Das magnetische Feld und die Flussdichte

b) $\mu_0 = 1{,}257 \cdot 10^{-6}\,\frac{\text{Vs}}{\text{Am}}$.

a) $F = B I \ell = 0{,}2\,\text{T} \cdot 5\,\text{A} \cdot 0{,}4\,\text{m} = 0{,}4\,\text{N}$

b) $B = \mu_0 \frac{NI}{\ell} = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{500 \cdot 2}{0{,}1}\,\text{T} = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{4}\,\text{T} \approx 12{,}6\,\text{mT}$

c) Weil magnetische Feldlinien immer geschlossen sind. Ein einzelner Pol wäre ein Punkt, an dem Feldlinien beginnen, ohne irgendwo zu enden.

Zerbricht man einen Stabmagneten, entstehen an der Bruchstelle sofort neue Pole; man hat zwei vollständige Magnete statt eines Nord- und eines Südpols. Das gilt bis hinunter zum einzelnen Atom.

b) Nach $N$ umstellen.

a) Weil es keine magnetischen Einzelladungen gibt. Beim elektrischen Feld kann man eine kleine Probeladung hineinbringen und $E = \frac{F}{q}$ bilden; ein magnetisches Gegenstück dazu existiert nicht.

Der kleinste magnetische Gegenstand ist immer ein Dipol aus Nord- und Südpol, und auf einen Dipol wirkt im homogenen Feld keine resultierende Kraft, sondern nur ein Drehmoment. Er eignet sich deshalb schlecht als Messkörper.

Der stromdurchflossene Leiter dagegen erfährt eine eindeutige, messbare Kraft, die zu $I$ und $\ell$ proportional ist. Der Quotient $\frac{F}{I\ell}$ ist damit eine reine Eigenschaft des Feldes, genau wie $\frac{F}{q}$ im elektrischen Fall.

b) $B = \mu_0 \frac{NI}{\ell} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{B \cdot \ell}{\mu_0 \cdot I}$

Man braucht also rund 800 Windungen.

c) Weil der Eisenkern das Feld um den Faktor $\mu_r$ verstärkt, also um das Hundert- bis Zehntausendfache, ohne dass mehr Strom nötig wäre.

Ursache: In Eisen gibt es Bereiche (Weißsche Bezirke), in denen die magnetischen Wirkungen der Elektronen bereits gleichgerichtet sind. Das äußere Feld richtet diese Bereiche aus, und ihre Felder addieren sich zum ursprünglichen.

Praktische Bedeutung: Ohne Eisenkern bräuchte ein Elektromotor bei gleicher Kraft ein Vielfaches an Strom und würde entsprechend mehr Verlustwärme erzeugen. Deshalb hat praktisch jede Maschine mit Magnetfeldern einen Eisenkern: Motor, Generator, Transformator, Relais, Elektromagnet.

Grenze: Bei etwa $2\,\text{T}$ tritt Sättigung ein, alle Bezirke sind ausgerichtet, und weitere Stromerhöhung bringt kaum noch Feld. Deshalb lassen sich elektrische Maschinen nicht beliebig stärker bauen.

d) Weil die magnetische Kraft senkrecht auf Strom und Feld stehen muss.

Zeigen beide in dieselbe Richtung, gibt es keine durch sie eindeutig festgelegte Senkrechte mehr; jede Richtung senkrecht dazu wäre gleichberechtigt. Die einzige damit verträgliche Kraft ist null.

Formal steckt das im Faktor $\sin\alpha$: Für $\alpha = 0$ ist $\sin 0 = 0$.

Anschaulich: Nur der Anteil des Leiters, der quer zum Feld liegt, „schneidet" Feldlinien. Ein Leiter längs des Feldes läuft zwischen den Feldlinien her, ohne sie zu queren.

🔴 Genau darauf beruht die Konstruktion von Elektromotoren: Die Leiterstücke, die Kraft liefern sollen, verlaufen quer zum Feld, die Verbindungsstücke an den Stirnseiten längs dazu und tragen nichts bei.

d) Welche Größe steht wirklich in der Formel?

a) Vier Unterschiede:

Ein fünfter Unterschied mit praktischer Bedeutung: Elektrische Felder lassen sich durch Leiter abschirmen (faradayscher Käfig), magnetische nicht in gleicher Weise. Man kann sie nur durch Materialien mit hohem $\mu_r$ umlenken, weil dort die Feldlinien bevorzugt verlaufen.

b) Weil Eisen bei etwa $2\,\text{T}$ in die Sättigung gerät.

Die Verstärkung durch den Kern beruht darauf, dass sich die Weißschen Bezirke im äußeren Feld ausrichten. Sind alle ausgerichtet, ist der Beitrag des Eisens ausgeschöpft; ein stärkeres äußeres Feld kann nichts mehr hinzufügen.

Der Wert $\mu_r = 2000$ ist deshalb keine Konstante, sondern gilt nur für schwache Felder. Mit wachsender Feldstärke sinkt er, und in der Sättigung geht er gegen $1$.

Wie man dennoch stärkere Felder erzeugt: ohne Eisen, mit supraleitenden Spulen und sehr großen Strömen. So arbeiten Kernspintomografen ($1{,}5$ bis $7\,\text{T}$) und Teilchenbeschleuniger (rund $8\,\text{T}$). Die höchsten dauerhaft erzeugten Felder liegen bei etwa $45\,\text{T}$ und erfordern erheblichen technischen Aufwand.

🔴 Die Lehre für das Rechnen: Ein Formelergebnis ist noch keine physikalische Aussage. Prüfe Größenordnungen gegen bekannte Werte, bevor du ein Ergebnis annimmst.

c) Schritt 1: Kraft auf einen Leiter. Ein stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld erfährt die Kraft $F = BI\ell$, senkrecht auf Leiter und Feld.

Schritt 2: Von der Kraft zum Drehmoment. Man biegt den Leiter zu einer drehbar gelagerten Schleife. In den beiden gegenüberliegenden Seiten fließt der Strom in entgegengesetzte Richtungen, also wirken dort nach der Drei-Finger-Regel entgegengesetzte Kräfte.

Diese beiden Kräfte heben sich in der Summe auf, es gibt also keine Verschiebung. Da sie aber an verschiedenen Stellen angreifen, erzeugen sie ein Drehmoment, und die Schleife dreht sich.

Schritt 3: Das Problem nach einer halben Umdrehung. Steht die Schleife senkrecht zum Feld, wirkt kein Drehmoment mehr, und danach würde die Kraft die Drehung sogar bremsen.

Schritt 4: Die Lösung, der Kommutator. Ein Schleifkontakt kehrt genau in diesem Moment die Stromrichtung in der Schleife um. Damit kehrt sich auch die Kraftrichtung um, und das Drehmoment wirkt weiter in dieselbe Drehrichtung. Die Bewegung wird kontinuierlich.

Schritt 5: Technische Verbesserungen. Mehrere Schleifen versetzt zueinander sorgen für ein gleichmäßigeres Drehmoment und dafür, dass der Motor aus jeder Stellung anläuft. Ein Eisenkern verstärkt das Feld.

🔴 Der physikalische Kern: Alles beruht darauf, dass die Kraft quer zu Strom und Feld wirkt. Zeigte sie längs der Feldlinien, gäbe es kein Drehmoment und keinen Motor.

d) Was wirklich in der Formel steht: $B = \mu_0\mu_r \frac{N}{\ell} I$, also die Windungsdichte $\frac{N}{\ell}$, die Zahl der Windungen je Meter Spulenlänge.

Warum die Länge eingeht: Jede Windung liefert einen Beitrag zum Feld. Liegen die Windungen dicht beieinander, überlagern sich ihre Beiträge im Inneren stark. Zieht man die Spule auseinander, verteilen sich dieselben Beiträge über eine größere Strecke, und das Feld wird schwächer.

Warum der Durchmesser nicht eingeht: Eine größere Windung erzeugt zwar ein Feld über einen größeren Querschnitt, aber an jedem Punkt entsprechend schwächer, weil ihre Leiterstücke weiter entfernt sind. Beide Wirkungen heben sich für den Innenraum einer langen Spule genau auf.

Die Bedingung „lang" ist wesentlich. Die Formel gilt für Spulen, die deutlich länger als ihr Durchmesser sind. Bei kurzen, dicken Spulen ist das Feld an den Enden erheblich schwächer, und die Formel liefert zu große Werte.

Praktische Folge: Eine Spule mit größerem Durchmesser braucht bei gleicher Windungszahl mehr Draht, hat deshalb einen größeren Widerstand und erzeugt bei gleicher Spannung sogar ein schwächeres Feld. Für starke Felder baut man deshalb Spulen so schlank wie möglich.

Merksatz: Was zählt, sind Windungen je Meter, nicht Windungen und nicht Drahtlänge.