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Mechanik

Zusammengesetzte Bewegungen: der waagerechte Wurf

Warum eine geschossene und eine fallen gelassene Kugel gleichzeitig unten ankommen und wie man Wurfbahnen berechnet.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Zwei Kugeln, ein Versuch: Die eine wird waagerecht abgeschossen, die andere im selben Augenblick einfach losgelassen. Wer kommt zuerst unten an?

Die Antwort widerspricht fast jedem Gefühl: beide gleichzeitig, und man hört nur einen einzigen Aufschlag. Die geschossene Kugel legt dabei mehrere Meter zur Seite zurück, fällt aber genauso schnell wie die andere. Dahinter steckt ein Prinzip, das die gesamte Mechanik durchzieht: Bewegungen in verschiedene Richtungen stören einander nicht.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das Superpositionsprinzip (Unabhängigkeitsprinzip) formulieren.

  • den waagerechten Wurf in zwei Teilbewegungen zerlegen.

  • Wurfweite, Fallhöhe und Flugzeit berechnen.

  • begründen, warum die Wurfbahn eine Parabel ist.

  • erklären, warum die Fallzeit nicht von der Abwurfgeschwindigkeit abhängt.

  • Alltagserscheinungen (Wasserstrahl, Sprung, Ballwurf) damit erklären.

Der Fallschnur-Versuch

Eine Apparatur schießt eine Kugel waagerecht ab und lässt im selben Augenblick eine zweite Kugel aus derselben Höhe einfach fallen. Beide treffen gleichzeitig auf dem Boden auf; man hört nur einen Aufschlag.

Das gilt unabhängig davon, wie schnell die erste Kugel abgeschossen wird. Ob sie einen Meter oder zehn Meter weit fliegt: Die Fallzeit ist immer dieselbe.

Was folgt daraus? Die waagerechte Bewegung beeinflusst die senkrechte nicht. Beide laufen unabhängig voneinander ab.

Gleichzeitig losgelassen und geworfen0,25 s0,5 s0,75 s1 sv₀fallengeworfenDer Wurf ändert die Fallbewegung nicht

Auf jeder gestrichelten Linie liegen beide Körper gleichzeitig, und beide landen im selben Augenblick. Die waagerechte Bewegung ändert am Fallen also gar nichts, genau das ist die Beobachtung, aus der das Superpositionsprinzip folgt.

Das Superpositionsprinzip

Führt ein Körper gleichzeitig mehrere Bewegungen aus, so überlagern sie sich ungestört. Jede Teilbewegung läuft so ab, als wären die anderen nicht vorhanden.

Das heißt Superpositionsprinzip oder Unabhängigkeitsprinzip. Der Gesamtweg ergibt sich, indem man die Teilwege zusammensetzt.

🔴 Der Grund liegt darin, dass die in verschiedene Richtungen wirken: Die zieht ausschließlich nach unten, in waagerechter Richtung wirkt (ohne Luftwiderstand) keine Kraft. Was nach unten passiert, kann deshalb nicht davon abhängen, was zur Seite passiert.

Der waagerechte Wurf zerlegt

Ein Körper wird mit der v0v_0 waagerecht abgeworfen. Man zerlegt seine Bewegung in zwei Richtungen:

Waagerecht (x-Richtung): Es wirkt keine , also gleichförmige Bewegung mit unveränderter Geschwindigkeit:

x=v0⋅tx = v_0 \cdot t

Senkrecht (y-Richtung): Es wirkt die , also freier Fall aus der Ruhe:

y=12gt2y = \frac{1}{2} g t^2

Die Zeit tt ist in beiden Gleichungen dieselbe, und genau darüber sind sie verbunden.

Zwei Teilbewegungen, eine Bahnx in my in m (Fallhöhe)2468101234x = v₀ · t, gleiche Schrittey = ½ · g · t², wachsende SchritteDeshalb ist die Bahn eine Parabel und kein Kreisbogen

Achte auf die Treppenstufen: Die blauen Schritte sind alle gleich lang, die orangen werden immer länger. Aus dieser Kombination entsteht die Parabel. Zeichnest du beide Schritte gleichmäßig, bekommst du einen Kreisbogen und damit die falsche Bahn.

Warum die Bahn eine Parabel ist

Setzt man t=xv0t = \frac{x}{v_0} aus der ersten in die zweite Gleichung ein, verschwindet die Zeit:

y=12g(xv0)2=g2v02⋅x2y = \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{g}{2 v_0^2} \cdot x^2

Das ist eine Gleichung der Form y=k⋅x2y = k \cdot x^2, also eine Parabel. Die Wurfbahn ist damit kein Bogen aus dem Gefühl heraus, sondern eine mathematisch bestimmte Kurve.

Man sieht außerdem: Je größer v0v_0, desto kleiner der Faktor g2v02\frac{g}{2v_0^2}, desto flacher die Parabel. Ein schnell geworfener Ball fliegt flacher, fällt aber in derselben Zeit gleich tief.

Die wichtigsten Formeln

GesuchtFormel
Fallhöhe nach der Zeit tty=12gt2y = \frac{1}{2} g t^2
Waagerechte Streckex=v0⋅tx = v_0 \cdot t
Flugzeit aus der Fallhöhe hht=2hgt = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}
Wurfweitex=v0⋅2hgx = v_0 \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}}
senkrechte vy=g⋅tv_y = g \cdot t
waagerechte Geschwindigkeitvx=v0v_x = v_0 (konstant)

🔴 Die Flugzeit hängt nur von der Fallhöhe ab, nicht von v0v_0. Das ist die rechnerische Fassung des Eingangsversuchs.

Die Gesamtgeschwindigkeit setzt sich aus beiden Anteilen zusammen. Weil sie senkrecht aufeinander stehen, gilt der Satz des Pythagoras:

v=vx2+vy2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
Verschieden weit, gleich lange in der Luft4,9 mhoch5 mv₀ = 5 m/s10 mv₀ = 10 m/s15 mv₀ = 15 m/sDoppelte Abwurfgeschwindigkeit, doppelte Wurfweite

Dreimal dieselbe Höhe, dreimal eine andere Abwurfgeschwindigkeit. Die Wurfweite verdoppelt sich mit v₀, die Fallzeit aber bleibt bei allen dreien 1 s, weil das Fallen von v₀ nichts weiß.

Grenzen des Modells

Alles bisher Gesagte gilt ohne Luftwiderstand. In Wirklichkeit bremst die Luft vor allem die waagerechte Bewegung, sodass reale Wurfbahnen kürzer und unsymmetrischer sind als die berechnete Parabel.

Für kompakte, schwere Körper bei kleinen (Stahlkugel, Stein) ist die Abweichung gering und das Modell brauchbar. Für einen Tischtennisball, einen Federball oder ein Geschoss mit hoher Geschwindigkeit ist sie erheblich, und dann taugt die einfache Parabel nicht mehr.

Diese Einschränkung gehört zur Antwort dazu. Ein Modell ist nicht richtig oder falsch, sondern brauchbar oder unbrauchbar für eine bestimmte Frage.

Andere zusammengesetzte Bewegungen

Dasselbe Prinzip erklärt weitere Fälle:

  • Boot quer zum Fluss. Die Ruderbewegung und die Strömung überlagern sich; das Boot kommt weiter flussabwärts an, als man gepeilt hat.
  • Flugzeug im Seitenwind. Die Eigengeschwindigkeit und der Wind ergeben zusammen die Bahn über Grund.
  • Wasserstrahl aus einem Schlauch. Er beschreibt sichtbar eine Wurfparabel.
  • Sprung vom Sprungbrett. Waagerechter Absprung plus freier Fall.

Wurfweite und Auftreffgeschwindigkeit

Von einer 20 m20\,\text{m} hohen Klippe wird ein Stein waagerecht mit 15 ms15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} abgeworfen (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}, Luftwiderstand vernachlässigt).

a) Wie lange fliegt er?

b) Wie weit vom Fuß der Klippe entfernt schlägt er auf?

c) Mit welcher trifft er auf?

d) Was ändert sich, wenn er mit 30 ms30\,\frac{\text{m}}{\text{s}} abgeworfen wird?

  1. 1

    a) Nur die senkrechte Bewegung betrachten. Die Flugzeit ist die Fallzeit aus 20 m20\,\text{m}:

    t=2hg=2⋅20 m10 ms2=4 s2=2 st = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20\,\text{m}}{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = \sqrt{4\,\text{s}^2} = 2\,\text{s}

    🔴 Die Abwurfgeschwindigkeit taucht hier nicht auf. Das ist der Kern des Kapitels.

  2. 2

    b) Jetzt die waagerechte Bewegung, mit derselben Zeit:

    x=v0⋅t=15 ms⋅2 s=30 mx = v_0 \cdot t = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2\,\text{s} = 30\,\text{m}
  3. 3

    c) Beide Geschwindigkeitsanteile beim Aufprall bestimmen:

    vx=v0=15 ms(unvera¨ndert)v_x = v_0 = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \quad \text{(unverändert)} vy=g⋅t=10 ms2⋅2 s=20 msv_y = g \cdot t = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2\,\text{s} = 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}
  4. 4

    Zusammensetzen mit Pythagoras, weil beide senkrecht aufeinander stehen:

    v=vx2+vy2=152+202 ms=225+400=625=25 msv = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{15^2 + 20^2}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Das sind 90 kmh90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

    🔴 Man darf die beiden Anteile nicht addieren (15+20=3515 + 20 = 35 wäre falsch). Geschwindigkeiten in verschiedene Richtungen setzen sich wie Vektoren zusammen.

  5. 5

    d) Bei doppelter Abwurfgeschwindigkeit:

    • Die Flugzeit bleibt 2 s2\,\text{s}, denn sie hängt nur von der Höhe ab.
    • Die Wurfweite verdoppelt sich auf 60 m60\,\text{m}.
    • vyv_y bleibt 20 ms20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, vxv_x wird 30 ms30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, also
    v=302+202=1300≈36 msv = \sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{1300} \approx 36\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Die Aufprallgeschwindigkeit steigt, aber nicht auf das Doppelte: Der senkrechte Anteil ist ja unverändert geblieben.

a) 2 s2\,\text{s} b) 30 m30\,\text{m} c) 25 ms=90 kmh25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}} d) gleiche Flugzeit, doppelte Weite, Aufprallgeschwindigkeit rund 36 ms36\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

Das Boot im Fluss

Ein Boot fährt mit 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht zum Ufer über einen 120 m120\,\text{m} breiten Fluss. Die Strömung beträgt 2 ms2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

a) Wie lange dauert die Überfahrt?

b) Wie weit wird das Boot abgetrieben?

c) Wie groß ist die tatsächliche über Grund?

d) Der Bootsführer will genau gegenüber ankommen. Wie muss er sich verhalten?

  1. 1

    a) Superposition anwenden: Die Querfahrt ist von der Strömung unabhängig. Die Strömung wirkt nur längs des Flusses und kann die Bewegung quer dazu nicht beeinflussen.

    t=bvBoot=120 m3 ms=40 st = \frac{b}{v_{\text{Boot}}} = \frac{120\,\text{m}}{3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 40\,\text{s}

    Diese Zeit wäre auch ohne Strömung dieselbe.

  2. 2

    b) Abtrift ist die Strömungsbewegung in derselben Zeit:

    s=vStrom⋅t=2 ms⋅40 s=80 ms = v_{\text{Strom}} \cdot t = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 40\,\text{s} = 80\,\text{m}

    Das Boot kommt also 80 m80\,\text{m} flussabwärts an.

  3. 3

    c) Beide Anteile stehen senkrecht aufeinander, also wieder Pythagoras:

    v=32+22 ms=13≈3,6 msv = \sqrt{3^2 + 2^2}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Das Boot ist über Grund schneller als seine Eigengeschwindigkeit, fährt dafür aber nicht dorthin, wohin es zeigt.

  4. 4

    d) Er muss schräg gegen die Strömung halten. Dann zerlegt sich seine Eigengeschwindigkeit in einen Anteil quer zum Fluss und einen flussaufwärts, und der zweite muss die Strömung genau ausgleichen.

    Nötig ist ein Anteil von 2 ms2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} flussaufwärts. Für den Querenteil bleibt dann

    vquer=32−22=5≈2,24 msv_{\text{quer}} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Der Preis: Die Überfahrt dauert länger, nämlich

    t=120 m2,24 ms≈54 st = \frac{120\,\text{m}}{2{,}24\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 54\,\text{s}

    statt 40 s40\,\text{s}. Wer geradeaus ankommen will, braucht mehr Zeit; wer schnell hinüber will, muss Abtrift hinnehmen.

    (Nebenbei: Wäre die Strömung schneller als das Boot, ließe sich das gegenüberliegende Ufer gar nicht mehr erreichen.)

a) 40 s40\,\text{s} b) 80 m80\,\text{m} Abtrift c) rund 3,6 ms3{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} über Grund d) schräg gegenhalten, dann dauert die Fahrt etwa 54 s54\,\text{s}.

Typischer Fehler

„Je schneller ich die Kugel abschieße, desto länger bleibt sie in der Luft."

Die Flugzeit hängt allein von der Fallhöhe ab:

t=2hgt = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Die Abwurfgeschwindigkeit kommt darin überhaupt nicht vor. Eine mit 5 ms5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und eine mit 50 ms50\,\frac{\text{m}}{\text{s}} abgeschossene Kugel fallen aus derselben Höhe genau gleich lange.

Warum das so sein muss: Die wirkt ausschließlich nach unten. In waagerechter Richtung wirkt (ohne Luft) gar keine . Was in senkrechter Richtung geschieht, kann deshalb nicht davon abhängen, was waagerecht geschieht. Das ist genau das Superpositionsprinzip.

Der Versuch entscheidet in einer Sekunde: die klassische Fallschnur-Apparatur. Eine Kugel wird waagerecht abgeschossen, die andere gleichzeitig fallen gelassen. Man hört einen Aufschlag, nicht zwei. Wer es nachbauen will, braucht nur ein Lineal, das man vom Tisch schnippt.

Was sich sehr wohl ändert: die Wurfweite (x=v0⋅tx = v_0 \cdot t) und die Aufprallgeschwindigkeit, weil der waagerechte Anteil größer wird. Der senkrechte Anteil vy=g⋅tv_y = g \cdot t bleibt unverändert.

Wo die Fehlvorstellung herkommt: Aus dem Alltag mit schrägen Würfen. Wer einen Ball schräg nach oben wirft, verlängert die Flugzeit tatsächlich, weil dabei ein Anteil nach oben hinzukommt. Beim waagerechten Wurf gibt es diesen Anteil nicht.

Übung 1

leicht

Ein Ball rollt mit 4 ms4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} über eine 1,25 m1{,}25\,\text{m} hohe Tischkante (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}).

a) Wie lange fällt er?

b) Wie weit vom Tisch entfernt landet er?

c) Was passiert bei doppelter Rollgeschwindigkeit?

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a) Nur die Höhe zählt.

Lösung anzeigen

a) t=2hg=2⋅1,2510 s=0,25 s=0,5 st = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}25}{10}}\,\text{s} = \sqrt{0{,}25}\,\text{s} = 0{,}5\,\text{s}

b) x=v0⋅t=4 ms⋅0,5 s=2 mx = v_0 \cdot t = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}5\,\text{s} = 2\,\text{m}

c) Die Fallzeit bleibt 0,5 s0{,}5\,\text{s}, denn sie hängt nur von der Höhe ab. Die Weite verdoppelt sich auf 4 m4\,\text{m}.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht und die Zerlegung in zwei Bewegungen

    Gegeben: waagerechte Anfangsgeschwindigkeit v0=4 msv_0 = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, Fallhöhe h=1,25 mh = 1{,}25\,\text{m}, g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}. Gesucht: a) die Fallzeit, b) die Wurfweite, c) die Folge doppelter Rollgeschwindigkeit.

  2. 2

    Das Superpositionsprinzip und die beiden Teilgesetze

    Senkrecht wirkt die , waagerecht keine . Deshalb gilt senkrecht h=12gt2h = \frac{1}{2} g t^2 (freier Fall) und waagerecht x=v0⋅tx = v_0 \cdot t (gleichförmig), beide Bewegungen laufen ungestört nebeneinander ab.

  3. 3

    a) Die Fallformel nach der Zeit umstellen

    Gesucht ist tt, gegeben sind hh und gg. Aus h=12gt2h = \frac{1}{2} g t^2 folgt t2=2hgt^2 = \frac{2h}{g} und damit t=2hgt = \sqrt{\frac{2h}{g}}.

  4. 4

    a) und b) Fallzeit und Wurfweite

    Erst die Fallzeit aus der Höhe, dann mit dieser Zeit die waagerechte Strecke.

    t=2⋅1,25 m10 ms2=0,5 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}25\,\text{m}}{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 0{,}5\,\text{s}; x=4 ms⋅0,5 s=2 mx = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}5\,\text{s} = 2\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    t=0,5 st = 0{,}5\,\text{s}, x=2 mx = 2\,\text{m}

  5. 5

    c) Ergebnis deuten: die Zeit bleibt, die Weite verdoppelt sich

    Bei doppelter Rollgeschwindigkeit bleibt die Fallzeit bei 0,5 s0{,}5\,\text{s}, denn sie hängt nur von der Höhe ab. Die Weite verdoppelt sich auf 4 m4\,\text{m}.

Übung 2

mittel

Ein Wasserstrahl tritt waagerecht aus einem Rohr in 1,8 m1{,}8\,\text{m} Höhe aus und trifft 3 m3\,\text{m} entfernt auf den Boden (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}).

a) Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit?

b) Mit welcher trifft das Wasser auf?

c) Unter welchem Winkel zur Waagerechten trifft es auf? (Beschreibe, wie man ihn bestimmt.)

Tipp anzeigen

a) Erst die Fallzeit, dann rückwärts rechnen.

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a) t=2⋅1,810 s=0,36 s=0,6 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}8}{10}}\,\text{s} = \sqrt{0{,}36}\,\text{s} = 0{,}6\,\text{s}

v0=xt=3 m0,6 s=5 msv_0 = \frac{x}{t} = \frac{3\,\text{m}}{0{,}6\,\text{s}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

b) vy=g⋅t=10⋅0,6=6 msv_y = g \cdot t = 10 \cdot 0{,}6 = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

v=52+62 ms=61≈7,8 msv = \sqrt{5^2 + 6^2}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{61} \approx 7{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

c) Der Winkel liegt zwischen der Gesamtgeschwindigkeit und der Waagerechten. Im rechtwinkligen Dreieck aus vxv_x und vyv_y ist

tan⁡α=vyvx=65=1,2⇒α≈50,2°\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{6}{5} = 1{,}2 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 50{,}2°

Das Wasser trifft also gut 50°50° unter der Waagerechten auf.

Zur Kontrolle: vy>vxv_y > v_x, also muss der Winkel größer als 45°45° sein. Passt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Wasserstrahl

    Gegeben: Austrittshöhe 1,8 m1{,}8\,\text{m}, Auftreffweite 3 m3\,\text{m}, g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}. Gesucht: a) die Austrittsgeschwindigkeit, b) die Auftreffgeschwindigkeit, c) der Auftreffwinkel.

  2. 2

    Die beiden Teilbewegungen und ihre Geschwindigkeiten

    Senkrecht gilt h=12gt2h = \frac{1}{2} g t^2 und vy=g⋅tv_y = g \cdot t, waagerecht x=v0⋅tx = v_0 \cdot t mit unverändertem v0v_0. Die Gesamtgeschwindigkeit setzt sich aus beiden Komponenten zusammen: v=vx2+vy2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.

  3. 3

    a) Rückwärts: von der Weite auf die Austrittsgeschwindigkeit

    Erst die Fallzeit aus der Höhe, dann die Anfangsgeschwindigkeit aus Weite und Zeit.

    t=2⋅1,8 m10 ms2=0,6 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}8\,\text{m}}{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 0{,}6\,\text{s}; v0=3 m0,6 s=5 msv_0 = \frac{3\,\text{m}}{0{,}6\,\text{s}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v0=5 msv_0 = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  4. 4

    b) Die Auftreffgeschwindigkeit aus beiden Komponenten

    Die senkrechte Komponente ist beim Auftreffen vy=g⋅tv_y = g \cdot t; zusammen mit der unveränderten waagerechten ergibt sich der Betrag über die Wurzel.

    vy=10 ms2⋅0,6 s=6 msv_y = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}6\,\text{s} = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; v=52+62 ms=61 ms≈7,8 msv = \sqrt{5^2 + 6^2}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{61}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 7{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v≈7,8 msv \approx 7{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  5. 5

    c) Ergebnis deuten: der Auftreffwinkel und seine Kontrolle

    Der Winkel liegt zwischen Gesamtgeschwindigkeit und Waagerechter. Im rechtwinkligen Dreieck aus vxv_x und vyv_y gilt tan⁡α=vyvx=65=1,2\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{6}{5} = 1{,}2, also α≈50,2°\alpha \approx 50{,}2°.

Übung 3

schwer

a) Begründe mit dem Superpositionsprinzip, warum eine abgeschossene und eine fallen gelassene Kugel gleichzeitig aufschlagen.

b) Zeige rechnerisch, dass die Wurfbahn eine Parabel ist.

c) Ein Flugzeug fliegt in 500 m500\,\text{m} Höhe mit 360 kmh360\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und wirft ein Hilfspaket ab. Wie viele Meter vor dem Ziel muss es abgeworfen werden (g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2})?

d) Warum weicht die tatsächliche Wurfbahn von der berechneten Parabel ab, und wann ist die Abweichung besonders groß?

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b) Setze tt aus der waagerechten in die senkrechte Gleichung ein.

Lösung anzeigen

a) Die wirkt ausschließlich senkrecht nach unten. In waagerechter Richtung wirkt (ohne Luftwiderstand) keine .

Nach dem Superpositionsprinzip laufen beide Teilbewegungen ungestört nebeneinander ab: Die senkrechte Bewegung ist bei beiden Kugeln derselbe freie Fall aus derselben Höhe, unabhängig davon, ob zusätzlich eine waagerechte Bewegung stattfindet.

Gleiche Fallhöhe und gleiche Fallbeschleunigung bedeuten gleiche Fallzeit, also gleichzeitigen Aufschlag.

b) Aus der waagerechten Bewegung folgt

t=xv0t = \frac{x}{v_0}

Eingesetzt in die senkrechte Bewegung:

y=12gt2=12g(xv0)2=g2v02⋅x2y = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{g}{2 v_0^2} \cdot x^2

Da gg und v0v_0 konstant sind, ist g2v02\frac{g}{2v_0^2} eine Konstante kk, und es gilt y=kx2y = k x^2. Das ist die Gleichung einer Parabel.

Man erkennt zusätzlich: Je größer v0v_0, desto kleiner kk, desto flacher die Parabel.

c) v0=360 kmh=100 msv_0 = 360\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

t=2⋅50010 s=100 s=10 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 500}{10}}\,\text{s} = \sqrt{100}\,\text{s} = 10\,\text{s} x=v0⋅t=100 ms⋅10 s=1000 mx = v_0 \cdot t = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 1000\,\text{m}

Das Paket muss einen Kilometer vor dem Ziel abgeworfen werden.

Bemerkenswert: Es behält seine waagerechte und bleibt deshalb während des ganzen Falls senkrecht unter dem Flugzeug. Aus Sicht der Besatzung fällt es einfach nach unten.

d) Weil das Modell den Luftwiderstand vernachlässigt. In Wirklichkeit wirkt eine bremsende Kraft entgegen der Bewegungsrichtung, und zwar auf beide Anteile:

  • Die waagerechte Geschwindigkeit bleibt nicht konstant, sondern nimmt ab. Die tatsächliche Wurfweite ist deshalb kleiner als berechnet.
  • Der Fall wird ebenfalls gebremst; bei langen Fallzeiten nähert sich der Körper einer Endgeschwindigkeit.

Dadurch wird die Bahn unsymmetrisch: Der absteigende Teil ist steiler als der aufsteigende Teil einer entsprechenden Parabel.

Besonders groß ist die Abweichung bei

  • großer Oberfläche im Verhältnis zur (Tischtennisball, Federball, Papier),
  • hoher Geschwindigkeit, weil der Luftwiderstand überproportional wächst,
  • langer Flugzeit, weil sich die Bremswirkung aufsummiert.

Klein ist sie bei kompakten, schweren Körpern und kurzen Flugzeiten, also bei Stahlkugel, Stein oder dem Ball vom Tisch. Genau für diese Fälle ist das Modell brauchbar, und genau das muss man bei jeder Anwendung mitprüfen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht in vier Teilaufgaben

    a) und b) verlangen Begründungen ohne Zahlen. c) gibt Flughöhe 500 m500\,\text{m} und 360 kmh360\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, gesucht ist der Vorhaltabstand. d) fragt nach den Grenzen des Modells.

  2. 2

    a) Warum beide Kugeln gleichzeitig aufschlagen

    Die Gewichtskraft wirkt ausschließlich senkrecht nach unten; in waagerechter Richtung wirkt (ohne Luftwiderstand) keine Kraft. Nach dem Superpositionsprinzip laufen beide Teilbewegungen ungestört nebeneinander ab, die senkrechte ist bei beiden Kugeln derselbe freie Fall aus derselben Höhe.

  3. 3

    b) Warum die Bahn eine Parabel ist

    Aus der waagerechten Bewegung folgt t=xv0t = \frac{x}{v_0}. Eingesetzt in die senkrechte: y=12gt2=g2v02⋅x2y = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{g}{2 v_0^2} \cdot x^2. Weil gg und v0v_0 konstant sind, ist der Vorfaktor eine Konstante kk. Es gilt y=kx2y = k x^2, die Gleichung einer Parabel.

  4. 4

    c) Die Fluggeschwindigkeit in Meter je Sekunde

    360 kmh:3,6=100 ms360\,\frac{\text{km}}{\text{h}} : 3{,}6 = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, jetzt passt sie zu gg in ms2\frac{\text{m}}{\text{s}^2} und zur Höhe in Metern.

    360 kmh=3603,6 ms=100 ms360\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{360}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v0=100 msv_0 = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  5. 5

    c) Der nötige Vorhaltabstand

    Erst die Fallzeit aus der Flughöhe, dann die waagerechte Strecke in dieser Zeit.

    t=2⋅500 m10 ms2=10 st = \sqrt{\frac{2 \cdot 500\,\text{m}}{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 10\,\text{s}; x=100 ms⋅10 s=1000 mx = 100\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 1000\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    x=1000 mx = 1000\,\text{m}

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: wo die Parabel aufhört zu stimmen

    Das Modell vernachlässigt den Luftwiderstand. In Wirklichkeit wirkt eine bremsende Kraft entgegen der Bewegungsrichtung auf beide Anteile: Die waagerechte Geschwindigkeit nimmt ab (die Wurfweite ist kleiner als berechnet), und auch der Fall wird gebremst. Die Bahn wird dadurch unsymmetrisch.

Zusammenfassung

Führt ein Körper mehrere Bewegungen gleichzeitig aus, so überlagern sie sich ungestört: Jede läuft so ab, als gäbe es die andere nicht. Beim waagerechten Wurf bedeutet das eine gleichförmige Bewegung zur Seite und einen freien Fall nach unten, verbunden nur über die gemeinsame Zeit. Weil die ausschließlich senkrecht wirkt, hängt die Flugzeit allein von der Fallhöhe ab und nicht von der Abwurfgeschwindigkeit; deshalb kommen abgeschossene und fallen gelassene Kugel gleichzeitig unten an. Setzt man die Zeit aus der waagerechten in die senkrechte Gleichung ein, ergibt sich y=g2v02x2y = \frac{g}{2v_0^2}x^2, also eine Parabel, die mit wachsender Abwurfgeschwindigkeit flacher wird. Die Gesamtgeschwindigkeit folgt aus dem Satz des Pythagoras, und all das gilt unter der ausdrücklichen Voraussetzung, dass der Luftwiderstand vernachlässigbar ist.