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Elektrizitätslehre

Geladene Teilchen im elektrischen Feld

Beschleunigen längs der Feldlinien, Ablenken quer dazu und warum die Bahn dieselbe Parabel ist wie beim waagerechten Wurf.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Jahrzehntelang stand in fast jedem Wohnzimmer ein Gerät, in dem Elektronen erst und dann abgelenkt wurden, um ein Bild zu erzeugen: die Bildröhre.

Das Verfahren ist verschwunden, das Prinzip nicht. Tintenstrahldrucker lenken geladene Tröpfchen ab, Massenspektrometer trennen Ionen, Teilchenbeschleuniger bringen Protonen auf nahezu Lichtgeschwindigkeit, und ein Elektronenmikroskop macht Viren sichtbar.

Das Bemerkenswerte daran: Du brauchst dafür fast nichts Neues. Die Bahn eines abgelenkten Elektrons ist genau dieselbe Parabel wie die eines waagerecht geworfenen Steins, und aus demselben Grund.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die längs der Feldlinien berechnen.

  • die Ablenkung quer zu den Feldlinien beschreiben.

  • die Analogie zum begründen und nutzen.

  • die Bahn als Parabel nachweisen.

  • die Ablenkung am Schirm berechnen.

  • Anwendungen wie Oszilloskop und Tintenstrahldrucker erklären.

Bewegung längs der Feldlinien

Ein Teilchen mit der qq erfährt im Feld die

F=q⋅EF = q \cdot E

Startet es aus der Ruhe und durchläuft die UU, so wird die gesamte elektrische in kinetische umgewandelt:

q⋅U=12mv2⟹v=2qUmq \cdot U = \frac{1}{2} m v^2 \qquad \Longrightarrow \qquad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}

🔴 Der Vergleich mit dem freien Fall: Beide Male wirkt eine konstante Kraft, beide Male ist die Bewegung gleichmäßig . Nur ist die Beschleunigung hier

a=Fm=qEma = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}

und damit von der Ladung und der des Teilchens abhängig, während im Schwerefeld alle Körper gleich schnell fallen. Der Grund: Im Schwerefeld ist die Kraft der Masse proportional und kürzt sich heraus, im nicht.

Beschleunigung längs der Feldlinien−+schnellStart in RuheBeschleunigungsspannung Uq · U = ½ · m · v²Die ganze verrichtete Arbeit steckt danach in der Bewegung

Das Elektron startet in Ruhe und kommt schnell an der anderen Platte an. Die gesamte verrichtete q⋅Uq \cdot U steckt danach in seiner Bewegungsenergie, daraus wird gleich die Formel für die Endgeschwindigkeit. Achte darauf, dass die Feldkraft beim Elektron entgegen den Feldlinien zeigt.

Bewegung quer zu den Feldlinien

Interessanter ist der Fall, dass ein Teilchen senkrecht zu den Feldlinien in einen eintritt.

Zerlege die Bewegung in zwei unabhängige Anteile:

RichtungBewegung
längs der Eintrittsrichtung (xx)keinegleichförmig: x=v0tx = v_0 t
quer dazu (yy, Feldrichtung)F=qEF = qE, konstantgleichmäßig : y=12at2y = \frac{1}{2} a t^2

Genau dieselbe Zerlegung kennst du vom . Dort ist die konstante Kraft die , hier die elektrische. Alles Weitere folgt daraus unverändert.

Dieselbe Rechnung wie beim waagerechten Wurf−+v₀ylängs: gleichförmig · quer: gleichmäßig beschleunigtx = v₀ · t und y = ½ · (q · U / (m · d)) · t²Eine Parabel im Feld, danach eine Gerade

Du kennst diese Rechnung schon: Längs der Platten bleibt die gleich, quer dazu wirkt eine konstante . Das ist derselbe Bau wie beim , nur mit q⋅U/(m⋅d)q \cdot U/(m \cdot d) statt gg. Nach den Platten fliegt das Teilchen geradlinig weiter.

Die Bahnkurve

Löse x=v0tx = v_0 t nach tt auf und setze ein:

t=xv0⟹y=12a(xv0)2=a2v02⋅x2t = \frac{x}{v_0} \qquad \Longrightarrow \qquad y = \frac{1}{2} a \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{a}{2 v_0^2} \cdot x^2 y=qE2mv02⋅x2\boxed{y = \frac{qE}{2 m v_0^2} \cdot x^2}

Das ist eine Parabel der Form y=k⋅x2y = k \cdot x^2, genau wie beim .

🔴 Warum das so sein muss: Eine konstante senkrecht zu einer gleichförmigen Bewegung erzeugt immer eine Parabel, unabhängig davon, woher die Kraft kommt. Die Physik der Bahnform steckt nicht in der Art der Kraft, sondern allein darin, dass sie konstant und senkrecht ist.

Die Ablenkung am Ende der Platten

Mit der Plattenlänge ℓ\ell und E=UAdE = \frac{U_A}{d} (Ablenkspannung UAU_A, Plattenabstand dd) folgt

y1=qUAℓ22mdv02y_1 = \frac{q U_A \ell^2}{2 m d v_0^2}

Verwendet man außerdem v0=2qUBmv_0 = \sqrt{\frac{2qU_B}{m}} aus der Beschleunigungsspannung UBU_B, so kürzen sich und heraus:

y1=UA⋅ℓ24 UB⋅dy_1 = \frac{U_A \cdot \ell^2}{4 \, U_B \cdot d}

🔴 Ein bemerkenswertes Ergebnis: Die Ablenkung hängt nicht davon ab, welches Teilchen abgelenkt wird. Elektronen, Protonen und Ionen werden bei gleichen gleich weit abgelenkt, sofern sie durch dieselbe Spannung wurden. Der Grund: Ein schwereres Teilchen ist zwar träger, tritt aber auch langsamer ein und bleibt länger im Feld. Beides gleicht sich exakt aus.

Genau deshalb funktioniert ein Oszilloskop unabhängig von der Feinjustierung der Kathode: Die Ablenkung ist proportional zur Ablenkspannung, und nur das braucht man.

Nach dem Verlassen der Platten

Außerhalb der Platten wirkt keine mehr; das Teilchen fliegt geradlinig weiter, und zwar in Richtung der , die es beim Austritt hatte.

Für die Ablenkung auf einem Schirm im Abstand LL hinter der Plattenmitte gilt näherungsweise

yges≈UA⋅ℓ⋅L2 UB⋅dy_{\text{ges}} \approx \frac{U_A \cdot \ell \cdot L}{2 \, U_B \cdot d}

Auch hier gilt: yges∼UAy_{\text{ges}} \sim U_A. Die Ablenkung ist der Ablenkspannung proportional, und genau darauf beruht die Messfunktion des Oszilloskops.

Anwendungen

Oszilloskop. Ein Elektronenstrahl wird waagerecht mit konstanter Rate abgelenkt (Zeitachse) und senkrecht durch die zu messende . Auf dem Schirm entsteht ihr zeitlicher Verlauf. Weil Elektronen praktisch trägheitslos sind, lassen sich damit Vorgänge im Nanosekundenbereich sichtbar machen.

Tintenstrahldrucker (Continuous-Inkjet). Tröpfchen werden gezielt aufgeladen und in einem Ablenkfeld je nach verschieden weit abgelenkt. Nicht benötigte Tröpfchen fängt eine Rinne auf. Dieses Verfahren steckt heute vor allem in industriellen Codierdruckern.

Elektronenmikroskop. Die beschleunigter Elektronen ist um Größenordnungen kleiner als die des Lichts, und deshalb löst es viel feinere Strukturen auf (Begründung in Klasse 12).

Massenspektrometer. Da die Ablenkung im magnetischen Feld anders als hier von qm\frac{q}{m} abhängt, lassen sich trennen. Mehr dazu im nächsten Kapitel.

Elektron im Ablenkfeld

Ein Elektron wird durch UB=2000 VU_B = 2000\,\text{V} und tritt dann mittig in einen ein (ℓ=6 cm\ell = 6\,\text{cm}, d=2 cmd = 2\,\text{cm}, UA=100 VU_A = 100\,\text{V}).

a) Wie schnell ist das Elektron beim Eintritt?

b) Wie lange ist es zwischen den Platten?

c) Wie weit wird es beim Austritt abgelenkt?

d) Kommt es überhaupt durch, oder trifft es auf eine Platte?

  1. 1

    a) v0=2eUBm=2⋅1,6⋅10−19 C⋅2000 V9,11⋅10−31 kgv_0 = \sqrt{\frac{2eU_B}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 2000\,\text{V}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}}}

    v0=7,03⋅1014 ms≈2,65⋅107 msv_0 = \sqrt{7{,}03 \cdot 10^{14}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 2{,}65 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Das sind knapp 9 %9\,\% der Lichtgeschwindigkeit; die klassische Rechnung ist hier noch brauchbar.

  2. 2

    b) Längs der Platten ist die Bewegung gleichförmig, denn in dieser Richtung wirkt keine :

    t=ℓv0=0,06 m2,65⋅107 ms≈2,26⋅10−9 st = \frac{\ell}{v_0} = \frac{0{,}06\,\text{m}}{2{,}65 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 2{,}26 \cdot 10^{-9}\,\text{s}

    Rund zwei Nanosekunden. Genau deshalb kann ein Oszilloskop sehr schnelle Vorgänge darstellen: Der Strahl folgt praktisch verzögerungsfrei.

  3. 3

    c) Über die kurze Formel:

    y1=UA⋅ℓ24 UB⋅d=100 V⋅(0,06 m)24⋅2000 V⋅0,02 my_1 = \frac{U_A \cdot \ell^2}{4 \, U_B \cdot d} = \frac{100\,\text{V} \cdot (0{,}06\,\text{m})^2}{4 \cdot 2000\,\text{V} \cdot 0{,}02\,\text{m}} y1=100⋅3,6⋅10−3160 m=2,25⋅10−3 m=2,25 mmy_1 = \frac{100 \cdot 3{,}6 \cdot 10^{-3}}{160}\,\text{m} = 2{,}25 \cdot 10^{-3}\,\text{m} = 2{,}25\,\text{mm}

    Kontrolle über den langen Weg: Mit E=UAd=1000,02=5000 VmE = \frac{U_A}{d} = \frac{100}{0{,}02} = 5000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} ist

    a=eEm=1,6⋅10−19⋅50009,11⋅10−31 ms2≈8,78⋅1014 ms2a = \frac{eE}{m} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 5000}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 8{,}78 \cdot 10^{14}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} y1=12at2=12⋅8,78⋅1014⋅(2,26⋅10−9)2 m≈2,24⋅10−3 m ✓y_1 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}78 \cdot 10^{14} \cdot (2{,}26 \cdot 10^{-9})^2\,\text{m} \approx 2{,}24 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \ \checkmark
  4. 4

    d) Es kommt durch.

    Das Elektron tritt mittig ein, hat also bis zu einer Platte den Abstand d2=1 cm=10 mm\frac{d}{2} = 1\,\text{cm} = 10\,\text{mm}.

    Die Ablenkung beträgt nur 2,25 mm2{,}25\,\text{mm}, also deutlich weniger. Das Elektron verlässt den Kondensator ohne Kontakt.

    🔴 Diese Prüfung gehört zu jeder solchen Aufgabe. Wird y1>d2y_1 > \frac{d}{2}, trifft das Teilchen auf die Platte und die weitere Rechnung ist gegenstandslos.

    Wie viel Ablenkspannung wäre gerade noch möglich? Aus y1=d2y_1 = \frac{d}{2} folgt

    UAmax⁡=4UBd⋅d2ℓ2=2UBd2ℓ2=2⋅2000⋅(0,02)2(0,06)2 V≈444 VU_A^{\max} = \frac{4 U_B d \cdot \frac{d}{2}}{\ell^2} = \frac{2 U_B d^2}{\ell^2} = \frac{2 \cdot 2000 \cdot (0{,}02)^2}{(0{,}06)^2}\,\text{V} \approx 444\,\text{V}

    Oberhalb von rund 444 V444\,\text{V} würde der Strahl abgefangen. Genau das begrenzt in einer Bildröhre den darstellbaren Bereich.

a) 2,65⋅107 ms2{,}65 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} b) rund 2,3 ns2{,}3\,\text{ns} c) 2,25 mm2{,}25\,\text{mm} d) ja, denn 2,25 mm<10 mm2{,}25\,\text{mm} < 10\,\text{mm}.

Warum die Bahn eine Parabel ist

Zeige, dass die Bahn eines quer eintretenden geladenen Teilchens eine Parabel ist, und erkläre, warum dieselbe Kurve auch beim auftritt, obwohl dort eine ganz andere wirkt.

  1. 1

    Schritt 1: Die beiden Richtungen trennen.

    Die elektrische Kraft F=qEF = qE wirkt nur in Feldrichtung (yy). In der Eintrittsrichtung (xx) wirkt keine Kraft.

    Nach dem Trägheitssatz beeinflussen sich die beiden Richtungen nicht gegenseitig. Man darf sie deshalb getrennt behandeln (Unabhängigkeitsprinzip).

    x-Richtung: gleichfo¨rmigx=v0 tx\text{-Richtung: gleichförmig} \qquad x = v_0 \, t y-Richtung: gleichma¨ßig beschleunigty=12at2mita=qEmy\text{-Richtung: gleichmäßig beschleunigt} \qquad y = \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{mit} \quad a = \frac{qE}{m}
  2. 2

    Schritt 2: Die Zeit eliminieren.

    Die Bahnkurve soll yy in Abhängigkeit von xx angeben, ohne die Zeit. Aus der ersten Gleichung:

    t=xv0t = \frac{x}{v_0}

    Einsetzen in die zweite:

    y=12a(xv0)2=a2v02⋅x2y = \frac{1}{2} a \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{a}{2 v_0^2} \cdot x^2 y=qE2mv02⋅x2y = \frac{qE}{2 m v_0^2} \cdot x^2
  3. 3

    Schritt 3: Die Form erkennen.

    Alle Größen im Vorfaktor (qq, EE, mm, v0v_0) sind während des Fluges konstant. Die Gleichung hat damit die Form

    y=k⋅x2mit konstantem ky = k \cdot x^2 \qquad \text{mit konstantem } k

    Das ist die Gleichung einer Parabel mit Scheitel im Eintrittspunkt.

  4. 4

    Schritt 4: Warum dieselbe Kurve beim Wurf auftritt.

    Betrachte den waagerechten Wurf: Dort wirkt die F=mgF = mg senkrecht zur Anfangsgeschwindigkeit, und es folgt

    y=g2v02⋅x2y = \frac{g}{2 v_0^2} \cdot x^2

    Vergleicht man beide Ergebnisse, sieht man: Sie unterscheiden sich nur im Wert der , nämlich qEm\frac{qE}{m} statt gg. Die Form der Kurve ist identisch.

    🔴 Der Kern der Sache: In die Herleitung ging nirgends ein, welcher Art die Kraft ist. Benutzt wurde nur, dass sie

    1. konstant ist (sonst wäre die Bewegung nicht gleichmäßig beschleunigt) und
    2. senkrecht zur Anfangsgeschwindigkeit wirkt (sonst zerfiele die Bewegung nicht so einfach).

    Jede konstante Querkraft erzeugt deshalb eine Parabel, gleichgültig ob sie von , von der Schwerkraft oder von etwas anderem herrührt.

    Was das für das Lernen bedeutet: Du brauchst hier kein neues Bewegungsgesetz. Es ist der waagerechte Wurf aus der Mechanik mit einer anderen Beschleunigung. Deshalb gelten auch alle dort gewonnenen Einsichten unverändert, etwa dass die Flugzeit allein von der xx-Bewegung bestimmt wird.

    Und wo die Analogie endet: Die Gewichtskraft ist der proportional, weshalb im Schwerefeld alle Körper gleich fallen. Die elektrische Kraft ist es nicht, weshalb hier leichte Teilchen stärker beschleunigt werden. Das ist der einzige, aber wichtige Unterschied.

Aus x=v0tx = v_0 t und y=12at2y = \frac{1}{2}at^2 folgt durch Eliminieren der Zeit y=qE2mv02x2y = \frac{qE}{2mv_0^2}x^2, also eine Parabel. Dieselbe Form entsteht beim Wurf, weil nur die Konstanz und die Querrichtung der Kraft eingehen, nicht ihre Art.

Typischer Fehler

„Ein schwereres Teilchen wird im Ablenkkondensator weniger stark abgelenkt als ein leichtes."

Bei gleicher Beschleunigungsspannung werden alle Teilchen gleich weit abgelenkt, unabhängig von und .

Warum die Vermutung zunächst plausibel klingt: Ein schwereres Teilchen ist träger, seine Querbeschleunigung a=qEma = \frac{qE}{m} ist also kleiner. So weit stimmt die Überlegung.

Was dabei übersehen wird: Dasselbe Teilchen ist auch langsamer eingetreten. Aus v0=2qUBmv_0 = \sqrt{\frac{2qU_B}{m}} folgt, dass ein schwereres Teilchen bei gleicher Beschleunigungsspannung eine kleinere Eintrittsgeschwindigkeit hat. Es bleibt deshalb länger im Ablenkfeld und wird länger .

Die beiden Effekte heben sich exakt auf. Setzt man beides in die Ablenkformel ein, kürzen sich qq und mm vollständig heraus:

y1=UA⋅ℓ24 UB⋅dy_1 = \frac{U_A \cdot \ell^2}{4 \, U_B \cdot d}

Es bleiben nur die beiden und die Geometrie der Anordnung.

Warum das kein Zufall ist: In den Zähler geht qq über die ein und in den Nenner über die Eintrittsgeschwindigkeit im Quadrat. Da v02∼qmv_0^2 \sim \frac{q}{m}, kürzt sich genau das Verhältnis qm\frac{q}{m} heraus, das in beiden Größen steckt.

Praktische Bedeutung: Deshalb kann man im elektrischen Feld allein keine trennen. Dafür braucht man das magnetische Feld, bei dem die Ablenkung sehr wohl von qm\frac{q}{m} abhängt. Genau darauf beruht das Massenspektrometer, und genau darin liegt der physikalische Unterschied zwischen den beiden Feldarten.

Die richtige Kurzfassung: Träger, aber länger im Feld, das gleicht sich aus.

Übung 1

leicht

a) Ein Elektron wird durch UB=500 VU_B = 500\,\text{V} . Wie schnell ist es?

b) Wie groß ist seine Beschleunigung in einem Feld mit E=4000 VmE = 4000\,\frac{\text{V}}{\text{m}}?

c) Welche Bahnform hat ein quer eintretendes Teilchen?

Tipp anzeigen

b) a=qEma = \frac{qE}{m}.

Lösung anzeigen

a) v=2eUBm=2⋅1,6⋅10−19⋅5009,11⋅10−31 ms=1,76⋅1014 ms≈1,33⋅107 msv = \sqrt{\frac{2eU_B}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 500}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{1{,}76 \cdot 10^{14}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

b) a=eEm=1,6⋅10−19 C⋅4000 Vm9,11⋅10−31 kg≈7,0⋅1014 ms2a = \frac{eE}{m} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 4000\,\frac{\text{V}}{\text{m}}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}} \approx 7{,}0 \cdot 10^{14}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Rund 101410^{14}-mal die Fallbeschleunigung. Deshalb ist die hier bedeutungslos.

c) Eine Parabel, y=qE2mv02x2y = \frac{qE}{2mv_0^2}x^2, genau wie beim .

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim beschleunigten Elektron

    a) UB=500 VU_B = 500\,\text{V}, gesucht die Endgeschwindigkeit. b) E=4000 VmE = 4000\,\frac{\text{V}}{\text{m}}, gesucht die Beschleunigung. c) gefragt ist die Bahnform bei querem Eintritt. Elektronenmasse und Elementarladung sind Tabellenwerte.

  2. 2

    Energiesatz und Kraftgesetz im elektrischen Feld

    Beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung wird die e⋅UBe \cdot U_B vollständig zu Bewegungsenergie: eUB=12mv2e U_B = \frac{1}{2} m v^2, also v=2eUBmv = \sqrt{\frac{2eU_B}{m}}. Für die Beschleunigung gilt a=Fm=eEma = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}.

  3. 3

    a) und b) Geschwindigkeit und Beschleunigung

    Erst die Wurzel für die Geschwindigkeit, dann der Quotient für die Beschleunigung.

    v=2⋅1,6⋅10−19⋅5009,11⋅10−31 ms≈1,33⋅107 msv = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 500}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; a=1,6⋅10−19⋅40009,11⋅10−31 ms2≈7,0⋅1014 ms2a = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 4000}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 7{,}0 \cdot 10^{14}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

    Zwischenergebnis

    v≈1,33⋅107 msv \approx 1{,}33 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, a≈7,0⋅1014 ms2a \approx 7{,}0 \cdot 10^{14}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: dieselbe Bahn wie beim waagerechten Wurf

    Ein quer eintretendes Teilchen beschreibt eine Parabel, y=qE2mv02x2y = \frac{qE}{2mv_0^2}x^2, genau wie beim waagerechten Wurf aus Klasse 10.

Übung 2

mittel

a) Ein Elektron (UB=1500 VU_B = 1500\,\text{V}) durchfliegt Platten mit ℓ=5 cm\ell = 5\,\text{cm}, d=1,5 cmd = 1{,}5\,\text{cm} bei UA=60 VU_A = 60\,\text{V}. Wie weit wird es abgelenkt?

b) Prüfe, ob es die Platten verlässt.

c) Wie ändert sich die Ablenkung, wenn man UAU_A verdreifacht?

d) Warum bewegt sich das Teilchen nach den Platten geradlinig weiter?

Tipp anzeigen

a) Kurze Formel benutzen.

Lösung anzeigen

a) y1=UA⋅ℓ24UB⋅d=60 V⋅(0,05 m)24⋅1500 V⋅0,015 m=60⋅2,5⋅10−390 my_1 = \frac{U_A \cdot \ell^2}{4 U_B \cdot d} = \frac{60\,\text{V} \cdot (0{,}05\,\text{m})^2}{4 \cdot 1500\,\text{V} \cdot 0{,}015\,\text{m}} = \frac{60 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3}}{90}\,\text{m}

y1≈1,67⋅10−3 m≈1,7 mmy_1 \approx 1{,}67 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \approx 1{,}7\,\text{mm}

b) Bei mittigem Eintritt beträgt der Abstand zur Platte d2=0,75 cm=7,5 mm\frac{d}{2} = 0{,}75\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{mm}.

Da 1,7 mm<7,5 mm1{,}7\,\text{mm} < 7{,}5\,\text{mm}, verlässt das Elektron die Platten ohne aufzutreffen.

c) Die Ablenkung ist UAU_A proportional (UAU_A steht linear im Zähler). Bei dreifacher Ablenkspannung wird sie also dreimal so groß:

y1=3⋅1,67 mm≈5,0 mmy_1 = 3 \cdot 1{,}67\,\text{mm} \approx 5{,}0\,\text{mm}

Noch immer unter 7,5 mm7{,}5\,\text{mm}, das Elektron kommt weiterhin durch.

🔴 Genau diese Proportionalität macht das Oszilloskop zu einem Messgerät: Der Ausschlag auf dem Schirm ist der zu messenden direkt proportional, sodass man die Skala linear beschriften kann.

d) Weil außerhalb des Kondensators kein Feld mehr wirkt und damit keine .

Nach dem Trägheitssatz bewegt sich ein Körper ohne resultierende Kraft geradlinig-gleichförmig weiter. Das Teilchen behält also Betrag und Richtung der bei, die es beim Austritt hatte.

Die Bahn besteht deshalb aus zwei Abschnitten: einem parabelförmigen zwischen den Platten und einem geradlinigen danach. Verlängert man die Gerade rückwärts, schneidet sie die Eintrittsrichtung genau in der Plattenmitte; darauf beruht die Näherungsformel für die Ablenkung am Schirm.

(Die wirkt zwar weiter, ist aber wie gezeigt um rund vierzehn Zehnerpotenzen kleiner und deshalb vernachlässigbar.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Ablenkung im Plattenkondensator

    Gegeben: UB=1500 VU_B = 1500\,\text{V}, Plattenlänge ℓ=5 cm\ell = 5\,\text{cm}, Plattenabstand d=1,5 cmd = 1{,}5\,\text{cm}, Ablenkspannung UA=60 VU_A = 60\,\text{V}. Gesucht: die Ablenkung, die Frage nach dem Durchkommen und die Wirkung dreifacher Ablenkspannung.

  2. 2

    Die Ablenkformel und was in ihr steht

    Es gilt y1=UA⋅ℓ24UB⋅dy_1 = \frac{U_A \cdot \ell^2}{4 U_B \cdot d}: Die Ablenkung wächst linear mit der Ablenkspannung, quadratisch mit der Plattenlänge und sinkt mit Beschleunigungsspannung und Plattenabstand.

  3. 3

    a) und b) Ablenkung berechnen und mit dem Plattenabstand vergleichen

    Längen in Meter, dann einsetzen; anschließend mit dem halben Plattenabstand vergleichen, weil das Elektron mittig eintritt.

    y1=60 V⋅(0,05 m)24⋅1500 V⋅0,015 m≈1,67⋅10−3 my_1 = \frac{60\,\text{V} \cdot (0{,}05\,\text{m})^2}{4 \cdot 1500\,\text{V} \cdot 0{,}015\,\text{m}} \approx 1{,}67 \cdot 10^{-3}\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    y1≈1,7 mm<7,5 mmy_1 \approx 1{,}7\,\text{mm} < 7{,}5\,\text{mm}, das Elektron verlässt die Platten.

  4. 4

    c) Dreifache Ablenkspannung

    UAU_A steht linear im Zähler, also wird die Ablenkung dreimal so groß.

    y1=3⋅1,67 mm≈5,0 mmy_1 = 3 \cdot 1{,}67\,\text{mm} \approx 5{,}0\,\text{mm}

    Zwischenergebnis

    y1≈5,0 mmy_1 \approx 5{,}0\,\text{mm}, das Elektron kommt weiterhin durch.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: geradlinig weiter nach den Platten

    Außerhalb des Kondensators wirkt kein Feld mehr und damit keine Kraft. Nach dem Trägheitssatz bewegt sich das Teilchen geradlinig-gleichförmig weiter und behält Betrag und Richtung der Austrittsgeschwindigkeit bei.

Übung 3

schwer

a) Leite y1=UAℓ24UBdy_1 = \frac{U_A \ell^2}{4 U_B d} her.

b) Begründe, warum und dabei herausfallen, und welche Folge das hat.

c) Warum werden im Schwerefeld alle Körper gleich , im aber nicht?

d) Erkläre die Funktionsweise eines Oszilloskops.

Tipp anzeigen

a) Setze E=UAdE = \frac{U_A}{d}, t=ℓv0t = \frac{\ell}{v_0} und v02=2qUBmv_0^2 = \frac{2qU_B}{m} in y1=12at2y_1 = \frac{1}{2}at^2 ein.

Lösung anzeigen

a) Schritt 1: Querbeschleunigung.

a=qEm=qUAm da = \frac{qE}{m} = \frac{q U_A}{m \, d}

Schritt 2: Flugzeit aus der xx-Richtung.

t=ℓv0t = \frac{\ell}{v_0}

Schritt 3: Ablenkung.

y1=12at2=12⋅qUAmd⋅ℓ2v02y_1 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{q U_A}{m d} \cdot \frac{\ell^2}{v_0^2}

Schritt 4: Eintrittsgeschwindigkeit einsetzen. Aus qUB=12mv02q U_B = \frac{1}{2} m v_0^2 folgt

v02=2qUBmv_0^2 = \frac{2 q U_B}{m}

Einsetzen:

y1=12⋅qUAmd⋅ℓ2 m2qUB=UA ℓ24 UB dy_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{q U_A}{m d} \cdot \frac{\ell^2 \, m}{2 q U_B} = \frac{U_A \, \ell^2}{4 \, U_B \, d}

b) Warum sie herausfallen: Die Ladung qq steht im Zähler (über die ) und im Nenner (über v02∼qmv_0^2 \sim \frac{q}{m}). Ebenso die Masse: im Nenner über die Trägheit, im Zähler über 1v02∼mq\frac{1}{v_0^2} \sim \frac{m}{q}.

Physikalisch bedeutet das: Ein schwereres Teilchen wird zwar schwächer quer beschleunigt, tritt aber auch langsamer ein und bleibt deshalb länger im Feld. Beides gleicht sich exakt aus.

Folge: Im elektrischen Feld allein lassen sich Teilchen nicht nach Masse oder Ladung trennen, sofern sie durch dieselbe beschleunigt wurden.

🔴 Genau deshalb braucht ein Massenspektrometer ein . Dort hängt der Bahnradius von qm\frac{q}{m} ab, weil die magnetische Kraft von der abhängt und nicht nur von der Ladung. Erst diese Zusatzabhängigkeit macht die Trennung möglich, und darauf beruht der Nachweis von .

c) Weil im Schwerefeld die Kraft der Masse proportional ist, im elektrischen Feld dagegen der Ladung.

Schwerefeld:

a=FGm=m gm=ga = \frac{F_G}{m} = \frac{m \, g}{m} = g

Die Masse kürzt sich heraus. Ein schwererer Körper wird stärker angezogen, ist aber im selben Verhältnis träger. Deshalb fallen Feder und Bleikugel im Vakuum gleich schnell.

Elektrisches Feld:

a=Felm=qEma = \frac{F_{\text{el}}}{m} = \frac{q E}{m}

Hier steht im Zähler die Ladung, im Nenner die Masse. Da beide unabhängig voneinander sind, kürzt sich nichts. Ein Elektron wird deshalb rund 18361836-mal stärker beschleunigt als ein Proton derselben Ladung.

🔴 Der tiefere Grund ist die Gleichheit von träger und schwerer Masse: Dieselbe Größe, die die Trägheit bestimmt, bestimmt auch die Schwerkraft. Für die elektrische Kraft gibt es kein solches Gegenstück, weil Ladung und Masse verschiedene Eigenschaften sind. Einstein machte diese Beobachtung 1907 zum Ausgangspunkt der allgemeinen Relativitätstheorie.

d) Aufbau: Eine Glühkathode erzeugt Elektronen, die durch UBU_B beschleunigt und zu einem Strahl gebündelt werden. Danach durchlaufen sie zwei Paare von Ablenkplatten, eines waagerecht und eines senkrecht wirkend. Schließlich treffen sie auf einen Leuchtschirm.

Waagerechte Ablenkung (Zeitachse): An das eine Plattenpaar wird eine Sägezahnspannung gelegt, die gleichmäßig ansteigt und dann schlagartig zurückspringt. Der Leuchtpunkt wandert dadurch mit konstanter Geschwindigkeit von links nach rechts und springt zurück. Die waagerechte Achse ist damit eine Zeitachse.

Senkrechte Ablenkung (Messachse): An das andere Plattenpaar legt man die zu untersuchende Spannung. Da y∼UAy \sim U_A, ist der senkrechte Ausschlag der Messspannung proportional.

Ergebnis: Auf dem Schirm entsteht der zeitliche Verlauf der Messspannung. Stimmt die Sägezahnfrequenz mit der Signalfrequenz überein (Triggerung), steht das Bild still.

Warum Elektronen dafür ideal sind: Sie sind extrem leicht, brauchen für die Ablenkung nur Nanosekunden und können deshalb Vorgängen im Megahertz- und Gigahertzbereich folgen. Ein mechanischer Zeiger würde das nie schaffen.

(Moderne Oszilloskope arbeiten digital mit schnellen Analog-Digital-Wandlern und einem Flachbildschirm. Das dargestellte Prinzip von Zeitachse und proportionaler Auslenkung ist aber unverändert geblieben.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Herleitung und drei Deutungen

    a) verlangt die Herleitung der Ablenkformel, b) die Begründung, warum Ladung und Masse herausfallen, c) den Vergleich mit dem Schwerefeld und d) die Funktionsweise des Oszilloskops.

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    a) Die Ablenkformel in vier Schritten herleiten

    1. Querbeschleunigung a=qEm=qUAmda = \frac{qE}{m} = \frac{qU_A}{md}. 2. Flugzeit aus der xx-Richtung t=ℓv0t = \frac{\ell}{v_0}. 3. Ablenkung y1=12at2=12qUAmdℓ2v02y_1 = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}\frac{qU_A}{md}\frac{\ell^2}{v_0^2}. 4. Eintrittsgeschwindigkeit v02=2qUBmv_0^2 = \frac{2qU_B}{m} einsetzen. Es bleibt y1=UAℓ24UBdy_1 = \frac{U_A \ell^2}{4 U_B d}.

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    b) Warum Ladung und Masse verschwinden, und was daraus folgt

    Die Ladung qq steht im Zähler (über die Kraft) und im Nenner (über v02∼qmv_0^2 \sim \frac{q}{m}); ebenso die Masse. Physikalisch: Ein schwereres Teilchen wird zwar schwächer quer beschleunigt, tritt aber auch langsamer ein und bleibt deshalb länger im Feld, beides gleicht sich exakt aus.

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    c) Warum im Schwerefeld alle Körper gleich fallen, im E-Feld nicht

    Im Schwerefeld ist die Kraft der Masse proportional: a=m⋅gm=ga = \frac{m \cdot g}{m} = g, die Masse kürzt sich heraus. Im elektrischen Feld ist die Kraft der Ladung proportional: a=qEma = \frac{qE}{m}: Ladung im Zähler, Masse im Nenner, und beide sind voneinander unabhängig.

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    d) Ergebnis deuten: das Oszilloskop als Anwendung

    Eine Glühkathode erzeugt Elektronen, die durch UBU_B beschleunigt werden. An das eine Plattenpaar legt man eine Sägezahnspannung, der Leuchtpunkt wandert gleichmäßig von links nach rechts, die waagerechte Achse ist damit eine Zeitachse. An das andere legt man die Messspannung; wegen y∼UAy \sim U_A ist der senkrechte Ausschlag ihr proportional.

Zusammenfassung

Längs der Feldlinien wird ein geladenes Teilchen gleichmäßig , wobei die gesamte elektrische in kinetische übergeht und die Beschleunigung anders als im Schwerefeld von und abhängt. Tritt das Teilchen quer zu den Feldlinien ein, zerfällt die Bewegung in einen gleichförmigen Anteil längs der Eintrittsrichtung und einen gleichmäßig beschleunigten quer dazu, und durch Eliminieren der Zeit ergibt sich als Bahn eine Parabel. Diese Kurve ist dieselbe wie beim , weil in die Herleitung nur eingeht, dass die Kraft konstant und senkrecht wirkt, nicht welcher Art sie ist. Setzt man die Eintrittsgeschwindigkeit aus der Beschleunigungsspannung ein, kürzen sich Ladung und Masse vollständig heraus, sodass alle Teilchen gleich weit abgelenkt werden und eine Massentrennung im elektrischen Feld unmöglich ist. Nach dem Verlassen der Platten fliegt das Teilchen geradlinig weiter, und da die Ablenkung der Ablenkspannung proportional ist, lässt sich damit ein Oszilloskop als Messgerät bauen.