\alpha_k = \frac{k \cdot \lambda}{b}, \qquad k = 1, 2, 3, \dots}

🔴 Achtung, das ist die Bedingung für die MINIMA, nicht für die Maxima. Beim und Gitter beschreibt dieselbe Formel die Maxima. Das ist die häufigste Verwechslung dieses Kapitels.

Da k=0k = 0 ausgeschlossen ist, liegt in der Mitte kein Minimum, sondern das breite Hauptmaximum.

Einzelspaltn = 0HelligkeitEin breites Maximum in der Mitte, außen viel schwächerMinima: sin α_n = n · λ / d

🔴 Achte auf die Formel: Beim Einzelspalt beschreibt sin⁡αn=n⋅λd\sin\alpha_n = n \cdot \frac{\lambda}{d} die Minima, beim dagegen die Maxima. Das mittlere Maximum ist hier doppelt so breit wie die übrigen.

Der Vergleich der drei Fälle

FormelbeschreibtMuster
sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}Maximagleichmäßige Streifen
Gittersin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}Maximascharfe helle Linien
Einzelspaltsin⁡αk=kλb\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b}Minimabreites Zentrum, schwache Nebenmaxima

Beim schmaleren Spalt wird das Muster breiter, denn bb steht im Nenner. Das erscheint zunächst widersinnig, ist aber die Kernaussage der : Je enger die Öffnung, desto stärker fächert das Licht auf.

Die Auflösungsgrenze

Aus derselben Physik folgt eine grundsätzliche Grenze: Zwei Punkte lassen sich optisch nur trennen, wenn ihre Beugungsscheibchen sich nicht zu stark überlappen.

Deshalb kann ein Lichtmikroskop keine Strukturen unter etwa 200 nm200\,\text{nm} auflösen, gleich wie gut die sind. Die Grenze liegt nicht an der Technik, sondern an der des Lichts.

🔴 Genau deshalb baut man Elektronenmikroskope: Die Wellenlänge beschleunigter Elektronen ist um Größenordnungen kleiner (Kapitel ).

Messungen am Gitter

Ein Gitter hat 500500 Striche je Millimeter und wird mit λ=589 nm\lambda = 589\,\text{nm} (Natriumlicht) beleuchtet.

a) Wie groß ist die Gitterkonstante?

b) Unter welchem Winkel liegt das Maximum erster Ordnung?

c) Unter welchem Winkel das zweiter Ordnung?

d) Wie viele Ordnungen sind überhaupt sichtbar?

  1. 1

    a) g=1 mm500=2⋅10−3 mm=2⋅10−6 m=2 µmg = \frac{1\,\text{mm}}{500} = 2 \cdot 10^{-3}\,\text{mm} = 2 \cdot 10^{-6}\,\text{m} = 2\,\text{µm}

  2. 2

    b) sin⁡α1=1⋅λg=589⋅10−9 m2⋅10−6 m=0,2945\sin\alpha_1 = \frac{1 \cdot \lambda}{g} = \frac{589 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{2 \cdot 10^{-6}\,\text{m}} = 0{,}2945

    α1=arcsin⁡(0,2945)≈17,1°\alpha_1 = \arcsin(0{,}2945) \approx 17{,}1°

    🔴 Beachte die Größe des Winkels: Bei 17°17° wäre die Kleinwinkelnäherung bereits mit rund 1,5 %1{,}5\,\% Fehler behaftet. Beim Gitter rechnet man deshalb immer mit sin⁡α\sin\alpha.

  3. 3

    c) sin⁡α2=2⋅589⋅10−92⋅10−6=0,589\sin\alpha_2 = \frac{2 \cdot 589 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 10^{-6}} = 0{,}589

    α2=arcsin⁡(0,589)≈36,1°\alpha_2 = \arcsin(0{,}589) \approx 36{,}1°

    Wichtig: 36,1°36{,}1° ist nicht das Doppelte von 17,1°17{,}1° (34,2°34{,}2°). Der Sinus wächst nicht linear, deshalb liegen die Maxima am Gitter nicht in gleichen Winkelabständen, anders als beim in Kleinwinkelnäherung.

  4. 4

    d) Begrenzung durch sin⁡α≤1\sin\alpha \le 1:

    kλg≤1⟹k≤gλ=2⋅10−6589⋅10−9≈3,4\frac{k\lambda}{g} \le 1 \quad \Longrightarrow \quad k \le \frac{g}{\lambda} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{589 \cdot 10^{-9}} \approx 3{,}4

    Es sind also die Ordnungen k=0,1,2,3k = 0, 1, 2, 3 möglich, das heißt die nullte bis dritte Ordnung, jeweils auf beiden Seiten.

    Probe für k=3k = 3: sin⁡α3=3⋅589⋅10−92⋅10−6=0,884\sin\alpha_3 = \frac{3 \cdot 589 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 10^{-6}} = 0{,}884, also α3≈62,1°\alpha_3 \approx 62{,}1°. Möglich, aber schon sehr weit außen.

    Probe für k=4k = 4: sin⁡α4=1,18>1\sin\alpha_4 = 1{,}18 > 1, also unmöglich.

    🔴 Die allgemeine Regel kmax⁡≤gλk_{\max} \le \frac{g}{\lambda} hat eine wichtige Folge: Wird die Gitterkonstante kleiner als die , gibt es außer der nullten gar keine Ordnung mehr. Das Muster verschwindet vollständig.

    Daraus folgt die grundsätzliche Grenze der Lichtmikroskopie: Strukturen, die deutlich feiner als die Lichtwellenlänge sind, erzeugen kein auswertbares Beugungsbild mehr und können deshalb nicht abgebildet werden.

a) 2 µm2\,\text{µm} b) rund 17,1°17{,}1° c) rund 36,1°36{,}1° (nicht das Doppelte) d) nullte bis dritte Ordnung.

Der Einzelspalt und seine Minima

Ein Einzelspalt der Breite b=0,08 mmb = 0{,}08\,\text{mm} wird mit λ=640 nm\lambda = 640\,\text{nm} beleuchtet, der Schirm steht in e=2,5 me = 2{,}5\,\text{m} Entfernung.

a) Wo liegt das erste Minimum?

b) Wie breit ist das Hauptmaximum?

c) Was passiert, wenn man den Spalt halbiert?

d) Erkläre, wie ein einzelner Spalt überhaupt Auslöschung erzeugen kann.

  1. 1

    a) Minimumbedingung mit k=1k = 1:

    sin⁡α1=λb=640⋅10−9 m0,08⋅10−3 m=8⋅10−3\sin\alpha_1 = \frac{\lambda}{b} = \frac{640 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{0{,}08 \cdot 10^{-3}\,\text{m}} = 8 \cdot 10^{-3}

    Der Winkel ist klein, hier ist die Näherung sin⁡α≈tan⁡α\sin\alpha \approx \tan\alpha zulässig:

    a1=e⋅tan⁡α1≈2,5 m⋅8⋅10−3=0,02 m=2,0 cma_1 = e \cdot \tan\alpha_1 \approx 2{,}5\,\text{m} \cdot 8 \cdot 10^{-3} = 0{,}02\,\text{m} = 2{,}0\,\text{cm}
  2. 2

    b) Das Hauptmaximum reicht vom ersten Minimum links bis zum ersten Minimum rechts, ist also doppelt so breit wie a1a_1:

    Breite=2⋅2,0 cm=4,0 cm\text{Breite} = 2 \cdot 2{,}0\,\text{cm} = 4{,}0\,\text{cm}

    🔴 Beachte: Beim Einzelspalt ist das mittlere Maximum doppelt so breit wie alle Nebenmaxima und weitaus heller. Beim sind dagegen alle Streifen gleich breit.

  3. 3

    c) Halbierter Spalt bedeutet doppelt so breites Muster, denn bb steht im Nenner:

    a1=4,0 cm,Hauptmaximum 8,0 cma_1 = 4{,}0\,\text{cm}, \qquad \text{Hauptmaximum } 8{,}0\,\text{cm}

    🔴 Das ist zunächst widersinnig: Man verkleinert die Öffnung und das Licht verteilt sich auf eine größere Fläche.

    Genau das ist aber die Kernaussage der : Je enger die Öffnung, desto stärker fächert die auf. Bei sehr großen Öffnungen ist die Beugung dagegen unmerklich und das Licht läuft geradeaus, was die geometrische Optik beschreibt.

    Anschaulich: Eine breite Öffnung „lässt die Welle in Ruhe", eine enge zwingt sie, sich neu von einem nahezu punktförmigen Ausgang auszubreiten.

    Alltagsbeleg: Kneift man die Augen zu einem schmalen Schlitz zusammen und blickt auf eine helle Lampe, sieht man das Licht in Streifen auseinandergezogen.

  4. 4

    d) Über das huygenssche Prinzip und paarweise Auslöschung.

    Nach Huygens geht von jedem Punkt der Spaltöffnung eine Elementarwelle aus. Der Spalt ist also nicht eine Quelle, sondern unzählige nebeneinanderliegende Quellen, die miteinander .

    Die Herleitung des ersten Minimums:

    Teile den Spalt der Breite bb gedanklich in eine obere und eine untere Hälfte. Zu jedem Punkt der oberen Hälfte gehört genau ein Punkt der unteren Hälfte im Abstand b2\frac{b}{2}.

    Betrachte eine Richtung α\alpha, in der der Gangunterschied dieser Paare gerade λ2\frac{\lambda}{2} beträgt:

    b2sin⁡α=λ2\frac{b}{2}\sin\alpha = \frac{\lambda}{2}

    Dann löscht sich jedes Paar aus, und da sich der ganze Spalt lückenlos in solche Paare zerlegen lässt, löscht sich das gesamte Licht aus. In dieser Richtung ist es dunkel:

    bsin⁡α=λb\sin\alpha = \lambda

    Für höhere Minima teilt man in vier, sechs, acht Streifen und erhält allgemein

    sin⁡αk=kλb,k=1,2,3,…\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b}, \qquad k = 1, 2, 3, \dots

    🔴 Warum k=0k = 0 ausgeschlossen ist: In der Mitte (α=0\alpha = 0) haben alle Elementarwellen den Gangunterschied null und verstärken sich maximal. Dort liegt deshalb das Hauptmaximum, kein Minimum. Genau deshalb beginnt die Zählung bei k=1k = 1.

    Der wichtigste Merkpunkt: Beim Einzelspalt beschreibt die Formel die Minima, beim Doppelspalt und Gitter dieselbe Formelgestalt die Maxima. Wer das verwechselt, erhält systematisch falsche Ergebnisse.

a) 2,0 cm2{,}0\,\text{cm} b) 4,0 cm4{,}0\,\text{cm} c) doppelt so breites Muster d) paarweise Auslöschung der Elementarwellen aus beiden Spalthälften.

Typischer Fehler

„sin⁡αk=kλb\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b} gibt die Maxima an, so wie beim ."

Beim Einzelspalt gibt diese Formel die Minima an, beim Doppelspalt und Gitter dagegen die Maxima. Die Formeln sehen gleich aus und bedeuten das Gegenteil.

Warum das so ist:

Doppelspalt und Gitter: Hier die verschiedener Spalte miteinander. Beträgt der Gangunterschied benachbarter Spalte genau λ\lambda, sind alle gleichphasig und verstärken sich. Also ein Maximum.

Einzelspalt: Hier interferieren die Elementarwellen innerhalb desselben Spalts. Beträgt der Gangunterschied zwischen den Rändern des Spaltes gerade λ\lambda, lassen sich die Punkte paarweise so zuordnen, dass sich jedes Paar auslöscht. Also ein Minimum.

Der Unterschied liegt also nicht in der Formel, sondern darin, was miteinander interferiert.

Woran man die Fälle sicher unterscheidet:

BuchstabeBedeutungFormel liefert
ggAbstand zweier SpalteMaxima
bbBreite eines SpaltesMinima

Merkhilfe: Abstand bedeutet Verstärkung, Breite bedeutet Auslöschung.

Eine Kontrolle, die immer funktioniert: Beim Einzelspalt beginnt die Zählung bei k=1k = 1, denn in der Mitte (k=0k = 0) liegt gerade kein Minimum, sondern das breite Hauptmaximum. Steht in einer Aufgabe k=0k = 0 für ein Minimum, ist etwas falsch.

Warum die Unterscheidung praktisch wichtig ist: In Wirklichkeit treten beide Erscheinungen gleichzeitig auf. Ein realer Doppelspalt besteht aus zwei Spalten endlicher Breite, deshalb überlagert die Einzelspaltbeugung das Doppelspaltmuster: Die Streifen sind vorhanden, ihre Helligkeit nimmt aber nach außen ab, und an den Stellen der Einzelspaltminima fehlen sie ganz.

Genau das erklärt, warum man am Doppelspalt praktisch nie alle rechnerisch möglichen Ordnungen sieht.

Übung 1

leicht

a) Ein Gitter hat 250250 Striche je Millimeter. Wie groß ist gg?

b) Unter welchem Winkel liegt das erste Maximum bei λ=500 nm\lambda = 500\,\text{nm}?

c) Was beschreibt sin⁡αk=kλb\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b} beim Einzelspalt?

Tipp anzeigen

a) g=1Ng = \frac{1}{N}.

Lösung anzeigen

a) g=1 mm250=4⋅10−3 mm=4⋅10−6 m=4 µmg = \frac{1\,\text{mm}}{250} = 4 \cdot 10^{-3}\,\text{mm} = 4 \cdot 10^{-6}\,\text{m} = 4\,\text{µm}

b) sin⁡α1=λg=500⋅10−94⋅10−6=0,125\sin\alpha_1 = \frac{\lambda}{g} = \frac{500 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 10^{-6}} = 0{,}125

α1=arcsin⁡(0,125)≈7,2°\alpha_1 = \arcsin(0{,}125) \approx 7{,}2°

c) Die Minima, also die dunklen Stellen. Die Zählung beginnt bei k=1k = 1, weil in der Mitte das breite Hauptmaximum liegt.

🔴 Beim Gitter und beschreibt dieselbe Formelgestalt (mit gg statt bb) dagegen die Maxima.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Gitter

    a) gibt 250250 Striche je Millimeter; gesucht ist die Gitterkonstante. b) gibt λ=500 nm\lambda = 500\,\text{nm}; gesucht ist der Winkel des ersten Maximums. c) fragt nach der Bedeutung derselben Formel beim Einzelspalt.

  2. 2

    Gitterkonstante und Maximumbedingung

    Die Gitterkonstante ist g=1Ng = \frac{1}{N}, wenn NN die Zahl der Striche je Längeneinheit ist. Für die Maxima gilt sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}, dieselbe Bedingung wie am Doppelspalt.

  3. 3

    a) und b) Gitterkonstante und erster Beugungswinkel

    Erst der Kehrwert der Strichdichte, dann der Sinus des Winkels und daraus der Winkel selbst.

    g=1 mm250=4⋅10−6 mg = \frac{1\,\text{mm}}{250} = 4 \cdot 10^{-6}\,\text{m}; sin⁡α1=500⋅10−94⋅10−6=0,125\sin\alpha_1 = \frac{500 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 10^{-6}} = 0{,}125

    Zwischenergebnis

    g=4 µmg = 4\,\text{µm}, α1≈7,2°\alpha_1 \approx 7{,}2°

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: dieselbe Formel, entgegengesetzte Bedeutung

    Beim Einzelspalt beschreibt sin⁡αk=kλb\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b} die Minima, also die dunklen Stellen, und die Zählung beginnt bei k=1k = 1, weil in der Mitte das breite Hauptmaximum liegt.

Übung 2

mittel

a) Ein Gitter (g=1,67 µmg = 1{,}67\,\text{µm}) erzeugt das Maximum erster Ordnung bei α=22,0°\alpha = 22{,}0°. Wie groß ist λ\lambda?

b) Warum liefert ein Gitter schärfere Linien als ein ?

c) Warum liegt beim Gitterspektrum Blau innen, beim Prisma aber außen?

d) Warum kann ein Lichtmikroskop keine Strukturen unter 200 nm200\,\text{nm} auflösen?

Tipp anzeigen

a) Nach λ\lambda umstellen.

Lösung anzeigen

a) λ=gsin⁡α11=1,67⋅10−6 m⋅sin⁡22,0°\lambda = \frac{g \sin\alpha_1}{1} = 1{,}67 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot \sin 22{,}0°

λ=1,67⋅10−6⋅0,3746 m≈6,26⋅10−7 m=626 nm\lambda = 1{,}67 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}3746\,\text{m} \approx 6{,}26 \cdot 10^{-7}\,\text{m} = 626\,\text{nm}

Das liegt im roten Bereich, also plausibel.

b) Weil bei vielen Spalten die Auslöschung neben dem Maximum viel wirksamer ist.

Beim Doppelspalt überlagern sich nur zwei . Weicht man etwas vom Maximum ab, verschieben sie sich nur wenig gegeneinander, und die Helligkeit nimmt allmählich ab. Der Übergang von hell nach dunkel ist weich.

Beim Gitter überlagern sich hunderte oder tausende Wellen. Schon eine kleine Abweichung vom Maximum führt dazu, dass sich zu fast jedem Beitrag ein gegenphasiger findet, der ihn auslöscht. Die Helligkeit fällt deshalb sehr steil ab.

Zwei Folgen:

  • Die Maxima werden schmal und scharf, dazwischen ist es nahezu dunkel.
  • Sie werden zugleich heller, weil das Licht vieler Spalte in wenige Richtungen gebündelt wird.

🔴 Deshalb ist ein Gitter ein Messinstrument: Man kann den Winkel eines Maximums sehr genau bestimmen und daraus die Wellenlänge auf Bruchteile eines Nanometers.

c) Weil den beiden Erscheinungen verschiedene physikalische Vorgänge zugrunde liegen.

Am Gitter gilt sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}: Der Ablenkwinkel ist der Wellenlänge proportional. Große Wellenlänge (Rot) bedeutet großen Winkel, also liegt Rot außen und Blau innen.

Am Prisma beruht die Zerlegung auf der . Die Brechzahl von Glas ist für kurzwelliges Licht größer, deshalb wird Blau stärker abgelenkt und liegt außen, Rot innen.

Weitere Unterschiede, die für die Praxis wichtig sind:

GitterPrisma
ReihenfolgeBlau innenRot innen
Winkel berechenbarja, exaktnur über Materialdaten
Spektrummehrere Ordnungeneines
Verteilunggleichmäßigim Blauen gedehnt

Deshalb arbeiten moderne Spektrometer fast ausschließlich mit Gittern: Die Wellenlänge folgt unmittelbar aus einer Winkelmessung und der Gitterkonstante, ohne Materialkenntnisse.

d) Weil die eine grundsätzliche Grenze setzt.

Jede Öffnung, auch die eines Mikroskops, beugt das Licht. Ein Punkt wird deshalb nie als Punkt abgebildet, sondern als kleines Beugungsscheibchen endlicher Größe.

Liegen zwei Objektpunkte zu dicht beieinander, überlappen sich ihre Beugungsscheibchen so stark, dass sie als ein einziger Fleck erscheinen. Sie sind dann nicht mehr auflösbar.

Die Größe der Scheibchen wird von der Wellenlänge bestimmt. Als Faustregel liegt die Auflösungsgrenze bei etwa der halben Wellenlänge, für sichtbares Licht also bei rund 200 nm200\,\text{nm}.

🔴 Entscheidend ist: Das ist keine technische, sondern eine physikalische Grenze. Bessere Linsen, stärkere Vergrößerung oder hellere Beleuchtung helfen nicht. Vergrößert man weiter, sieht man nur größere, unschärfere Scheibchen (leere Vergrößerung).

Wege darüber hinaus:

  • Kürzere Wellenlänge: UV-Mikroskopie erreicht rund 100 nm100\,\text{nm}.
  • Elektronenmikroskopie: Elektronen haben Wellenlängen im Pikometerbereich; damit sind einzelne Atome sichtbar. (Warum Elektronen überhaupt eine Wellenlänge haben, klärt das Kapitel .)
  • Fluoreszenzmikroskopie mit Tricks: Verfahren wie STED umgehen die Grenze, indem sie Moleküle gezielt nacheinander leuchten lassen. Dafür gab es 2014 den Nobelpreis für Chemie.

Dieselbe Grenze in der Astronomie: Die Auflösung eines Teleskops ist ebenfalls beugungsbegrenzt und wächst mit dem Spiegeldurchmesser. Deshalb baut man immer größere Teleskope, nicht nur um mehr Licht zu sammeln.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Wellenlängenbestimmung am Gitter

    a) gibt g=1,67 µmg = 1{,}67\,\text{µm} und das erste Maximum bei α=22,0°\alpha = 22{,}0°; gesucht ist die Wellenlänge. b) bis d) fragen nach der Schärfe der Linien, dem Vergleich mit dem Prisma und der Auflösungsgrenze.

  2. 2

    a) Die Gittergleichung auswählen und nach der Wellenlänge umstellen

    Gemessen ist ein Winkel, also gilt die Winkelform sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}, nicht die Schirmform ak=kλega_k = \frac{k\lambda e}{g}, die nur für kleine Winkel taugt. Für k=1k = 1 folgt daraus unmittelbar λ=g⋅sin⁡α1\lambda = g \cdot \sin\alpha_1.

  3. 3

    a) Die Wellenlänge berechnen

    Gitterkonstante mal Sinus des gemessenen Winkels.

    λ=gsin⁡α1=1,67⋅10−6 m⋅sin⁡22,0°≈6,26⋅10−7 m\lambda = g \sin\alpha_1 = 1{,}67 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot \sin 22{,}0° \approx 6{,}26 \cdot 10^{-7}\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    λ≈626 nm\lambda \approx 626\,\text{nm} (rot)

  4. 4

    b) und c) Schärfe der Gitterlinien und Vergleich mit dem Prisma

    b) Beim Doppelspalt überlagern sich nur zwei Wellen, die Helligkeit nimmt neben dem Maximum allmählich ab. Beim Gitter überlagern sich hunderte, schon eine kleine Abweichung führt dazu, dass sich zu fast jedem Beitrag ein gegenphasiger findet. c) Am Gitter ist der Ablenkwinkel der Wellenlänge proportional (Rot außen), am Prisma beruht die Zerlegung auf der Brechung (Blau außen).

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum 200 Nanometer die Grenze sind

    Weil die Beugung eine grundsätzliche Grenze setzt: Jede Öffnung, auch die Mikroskoplinse, beugt das Licht. Ein Punkt wird deshalb nie als Punkt abgebildet, sondern als Beugungsscheibchen endlicher Größe, liegen zwei Punkte zu dicht, überlappen sich die Scheibchen zu einem Fleck.

Übung 3

schwer

a) Leite die Minimumbedingung am Einzelspalt her.

b) Warum liefert dieselbe Formelgestalt beim Gitter Maxima, beim Einzelspalt aber Minima?

c) Warum wird das Beugungsmuster breiter, wenn der Spalt schmaler wird?

d) Ein Gitter mit 600600 Strichen je Millimeter wird mit weißem Licht (380380 bis 780 nm780\,\text{nm}) beleuchtet. Überlappen sich das Spektrum erster und zweiter Ordnung?

Tipp anzeigen

d) Vergleiche sin⁡α\sin\alpha für 780 nm780\,\text{nm} bei k=1k=1 und 380 nm380\,\text{nm} bei k=2k=2.

Lösung anzeigen

a) Schritt 1: Huygenssches Prinzip. Von jedem Punkt der Spaltöffnung geht eine Elementarwelle aus. Der Spalt wirkt also wie unzählige nebeneinanderliegende Quellen.

Schritt 2: Paarweise Zuordnung. Teile den Spalt der Breite bb in eine obere und eine untere Hälfte. Zu jedem Punkt der oberen Hälfte gehört genau ein Punkt der unteren im Abstand b2\frac{b}{2}.

Schritt 3: Die Auslöschungsbedingung. Betrachte die Richtung α\alpha, in der der dieser Paare gerade λ2\frac{\lambda}{2} beträgt:

b2sin⁡α=λ2\frac{b}{2}\sin\alpha = \frac{\lambda}{2}

Dann löscht sich jedes einzelne Paar aus. Da sich der gesamte Spalt lückenlos in solche Paare zerlegen lässt, löscht sich das Licht vollständig aus:

bsin⁡α=λb \sin\alpha = \lambda

Schritt 4: Höhere Minima. Teilt man in vier Streifen (statt zwei), löschen sich jeweils benachbarte Streifen aus, wenn b4sin⁡α=λ2\frac{b}{4}\sin\alpha = \frac{\lambda}{2}, also bsin⁡α=2λb\sin\alpha = 2\lambda. Allgemein bei Teilung in 2k2k Streifen:

sin⁡αk=kλb,k=1,2,3,…\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b}, \qquad k = 1, 2, 3, \dots

Warum k=0k = 0 fehlt: Bei α=0\alpha = 0 haben alle Elementarwellen denselben Weg, verstärken sich also maximal. Dort liegt das Hauptmaximum.

b) Weil verschiedene Dinge miteinander interferieren.

Gitter: Es interferieren die verschiedener Spalte. Ist der Gangunterschied benachbarter Spalte genau λ\lambda, sind alle Spalte gleichphasig. Ihre Beiträge addieren sich, es entsteht ein Maximum.

Einzelspalt: Es interferieren die Elementarwellen innerhalb eines Spaltes. Ist der Gangunterschied zwischen den beiden Spalträndern genau λ\lambda, lassen sich die Punkte paarweise mit Gangunterschied λ2\frac{\lambda}{2} zuordnen. Ihre Beiträge heben sich auf, es entsteht ein Minimum.

🔴 Der Unterschied steckt also im Buchstaben: gg ist ein Abstand zwischen Spalten, bb die Ausdehnung eines Spaltes. Gleiche Formel, entgegengesetzte Bedeutung.

In der Realität treten beide gleichzeitig auf: Ein besteht aus zwei Spalten endlicher Breite. Das feine Streifenmuster (aus gg) wird von der Einzelspaltbeugung (aus bb) in seiner Helligkeit moduliert. Deshalb fehlen manche Ordnungen ganz, nämlich dort, wo ein Einzelspaltminimum liegt.

c) Weil bb im Nenner steht:

sin⁡α1=λb\sin\alpha_1 = \frac{\lambda}{b}

Kleineres bb bedeutet größeres sin⁡α1\sin\alpha_1, also einen größeren Winkel zum ersten Minimum und damit ein breiteres Hauptmaximum.

Warum das physikalisch sinnvoll ist, obwohl es zunächst widersinnig wirkt:

Die ist umso stärker, je näher die Öffnung an eine Punktquelle heranrückt. Von einem Punkt geht eine Kugelwelle in alle Richtungen aus.

  • Ist b≫λb \gg \lambda, überlagern sich sehr viele Elementarwellen, und ihre Interferenz ergibt in guter Näherung ein geradlinig weiterlaufendes Bündel. Das ist die geometrische Optik.
  • Wird bb mit λ\lambda vergleichbar, bleibt praktisch nur eine Elementarwelle übrig, und das Licht fächert weit auf.
  • Für b<λb < \lambda gibt es überhaupt kein Minimum mehr (denn sin⁡α>1\sin\alpha > 1), das Licht breitet sich in alle Richtungen aus.

Die allgemeine Regel lautet: Je stärker man eine Welle räumlich einengt, desto stärker fächert ihre Ausbreitungsrichtung auf.

🔴 Dieser Zusammenhang ist bemerkenswert allgemein: In der Quantenphysik erscheint er als Unschärferelation, nach der eine genaue Ortsbestimmung eine große Impulsunschärfe erzwingt. Der Beugungsspalt ist das anschaulichste Beispiel dafür, und wir kommen im Kapitel über die Wesenszüge der Quantenphysik darauf zurück.

d) Gitterkonstante:

g=1 mm600≈1,667⋅10−6 mg = \frac{1\,\text{mm}}{600} \approx 1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m}

Rotes Ende der ersten Ordnung (k=1k = 1, λ=780 nm\lambda = 780\,\text{nm}):

sin⁡α=780⋅10−91,667⋅10−6=0,468⇒α≈27,9°\sin\alpha = \frac{780 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}468 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 27{,}9°

Blaues Ende der zweiten Ordnung (k=2k = 2, λ=380 nm\lambda = 380\,\text{nm}):

sin⁡α=2⋅380⋅10−91,667⋅10−6=0,456⇒α≈27,1°\sin\alpha = \frac{2 \cdot 380 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}456 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 27{,}1°

Ergebnis: Das blaue Ende der zweiten Ordnung (27,1°27{,}1°) liegt innerhalb der ersten Ordnung, die erst bei 27,9°27{,}9° endet. Die beiden Spektren überlappen also geringfügig.

🔴 Praktische Bedeutung. Diese Überlappung ist ein bekanntes Problem der Gitterspektroskopie: Bei höheren Ordnungen mischen sich die Spektren, und eine gemessene Linie ist nicht mehr eindeutig zuzuordnen.

Abhilfen:

  • Farbfilter, die den störenden Wellenlängenbereich vorher entfernen (Ordnungsfilter).
  • Auswertung nur der ersten Ordnung, die nie überlappt.
  • Echelle-Gitter, die die Ordnungen zusätzlich quer auseinanderziehen.

Zur Kontrolle die allgemeine Bedingung: Erste und zweite Ordnung überlappen genau dann, wenn 2λmin⁡<λmax⁡2\lambda_{\min} < \lambda_{\max}. Für sichtbares Licht ist 2⋅380=760<7802 \cdot 380 = 760 < 780, also überlappen sie immer, unabhängig von der Gitterkonstante. Die Rechnung bestätigt das.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Herleitung, Deutung und ein Überlappungstest

    d) gibt ein Gitter mit 600600 Strichen je Millimeter und weißes Licht von 380380 bis 780 nm780\,\text{nm}; gesucht ist, ob sich erste und zweite Ordnung überlappen. a) bis c) verlangen Herleitung und Begründungen.

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    a) Die Minimumbedingung am Einzelspalt herleiten

    1. Huygenssches Prinzip: Von jedem Punkt der Spaltöffnung geht eine Elementarwelle aus. 2. Paarweise Zuordnung: Teile den Spalt in obere und untere Hälfte; zu jedem Punkt oben gehört einer unten im Abstand b2\frac{b}{2}. 3. In der Richtung, in der diese Paare den Gangunterschied λ2\frac{\lambda}{2} haben, löscht sich jedes Paar aus: b2sin⁡α=λ2\frac{b}{2}\sin\alpha = \frac{\lambda}{2}, also bsin⁡α=λb\sin\alpha = \lambda. 4. Bei Teilung in 2k2k Streifen allgemein sin⁡αk=kλb\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{b}.

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    b) und c) Maxima gegen Minima, und warum schmalere Spalte breiter beugen

    b) Weil verschiedene Dinge interferieren: Beim Gitter die Wellen verschiedener Spalte (gleichphasig bedeutet Maximum), beim Einzelspalt die Elementarwellen innerhalb eines Spaltes (paarweise Auslöschung bedeutet Minimum). c) In sin⁡α1=λb\sin\alpha_1 = \frac{\lambda}{b} steht bb im Nenner, kleineres bb bedeutet größeren Winkel zum ersten Minimum.

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    d) Überlappen erste und zweite Ordnung?

    Gitterkonstante bestimmen, dann die beiden Randwinkel vergleichen: rotes Ende bei k=1k = 1 gegen blaues Ende bei k=2k = 2.

    g=1 mm600≈1,667 µmg = \frac{1\,\text{mm}}{600} \approx 1{,}667\,\text{µm}; sin⁡α=780⋅10−91,667⋅10−6=0,468\sin\alpha = \frac{780 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}468 (27,9°27{,}9°); sin⁡α=2⋅380⋅10−91,667⋅10−6=0,456\sin\alpha = \frac{2 \cdot 380 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}456 (27,1°27{,}1°)

    Zwischenergebnis

    27,1°<27,9°27{,}1° < 27{,}9°, die Spektren überlappen geringfügig.

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    d) Ergebnis deuten: ein bekanntes Problem der Gitterspektroskopie

    Bei höheren Ordnungen mischen sich die Spektren, und eine gemessene Linie ist nicht mehr eindeutig zuzuordnen. Abhilfen sind Farbfilter (Ordnungsfilter), die Auswertung nur der ersten Ordnung oder Echelle-Gitter, die die Ordnungen quer auseinanderziehen.

Zusammenfassung

Ein optisches Gitter besteht aus sehr vielen gleich weit voneinander entfernten Spalten und erzeugt Maxima unter Winkeln, die sich aus Gitterkonstante und ergeben; da die Gitterkonstante klein ist, werden diese Winkel groß und die Kleinwinkelnäherung unzulässig. Je mehr Spalte beteiligt sind, desto schärfer und heller werden die Maxima, weil sich neben ihnen die Beiträge der vielen Spalte gegenseitig auslöschen, und genau das macht das Gitter zum Präzisionsinstrument der Spektralanalyse. Ein einzelner Spalt erzeugt dagegen ein breites Hauptmaximum mit schwächeren Nebenmaxima, und die formal gleich aussehende Bedingung beschreibt hier die Minima statt der Maxima, weil die Elementarwellen innerhalb desselben Spalts sich paarweise auslöschen. Da die Spaltbreite im Nenner steht, wird das Muster umso breiter, je enger die Öffnung ist, was die Kernaussage der darstellt. Aus derselben Physik folgt die Auflösungsgrenze optischer Geräte, die nicht an der Technik, sondern an der Wellenlänge des Lichts liegt.