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Optik

Beugung und Interferenz am Doppelspalt

Warum zwei Lichtspalte dunkle Streifen erzeugen können und wie daraus die Wellenlänge des Lichts folgt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Über hundert Jahre lang stritt die Physik darüber, ob Licht aus Teilchen oder aus besteht. Newton war für Teilchen, Huygens für Wellen, und die Autorität Newtons entschied die Sache zunächst.

1801 machte Thomas Young einen Versuch, der so einfach ist, dass man ihn im Klassenraum aufbauen kann: Er ließ Licht durch zwei enge Spalte fallen. Auf dem Schirm erschienen nicht zwei helle Streifen, sondern viele, mit dunklen Streifen dazwischen.

Zwei Lichtquellen ergaben an manchen Stellen also Dunkelheit. Mit Teilchen war das nicht zu erklären. Der Versuch entschied den Streit und liefert bis heute die genaueste Schulmethode, die Wellenlänge des Lichts zu messen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Beugung am Spalt beschreiben und begründen.

  • das Zustandekommen des Interferenzmusters erklären.

  • die Bedingungen für Maxima und Minima herleiten.

  • die aus einer Messung bestimmen.

  • die Bedeutung von Kohärenz erklären.

  • begründen, warum der Versuch den Wellencharakter beweist.

Warum es überhaupt Beugung braucht

Trifft Licht auf einen sehr engen Spalt, läuft es dahinter nicht geradlinig weiter, sondern breitet sich fächerförmig aus: Beugung.

Nach dem huygensschen Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle. Ist der Spalt schmal genug, bleibt praktisch nur eine solche Elementarwelle übrig, und von ihm geht eine Kreiswelle aus.

🔴 Ohne Beugung gäbe es kein Interferenzmuster, denn dann würde jeder Spalt nur einen scharfen Streifen auf den Schirm werfen. Erst weil sich das Licht hinter beiden Spalten ausbreitet, kann es sich überhaupt überlagern.

Die Beugung ist umso stärker, je größer die im Verhältnis zur Spaltbreite ist. Deshalb braucht man für Licht Spalte im Bereich von Hundertstelmillimetern.

Das Interferenzmuster

Hinter zwei engen, gleich weit voneinander entfernten Spalten laufen zwei Kreiswellen los und überlagern sich. Auf dem Schirm entsteht ein Muster aus hellen und dunklen Streifen.

Entscheidend ist der Δs\Delta s, also der Unterschied der Wege von den beiden Spalten zu einem Punkt des Schirms:

Maximum (hell): Δs=k⋅λ\text{Maximum (hell): } \Delta s = k \cdot \lambda Minimum (dunkel): Δs=(k+12)λ\text{Minimum (dunkel): } \Delta s = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda

mit der Ordnung k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \dots

Genau in der Mitte ist Δs=0\Delta s = 0; dort liegt immer das Maximum nullter Ordnung, unabhängig von der .

BlendeLichtheller StreifenΔsΔs ist der Gangunterschied der beiden Wege.Maximum, wenn Δs = n · λ

Der Weg vom unteren Spalt ist um Δs\Delta s länger. Ist dieser ein ganzes Vielfaches der , treffen Berg auf Berg und es entsteht ein heller Streifen.

Doppelspaltn = -2n = -1n = 0n = 1n = 2HelligkeitBreite, gleich helle Streifen in gleichen AbständenMaxima: sin α_n = n · λ / b

Das Schirmbild dazu: gleich helle, breite Streifen in gleichen Abständen. Die Helligkeitskurve darunter zeigt denselben Verlauf als Diagramm.

Die Formel für die Streifenabstände

Ist der Schirmabstand ee groß gegenüber dem Spaltabstand gg (was in der Praxis immer erfüllt ist), gilt für den Winkel α\alpha zur Mittelachse

sin⁡α=Δsg\sin\alpha = \frac{\Delta s}{g}

und damit für die Maxima

sin⁡αk=k⋅λg\boxed{\sin\alpha_k = \frac{k \cdot \lambda}{g}}

Für kleine Winkel (sin⁡α≈tan⁡α=ake\sin\alpha \approx \tan\alpha = \frac{a_k}{e}) folgt daraus die praktische Form

ak=k⋅λ⋅eg\boxed{a_k = \frac{k \cdot \lambda \cdot e}{g}}

mit dem Abstand aka_k des kk-ten Maximums von der Mitte.

Was daraus folgt:

  • Die Streifen liegen in gleichen Abständen.
  • Größere bedeutet größere Abstände. Rotes Licht erzeugt also ein weiteres Muster als blaues.
  • Kleinerer Spaltabstand bedeutet größere Abstände.
  • Größerer Schirmabstand bedeutet größere Abstände.

🔴 Umgestellt nach λ\lambda liefert die Formel eine Messmethode:

λ=ak⋅gk⋅e\lambda = \frac{a_k \cdot g}{k \cdot e}

Damit lässt sich die Wellenlänge des Lichts mit Lineal und Maßband bestimmen, obwohl sie unter einem Mikrometer liegt. Der Trick besteht darin, dass die Anordnung die winzige Größe auf messbare Zentimeter überträgt.

Kohärenz

Damit ein stabiles Muster entsteht, müssen die beiden kohärent sein, also eine feste Phasenbeziehung haben und dieselbe besitzen.

Deshalb benutzt man eine Lichtquelle und teilt ihr Licht auf zwei Spalte auf, statt zwei getrennte Lampen zu verwenden.

🔴 Zwei gewöhnliche Lampen erzeugen kein Interferenzmuster, weil ihre Phasenbeziehung sich milliardenfach je Sekunde zufällig ändert. Das Muster wäre da, würde aber so schnell wandern, dass sich alles zu gleichmäßiger Helligkeit mittelt.

Ein Laser ist von sich aus kohärent, weshalb er sich für solche Versuche besonders eignet.

Weißes Licht

Weißes Licht enthält alle . Da die Streifenabstände von λ\lambda abhängen, liegen die Maxima verschiedener Farben an verschiedenen Stellen:

  • Das Maximum nullter Ordnung ist weiß (dort ist Δs=0\Delta s = 0 für alle Farben).
  • Alle weiteren Ordnungen sind farbig aufgefächert, innen blau, außen rot.

Dasselbe Prinzip erklärt die Farben auf einer CD, in einer Seifenblase und auf einem Ölfilm.

Die historische Bedeutung

Der Versuch entschied 1801 den Streit über die Natur des Lichts zugunsten der Wellentheorie. Das Argument ist zwingend:

Zwei Teilchenströme können sich nicht auslöschen; zwei können es.

🔴 Die Fortsetzung ist allerdings überraschend: Schickt man Licht so schwach durch den Doppelspalt, dass immer nur ein einzelnes unterwegs ist, entsteht das Muster trotzdem, nur langsam Punkt für Punkt. Und dasselbe gilt für Elektronen. Darauf kommen wir in den folgenden Kapiteln zurück.

Wellenlänge bestimmen

Ein Doppelspalt mit g=0,20 mmg = 0{,}20\,\text{mm} wird mit Laserlicht beleuchtet. Auf einem Schirm im Abstand e=3,0 me = 3{,}0\,\text{m} misst man vom Mittelmaximum bis zum vierten Maximum a4=3,8 cma_4 = 3{,}8\,\text{cm}.

a) Wie groß ist die ?

b) Wie groß ist der Abstand zweier benachbarter Maxima?

c) Was ändert sich bei einem Doppelspalt mit g=0,10 mmg = 0{,}10\,\text{mm}?

d) Was ändert sich bei blauem statt rotem Licht?

  1. 1

    a) Formel nach λ\lambda umstellen:

    ak=kλeg⟹λ=ak⋅gk⋅ea_k = \frac{k \lambda e}{g} \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{a_k \cdot g}{k \cdot e} λ=0,038 m⋅0,20⋅10−3 m4⋅3,0 m=7,6⋅10−612 m\lambda = \frac{0{,}038\,\text{m} \cdot 0{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{4 \cdot 3{,}0\,\text{m}} = \frac{7{,}6 \cdot 10^{-6}}{12}\,\text{m} λ≈6,33⋅10−7 m=633 nm\lambda \approx 6{,}33 \cdot 10^{-7}\,\text{m} = 633\,\text{nm}

    Das ist genau die Wellenlänge eines Helium-Neon-Lasers, der rot leuchtet.

    🔴 Bemerkenswert an dieser Messung: Mit Lineal und Maßband bestimmt man eine Länge von weniger als einem Mikrometer. Die Anordnung übersetzt die winzige Wellenlänge in messbare Zentimeter, und zwar um den Faktor eg=15000\frac{e}{g} = 15000.

  2. 2

    b) Da die Maxima in gleichen Abständen liegen:

    Δa=a44=3,8 cm4=0,95 cm≈9,5 mm\Delta a = \frac{a_4}{4} = \frac{3{,}8\,\text{cm}}{4} = 0{,}95\,\text{cm} \approx 9{,}5\,\text{mm}

    Kontrolle über die Formel:

    Δa=λeg=6,33⋅10−7⋅3,02,0⋅10−4 m≈9,5⋅10−3 m\Delta a = \frac{\lambda e}{g} = \frac{6{,}33 \cdot 10^{-7} \cdot 3{,}0}{2{,}0 \cdot 10^{-4}}\,\text{m} \approx 9{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{m} ✓

  3. 3

    c) Halber Spaltabstand bedeutet doppelter Streifenabstand, denn gg steht im Nenner:

    Δa=2⋅9,5 mm=19 mm\Delta a = 2 \cdot 9{,}5\,\text{mm} = 19\,\text{mm}

    Das Muster wird also breiter auseinandergezogen.

    Anschaulich: Je enger die beiden Spalte beieinanderliegen, desto weiter muss man sich vom Mittelpunkt entfernen, bis ein voller Wellenlängenunterschied im Weg zusammenkommt.

  4. 4

    d) Blaues Licht hat eine kleinere Wellenlänge (rund 450 nm450\,\text{nm} statt 633 nm633\,\text{nm}). Da Δa∼λ\Delta a \sim \lambda:

    Δablau=450633⋅9,5 mm≈6,8 mm\Delta a_{\text{blau}} = \frac{450}{633} \cdot 9{,}5\,\text{mm} \approx 6{,}8\,\text{mm}

    Das Muster wird also enger.

    🔴 Daraus folgt unmittelbar das Aussehen bei weißem Licht: Da jede Farbe ihre Maxima an anderer Stelle hat, überlagern sich viele Muster verschiedener Breite.

    • In der Mitte liegen alle Maxima nullter Ordnung übereinander (dort ist Δs=0\Delta s = 0 für jede Wellenlänge). Der mittlere Streifen ist deshalb weiß.
    • Bei allen höheren Ordnungen sitzt Blau innen (kleines λ\lambda) und Rot außen (großes λ\lambda). Es entstehen kleine Spektren.

    Dasselbe sieht man auf einer CD, deren Spurrillen wie ein Gitter wirken, in einer Seifenblase und auf einem Ölfilm auf nasser Straße. Diese Farben entstehen nicht durch Farbstoffe, sondern durch .

a) rund 633 nm633\,\text{nm} b) 9,5 mm9{,}5\,\text{mm} c) doppelter Streifenabstand d) engeres Muster, weil λ\lambda kleiner ist.

Warum der Versuch den Wellencharakter beweist

Erkläre, warum das Ergebnis des Doppelspaltversuchs mit einer Teilchenvorstellung von Licht unvereinbar ist, und begründe, warum man Kohärenz braucht.

  1. 1

    Was eine Teilchenvorstellung vorhersagen würde.

    Wären Lichtteilchen wie winzige Kugeln, gäbe es auf dem Schirm hinter zwei Spalten genau zwei helle Bereiche, nämlich hinter jedem Spalt einen.

    Öffnet man einen zweiten Spalt, kommen an jeder Stelle zusätzliche Teilchen an. Es kann also nirgends dunkler werden als mit nur einem Spalt.

  2. 2

    Was man tatsächlich beobachtet.

    Es erscheinen viele Streifen, und zwischen ihnen liegen Stellen, die dunkel sind, obwohl sie mit nur einem geöffneten Spalt hell waren.

    Das Öffnen einer zusätzlichen Lichtquelle macht also manche Stellen dunkler. Mit Teilchen im klassischen Sinn ist das ausgeschlossen.

    🔴 Genau das ist das entscheidende Argument. können sich auslöschen, weil sich Berg und Tal aufheben; Teilchenströme können das nicht.

  3. 3

    Die Wellenerklärung passt vollständig.

    Von beiden Spalten laufen Kreiswellen los. An einem Punkt des Schirms haben sie einen Δs\Delta s:

    • Δs=kλ\Delta s = k\lambda: Berg trifft Berg, hell.
    • Δs=(k+12)λ\Delta s = (k+\frac{1}{2})\lambda: Berg trifft Tal, dunkel.

    Daraus folgen quantitativ die richtigen Streifenabstände, die richtige Abhängigkeit von λ\lambda, gg und ee, und die richtige Farbfolge bei weißem Licht. Alle Vorhersagen wurden bestätigt.

    Und der Energiesatz gilt: An den dunklen Stellen wird keine vernichtet, sie erscheint an den hellen Stellen zusätzlich. Über den Schirm gemittelt kommt genau so viel Licht an, wie eingestrahlt wurde.

  4. 4

    Warum Kohärenz nötig ist.

    Das Interferenzmuster hängt von der Phasenbeziehung der beiden Wellen ab. Nur wenn diese fest ist, liegen die hellen und dunklen Stellen dauerhaft an denselben Orten.

    Bei zwei getrennten Lampen ändert sich die Phasenbeziehung fortlaufend und zufällig, denn das Licht entsteht in unzähligen unabhängigen Atomen, die ihre Wellenzüge unkoordiniert aussenden. Typische Wellenzüge dauern nur Nanosekunden.

    Das Muster wäre also da, würde aber milliardenfach je Sekunde seine Lage wechseln. Auge und Kamera mitteln darüber, und man sieht gleichmäßige Helligkeit.

    Die Lösung: Man beleuchtet beide Spalte mit dem Licht derselben Quelle. Dann stammen die beiden Teilwellen aus demselben Wellenzug und haben zwangsläufig eine feste Phasenbeziehung, egal wie zufällig die Quelle selbst arbeitet.

    Ein Laser ist bereits von sich aus kohärent, weil in ihm alle Atome gleichphasig abstrahlen (stimulierte Emission). Deshalb gelingt der Versuch damit besonders leicht.

    🔴 Der Kern: Kohärenz ist keine Eigenschaft des Lichts an sich, sondern der Beziehung zwischen zwei Wellen. Der Versuchsaufbau stellt sie her, indem er eine Welle aufteilt statt zwei zu erzeugen.

Mit Teilchen könnte eine zusätzliche Lichtquelle eine Stelle nie dunkler machen; genau das geschieht aber. Kohärenz braucht man, weil das Muster sonst zufällig wandert und sich zu gleichmäßiger Helligkeit mittelt.

Typischer Fehler

„Bei zwei Spalten sieht man zwei helle Streifen, hinter jedem Spalt einen."

Man sieht viele Streifen in gleichmäßigen Abständen, und in der Mitte, wo nach der Teilchenvorstellung nichts sein dürfte, ist es sogar am hellsten.

Warum die Erwartung nahe liegt: Sie entspricht der geometrischen Optik, in der sich Licht geradlinig ausbreitet. Bei breiten Öffnungen stimmt das auch: Ein Fenster wirft ein scharfes Rechteck auf den Boden.

Was sich bei engen Spalten ändert: Ist die Spaltbreite mit der vergleichbar, tritt Beugung auf. Hinter jedem Spalt breitet sich das Licht fächerförmig aus, statt geradeaus zu laufen. Erst dadurch überlappen sich die beiden Lichtbündel überhaupt und können .

Der auffälligste Befund: Das hellste Maximum liegt genau in der Mitte, also zwischen den beiden Spalten. Dorthin sind beide Wege gleich lang, der Gangunterschied ist null, und beide Wellen verstärken sich maximal.

Nach der Teilchenvorstellung müsste gerade dort ein Schatten sein.

Was das für die Versuchsdurchführung bedeutet: Der Doppelspalt gelingt nur, wenn die Spalte eng genug sind (Größenordnung Hundertstelmillimeter). Mit zwei Löchern von einem Millimeter sieht man tatsächlich zwei Flecken, weil die Beugung dann zu schwach ist.

Das ist kein Widerspruch, sondern der Übergang zur geometrischen Optik: Wird die Öffnung viel größer als die Wellenlänge, verschwinden die Wellenerscheinungen praktisch.

Merksatz: Enge Spalte bedeuten starke Beugung und ein Streifenmuster; breite Öffnungen bedeuten geradlinige Ausbreitung und ein Abbild der Öffnung.

Übung 1

leicht

a) Bei welchem entsteht ein Maximum, bei welchem ein Minimum?

b) Ein Doppelspalt (g=0,25 mmg = 0{,}25\,\text{mm}) wird mit λ=600 nm\lambda = 600\,\text{nm} beleuchtet, e=2,0 me = 2{,}0\,\text{m}. Wie groß ist der Abstand des ersten Maximums von der Mitte?

c) Warum braucht man Beugung, damit das Muster entsteht?

Tipp anzeigen

b) a1=λega_1 = \frac{\lambda e}{g}.

Lösung anzeigen

a) Maximum bei Δs=kλ\Delta s = k\lambda (Berg trifft Berg), Minimum bei Δs=(k+12)λ\Delta s = \left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda (Berg trifft Tal), mit k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \dots

b) a1=λeg=600⋅10−9 m⋅2,0 m0,25⋅10−3 m=1,2⋅10−62,5⋅10−4 ma_1 = \frac{\lambda e}{g} = \frac{600 \cdot 10^{-9}\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\text{m}}{0{,}25 \cdot 10^{-3}\,\text{m}} = \frac{1{,}2 \cdot 10^{-6}}{2{,}5 \cdot 10^{-4}}\,\text{m}

a1=4,8⋅10−3 m=4,8 mma_1 = 4{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{m} = 4{,}8\,\text{mm}

c) Weil sich das Licht hinter den Spalten sonst geradlinig weiterbewegen würde. Dann träfen die beiden Lichtbündel nirgends aufeinander und könnten sich nicht überlagern.

Erst die Beugung sorgt dafür, dass sich das Licht hinter jedem Spalt fächerförmig ausbreitet, sodass sich die beiden auf dem Schirm überall überlappen und interferieren können.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Doppelspalt

    b) gibt Spaltabstand g=0,25 mmg = 0{,}25\,\text{mm}, Wellenlänge λ=600 nm\lambda = 600\,\text{nm} und Schirmabstand e=2,0 me = 2{,}0\,\text{m}; gesucht ist der Abstand des ersten Maximums von der Mitte. a) und c) fragen nach den Bedingungen und nach der Rolle der Beugung.

  2. 2

    Die Bedingungen für Maximum und Minimum

    Ein Maximum entsteht bei Δs=kλ\Delta s = k\lambda (Berg trifft Berg), ein Minimum bei Δs=(k+12)λ\Delta s = \left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda (Berg trifft Tal), mit k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \dots. Für den Schirmabstand gilt ak=kλega_k = \frac{k\lambda e}{g}.

  3. 3

    b) Der Abstand des ersten Maximums

    Alle Längen in Meter, dann k=1k = 1 einsetzen.

    a1=λeg=600⋅10−9 m⋅2,0 m0,25⋅10−3 m=4,8⋅10−3 ma_1 = \frac{\lambda e}{g} = \frac{600 \cdot 10^{-9}\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\text{m}}{0{,}25 \cdot 10^{-3}\,\text{m}} = 4{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    a1=4,8 mma_1 = 4{,}8\,\text{mm}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: ohne Beugung kein Muster

    Weil sich das Licht hinter den Spalten sonst geradlinig weiterbewegen würde, dann träfen die beiden Lichtbündel nirgends aufeinander und könnten sich nicht überlagern. Erst die Beugung sorgt dafür, dass sich das Licht hinter jedem Spalt fächerförmig ausbreitet.

Übung 2

mittel

a) Ein Doppelspalt (g=0,15 mmg = 0{,}15\,\text{mm}, e=2,5 me = 2{,}5\,\text{m}) erzeugt Maxima im Abstand von 8,8 mm8{,}8\,\text{mm}. Bestimme die .

b) Warum benutzt man eine Lichtquelle und keine zwei Lampen?

c) Wie sieht das Muster bei weißem Licht aus? Begründe.

d) Warum sieht man auf einer CD Regenbogenfarben?

Tipp anzeigen

a) Der Streifenabstand entspricht k=1k = 1.

Lösung anzeigen

a) Der Abstand benachbarter Maxima entspricht a1a_1:

λ=a1⋅ge=8,8⋅10−3 m⋅0,15⋅10−3 m2,5 m\lambda = \frac{a_1 \cdot g}{e} = \frac{8{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot 0{,}15 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{2{,}5\,\text{m}} λ=1,32⋅10−62,5 m≈5,3⋅10−7 m=530 nm\lambda = \frac{1{,}32 \cdot 10^{-6}}{2{,}5}\,\text{m} \approx 5{,}3 \cdot 10^{-7}\,\text{m} = 530\,\text{nm}

Das ist grünes Licht, und der Wert liegt plausibel im sichtbaren Bereich.

b) Weil zwei getrennte Lampen nicht kohärent sind.

In einer gewöhnlichen Lichtquelle senden unzählige Atome unabhängig voneinander kurze Wellenzüge aus, die nur Nanosekunden dauern. Die Phasenbeziehung zwischen zwei solchen Quellen ändert sich deshalb milliardenfach je Sekunde zufällig.

Ein Interferenzmuster entstünde zwar, würde aber ständig seine Lage wechseln. Auge und Kamera mitteln darüber und sehen gleichmäßige Helligkeit.

Die Lösung: Man beleuchtet beide Spalte mit dem Licht derselben Quelle. Dann stammen beide Teilwellen aus demselben Wellenzug und haben zwangsläufig eine feste Phasenbeziehung, wie zufällig die Quelle auch arbeitet.

c) In der Mitte ein weißer Streifen, außen farbige Spektren mit Blau innen und Rot außen.

Begründung: Weißes Licht enthält alle Wellenlängen. Nach ak=kλega_k = \frac{k\lambda e}{g} hängt die Lage der Maxima von λ\lambda ab, jede Farbe hat also ihr eigenes Muster mit eigener Streifenbreite.

  • Beim Maximum nullter Ordnung (k=0k = 0) ist a0=0a_0 = 0 für jede Wellenlänge, denn dort ist der null. Alle Farben liegen übereinander, der Streifen erscheint weiß.
  • Bei allen höheren Ordnungen ist aka_k der Wellenlänge proportional. Blau (λ\lambda klein) liegt deshalb innen, Rot (λ\lambda groß) außen.

Bei höheren Ordnungen überlappen sich die Spektren benachbarter Ordnungen zunehmend, sodass das Muster verwaschen wird.

d) Weil die Datenspuren einer CD wie ein Beugungsgitter wirken.

Die Spuren liegen in sehr regelmäßigen Abständen von rund 1,6 µm1{,}6\,\text{µm} (bei einer DVD sogar nur 0,74 µm0{,}74\,\text{µm}). Das ist von der Größenordnung der Lichtwellenlänge, also genau der Bereich, in dem Beugung und Interferenz auffällig werden.

Das reflektierte Licht der verschiedenen Spuren interferiert. Da die Richtung der Maxima nach sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g} von der Wellenlänge abhängt, wird jede Farbe in eine andere Richtung verstärkt. Man sieht das Licht deshalb in Spektralfarben aufgefächert.

🔴 Diese Farben sind keine Farbstoffe. Eine CD ist silbern; die Farben entstehen erst durch die Struktur. Man nennt das Strukturfarben.

Weitere Beispiele: die schillernden Flügel von Schmetterlingen und Käfern, das Blau eines Pfauenfederauges, Perlmutt, Seifenblasen und Ölfilme. Alle beruhen auf Interferenz an feinen Strukturen, nicht auf Pigmenten.

Erkennungsmerkmal: Strukturfarben ändern sich mit dem Blickwinkel, Pigmentfarben nicht. Deshalb schillert eine CD, ein rotes Blatt Papier aber nicht.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Wellenlängenmessung

    a) gibt g=0,15 mmg = 0{,}15\,\text{mm}, e=2,5 me = 2{,}5\,\text{m} und einen Maximaabstand von 8,8 mm8{,}8\,\text{mm}; gesucht ist die Wellenlänge. b) bis d) fragen nach Kohärenz, weißem Licht und CD-Farben.

  2. 2

    Welches Gesetz den Streifenabstand beschreibt

    Für die Maxima auf dem Schirm gilt ak=kλega_k = \frac{k\lambda e}{g}. Weil die Maxima gleichabständig liegen, ist der Abstand zweier benachbarter Streifen genau a1a_1, also der Fall k=1k = 1.

  3. 3

    a) Die Doppelspaltformel nach der Wellenlänge umstellen

    Aus a1=λega_1 = \frac{\lambda e}{g} folgt durch Multiplizieren mit gg und Teilen durch ee: λ=a1⋅ge\lambda = \frac{a_1 \cdot g}{e}.

  4. 4

    a) Die Wellenlänge bestimmen

    Alle drei Längen in Meter, dann einsetzen.

    λ=8,8⋅10−3 m⋅0,15⋅10−3 m2,5 m≈5,3⋅10−7 m\lambda = \frac{8{,}8 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot 0{,}15 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{2{,}5\,\text{m}} \approx 5{,}3 \cdot 10^{-7}\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    λ≈530 nm\lambda \approx 530\,\text{nm} (grün)

  5. 5

    b) und c) Kohärenz und das Muster bei weißem Licht

    b) Zwei getrennte Lampen sind nicht kohärent: Unzählige Atome senden unabhängig kurze Wellenzüge aus, die Phasenbeziehung wechselt milliardenfach je Sekunde. Ein Muster entstünde zwar, würde aber ständig seine Lage wechseln: Auge und Kamera mitteln darüber. c) Bei weißem Licht liegt in der Mitte ein weißer Streifen, außen farbige Spektren mit Blau innen und Rot außen.

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: die CD als Beugungsgitter

    Weil die Datenspuren einer CD in sehr regelmäßigen Abständen von rund 1,6 µm1{,}6\,\text{µm} liegen, von der Größenordnung der Lichtwellenlänge. Das reflektierte Licht der verschiedenen Spuren interferiert, und weil die Richtung der Maxima von der Wellenlänge abhängt, wird jede Farbe in eine andere Richtung verstärkt.

Übung 3

schwer

a) Leite ak=kλega_k = \frac{k\lambda e}{g} her und benenne die verwendete Näherung.

b) Warum beweist der Versuch den Wellencharakter des Lichts?

c) Warum liegt in der Mitte immer ein Maximum, unabhängig von der ?

d) Bei g=0,05 mmg = 0{,}05\,\text{mm} und λ=650 nm\lambda = 650\,\text{nm}: Wie viele Maxima sind überhaupt möglich?

Tipp anzeigen

d) Wie groß kann sin⁡α\sin\alpha höchstens werden?

Lösung anzeigen

a) Schritt 1: und Winkel. Für zwei Spalte im Abstand gg ist der Gangunterschied zu einem weit entfernten Punkt unter dem Winkel α\alpha

Δs=g⋅sin⁡α\Delta s = g \cdot \sin\alpha

Schritt 2: Maximumbedingung einsetzen. Mit Δs=kλ\Delta s = k\lambda:

gsin⁡αk=kλ⟹sin⁡αk=kλgg \sin\alpha_k = k\lambda \quad \Longrightarrow \quad \sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}

Schritt 3: Vom Winkel zum Schirmabstand. Für den Abstand aka_k auf dem Schirm gilt geometrisch

tan⁡αk=ake\tan\alpha_k = \frac{a_k}{e}

Schritt 4: Die Näherung. Für kleine Winkel gilt

sin⁡α≈tan⁡α\sin\alpha \approx \tan\alpha

Damit lassen sich beide Ausdrücke gleichsetzen:

ake≈kλg⟹ak=kλeg\frac{a_k}{e} \approx \frac{k\lambda}{g} \quad \Longrightarrow \quad a_k = \frac{k\lambda e}{g}

🔴 Die Näherung ist in der Praxis gut erfüllt, weil ee (Meter) sehr viel größer als aka_k (Millimeter) ist. Bei ak=1 cma_k = 1\,\text{cm} und e=2 me = 2\,\text{m} beträgt der Winkel nur 0,3°0{,}3°, und der Fehler liegt weit unter einem Promille.

Bei einem Gitter mit sehr kleinem gg werden die Winkel dagegen groß, und man muss mit sin⁡α\sin\alpha rechnen.

b) Weil eine zusätzliche Lichtquelle eine Stelle dunkler macht.

Wären Lichtteilchen wie kleine Kugeln, käme durch den zweiten Spalt an jeder Stelle zusätzliches Licht an. Es könnte nirgends dunkler werden.

Tatsächlich gibt es aber Stellen, die mit beiden offenen Spalten dunkel sind, obwohl sie mit einem offenen Spalt hell waren. Das ist mit Teilchen im klassischen Sinn ausgeschlossen.

Wellen dagegen können sich auslöschen, weil sich Berg und Tal aufheben. Die Wellenerklärung sagt zudem quantitativ die richtigen Streifenabstände, ihre Abhängigkeit von λ\lambda, gg und ee und die Farbfolge bei weißem Licht voraus.

🔴 Die überraschende Fortsetzung: Schwächt man das Licht so weit ab, dass jeweils nur ein einzelnes unterwegs ist, erscheinen zunächst einzelne Punkte auf dem Schirm, also ein Teilchenverhalten. Nach langer Belichtung setzen sich diese Punkte aber genau zum Interferenzmuster zusammen.

Jedes einzelne Photon „weiß" also, wo es landen darf und wo nicht, obwohl es allein unterwegs ist. Dasselbe gilt für Elektronen, die eindeutig Teilchen sind.

Der Versuch entschied 1801 den Streit zugunsten der Welle, führte aber hundert Jahre später zu einer viel tieferen Frage, die in den nächsten Kapiteln behandelt wird.

c) Weil dort der Gangunterschied für jede Wellenlänge null ist.

Der Punkt genau in der Mitte des Schirms hat von beiden Spalten denselben Abstand. Beide Wellen legen also exakt gleich lange Wege zurück:

Δs=0\Delta s = 0

Das erfüllt die Maximumbedingung Δs=kλ\Delta s = k\lambda mit k=0k = 0, und zwar unabhängig von λ\lambda, weil null ein Vielfaches jeder Zahl ist.

Beide Wellen treffen dort also mit gleicher Phase ein und verstärken sich maximal, für jede Farbe gleichermaßen.

Zwei Folgerungen:

  • Das mittlere Maximum ist bei weißem Licht weiß, während alle anderen farbig aufgefächert sind.
  • Es ist zugleich das hellste, weil alle Wellenlängen zusammenwirken.

Genau dieser Punkt widerspricht der Teilchenvorstellung am deutlichsten: Er liegt zwischen den Spalten, wo geradlinig ausbreitendes Licht gar nicht hingelangen könnte.

d) Die Zahl der Ordnungen ist begrenzt, weil sin⁡α\sin\alpha höchstens 11 werden kann (das entspricht α=90°\alpha = 90°, also einer Beugung parallel zum Schirm).

sin⁡αk=kλg≤1⟹k≤gλ\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g} \le 1 \quad \Longrightarrow \quad k \le \frac{g}{\lambda} k≤0,05⋅10−3 m650⋅10−9 m=5⋅10−56,5⋅10−7≈76,9k \le \frac{0{,}05 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} = \frac{5 \cdot 10^{-5}}{6{,}5 \cdot 10^{-7}} \approx 76{,}9

Es sind also die Ordnungen k=0k = 0 bis k=76k = 76 möglich, das heißt 77 Maxima auf jeder Seite (das nullte in der Mitte mitgezählt).

🔴 Praktisch sieht man deutlich weniger. Die Helligkeit der Maxima nimmt nach außen stark ab, weil die Beugung am Einzelspalt (nächstes Kapitel) das Licht nicht gleichmäßig in alle Richtungen verteilt. Hohe Ordnungen sind deshalb sehr lichtschwach.

Der umgekehrte Fall ist wichtiger: Wird gg kleiner als λ\lambda, ist gλ<1\frac{g}{\lambda} < 1, und es gibt außer der nullten gar keine Ordnung mehr. Dann verschwindet das Muster vollständig.

Daraus folgt eine grundsätzliche Grenze: Man kann mit Licht keine Strukturen auflösen, die deutlich kleiner als seine Wellenlänge sind. Genau deshalb erreicht ein Lichtmikroskop nur rund 200 nm200\,\text{nm} Auflösung, und genau deshalb baut man Elektronenmikroskope.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht: Herleitung, Beweisfrage und eine Abzählung

    d) gibt g=0,05 mmg = 0{,}05\,\text{mm} und λ=650 nm\lambda = 650\,\text{nm}; gesucht ist die Zahl der überhaupt möglichen Maxima. a) bis c) verlangen Herleitung, Wellenbeweis und die Begründung des Mittelmaximums.

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    a) Die Schirmformel in vier Schritten herleiten

    1. Gangunterschied zweier Spalte unter dem Winkel α\alpha: Δs=gsin⁡α\Delta s = g \sin\alpha. 2. Maximumbedingung Δs=kλ\Delta s = k\lambda einsetzen: sin⁡αk=kλg\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}. 3. Geometrie am Schirm: tan⁡αk=ake\tan\alpha_k = \frac{a_k}{e}. 4. Näherung sin⁡α≈tan⁡α\sin\alpha \approx \tan\alpha für kleine Winkel, damit ak=kλega_k = \frac{k\lambda e}{g}.

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    b) und c) Warum das Muster Wellen beweist und die Mitte immer hell ist

    b) Weil eine zusätzliche Lichtquelle eine Stelle dunkler macht. Mit Teilchen käme durch den zweiten Spalt überall zusätzliches Licht an; tatsächlich gibt es Stellen, die mit beiden Spalten dunkel sind. c) In der Mitte ist der Gangunterschied für jede Wellenlänge null, denn beide Wege sind gleich lang, das erfüllt Δs=kλ\Delta s = k\lambda mit k=0k = 0.

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    d) Wie viele Ordnungen überhaupt möglich sind

    Aus sin⁡αk=kλg≤1\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g} \le 1 folgt k≤gλk \le \frac{g}{\lambda}.

    k≤gλ=0,05⋅10−3 m650⋅10−9 m≈76,9k \le \frac{g}{\lambda} = \frac{0{,}05 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} \approx 76{,}9

    Zwischenergebnis

    7777 Maxima je Seite (nulltes mitgezählt).

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    d) Ergebnis deuten: die Auflösungsgrenze des Lichtmikroskops

    Aus k≤gλk \le \frac{g}{\lambda} folgt unmittelbar: Strukturen kleiner als die Wellenlänge erzeugen kein Muster mehr und sind damit nicht mehr unterscheidbar.

Zusammenfassung

Hinter einem engen Spalt breitet sich Licht durch Beugung fächerförmig aus, sodass sich die zweier benachbarter Spalte auf einem Schirm überlagern können. Ob an einer Stelle Helligkeit oder Dunkelheit entsteht, entscheidet der : Ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge ergeben ein Maximum, halbzahlige ein Minimum. Daraus folgt für kleine Winkel eine einfache Beziehung zwischen Streifenabstand, Wellenlänge, Spaltabstand und Schirmabstand, mit der sich die Wellenlänge des Lichts mit Lineal und Maßband bestimmen lässt, obwohl sie unter einem Mikrometer liegt. Voraussetzung ist Kohärenz, weshalb man das Licht einer einzigen Quelle aufteilt statt zwei Lampen zu verwenden. Dass eine zusätzliche Lichtquelle manche Stellen dunkler macht, ist mit einer Teilchenvorstellung unvereinbar und entschied 1801 den Streit über die Natur des Lichts zugunsten der Wellentheorie.