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Schwingungen und Wellen

Wellen als Ausbreitung von Schwingungen und der Schall

Wie aus einer Schwingung eine Welle wird, was Wellenlänge und Frequenz verbindet und warum Schall im Vakuum nicht existiert.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Wirf einen Stein ins Wasser: Ringe laufen nach außen. Ein Korken auf der Oberfläche wird dabei nur auf und ab bewegt, er wandert nicht mit den Ringen mit.

Genau das ist der Kern jeder Welle: Es wandert nicht Materie, sondern eine Störung. Übertragen wird dabei , und das erklärt, warum ein Erdbeben tausend Kilometer entfernt Häuser zerstören kann, ohne dass Gestein dorthin geflogen wäre. Auf demselben Prinzip beruhen Schall, Licht, Funk und Ultraschall.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • eine Welle als Ausbreitung einer im Raum beschreiben.

  • Transversal- und Longitudinalwellen unterscheiden.

  • die Wellenlänge bestimmen und die Grundgleichung c=λ⋅fc = \lambda \cdot f anwenden.

  • die Welle als Form der Energieübertragung begründen.

  • Schall als Longitudinalwelle beschreiben und seine Eigenschaften erklären.

  • Anwendungen (Echolot, Ultraschall, Lärmschutz) zuordnen.

Von der Schwingung zur Welle

Bringt man einen Körper zum Schwingen, der mit seinen Nachbarn gekoppelt ist, geben diese die weiter. Es entsteht eine Welle.

Eine Welle ist die Ausbreitung einer Schwingung im Raum.

🔴 Das Entscheidende: Die einzelnen Teilchen schwingen nur um ihre Ruhelage. Sie wandern nicht mit der Welle mit. Der Korken auf dem Wasser bleibt an seiner Stelle und hüpft nur auf und ab.

Was sich fortbewegt, ist die Störung und mit ihr die , nicht die Materie.

Zwei Wellenarten

Transversalwelle (Querwelle): Die Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Beispiele: Seilwelle, Wasserwelle (näherungsweise), Licht und alle elektromagnetischen Wellen.

Longitudinalwelle (Längswelle): Die Teilchen schwingen längs der Ausbreitungsrichtung. Es entstehen abwechselnd Verdichtungen und Verdünnungen.

Beispiele: Schall, Druckwellen in Flüssigkeiten, Schraubenfeder in Längsrichtung.

🔴 Ein wichtiger Unterschied: Transversalwellen brauchen Scherfestigkeit und können sich deshalb in Gasen und Flüssigkeiten nicht ausbreiten. Schall in Luft ist deshalb immer longitudinal. In Festkörpern gibt es beide Arten, was in der Erdbebenforschung genutzt wird: Die schnelleren Längswellen kommen zuerst an, die Querwellen später, und aus dem Zeitunterschied berechnet man die Entfernung zum Bebenherd.

Zwei Arten, eine gemeinsame AussageLängswelle: Schwingung längs der AusbreitungTeilchen schwingen soQuerwelle: Schwingung quer zur AusbreitungTeilchen schwingen soAusbreitungsrichtungDie Schwingung wandert, die Teilchen nicht

Achte auf die Doppelpfeile: Sie zeigen, wie die Teilchen schwingen, bei der Längswelle in Ausbreitungsrichtung, bei der Querwelle quer dazu. Kein Teilchen wandert mit der Welle mit. Weitergegeben wird die , nicht der Stoff; genau das ist der Grund, warum eine Welle transportiert, aber keine Materie.

Die Kenngrößen

Eine Welle erbt alle Kenngrößen der (, , ) und bekommt zwei neue:

  • Wellenlänge λ\lambda: Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten gleicher Schwingungsphase, also zum Beispiel von Wellenberg zu Wellenberg. Einheit: Meter.
  • Ausbreitungsgeschwindigkeit cc: wie schnell sich die Störung fortbewegt.
Gleiche Kurve, verschiedene BedeutungMomentbildalle Teilchen, ein ZeitpunktWellenlänge λOrt xZeitbildein Teilchen, alle ZeitpunktePeriodendauer TZeit tDie Achse verrät, welches Bild vorliegt.λ ist eine Länge, T eine Zeit.Erst die Achse ansehen, dann ablesen

🔴 Die beiden Kurven sehen gleich aus und bedeuten Verschiedenes. Links ist die Achse ein Ort: Man sieht alle Teilchen zu einem Zeitpunkt, der Abstand zweier Berge ist die Wellenlänge. Rechts ist die Achse eine Zeit: Man sieht ein einziges Teilchen über die Zeit, der Abstand ist die . Vor jedem Ablesen also erst auf die Achse schauen.

Die Grundgleichung der Wellenlehre

In der Zeit einer Periode TT rückt die Welle um genau eine Wellenlänge λ\lambda vor. Mit v=stv = \frac{s}{t} folgt

c=λT=λ⋅fc = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f c=λ⋅f\boxed{c = \lambda \cdot f}

Das ist keine neue Formel, sondern v=stv = \frac{s}{t}, angewandt auf eine Periode.

🔴 Wichtig für das Verständnis: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium ab, nicht von der . Beim Wechsel in ein anderes Medium bleibt die Frequenz unverändert (sie wird vom Erreger vorgegeben), und deshalb muss sich die Wellenlänge ändern. Genau daraus entsteht die .

In einer Periode genau eine Wellenlänge weiterzur Zeit tt + Teine Wellenlänge λc = λ / T = λ · f340 m/s bei 440 Hz ergibt λ = 0,77 m.Die Formel ist nur Weg durch Zeit

Die gestrichelte Welle ist dieselbe Welle eine später. Sie ist um genau eine Wellenlänge vorgerückt. Damit ist die Grundgleichung nichts anderes als „ gleich Weg durch Zeit“: In der Zeit T legt die Welle den Weg λ zurück.

Wellen übertragen Energie

Eine Welle transportiert , ohne Materie zu transportieren. Belege dafür:

  • Eine Meereswelle kann Küstenbefestigungen zerstören, obwohl das Wasser vor Ort bleibt.
  • Schall bringt ein Trommelfell zum Schwingen, obwohl keine Luft von der Quelle zum Ohr wandert.
  • Sonnenlicht wärmt die Haut über 150150 Millionen Kilometer hinweg.

Die übertragene Energie hängt vom Quadrat der ab. Doppelte Amplitude bedeutet vierfache Energie, und deshalb ist eine doppelt so hohe Meereswelle viermal so zerstörerisch.

Schall

Schall ist eine Longitudinalwelle in einem Stoff. Er entsteht durch schwingende Körper (Lautsprechermembran, Saite, Stimmbänder) und breitet sich als Folge von Verdichtungen und Verdünnungen aus.

🔴 Schall braucht ein Medium. Im Vakuum gibt es keine Teilchen, die eine weitergeben könnten. Eine Klingel unter einer Glocke, aus der man die Luft pumpt, wird still, obwohl man sie noch schwingen sieht.

Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Stoffen:

Stoffcc in ms\frac{\text{m}}{\text{s}}
Luft (20 °C20\,\text{°C})343
Wasser1480
Holzetwa 3500
Stahl5100

Je fester die Kopplung zwischen den Teilchen, desto schneller wird die Störung weitergegeben. Deshalb ist Schall in Festkörpern am schnellsten und in Gasen am langsamsten.

In Luft steigt cc mit der , weil sich die Teilchen schneller bewegen.

Was wir hören:

Größe der WelleSinneseindruck
Tonhöhe (hoch bedeutet hohe Frequenz)
Lautstärke
KurvenformKlangfarbe

Der Hörbereich des Menschen reicht etwa von 16 Hz16\,\text{Hz} bis 20 kHz20\,\text{kHz} und verengt sich mit dem Alter am oberen Ende. Darunter liegt Infraschall, darüber Ultraschall.

Hören ist ein Ausschnitt, kein GanzesFrequenzachse logarithmisch, in Hertz.InfraschallhörbarUltraschall110¹10²10³10⁴10⁵10⁶16 Hz20 kHzFledermaus und Elefant hören anderes als wir

Die Achse ist logarithmisch, sonst wäre der hörbare Bereich nicht darstellbar. Beachte, wie schmal unser Fenster ist: Von 16 Hz bis 20 kHz sind es gut drei Zehnerpotenzen, darunter und darüber geht es weiter. Fledermäuse nutzen den Ultraschall, Elefanten verständigen sich im Infraschall. Beides ist Schall, nur nicht für uns.

Anwendungen

Echolot und Sonar. Ein Schallimpuls wird ausgesendet, die Zeit bis zum Echo gemessen. Aus s=c⋅ts = c \cdot t folgt die Entfernung, wobei man halbieren muss, weil der Schall hin und zurück läuft.

Ultraschall in der Medizin. von einigen Megahertz erlauben feine Auflösung. Weil an jeder Gewebegrenze ein Teil reflektiert wird, entsteht aus den Laufzeiten ein Bild. Anders als Röntgenstrahlung ist Ultraschall nicht ionisierend und deshalb in der Schwangerschaft unbedenklich.

Lärmschutz. Schall wird durch Absorption (poröse Materialien wandeln ihn in um), (Lärmschutzwand) und Entkopplung (schwimmender Estrich) verringert.

Erdbebenwellen liefern über Laufzeitunterschiede Aufschluss über den inneren Aufbau der Erde. Dass Querwellen den äußeren Erdkern nicht durchqueren, war der Beleg dafür, dass er flüssig ist.

Wellenlänge und Frequenz

a) Der Kammerton a' hat f=440 Hzf = 440\,\text{Hz}. Wie groß ist seine Wellenlänge in Luft (c=343 msc = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

b) Wie groß ist sie in Wasser (c=1480 msc = 1480\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

c) Welche Wellenlängen gehören zu den Grenzen des Hörbereichs (16 Hz16\,\text{Hz} und 20 kHz20\,\text{kHz}) in Luft?

d) Ein UKW-Sender arbeitet mit 100 MHz100\,\text{MHz}. Wie lang ist die Welle (c=3⋅108 msc = 3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

  1. 1

    a) Grundgleichung nach λ\lambda umstellen:

    λ=cf=343 ms440 Hz≈0,78 m\lambda = \frac{c}{f} = \frac{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{440\,\text{Hz}} \approx 0{,}78\,\text{m}
  2. 2

    b) In Wasser mit derselben Frequenz:

    λ=1480440 m≈3,36 m\lambda = \frac{1480}{440}\,\text{m} \approx 3{,}36\,\text{m}

    🔴 Die Frequenz bleibt gleich, weil sie von der Quelle vorgegeben wird. Der Ton klingt unter Wasser nicht anders. Was sich ändert, ist die Wellenlänge, weil sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert.

  3. 3

    c) Untere Grenze:

    λ=34316 m≈21,4 m\lambda = \frac{343}{16}\,\text{m} \approx 21{,}4\,\text{m}

    Obere Grenze:

    λ=34320000 m≈0,017 m=1,7 cm\lambda = \frac{343}{20000}\,\text{m} \approx 0{,}017\,\text{m} = 1{,}7\,\text{cm}

    Der Hörbereich umfasst also Wellenlängen von über zwanzig Metern bis unter zwei Zentimetern, mehr als drei Zehnerpotenzen.

    Das erklärt eine Alltagsbeobachtung: Tiefe Töne dringen besser durch Wände. Ihre Wellenlänge ist viel größer als übliche Bauteile, sie werden deshalb weniger absorbiert und beugen sich um Hindernisse. Vom Nachbarn hört man den Bass, nicht die Melodie.

  4. 4

    d) UKW mit f=108 Hzf = 10^8\,\text{Hz}:

    λ=3⋅108 ms108 Hz=3 m\lambda = \frac{3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{10^8\,\text{Hz}} = 3\,\text{m}

    Daher der Name Ultrakurzwelle, und daher haben UKW-Antennen typischerweise Längen im Bereich von etwa einem Meter, nämlich einem Viertel der Wellenlänge.

    Bemerkenswert: Dieselbe Grundgleichung gilt für Schall und für elektromagnetische Wellen, obwohl es physikalisch völlig verschiedene Vorgänge sind. Das ist die Stärke des Wellenbegriffs.

a) 0,78 m0{,}78\,\text{m} b) 3,36 m3{,}36\,\text{m} (gleiche , andere Wellenlänge) c) 21,4 m21{,}4\,\text{m} bis 1,7 cm1{,}7\,\text{cm} d) 3 m3\,\text{m}.

Echolot und Gewitterentfernung

a) Ein Echolot sendet einen aus und empfängt das Echo nach 0,08 s0{,}08\,\text{s}. Wie tief ist das Wasser (c=1480 msc = 1480\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

b) Zwischen Blitz und Donner vergehen 6 s6\,\text{s}. Wie weit ist das Gewitter entfernt (c=343 msc = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

c) Begründe die Faustregel „Sekunden durch drei ergibt Kilometer".

d) Warum muss man bei a) halbieren, bei b) aber nicht?

  1. 1

    a) Der Schall läuft hin und zurück, legt also die doppelte Wassertiefe zurück:

    sges=c⋅t=1480 ms⋅0,08 s=118,4 ms_{\text{ges}} = c \cdot t = 1480\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}08\,\text{s} = 118{,}4\,\text{m} Tiefe=118,4 m2=59,2 m\text{Tiefe} = \frac{118{,}4\,\text{m}}{2} = 59{,}2\,\text{m}
  2. 2

    b) Hier läuft der Schall nur einmal vom Blitz zum Ohr:

    s=c⋅t=343 ms⋅6 s=2058 m≈2 kms = c \cdot t = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6\,\text{s} = 2058\,\text{m} \approx 2\,\text{km}

    (Die Laufzeit des Lichts ist mit rund 7 µs7\,\text{µs} völlig vernachlässigbar.)

  3. 3

    c) Herleitung der Faustregel. In einer Sekunde legt Schall rund 343 m343\,\text{m} zurück. Für einen Kilometer braucht er also

    t=1000 m343 ms≈2,9 s≈3 st = \frac{1000\,\text{m}}{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 2{,}9\,\text{s} \approx 3\,\text{s}

    Also entspricht jede Sekunde etwa einem Drittel Kilometer, und man teilt die gezählten Sekunden durch drei.

    Probe an b): 6:3=2 km6 : 3 = 2\,\text{km}. Genau das Rechenergebnis.

    Die Faustregel ist damit nicht willkürlich, sondern die auf eine Kopfrechnung eingedampfte Grundgleichung.

  4. 4

    d) Weil der Weg verschieden ist.

    Beim Echolot wird der Schall am Grund reflektiert und kehrt zurück. Die gemessene Zeit gehört also zum doppelten Weg; man muss halbieren.

    Beim Gewitter entsteht der Schall am Blitzort und läuft einmal zum Beobachter. Es gibt keine Rückreise.

    🔴 Das ist die häufigste Fehlerquelle bei solchen Aufgaben. Prüffrage: Läuft das Signal einmal oder hin und zurück? Dieselbe Frage stellt sich bei Ultraschall, Radar und Laserentfernungsmessern, und dort ist die Antwort immer „hin und zurück".

a) 59,2 m59{,}2\,\text{m} (halbierter Weg) b) rund 2 km2\,\text{km} (einfacher Weg) c) 1 km1\,\text{km} entspricht knapp 3 s3\,\text{s} d) nur beim Echo läuft der Schall zweimal.

Typischer Fehler

„Bei einer Welle wandert das Wasser mit der Welle mit ans Ufer."

Die Teilchen schwingen nur um ihre Ruhelage; sie wandern nicht mit. Was sich fortbewegt, ist die Störung und mit ihr die .

Der Beleg liegt vor jedem Badesteg: Ein Korken auf dem Wasser hüpft auf und ab, während die Wellen unter ihm hindurchlaufen. Er treibt nicht ans Ufer. Dasselbe zeigt eine Seilwelle: Ein Farbpunkt auf dem Seil bewegt sich quer, aber nicht in Wellenrichtung.

Warum die Fehlvorstellung so hartnäckig ist: Am Strand sieht man Wasser tatsächlich auflaufen. Das liegt aber daran, dass sich Wellen im flachen Wasser brechen: Der Wellenberg überholt das Wellental und stürzt vorwärts. Das ist ein zusätzlicher Vorgang, nicht der Wellentransport selbst. Auf offener See wandert kein Wasser mit.

Beim Schall ist es besonders deutlich: Wanderte Luft von der Quelle zum Ohr, entstünde ein Wind, und hinter dem Lautsprecher müsste ein Unterdruck bleiben. Nichts davon passiert. Es laufen nur Verdichtungen und Verdünnungen durch die Luft.

Die richtige Formulierung: „Eine Welle überträgt Energie, ohne Materie zu transportieren." Genau darin liegt ihr technischer Wert: Man kann Signale und Energie über weite Strecken schicken, ohne etwas hinzuschicken.

Übung 1

leicht

a) Eine Welle hat λ=2 m\lambda = 2\,\text{m} und f=5 Hzf = 5\,\text{Hz}. Wie groß ist cc?

b) Ein Ton mit 170 Hz170\,\text{Hz} läuft durch Luft (343 ms343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}). Wie groß ist λ\lambda?

c) Nenne je ein Beispiel für eine Transversal- und eine Longitudinalwelle.

Tipp anzeigen

b) Nach λ\lambda umstellen.

Lösung anzeigen

a) c=λ⋅f=2 m⋅5 Hz=10 msc = \lambda \cdot f = 2\,\text{m} \cdot 5\,\text{Hz} = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

b) λ=cf=343 ms170 Hz≈2,0 m\lambda = \frac{c}{f} = \frac{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{170\,\text{Hz}} \approx 2{,}0\,\text{m}

c) Transversal: Seilwelle, Wasserwelle, Licht (Teilchen bzw. Felder schwingen senkrecht zur Ausbreitung)

Longitudinal: Schall in Luft, Druckwelle in Wasser (Teilchen schwingen längs der Ausbreitung)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei den beiden Wellen

    a) λ=2 m\lambda = 2\,\text{m} und f=5 Hzf = 5\,\text{Hz}, gesucht die Ausbreitungsgeschwindigkeit cc. b) f=170 Hzf = 170\,\text{Hz} in Luft mit c=343 msc = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, gesucht λ\lambda. c) je ein Beispiel für Transversal- und Longitudinalwelle.

  2. 2

    Die Wellengleichung und warum sie so aussieht

    Es gilt c=λ⋅fc = \lambda \cdot f. Der Grund ist anschaulich: In einer Sekunde verlassen ff vollständige Wellenzüge die Quelle, jeder von der Länge λ\lambda, zusammen also die Strecke λ⋅f\lambda \cdot f je Sekunde.

  3. 3

    a) und b) Geschwindigkeit und Wellenlänge

    a) Wellenlänge mal Frequenz. b) Nach λ\lambda umgestellt: durch Frequenz.

    c=2 m⋅5 Hz=10 msc = 2\,\text{m} \cdot 5\,\text{Hz} = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; λ=343 ms170 Hz≈2,0 m\lambda = \frac{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{170\,\text{Hz}} \approx 2{,}0\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    c=10 msc = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, λ≈2,0 m\lambda \approx 2{,}0\,\text{m}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: zwei Wellenarten unterscheiden

    Transversal: Seilwelle, Wasserwelle, Licht: Teilchen beziehungsweise Felder schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Longitudinal: Schall in Luft, Druckwelle in Wasser, die Teilchen schwingen längs der Ausbreitung.

Übung 2

mittel

a) Ein Ultraschallgerät arbeitet mit 2 MHz2\,\text{MHz}. Wie groß ist die Wellenlänge in Gewebe (c≈1540 msc \approx 1540\,\frac{\text{m}}{\text{s}})?

b) Warum benutzt man in der Medizin so hohe ?

c) Warum hört man vom Nachbarn eher den Bass als die Melodie?

d) Warum ist es im Weltraum still?

Tipp anzeigen

b) Was hat die Wellenlänge mit der erkennbaren Größe zu tun?

Lösung anzeigen

a) λ=1540 ms2⋅106 Hz=7,7⋅10−4 m=0,77 mm\lambda = \frac{1540\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2 \cdot 10^6\,\text{Hz}} = 7{,}7 \cdot 10^{-4}\,\text{m} = 0{,}77\,\text{mm}

b) Weil eine Welle nur Strukturen auflösen kann, die nicht kleiner als etwa ihre Wellenlänge sind. Bei 0,77 mm0{,}77\,\text{mm} lassen sich Details unterhalb eines Millimeters erkennen.

Mit hörbarem Schall (λ\lambda im Bereich von Metern) wäre kein brauchbares Bild möglich. Höhere Frequenzen bedeuten also bessere Auflösung, allerdings auch geringere Eindringtiefe, weil hohe Frequenzen stärker absorbiert werden. Deshalb wählt man je nach Untersuchung eine andere Frequenz.

c) Weil tiefe Töne große Wellenlängen haben. Ein 5050-Hertz-Ton hat rund 7 m7\,\text{m} Wellenlänge, ein 55-Kilohertz-Ton nur 7 cm7\,\text{cm}.

Große Wellenlängen werden von üblichen Bauteilen schlechter absorbiert und beugen sich leichter um Hindernisse und durch Ritzen. Hohe Töne werden dagegen wirksam gedämmt und reflektiert.

Deshalb bleibt vom Nachbarn der Bass übrig, und deshalb sind tieffrequente Geräusche (Klimaanlagen, Windräder, Verkehr) so schwer abzuschirmen.

d) Weil Schall ein Medium braucht, in dem Teilchen die weitergeben können. Im Weltraum herrscht nahezu Vakuum; es gibt praktisch keine Teilchen.

Der klassische Versuch: Eine Klingel unter einer Glasglocke wird immer leiser, während man die Luft abpumpt, und verstummt schließlich, obwohl man den Klöppel weiter schlagen sieht.

🔴 Licht dagegen braucht kein Medium, weil es keine Materieschwingung ist, sondern eine Schwingung elektrischer und magnetischer Felder. Deshalb sehen wir die Sterne, hören sie aber nicht.

(Explosionsgeräusche in Weltraumfilmen sind demnach physikalisch unmöglich.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Ultraschall

    Gegeben: f=2 MHzf = 2\,\text{MHz} und c≈1540 msc \approx 1540\,\frac{\text{m}}{\text{s}} im Gewebe. Gesucht: a) die Wellenlänge, b) bis d) drei Erklärungen zu Frequenz, Bass und Weltraum.

  2. 2

    a) Megahertz in Hertz

    Der Vorsatz M steht für eine Million: 2 MHz=2⋅106 Hz2\,\text{MHz} = 2 \cdot 10^6\,\text{Hz}. Damit passt die Frequenz zur Geschwindigkeit in ms\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    2 MHz=2⋅106 Hz2\,\text{MHz} = 2 \cdot 10^6\,\text{Hz}

    Zwischenergebnis

    f=2⋅106 Hzf = 2 \cdot 10^6\,\text{Hz}

  3. 3

    a) Die Wellengleichung nach der Wellenlänge aufgelöst

    Gesucht ist die Wellenlänge, gegeben sind Geschwindigkeit und Frequenz. Aus c=λ⋅fc = \lambda \cdot f folgt λ=cf\lambda = \frac{c}{f}, bei fester Ausbreitungsgeschwindigkeit gehören hohe Frequenzen zu kurzen Wellenlängen.

  4. 4

    a) Die Wellenlänge im Gewebe

    Geschwindigkeit durch Frequenz, nach λ\lambda umgestellte Wellengleichung.

    λ=cf=1540 ms2⋅106 Hz=7,7⋅10−4 m\lambda = \frac{c}{f} = \frac{1540\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2 \cdot 10^6\,\text{Hz}} = 7{,}7 \cdot 10^{-4}\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    λ=0,77 mm\lambda = 0{,}77\,\text{mm}

  5. 5

    b) und c) Warum hohe Frequenzen und warum der Bass durchkommt

    b) Eine Welle kann nur Strukturen auflösen, die nicht kleiner als etwa ihre Wellenlänge sind; bei 0,77 mm0{,}77\,\text{mm} lassen sich Details unter einem Millimeter erkennen. c) Tiefe Töne haben große Wellenlängen, ein 5050-Hertz-Ton rund 7 m7\,\text{m}, ein 55-Kilohertz-Ton nur 7 cm7\,\text{cm}.

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: warum es im Weltraum still ist

    Weil Schall ein Medium braucht, in dem Teilchen die Schwingung weitergeben können. Im Weltraum herrscht nahezu Vakuum; es gibt praktisch keine Teilchen. Der klassische Versuch: Eine Klingel unter einer Glasglocke wird immer leiser, während man die Luft abpumpt, und verstummt schließlich, obwohl man den Klöppel weiter schlagen sieht.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum eine Welle überträgt, aber keine Materie.

b) Ein Erdbeben erzeugt Längs- und Querwellen. Die Längswelle (6 kms6\,\frac{\text{km}}{\text{s}}) trifft 40 s40\,\text{s} vor der Querwelle (3,5 kms3{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{s}}) ein. Wie weit ist der Bebenherd entfernt?

c) Warum konnte man aus Erdbebenwellen schließen, dass der äußere Erdkern flüssig ist?

d) Warum ändert sich beim Übergang einer Welle in ein anderes Medium die Wellenlänge, nicht aber die ?

Tipp anzeigen

b) Beide Wellen legen dieselbe Strecke zurück, brauchen aber verschieden lange.

Lösung anzeigen

a) Die Teilchen schwingen nur um ihre Ruhelage und kehren nach jeder Periode dorthin zurück. Netto verschiebt sich also keine Materie.

Übertragen wird die Schwingungsenergie: Jedes Teilchen gibt sie durch die Kopplung an sein Nachbarteilchen weiter. Auf diese Weise wandert die Energie durch das Medium, ohne dass Materie mitwandert.

Belege: Der Korken auf der Wasserwelle bleibt an Ort und Stelle. Beim Schall entsteht kein Wind. Und trotzdem bringt Schall ein Trommelfell zum Schwingen, was ohne Energieübertragung unmöglich wäre.

b) Beide Wellen legen dieselbe Strecke ss zurück, brauchen aber verschieden lange:

tla¨ngs=s6,tquer=s3,5t_{\text{längs}} = \frac{s}{6}, \qquad t_{\text{quer}} = \frac{s}{3{,}5}

Der Zeitunterschied beträgt 40 s40\,\text{s}:

s3,5−s6=40\frac{s}{3{,}5} - \frac{s}{6} = 40

Hauptnenner 2121:

6s−3,5s21=40⇒2,5 s21=40⇒s=40⋅212,5=336 km\frac{6s - 3{,}5s}{21} = 40 \quad \Rightarrow \quad \frac{2{,}5\,s}{21} = 40 \quad \Rightarrow \quad s = \frac{40 \cdot 21}{2{,}5} = 336\,\text{km}

Genau so bestimmen Seismologen die Entfernung zum Bebenherd. Mit drei Messstationen lässt sich daraus durch Anschneiden der Ort selbst bestimmen.

c) Weil sich Transversalwellen in Flüssigkeiten nicht ausbreiten können. Eine Querwelle verlangt, dass benachbarte Schichten aneinander „festhalten" (Scherfestigkeit); Flüssigkeiten und Gase haben diese Eigenschaft nicht.

Bei starken Erdbeben beobachtete man, dass auf der dem Bebenherd gegenüberliegenden Erdseite ein Bereich existiert, in dem keine Querwellen ankommen, während Längswellen (abgelenkt) sehr wohl eintreffen. Dieser „Schattenraum" lässt sich nur erklären, wenn die Wellen auf ihrem Weg eine flüssige Schicht durchqueren müssten.

So wurde 1926 der flüssige äußere Erdkern nachgewiesen, ohne dass jemand dorthin gelangt wäre. Ein schönes Beispiel dafür, wie Wellen als Sonde für Unzugängliches dienen, genau wie Ultraschall im Körper.

d) Die Frequenz wird vom Erreger vorgegeben. Er mit einer bestimmten Rate, und jede Schwingung erzeugt genau einen Wellenberg. An der Grenzfläche kommen also je Sekunde genauso viele Wellenberge an, wie weiterlaufen, sonst würden sich Wellenberge dort ansammeln oder verlorengehen. Die Frequenz muss deshalb erhalten bleiben.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt dagegen vom Medium ab, weil sie davon bestimmt wird, wie fest die Teilchen gekoppelt sind.

Aus c=λ⋅fc = \lambda \cdot f bei festem ff folgt zwingend, dass sich λ\lambda proportional zu cc ändern muss:

λ=cf\lambda = \frac{c}{f}

Genau daraus entsteht die : Trifft eine Welle schräg auf die Grenzfläche, laufen die Teile des Wellenzuges im neuen Medium unterschiedlich schnell weiter, und die Wellenfront knickt ab. Das erklärt nachträglich, warum Licht beim Übergang in Glas seine Richtung ändert (Klasse 7), und liefert in Klasse 12 die quantitative Fassung des Brechungsgesetzes.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Erdbeben

    b) gibt Längswelle mit 6 kms6\,\frac{\text{km}}{\text{s}}, Querwelle mit 3,5 kms3{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{s}} und einen Zeitunterschied von 40 s40\,\text{s}; gesucht ist die Entfernung. a), c) und d) verlangen Begründungen.

  2. 2

    a) Warum eine Welle Energie, aber keine Materie überträgt

    Die Teilchen schwingen nur um ihre Ruhelage und kehren nach jeder Periode dorthin zurück, netto verschiebt sich keine Materie. Übertragen wird die Schwingungsenergie: Jedes Teilchen gibt sie durch die Kopplung an sein Nachbarteilchen weiter.

  3. 3

    b) Der Ansatz über die gleiche Strecke

    Für beide Wellen gilt t=svt = \frac{s}{v} mit derselben Strecke ss. Der Zeitunterschied ist die Differenz: s3,5−s6=40\frac{s}{3{,}5} - \frac{s}{6} = 40.

  4. 4

    b) Die Entfernung zum Bebenherd

    Die Gleichung über den Hauptnenner 2121 zusammenfassen und nach ss auflösen.

    6s−3,5s21=40⇒2,5 s21=40⇒s=336 km\frac{6s - 3{,}5s}{21} = 40 \Rightarrow \frac{2{,}5\,s}{21} = 40 \Rightarrow s = 336\,\text{km}

    Zwischenergebnis

    s=336 kms = 336\,\text{km}

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    c) Wie man den flüssigen Erdkern nachwies

    Weil sich Transversalwellen in Flüssigkeiten nicht ausbreiten können: Eine Querwelle verlangt, dass benachbarte Schichten aneinander festhalten (Scherfestigkeit), und die haben Flüssigkeiten und Gase nicht. Bei starken Beben beobachtete man auf der gegenüberliegenden Erdseite einen Bereich, in dem keine Querwellen ankommen.

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    d) Ergebnis deuten: warum die Frequenz erhalten bleibt

    Die Frequenz wird vom Erreger vorgegeben: Er schwingt mit einer bestimmten Rate, und jede Schwingung erzeugt genau einen Wellenberg. An der Grenzfläche kommen je Sekunde genauso viele Wellenberge an, wie weiterlaufen, sonst würden sich dort welche ansammeln oder verlorengehen.

Zusammenfassung

Eine Welle ist die Ausbreitung einer im Raum, bei der die Teilchen nur um ihre Ruhelage schwingen und nicht mitwandern; fortbewegt werden Störung und , nicht Materie. Schwingen die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, liegt eine Transversalwelle vor, schwingen sie längs dazu, eine Longitudinalwelle, und weil Querwellen Scherfestigkeit verlangen, ist Schall in Luft stets longitudinal. Die Grundgleichung c=λ⋅fc = \lambda \cdot f ist nichts anderes als v=stv = \frac{s}{t} für eine Periode; da die vom Erreger vorgegeben wird und die Ausbreitungsgeschwindigkeit vom Medium abhängt, muss sich beim Mediumwechsel die Wellenlänge ändern. Schall braucht deshalb ein Medium und ist im Vakuum unmöglich, während Frequenz und als Tonhöhe und Lautstärke wahrgenommen werden. Auf diesen Zusammenhängen beruhen Echolot, medizinischer Ultraschall und die Erkundung des Erdinneren.