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Schwingungen und Wellen

Mechanische Wellen, Interferenz und stehende Wellen

Wie Wellen sich überlagern, warum zwei Schallquellen leiser sein können als eine und wie Instrumente ihre Töne festlegen.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Zwei Lautsprecher, die denselben Ton spielen, machen an manchen Stellen im Raum weniger Lärm als einer allein. An anderen Stellen ist es deutlich lauter.

Das klingt nach einem Widerspruch zum Energiesatz, ist aber keiner. Es ist die auffälligste Eigenschaft von : Sie können sich gegenseitig auslöschen, und genau daran erkennt man, dass etwas eine Welle ist.

Auf diesem Merkmal beruht der Nachweis, dass Licht eine Welle ist, ebenso wie Lärmschutzkopfhörer, Instrumentenbau und die Farben einer Seifenblase.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • und ihre Kenngrößen anwenden.

  • das formulieren.

  • konstruktive und destruktive Interferenz über den Gangunterschied bestimmen.

  • , und Beugung als Welleneigenschaften einordnen.

  • stehende Wellen und Eigenschwingungen beschreiben.

  • die Tonhöhe von Saiten und Pfeifen begründen.

Wiederholung der Grundlagen

Eine ist die Ausbreitung einer im Raum. Die Teilchen schwingen um ihre Ruhelage, es wandert nur die Störung und mit ihr die .

c=λ⋅fc = \lambda \cdot f

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium ab. Beim Übergang in ein anderes Medium bleibt die erhalten (der Erreger gibt sie vor), die Wellenlänge ändert sich.

Das Superpositionsprinzip

Treffen zwei aufeinander, addieren sich ihre Auslenkungen an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt. Danach laufen beide unverändert weiter.

🔴 Der zweite Satz ist bemerkenswert: Wellen stören einander nicht dauerhaft. Zwei Schallwellen durchdringen sich und laufen unbeeinflusst weiter. Deshalb kann man in einem Raum mehrere Gespräche gleichzeitig verfolgen, und deshalb überlagern sich unzählige Funksignale, ohne sich zu zerstören.

Bei Teilchen wäre das undenkbar; zwei Kugeln stoßen einander ab. Genau daran unterscheidet man Wellen von Teilchen.

Die Auslenkungen addieren sich, Punkt für Punktgleichphasig: konstruktivdoppelt so hochgegenphasig: destruktivAuslöschungGestrichelt die zwei Wellen, voll gezeichnet die Summe.Danach laufen beide unverändert weiter

Gestrichelt die beiden Einzelwellen, voll gezeichnet ihre Summe. Man sieht: Addiert wird an jeder Stelle einzeln, nicht „die “ als Ganzes. Und das Entscheidende passiert danach. Beide laufen unverändert weiter, als wäre nichts gewesen. Genau das unterscheidet Wellen von Körpern, die zusammenstoßen.

Interferenz

Die Überlagerung heißt Interferenz. Entscheidend ist der Gangunterschied Δs\Delta s, also der Unterschied der zurückgelegten Wege.

konstruktiv: Δs=n⋅λdestruktiv: Δs=(n+12)λ\boxed{\text{konstruktiv: } \Delta s = n \cdot \lambda} \qquad \boxed{\text{destruktiv: } \Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda}

mit n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \dots

  • Konstruktiv: Berg trifft Berg, die addieren sich, es wird lauter bzw. heller.
  • Destruktiv: Berg trifft Tal, die Amplituden heben sich auf, es wird leiser bzw. dunkler.

🔴 Zum Energiesatz: Bei destruktiver Interferenz verschwindet keine . Sie wird nur umverteilt: Wo es leiser ist, ist es anderswo entsprechend lauter. Über den ganzen Raum gemittelt bleibt die Energie erhalten.

Anwendung: aktive Lärmunterdrückung. Ein Kopfhörer misst das Störgeräusch und erzeugt genau die gegenphasige . Beides zusammen ergibt Stille am Ohr.

Die drei weiteren Welleneigenschaften

. Trifft eine auf eine Grenzfläche, wird sie teilweise zurückgeworfen. Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel.

🔴 Wichtig für stehende Wellen: Am festen Ende erfolgt die Reflexion mit Phasensprung (aus Berg wird Tal), am losen Ende ohne.

. Beim Übergang in ein Medium mit anderer Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert die Welle ihre Richtung, weil sich die Wellenlänge ändert.

Beugung. An Hindernissen und Öffnungen laufen Wellen in den geometrischen Schattenraum hinein. Die Beugung ist umso stärker, je größer die Wellenlänge im Verhältnis zur Öffnung ist.

Deshalb hört man um die Ecke, sieht aber nicht um die Ecke: Schall hat Wellenlängen im Meterbereich und wird an Türen und Hausecken stark gebeugt; Licht hat Wellenlängen von unter einem Mikrometer, seine Beugung ist an Alltagsgegenständen unmerklich.

Stehende Wellen

Überlagern sich eine hinlaufende und eine an einem Ende reflektierte , entsteht eine stehende Welle. Sie wandert nicht, sondern hat feste

  • Knoten: Punkte, die stets in Ruhe bleiben (destruktive Interferenz),
  • Bäuche: Punkte mit maximaler Auslenkung (konstruktive Interferenz).

Der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt λ2\frac{\lambda}{2}.

Stellen, die stillstehen, und Stellen, die tobenKnotenBauchλ / 2Die Welle läuft nicht mehr, sie steht

Die roten Punkte stehen dauerhaft still, dazwischen schwingen die Bäuche mit größter . Miss den Abstand zweier Knoten nach: Er ist eine halbe , nicht eine ganze. Das ist die Zahl, mit der man später die Eigenschwingungen abzählt.

Eigenschwingungen

Ein begrenztes System kann nur bestimmte stehende tragen, denn die Randbedingungen müssen erfüllt sein.

Saite (beidseitig eingespannt, also Knoten an beiden Enden):

ℓ=n⋅λ2⟹fn=n⋅c2ℓ,n=1,2,3,…\ell = n \cdot \frac{\lambda}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad f_n = n \cdot \frac{c}{2\ell}, \quad n = 1, 2, 3, \dots

Die kleinste heißt Grundton, die weiteren sind ihre ganzzahligen Vielfachen (Obertöne).

🔴 Damit ist erklärt, wovon die Tonhöhe einer Saite abhängt:

  • Kürzere Saite bedeutet höherer Ton. (Deshalb greift man auf dem Griffbrett.)
  • Höhere bedeutet größeres cc, also höherer Ton. (Deshalb stimmt man mit den Wirbeln.)
  • Dünnere oder leichtere Saite bedeutet größeres cc, also höherer Ton. (Deshalb sind die Basssaiten dicker.)

Pfeife, beidseitig offen (Bäuche an beiden Enden): dieselbe Formel wie bei der Saite.

Pfeife, einseitig geschlossen (Knoten am geschlossenen, Bauch am offenen Ende):

ℓ=(2n−1)λ4⟹fn=(2n−1)c4ℓ\ell = (2n-1)\frac{\lambda}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad f_n = (2n-1)\frac{c}{4\ell}

🔴 Eine gedackte Pfeife klingt eine Oktave tiefer als eine offene gleicher Länge, weil in sie nur eine Viertelwellenlänge statt einer halben passt. Deshalb baut man tiefe Orgelregister gedackt: Man spart die halbe Bauhöhe.

Außerdem enthält sie nur die ungeradzahligen Obertöne, was ihren typisch dunkleren, hohleren Klang erklärt.

Nur was an beiden Enden einen Knoten hatEingespannte Saite, gleiche Länge.Grundtonf1. Oberton2 f2. Oberton3 fDie Mischung dieser Töne ist die Klangfarbe.Die Einspannung wählt die Frequenzen aus

An beiden Enden muss ein Knoten liegen, die Saite ist dort festgeklemmt und kann sich nicht bewegen. Deshalb passt in dieselbe Länge eine halbe, eine ganze oder anderthalb , aber nichts dazwischen. Aus dieser einen Bedingung folgt, dass die möglichen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

Klangfarbe

Ein realer Ton enthält immer Grundton und Obertöne. Ihre Zusammensetzung bestimmt die Klangfarbe und macht aus, dass man Geige und Flöte bei gleicher Tonhöhe unterscheidet.

Ein reiner Sinuston ohne Obertöne klingt dagegen leer und künstlich; er kommt in der Natur praktisch nicht vor.

Interferenz zweier Lautsprecher

Zwei Lautsprecher stehen 3,0 m3{,}0\,\text{m} auseinander und geben denselben Ton mit f=686 Hzf = 686\,\text{Hz} ab (c=343 msc = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}).

a) Wie groß ist die ?

b) Ein Zuhörer ist vom einen Lautsprecher 5,00 m5{,}00\,\text{m}, vom anderen 5,25 m5{,}25\,\text{m} entfernt. Was hört er?

c) Was hört er bei 5,50 m5{,}50\,\text{m} statt 5,25 m5{,}25\,\text{m}?

d) Widerspricht die Auslöschung dem Energiesatz?

  1. 1

    a) λ=cf=343 ms686 Hz=0,50 m\lambda = \frac{c}{f} = \frac{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{686\,\text{Hz}} = 0{,}50\,\text{m}

  2. 2

    b) Gangunterschied:

    Δs=5,25 m−5,00 m=0,25 m\Delta s = 5{,}25\,\text{m} - 5{,}00\,\text{m} = 0{,}25\,\text{m}

    Vergleich mit der Wellenlänge:

    Δsλ=0,250,50=0,5\frac{\Delta s}{\lambda} = \frac{0{,}25}{0{,}50} = 0{,}5

    Das ist (n+12)λ\left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda mit n=0n = 0, also destruktive Interferenz.

    Der Zuhörer hört den Ton sehr leise oder gar nicht, obwohl beide Lautsprecher spielen.

  3. 3

    c) Neuer Gangunterschied:

    Δs=5,50 m−5,00 m=0,50 m=1⋅λ\Delta s = 5{,}50\,\text{m} - 5{,}00\,\text{m} = 0{,}50\,\text{m} = 1 \cdot \lambda

    Das ist nλn\lambda mit n=1n = 1, also konstruktive Interferenz.

    Der Zuhörer hört den Ton besonders laut, mit doppelter gegenüber einem einzelnen Lautsprecher.

    🔴 Ein Viertelmeter Unterschied in der Position entscheidet also zwischen laut und still. Genau das kann man in einem Saal mit zwei Lautsprechern beobachten, wenn man langsam quer durch den Raum geht.

    (In der Praxis ist die Auslöschung nie vollständig, weil von Wänden hinzukommen und Musik viele gleichzeitig enthält.)

  4. 4

    d) Nein, der Energiesatz gilt unverändert.

    Der Denkfehler besteht darin, nur einen Punkt zu betrachten. Man muss über den ganzen Raum bilanzieren.

    An den Stellen destruktiver Interferenz wird die Amplitude kleiner, an den Stellen konstruktiver Interferenz größer. Da die Energie mit dem Quadrat der Amplitude geht, ist der Gewinn an den lauten Stellen genau so groß wie der Verlust an den leisen.

    Zahlenbeispiel: Zwei Wellen der Amplitude AA.

    • Konstruktiv: Amplitude 2A2A, Energie proportional zu 4A24A^2.
    • Destruktiv: Amplitude 00, Energie 00.
    • Im Mittel: 4A2+02=2A2\frac{4A^2 + 0}{2} = 2A^2, also genau die Summe der Einzelenergien A2+A2A^2 + A^2. ✓

    Die Energie wird also umverteilt, nicht vernichtet.

    Bei aktiver Lärmunterdrückung ist es dasselbe: Am Ort des Ohrs herrscht Stille, weil die Energie dorthin nicht gelangt. Der Kopfhörer setzt zusätzlich Energie ein, aber das Schallfeld insgesamt bleibt energetisch stimmig.

a) 0,50 m0{,}50\,\text{m} b) Δs=λ2\Delta s = \frac{\lambda}{2}, also Auslöschung c) Δs=λ\Delta s = \lambda, also Verstärkung d) nein, die wird nur umverteilt.

Töne einer Saite und einer Pfeife

a) Eine Gitarrensaite ist 65 cm65\,\text{cm} lang, die Wellengeschwindigkeit auf ihr beträgt c=143 msc = 143\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Wie groß ist der Grundton?

b) Wo muss man greifen, um eine Oktave höher zu spielen?

c) Eine offene Orgelpfeife ist 1,0 m1{,}0\,\text{m} lang. Wie hoch ist ihr Grundton (c=343 msc = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

d) Wie ändert sich das, wenn man ein Ende schließt?

  1. 1

    a) Beim Grundton passt eine halbe auf die Saite:

    ℓ=λ2⇒λ=2ℓ=1,30 m\ell = \frac{\lambda}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2\ell = 1{,}30\,\text{m} f1=cλ=143 ms1,30 m=110 Hzf_1 = \frac{c}{\lambda} = \frac{143\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}30\,\text{m}} = 110\,\text{Hz}

    Das ist das A der zweiten Oktave, die A-Saite einer Gitarre.

  2. 2

    b) Eine Oktave höher bedeutet doppelte , also f=220 Hzf = 220\,\text{Hz}.

    Da f1=c2ℓf_1 = \frac{c}{2\ell}, gilt f∼1ℓf \sim \frac{1}{\ell}: Doppelte Frequenz verlangt halbe Länge.

    ℓneu=65 cm2=32,5 cm\ell_{\text{neu}} = \frac{65\,\text{cm}}{2} = 32{,}5\,\text{cm}

    🔴 Genau dort sitzt auf jeder Gitarre der zwölfte Bund, exakt in der Mitte zwischen Sattel und Steg. Das ist keine Konvention, sondern folgt unmittelbar aus f∼1ℓf \sim \frac{1}{\ell}.

  3. 3

    c) Offene Pfeife: Bäuche an beiden Enden, also passt wie bei der Saite eine halbe Wellenlänge hinein:

    λ=2ℓ=2,0 m\lambda = 2\ell = 2{,}0\,\text{m} f1=343 ms2,0 m≈172 Hzf_1 = \frac{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2{,}0\,\text{m}} \approx 172\,\text{Hz}
  4. 4

    d) Gedackte Pfeife: Am geschlossenen Ende muss ein Knoten sein (die Luft kann dort nicht schwingen), am offenen ein Bauch. Dazwischen passt nur eine Viertelwellenlänge:

    ℓ=λ4⇒λ=4ℓ=4,0 m\ell = \frac{\lambda}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 4\ell = 4{,}0\,\text{m} f1=3434,0 Hz≈86 Hzf_1 = \frac{343}{4{,}0}\,\text{Hz} \approx 86\,\text{Hz}

    🔴 Die Frequenz halbiert sich, der Ton klingt also eine Oktave tiefer, obwohl die Pfeife gleich lang ist.

    Praktische Bedeutung im Orgelbau: Für einen sehr tiefen Ton bräuchte man eine offene Pfeife von mehreren Metern. Eine gedackte Pfeife liefert denselben Ton bei halber Bauhöhe. Deshalb sind tiefe Register in kleinen Kirchen fast immer gedackt.

    Der Preis dafür ist der Klang. In einer gedackten Pfeife sind nur die ungeradzahligen Obertöne möglich (f1f_1, 3f13f_1, 5f15f_1, …), weil die Randbedingungen die geraden ausschließen. Der Klang wirkt dadurch dunkler und hohler als bei einer offenen Pfeife, die alle Obertöne enthält.

    Dieselbe Physik in der Klarinette: Sie ist an einem Ende geschlossen (das Mundstück wirkt so) und klingt deshalb tiefer als eine gleich lange Flöte, mit dem charakteristischen Klang der ungeraden Obertöne.

a) 110 Hz110\,\text{Hz} b) bei 32,5 cm32{,}5\,\text{cm}, dem zwölften Bund c) rund 172 Hz172\,\text{Hz} d) rund 86 Hz86\,\text{Hz}, eine Oktave tiefer, nur ungerade Obertöne.

Typischer Fehler

„Bei destruktiver Interferenz wird vernichtet, das verstößt gegen den Energiesatz."

Es wird keine Energie vernichtet, sondern nur räumlich umverteilt.

Der Denkfehler: Man betrachtet nur den Punkt der Auslöschung und übersieht, dass anderswo entsprechend mehr ankommt.

Die Bilanz. Die Energie einer ist dem Quadrat der proportional. Bei zwei Wellen gleicher Amplitude AA:

OrtAmplitudeEnergie
konstruktiv2A2A∼4A2\sim 4A^2
destruktiv0000
Mittel∼2A2\sim 2A^2

Ohne Interferenz brächte jede Welle für sich A2A^2, zusammen also 2A22A^2. Genau dieser Wert kommt im Mittel heraus. ✓

Der Schlüssel ist das Quadrat: Weil die Energie quadratisch von der Amplitude abhängt, gewinnt man an den lauten Stellen mehr, als man an den leisen verliert, und beides gleicht sich exakt aus.

Was man beobachtet, bestätigt das: Zwischen den stillen Stellen liegen immer besonders laute. Es gibt keine Anordnung, bei der es überall leiser wäre.

Beim Kopfhörer zur Lärmunterdrückung: Auch dort verschwindet nichts. Das Gerät erzeugt aktiv eine Gegenwelle und steckt dafür selbst Energie hinein. Am Ort des Trommelfells überlagern sich beide zu null, an anderen Stellen des Schallfeldes nicht.

Die richtige Formulierung: Interferenz verteilt Energie um, statt sie gleichmäßig zu verteilen. Genau daran erkennt man Wellen: Teilchenströme können sich nicht auslöschen, Wellen schon.

Historische Bedeutung: Genau dieses Argument entschied den Streit über die Natur des Lichts. Als Thomas Young 1801 zeigte, dass zwei Lichtbündel dunkle Streifen erzeugen können, war klar, dass Licht Welleneigenschaften hat. Mit Teilchen im damaligen Sinn wäre das unerklärlich gewesen.

Übung 1

leicht

a) Zwei mit λ=40 cm\lambda = 40\,\text{cm} haben einen Gangunterschied von 20 cm20\,\text{cm}. Was passiert?

b) Und bei 80 cm80\,\text{cm}?

c) Wie groß ist der Abstand zweier Knoten einer stehenden Welle mit λ=60 cm\lambda = 60\,\text{cm}?

Tipp anzeigen

Bilde jeweils Δsλ\frac{\Delta s}{\lambda}.

Lösung anzeigen

a) Δsλ=2040=0,5\frac{\Delta s}{\lambda} = \frac{20}{40} = 0{,}5

Halbzahlig, also destruktive Interferenz: Auslöschung.

b) Δsλ=8040=2\frac{\Delta s}{\lambda} = \frac{80}{40} = 2

Ganzzahlig, also konstruktive Interferenz: Verstärkung.

c) Der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt immer λ2\frac{\lambda}{2}:

60 cm2=30 cm\frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm}
Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Gangunterschied und Knotenabstand

    a) und b) geben λ=40 cm\lambda = 40\,\text{cm} und Gangunterschiede von 20 cm20\,\text{cm} beziehungsweise 80 cm80\,\text{cm}; gesucht ist jeweils die Art der Interferenz. c) fragt nach dem Knotenabstand bei λ=60 cm\lambda = 60\,\text{cm}.

  2. 2

    Die Bedingung für Verstärkung und Auslöschung

    Konstruktive Interferenz (Verstärkung) tritt bei ganzzahligem Verhältnis Δsλ\frac{\Delta s}{\lambda} auf, destruktive (Auslöschung) bei halbzahligem. Bei einer stehenden Welle beträgt der Abstand zweier benachbarter Knoten immer λ2\frac{\lambda}{2}.

  3. 3

    a) bis c) Die drei Verhältnisse bilden

    Jeweils Gangunterschied durch Wellenlänge; in c) die Wellenlänge halbieren.

    2040=0,5\frac{20}{40} = 0{,}5 · 8040=2\frac{80}{40} = 2 · 60 cm2=30 cm\frac{60\,\text{cm}}{2} = 30\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    a) Auslöschung, b) Verstärkung, c) 30 cm30\,\text{cm}

  4. 4

    Ergebnisse deuten: warum Knoten leichter zu finden sind als Bäuche

    Der Knotenabstand λ2\frac{\lambda}{2} ist die praktisch wichtigste Zahl dieses Kapitels: An den Knoten steht die Welle still, an den Bäuchen sie maximal.

Übung 2

mittel

a) Eine Saite (ℓ=80 cm\ell = 80\,\text{cm}, c=200 msc = 200\,\frac{\text{m}}{\text{s}}) im Grundton. Wie groß sind λ\lambda und ff?

b) Wie groß ist die des zweiten Obertons?

c) Warum hört man um die Ecke, sieht aber nicht um die Ecke?

d) Warum klingen Geige und Flöte beim selben Ton verschieden?

Tipp anzeigen

b) fn=n⋅f1f_n = n \cdot f_1; der zweite Oberton ist n=3n = 3.

Lösung anzeigen

a) λ=2ℓ=1,6 m,f1=cλ=2001,6 Hz=125 Hz\lambda = 2\ell = 1{,}6\,\text{m}, \qquad f_1 = \frac{c}{\lambda} = \frac{200}{1{,}6}\,\text{Hz} = 125\,\text{Hz}

b) Der Grundton ist n=1n = 1, der erste Oberton n=2n = 2, der zweite Oberton n=3n = 3:

f3=3⋅125 Hz=375 Hzf_3 = 3 \cdot 125\,\text{Hz} = 375\,\text{Hz}

c) Weil die Beugung vom Verhältnis der zur Größe des Hindernisses abhängt.

Schall hat Wellenlängen im Bereich von Zentimetern bis Metern (bei 340 Hz340\,\text{Hz} etwa ein Meter). Türöffnungen und Hausecken sind von vergleichbarer Größe, deshalb wird Schall stark gebeugt und läuft weit in den Schattenraum hinein.

Licht hat Wellenlängen von rund 0,5 µm0{,}5\,\text{µm}, also millionenfach kleiner als jedes Alltagshindernis. Seine Beugung ist deshalb unmerklich, und die Ränder von Schatten erscheinen scharf.

🔴 Es ist derselbe physikalische Vorgang, nur mit verschiedenen Größenverhältnissen. Beugung von Licht lässt sich sehr wohl beobachten, wenn man entsprechend kleine Öffnungen benutzt: an einem Spalt von Bruchteilen eines Millimeters oder an einem optischen Gitter. Genau das ist der Nachweis, dass Licht eine Welle ist (Klasse 12).

Dasselbe Prinzip erklärt auch, warum tiefe Töne besser durch Wände und um Ecken dringen als hohe.

d) Wegen der Obertöne.

Beide Instrumente erzeugen denselben Grundton, also dieselbe Tonhöhe. Ein realer Ton besteht aber nie nur aus dem Grundton, sondern immer aus einer Mischung von Grundton und Obertönen (2f12f_1, 3f13f_1, 4f14f_1, …).

Welche Obertöne wie stark vertreten sind, unterscheidet die Instrumente:

  • Die Geige erzeugt durch das Streichen viele und kräftige Obertöne, deshalb klingt sie obertonreich und brillant.
  • Die Flöte erzeugt einen fast reinen Ton mit wenigen Obertönen, deshalb wirkt sie weich und rund.

Diese Zusammensetzung heißt Klangfarbe und wird zusätzlich vom Resonanzkörper geprägt, der manche Obertöne verstärkt und andere dämpft. Genau darin liegt der Unterschied zwischen einer Meistergeige und einem Schülerinstrument.

Ein Gegenprobe: Ein reiner Sinuston ohne Obertöne, wie ihn ein Funktionsgenerator erzeugt, klingt leer und künstlich. In der Natur kommt er praktisch nicht vor.

Zusätzlich wichtig ist der Einschwingvorgang, also die ersten Millisekunden eines Tones. Schneidet man ihn aus einer Aufnahme heraus, lassen sich Instrumente auch am Klang kaum noch unterscheiden.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht an der schwingenden Saite

    Gegeben: ℓ=80 cm\ell = 80\,\text{cm} und c=200 msc = 200\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Gesucht: a) Wellenlänge und Frequenz des Grundtons, b) die Frequenz des zweiten Obertons, c) und d) zwei Erklärungen zu Beugung und Klangfarbe.

  2. 2

    Stehende Wellen auf einer beidseitig eingespannten Saite

    An beiden Enden ist die Saite festgehalten, dort liegen Knoten. Beim Grundton passt genau eine halbe Wellenlänge auf die Saite: ℓ=λ2\ell = \frac{\lambda}{2}, also λ=2ℓ\lambda = 2\ell. Die Frequenzen der Obertöne sind ganzzahlige Vielfache: fn=n⋅f1f_n = n \cdot f_1.

  3. 3

    a) und b) Grundton und zweiter Oberton

    Erst die Wellenlänge als doppelte Saitenlänge, dann f1=cλf_1 = \frac{c}{\lambda}, dann das Dreifache für n=3n = 3.

    λ=2⋅0,8 m=1,6 m\lambda = 2 \cdot 0{,}8\,\text{m} = 1{,}6\,\text{m}; f1=200 ms1,6 m=125 Hzf_1 = \frac{200\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}6\,\text{m}} = 125\,\text{Hz}; f3=3⋅125 Hz=375 Hzf_3 = 3 \cdot 125\,\text{Hz} = 375\,\text{Hz}

    Zwischenergebnis

    f1=125 Hzf_1 = 125\,\text{Hz}, f3=375 Hzf_3 = 375\,\text{Hz}

  4. 4

    c) Warum man um die Ecke hört, aber nicht sieht

    Weil die Beugung vom Verhältnis der Wellenlänge zur Größe des Hindernisses abhängt. Schall hat Wellenlängen von Zentimetern bis Metern: Türöffnungen und Hausecken sind von vergleichbarer Größe, deshalb wird Schall stark gebeugt. Licht hat rund 0,5 µm0{,}5\,\text{µm}, also millionenfach kleiner als jedes Alltagshindernis.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: die Klangfarbe steckt in den Obertönen

    Beide Instrumente erzeugen denselben Grundton, also dieselbe Tonhöhe. Ein realer Ton besteht aber nie nur aus dem Grundton, sondern aus einer Mischung mit Obertönen und welche wie stark vertreten sind, unterscheidet die Instrumente.

Übung 3

schwer

a) Erkläre, warum eine gedackte Pfeife eine Oktave tiefer klingt als eine offene gleicher Länge.

b) Begründe, warum in ihr nur ungerade Obertöne auftreten.

c) Warum ist der zwölfte Bund einer Gitarre genau in der Mitte?

d) Warum gilt die Auslöschung bei Interferenz als Beweis für den Wellencharakter?

Tipp anzeigen

a) Zeichne Knoten und Bäuche in beide Pfeifen.

Lösung anzeigen

a) Die Randbedingungen unterscheiden sich.

Offene Pfeife: An beiden Enden kann die Luft frei schwingen, dort liegen also Bäuche. Zwischen zwei Bäuchen liegt ein Knoten, und der Abstand Bauch-Knoten-Bauch beträgt λ2\frac{\lambda}{2}:

ℓ=λ2⇒λ=2ℓ\ell = \frac{\lambda}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2\ell

Gedackte Pfeife: Am geschlossenen Ende kann die Luft nicht schwingen, dort liegt ein Knoten; am offenen Ende ein Bauch. Der Abstand Knoten-Bauch beträgt nur λ4\frac{\lambda}{4}:

ℓ=λ4⇒λ=4ℓ\ell = \frac{\lambda}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda = 4\ell

Vergleich: Bei gleicher Länge ist die in der gedackten Pfeife doppelt so groß. Wegen f=cλf = \frac{c}{\lambda} ist die damit halb so groß, also eine Oktave tiefer.

Praktische Bedeutung: Für einen tiefen Ton genügt die halbe Bauhöhe. Deshalb sind tiefe Register in kleinen Kirchen fast immer gedackt.

b) Beim Grundton passt λ4\frac{\lambda}{4} hinein. Die nächste mögliche stehende Welle muss wieder einen Knoten am geschlossenen und einen Bauch am offenen Ende haben.

Das ist nur erfüllt, wenn ein ungerades Vielfaches von λ4\frac{\lambda}{4} hineinpasst:

ℓ=λ4, 3λ4, 5λ4,⋯=(2n−1)λ4\ell = \frac{\lambda}{4}, \ \frac{3\lambda}{4}, \ \frac{5\lambda}{4}, \dots = (2n-1)\frac{\lambda}{4}

Bei geraden Vielfachen läge an beiden Enden dieselbe Art von Punkt, was den Randbedingungen widerspricht.

Daraus folgen die Frequenzen

fn=(2n−1)c4ℓ=f1, 3f1, 5f1,…f_n = (2n-1)\frac{c}{4\ell} = f_1, \ 3f_1, \ 5f_1, \dots

🔴 Die geraden Obertöne fehlen also vollständig. Genau das erzeugt den charakteristisch dunklen, hohlen Klang gedackter Pfeifen und der Klarinette, deren Mundstückende ebenfalls wie ein geschlossenes Ende wirkt.

Bei der offenen Pfeife und der Saite sind dagegen alle Vielfachen möglich (f1f_1, 2f12f_1, 3f13f_1, …), was einen volleren Klang ergibt.

c) Weil eine Oktave genau der doppelten Frequenz entspricht und wegen

f1=c2ℓf_1 = \frac{c}{2\ell}

die Frequenz der Länge umgekehrt proportional ist:

f∼1ℓf \sim \frac{1}{\ell}

Doppelte Frequenz verlangt also halbe Länge. Greift man genau in der Mitte zwischen Sattel und Steg, klingt die Saite eine Oktave höher.

Genau dort sitzt auf jeder Gitarre der zwölfte Bund, denn die westliche Tonleiter teilt die Oktave in zwölf Halbtonschritte.

Die weiteren Bünde folgen einem Faktor, nicht gleichen Abständen: Jeder Halbton entspricht dem Frequenzverhältnis 212≈1,0595\sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595, also einer Längenverkürzung um denselben Faktor. Deshalb werden die Bundabstände zum Steg hin immer kleiner, und zwar geometrisch, nicht linear.

Beim 24. Bund wäre man wieder bei der Hälfte der Hälfte, also zwei Oktaven höher.

d) Weil sich Teilchenströme nicht auslöschen können, Wellen aber sehr wohl.

Das Argument: Schickt man zwei Ströme von Teilchen auf einen Punkt, kommen dort mehr Teilchen an als bei einem Strom allein. Es ist unvorstellbar, dass zwei Teilchenströme zusammen weniger ergeben als einer.

Bei Wellen ist das nicht nur möglich, sondern zwangsläufig: Trifft ein Wellenberg auf ein Wellental, addieren sich die Auslenkungen zu null. Es entstehen abwechselnd Stellen der Verstärkung und der Auslöschung, ein Interferenzmuster.

Deshalb gilt: Wer ein Interferenzmuster beobachtet, hat Wellenverhalten nachgewiesen.

🔴 Historisch entscheidend. Um 1800 stritt man darüber, ob Licht aus Teilchen (Newton) oder aus Wellen (Huygens) besteht. Thomas Young zeigte 1801 im Doppelspaltversuch, dass zwei Lichtbündel abwechselnd helle und dunkle Streifen erzeugen. Mit Teilchen war das nicht zu erklären, und die Wellentheorie setzte sich durch.

Die überraschende Fortsetzung kommt in Klasse 12: Auch Elektronen erzeugen am Doppelspalt ein Interferenzmuster, obwohl sie unbestreitbar Teilchen sind, und Licht zeigt beim Photoeffekt eindeutig Teilcheneigenschaften. Das führt auf den Welle-Teilchen-Dualismus und damit auf die Quantenphysik.

Das hier gewonnene Kriterium bleibt dabei gültig: Interferenz beweist Wellenverhalten. Nur zeigt sich, dass dieselben Objekte je nach Versuch auch Teilchenverhalten zeigen können.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    a) Die Randbedingungen offener und gedackter Pfeifen

    Offene Pfeife: An beiden Enden kann die Luft frei schwingen, dort liegen Bäuche. Es gilt ℓ=λ2\ell = \frac{\lambda}{2}, also λ=2ℓ\lambda = 2\ell. Gedackte Pfeife: Am geschlossenen Ende liegt ein Knoten, am offenen ein Bauch, der Abstand Knoten–Bauch beträgt nur λ4\frac{\lambda}{4}, also λ=4ℓ\lambda = 4\ell.

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    b) Warum in der gedackten Pfeife die geraden Obertöne fehlen

    Jede mögliche stehende Welle muss wieder einen Knoten am geschlossenen und einen Bauch am offenen Ende haben. Das ist nur erfüllt, wenn ein ungerades Vielfaches von λ4\frac{\lambda}{4} hineinpasst: ℓ=λ4, 3λ4, 5λ4,…\ell = \frac{\lambda}{4},\ \frac{3\lambda}{4},\ \frac{5\lambda}{4},\dots

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    c) Warum der zwölfte Bund in der Mitte sitzt

    Weil eine Oktave genau der doppelten Frequenz entspricht und wegen f1=c2ℓf_1 = \frac{c}{2\ell} die Frequenz der Länge umgekehrt proportional ist. Doppelte Frequenz verlangt also halbe Länge, greift man in der Mitte, klingt die Saite eine Oktave höher.

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    d) Ergebnis deuten: warum Auslöschung Wellen beweist

    Weil sich Teilchenströme nicht auslöschen können, Wellen aber sehr wohl. Schickt man zwei Teilchenströme auf einen Punkt, kommen dort mehr Teilchen an als bei einem allein. Es ist unvorstellbar, dass zwei zusammen weniger ergeben. Bei Wellen dagegen addieren sich Berg und Tal zu null.

Zusammenfassung

Nach dem addieren sich die Auslenkungen überlagerter , und beide laufen danach unverändert weiter, was Wellen grundlegend von Teilchen unterscheidet. Ob sich zwei Wellen verstärken oder auslöschen, entscheidet der Gangunterschied: Ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge führen zu Verstärkung, halbzahlige zu Auslöschung, wobei keine verlorengeht, sondern nur umverteilt wird. Neben der Interferenz zeigen Wellen , und Beugung, und weil die Beugung vom Verhältnis der Wellenlänge zur Öffnung abhängt, hört man um die Ecke, sieht aber nicht um die Ecke. Überlagern sich hinlaufende und reflektierte Welle, entsteht eine stehende Welle mit festen Knoten und Bäuchen, und da ein begrenztes System nur bestimmte solche Wellen tragen kann, ergeben sich daraus die Eigenfrequenzen von Saiten und Pfeifen. Damit erklären sich Bundpositionen, Pfeifenlängen und der Unterschied zwischen offenen und gedackten Pfeifen ebenso wie die Klangfarbe, die aus der Mischung der Obertöne entsteht.